线性规划整数规划01规划
第四讲 0-1整数线性规划
√ √
√ √
√ √
√ √
Z≥0 Z≥5
（1 0 0） 3 （ 1 0 1） 1
（ 1 1 0） 8 （ 0 1 1） 3 （ 1 1 1） 6
× √ √ √ √
最优解： x1 1 ，x2 1 ，x3 1 最优值 Z 6
三
指派问题
1 投资第i个项目 xi 0 不投资第i个项目
1 3 4 5 210 100 130 260 150 60 80 180
2
300
210
Z表示投资效益
投资项目模型： 例1 （投资问题）华美公司有5个项目被列入投资计 划，每个项目的投资额和期望的投资收益见下表： max Z 150 x1 210 x2 60 x3 80 x4 180 x5 该公司只有 600 万资金可用于投资，由于技术上的 300 x2 100 x3 130 x4 260 x5 600 210 x1 x1 x2 x3 1 原因，投资受到以下约束： s.t x1 x4 1 1、2和3中必须有一项被选中 3 、在项目 x2 x1 5 、项目 3和4只能选中一项 i 1,2,,5 x3 i 0,1 、项目5被选中的前提是项目1被选中;如何 在 满足上述条件下选择一个最好的投资 项目 投资额 投资收益 （万元） （万元） 方 案，使投资收益最大 解：设 xi为决策变量（ i 1,2,,5)
当n=4时， 有16变量， 8个约束方程
练习2：现有4份工作，4个人应聘，由于各 Z表示总费用 人技术专长不同，他们承担各项工作所 max Z 3x11 5x12 4 x13 5x14 需费用如下表所示，且规定每人只能做 6 x21 7 x22 6 x23 8x24 一项工作，每一项工作只能由一人承担， 8x31 9 x32 8x33 10 x34 试求使总费用最小的分派方案。 10 x41 10 x42 9 x43 11x44 工作 1 2 3 4 x11 x12 x13 x14 1 人 x21 x22 x23 x24 1 1 3 5 4 5 6 7 6 8 2 x31 x32 x33 x34 1 8 9 8 10 3 x41 x42 x43 x44 1 10 10 9 11 x x x x 1 4 21 31 41 11 s.t x12 x22 x32 x42 1 解： 第i人做第j 件事 xij 1 0 x13 x23 x33 x43 1 x14 x24 x34 x44 1 第i人不做第j 件事 xij 0,1 i=1,2, 3,4; i 1,2, , n j=1,2, 3,4 j 1,2, , n
运筹学-0-1规划指派问题PPT课件
遗传算法的优点是能够处理大规模、复杂的优化问题，且具有较强的鲁 棒性和全局搜索能力。缺点是算法实现较为复杂，需要较高的计算资源 和时间，且在某些情况下可能会陷入局部最优解。
指派问题通常具有整数约束和 0-1约束，即每个工人只能被分 配一项任务，且每个任务只能 由一个工人完成。
指派问题的解通常具有最优子 结构和局部最优解的特性。
变量定义
• $x{ij}$：如果第i个工人被分配第j项任务，则$x{ij}=1$； 否则$x_{ij}=0$。
目标函数
• $min \sum{i=1}^{n} \sum{ j=1}^{n} c{ij} x{ij}$： 最小化总成本。
04
指派问题在0-1规划中的应用
指派问题的定义
• 指派问题是一种组合优化问题，旨在将一组任务分配给一组工 人，使得总成本最小化。每个工人只能完成一项任务，每项任 务只能由一个工人完成。目标是找到一种最优的分配方式，使 得总成本最低。
指派问题的特点
指派问题具有NP难解的特点， 即没有已知的多项式时间算法 来解决该问题。
04
总结词：整数规划
பைடு நூலகம்
案例三：旅行商问题
总结词：旅行商问题
总结词：图论
详细描述：旅行商问题是一个经典的组合优 化问题，涉及到寻找一条最短路径，使得一 个旅行商能够访问一系列城市并返回出发城 市，同时最小化总旅行距离。
详细描述：图论是研究图形和图形结构的数 学分支，提供了解决旅行商问题和其他优化 问题的理论基础。
在0-1规划问题中，分支定界法将问题分解为多个子问题，每个子问题对应一种指派 方案。算法通过不断排除不可能的解来缩小搜索范围，最终找到最优解。
数学建模线性规划与整数规划
数学建模线性规划与整数规划数学建模是一门将实际问题转化为数学问题，并利用数学方法解决的学科。
线性规划和整数规划是数学建模中常用的两种模型，它们在实际问题中有着广泛的应用。
本文将重点介绍线性规划和整数规划的概念、模型形式以及求解方法。
一、线性规划（Linear Programming）线性规划是一种在约束条件下求解线性目标函数最优解的数学模型，它的基本形式可以表示为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0在上述模型中，C₁,C₂,...,Cₙ为目标函数的系数，Aᵢₙ为不等式约束条件的系数，bᵢ为不等式约束条件的右端常数，X₁,X₂,...,Xₙ为决策变量。
线性规划的求解可以通过单纯形法或内点法等算法实现。
通过逐步优化决策变量的取值，可以得到满足约束条件并使目标函数达到最优的解。
二、整数规划（Integer Programming）整数规划是在线性规划基础上增加了决策变量必须取整的要求，其模型形式为：Min（或Max）：C₁X₁ + C₂X₂ + ... + CₙXₙSubject to：A₁₁X₁ + A₁₂X₂ + ... + A₁ₙXₙ ≤ b₁A₂₁X₁ + A₂₂X₂ + ... + A₂ₙXₙ ≤ b₂...Aₙ₁X₁ + Aₙ₂X₂ + ... + AₙₙXₙ ≤ bₙX₁, X₂, ... , Xₙ ≥ 0X₁,X₂,...,Xₙ为整数整数规划在实际问题中常用于需要求解离散决策问题的情况，如装配线平衡、旅行商问题等。
然而，由于整数规划问题的整数约束，其求解难度大大增加。
求解整数规划问题的方法主要有分支定界法、割平面法、遗传算法等。
整数线性规划及0-1规划 图文
例3 选课策略
课号
课名
学分
所属类别
先修课要求
1
微积分
5
数学
2
线性代数
4
数学
3
最优化方法
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
4
数据结构
3
数学；计算机
计算机编程
5
应用统计
4
数学；运筹学 微积分；线性代数
6
计算机模拟
3
计算机；运筹学
计算机编程
7
计算机编程
2
计算机
8
预测理论
2
运筹学
应用统计
9
数学实验
3
运筹学；计算机 微积分；线性代数
7 计算机编程
计算机
8
预测理论
运筹学
9
数学实验 运筹学；计算机
约束条件
最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。
xi=1 ~选修课号i 的 课程（xi=0 ~不选）
目标函数 选修课程总数最少
9
Min Z xi i1
x 1x2x3x4x52
x3x5x6x8x93 x4x6x7x92
小型 中型 大型
现有量
钢材（吨）
1.5
3
5
600
劳动时间（小时） 280
250
400
60000
利润（万元）
2
3
4
• 制订月生产计划，使工厂的利润最大。
• 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆，
那么最优的生产计划应作何改变？
汽车厂生产计划
模型建立
设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3
整数线性规划
解： 引入0-1变量xij ，
xij =1：第i人做第j项工作
xij =0：第i人不做第j项工作
• 一人只能完成一项任务
x11 x12 x13 x14 1 x21 x22 x23 x24 1 x31 x32 x33 x34 1 x41 x42 x43 x44 1
三、分支定界法
不考虑整数限制先求出相应松弛问题的最优解， 若松弛问题无可行解，则ILP无可行解； 若求得的松弛问题最优解符合整数要求，则是 ILP的最优解； 若不满足整数条件，则任选一个不满足整数条件 的变量 xi0 来构造新的约束添加到松弛问题中形 成两个子问题
0 0 xi xi ; xi xi 1
1 xj 0
选中第j个项目投资 不 选中第j个项目投资
max Z 160x1 210x2 60x3 80x4 180x5 210x1 300x2 150x3 130x4 260x5 600 x1 x2 x3 1 x3 x 4 1 x x 1 5 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0或1
x1 ≤ 1
LP1 ： 7 10 x1 1, x2 , Z 3 3
41 10 9 3
x2 ≥3
x2≤2
LP3 ： x1 33 61 , x2 2, Z 14 14
LP4：无解，查清
x1 ≥3
LP6：
61 10 14 3
x1≤2
LP5：
10 4, 3 x1 3, x2 1, Z 4，查清 x1 2, x2 2, Z 4，查清 LP1被剪枝
假设：yj=1，要租用生产线j yj=0，不租用生产线j
整数线性规划及0-1规划
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳
甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6
乙 57”2 1’06” 1’06”4 53”
讨论 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4
57.5, 方案是否调整？ 敏感性分析？ IP规划一般没有与LP规划相类似的理论，LINDO 输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。 c43, c54 的新数据重新输入模型，用LINDO求解
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
约束 条件
4
Min
Z
c
j 1 i 1
4
5
ij
x ij
每人最多入选泳姿之一
每种泳姿有且只有1人
x ij 1, i 1, 5
5
x ij 1, j 1, 4
j 1
i 1
模型求解
输入LINDO求解
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件
先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
x 3 x1 , x 3 x 2
2 x 3 x1 x 2 0
x4 x7
应用统计 微积分；线性代数
• 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 方法3：化为非线性规划
x1=0 或 80
x2=0 或 80 x3=0 或 80
x 1 ( x 1 80 ) 0
x 2 ( x 2 80 ) 0
x 3 ( x 3 80 ) 0
非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP） NLP 虽 然 可 用 现 成 的 数 学 软 件 求 解 ( 如 LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出 的最优解时，才能得到正确的结果。
整数规划与01规划
. y j
1, 0,
采用第 j种方式，即x j 0， 不采用第 j种方式，即x j 0
于是目标函数
min z (k1 y1 c1x1) (k2 y2 c2 x2 ) (k3 y3 c3x3 )
23
0-1型整数规划解法之一（过滤隐枚举法）
解0-1型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规 划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0或1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就 需要检查变量取值的2n个组合。对于变量个数n较大 （例如n>10），这几乎是不可能的。因此常设计一些 方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问 题的最优解。这样的方法称为隐枚举法（Implicit Enumeration），分枝定界法也是一种隐枚举法。当然， 对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是 必要的。
24
例6
Max
z 3x1 2x2 5x3
x1 2x2 x3 2
x1 x1
4x2 x2 , x3 0或1
求解思路及改进措施：
1.
先试探性求一个可行解，易看出
且相应的目标函数值为 z 3
(
x1,
x2
,
x3
)
(1,
0,
0)
满足约束条件，故为一个可行解，
z 为 。
14
小结（续）
z z ii）用观察法找问题A的一个整数可行解，一般可取 xj 0, j 1,L , n 试探，求得其目标函数值，并记作 。以 * 表示问题的最优目标 函数值；这时有 z z* z
其次，进行迭代。
第一步：分枝，在B的最优解中任选一个不符合整数条件的变量xj，其值为bj，以[bj]
表示小于bj的最大整数。构造两个约束条件: x j [bj ] x j [bj ] 1
运筹学-9整数规划及0-1变量
学 x1 =0, x7 =1, x8 =0
x1 =0, x7 =0, x8 =1
模 x1 =x7=x8 =0 型 x1 =x7=x8 =1
x1 + x8 =1
x7 + x8 =1
建 (4)开采了A3或A4,就不能开采A5,
立
数 x3 =1, x4 =0, x5 =0
型
x4 1
x3 + x4 1
1，0，1，1
10 防火区只需要1个消防站 11防火区只需要1个消防站
关闭第2消防站，任同样可以负责个
防区的火警。
某公司制造小、中、大3种尺寸的金属容器， 所用的资源为金属板、劳动力和机时见表。 不管每种容器制造的数量是多少,都要支付 一笔固定费用，小号容器是100元,中号容器 是150元,大号容器是200元.现要制定生产计 划,使获得的利润最大?
解：设用 x j = 1 开采 A j 油井. x j = 0 不开采A j油井 目标合适选点，使总利润最大
max Z = 10x1+15x2+25x3+10x4+15x5 +30x6+25x7+30x8+30x9+20x10
s.t.
20x1+25x2+30x3+25x4+40x5 +45x6+35x7+35x8+40x9+25x10 200
+0.93x1010+M(1-y) ‘ Y=0 等价’,而等于没有约束 Y=1 等价’,而等于没有约束
(2) N个约束中选择K个约束的问题
设N个约束可能的约束条件是: f1(x1, x2,…, xn) d1, f2(x1, x2,…, xn) d2, ……………………. fN(x1, x2,…, xn) dN,
数学中的线性规划与整数规划
数学中的线性规划与整数规划线性规划和整数规划是数学中两个重要的优化问题。
它们在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
本文将简要介绍线性规划和整数规划的概念、应用以及解决方法。
一、线性规划线性规划是一种优化问题，其目标是在给定的约束条件下，找到一个线性函数的最大值或最小值。
线性规划可以用来解决诸如资源优化分配、生产计划、物流运输等问题。
首先，我们来定义线性规划的标准形式：```最大化： c^Tx约束条件：Ax ≤ bx ≥ 0```其中，`c`是一个n维列向量，`x`是一个n维列向量表示决策变量，`A`是一个m×n维矩阵，`b`是一个m维列向量。
上述的不等式约束可以包括等式约束。
通过线性规划，我们希望找到一个满足所有约束的向量`x`，使得目标函数`c^Tx`达到最大或最小值。
解决线性规划问题的方法有多种，例如单纯形法、内点法等。
其中，单纯形法是应用广泛的一种方法。
它通过不断地移动顶点来搜索可行解的集合，直到找到最优解为止。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量`x`必须取整数值。
整数规划可以更准确地描述实际问题，并且在某些情况下具有更好的可解性。
例如，在生产计划问题中，决策变量可以表示生产的数量，由于生产数量必须为整数，因此整数规划更适用于此类问题。
整数规划的求解相对于线性规划更加困难。
由于整数规划问题是NP困难问题，没有多项式时间内的高效算法可以解决一般情况下的整数规划问题。
因此，为了获得近似最优解，通常需要使用一些启发式算法，如分支定界法、割平面法等。
三、线性规划与整数规划的应用线性规划和整数规划在实际生活和工业生产中有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域：1. 生产计划：通过线性规划和整数规划，可以确定产品的生产量、原材料的采购量以及生产时间表，以实现最佳的生产效益。
2. 物流运输：线性规划和整数规划可以用来优化货物的配送路线和运输方案，减少物流成本，提高配送效率。
MATLAB求解线性规划(含整数规划和01规划)问题
MATLAB 求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题线性规划是数学规划中的一类最简单规划问题，常见的线性规划是一个有约束的，变量范围为有理数的线性规划。
如：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨+≤⎪⎪≥⎩对于这类线性规划问题，数学理论已经较为完善，可以有多种方法求解此类问题。
但写这篇文章的目的并不是为了介绍数学理论，我们这里主要讲解如果利用工具求解这一类线性规划问题。
最著名，同时也是最强大的数学最优化软件是LINGO/LINDO 软件包，它能够求解多种的数学规划问题，同时还提供了多种的分析能力。
但LINGO 软件并不容易上手，同时，应用LINGO 的场合一般是大规模的线性规划问题，小小的线性规划完全可以不使用它。
一个更受科研人员欢迎的数学软件是MATLAB ，它以功能强大而称著，并有数学软件中的“航空母舰”之称。
我们这里就是要学习使用MATLAB 软件求解线性规划（含整数规划和0-1规划）问题。
为了使得不熟悉MATLAB 的人员也能够使用MATLAB 进行线性规划问题求解，本文将对MATALB 中使用到的函数和过程以及结果进行详细的分析，最后会对每一个问题都给出一个可以完全“套用”的MATLAB 程序。
我们首先从上面的线性规划问题开始，为了便于表达，将上面的式子写成矩阵形式：max 712z x y =+9430045200s.t 310300,0x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪∙≤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎨⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≥⎩于是约束就表达为了一个Ax b ≤不等式。
求解MATLAB 线性规划时，最常用的函数是linprog 函数，下面来介绍一下这个函数的使用。
打开MATLAB 帮助文档（PS:帮助文档的内容是最全的，只要你的英文过了专业8级），可以看到linprog 函数求解的是具有如下标准形式的线性规划：min .Tx f x A X b s t Aeq X beq lb x ub ≤⎧⎪=⎨⎪≤≤⎩公式中各符号的意义是自明的，在这里简单介绍下，首先MATLAB 中求解的是目标函数是最小值的问题，但如果我们的目标函数是求最大值，可以通过对目标函数中每一项中乘以-1，将求最大值问题转化为求最小值问题；A ，b 分别为不等式约束中的系数矩阵。
0-1规划
The Assignment Problem 指派问题
现实生活之中， 现实生活之中，我们经常遇到指派人员 做某项工作的情况。 做某项工作的情况。指派问题的许多应用都 用来帮助管理人员解决如何为一项将要开展 进行的工作指派人员的问题。 进行的工作指派人员的问题。其他的一些应 用如为一项任务指派机器、 用如为一项任务指派机器、设备或者是工厂
二、引入0-1变量的实际问题
1. 投资场所的选定——相互排斥的计划 例 某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有7个 位置(点)Ai (i=1，2，…，7)可供选择。规定： 在东区，由A1，A2，A3三个点中至多选两个； 在西区，由A4，A5两个点中至少选一个； 在南区，由A6，A7两个点中至少选一个。 如选用Ai点，设备投资估计为bi元，每年可获利润估计为ci元， 但投资总额不能超过B元。问应选择哪几个点可使年利润 为最大?
D）可能出现以下情况： ）可能出现以下情况： 每行均有（ ）元素，则在有（ ） ① 每行均有（0）元素，则在有（0）位置构成最 优解中x ； 优解中 ij=1； 所有0元素均有直线覆盖 但记（ ）的个数<m 元素均有直线覆盖， ② 所有 元素均有直线覆盖，但记（0）的个数 个，转⑶。 元素， ③多于两行和两列存在未被直线覆盖的0元素，即 多于两行和两列存在未被直线覆盖的 元素 存在0元素的闭回路 元素的闭回路， 存在 元素的闭回路， 则沿 回路顶点每间隔一个0记 回路顶点每间隔一个 记（ ） ，同时作直线覆盖该列的 元素； 元素；
解题时先引入0-1变量xi (=1,2，…，7)
1, 当Ai点被选用 令 xi = i = 1,2,⋯,7 0, 当Ai点没有被选用 7 于是问题可列成：
目标函数： max z = ∑ ci xi
0-1整数规划
0-1整数规划整数规划是线性规划的一个特殊情况，其决策变量是整数。
在0-1整数规划中，决策变量只能取0或1的整数值。
0-1整数规划是一类NP-hard问题，通常以优化问题的形式出现。
0-1整数规划在实际生活中有广泛的应用。
它可以用于资源分配、生产计划、物流运输等方面。
下面将通过一个具体的例子来说明0-1整数规划的应用：假设某公司生产两种产品A和B，分别需要使用两种原材料X和Y。
每个单位的产品A需要消耗1个单位的原材料X和3个单位的原材料Y；每个单位的产品B需要消耗2个单位的原材料X和2个单位的原材料Y。
该公司每天可以获得100个单位的原材料X和150个单位的原材料Y。
假设产品A的利润为5元，产品B的利润为8元。
问如何安排生产，使得利润最大化。
首先，我们定义决策变量：设产品A的生产数量为x，产品B 的生产数量为y，决策变量为整数。
则可以列出目标函数和约束条件。
目标函数：maximize 5x + 8y约束条件：1x + 2y ≤ 100 （原材料X的限制）3x + 2y ≤ 150 （原材料Y的限制）x，y为0或1的整数根据上述目标函数和约束条件，可以构建0-1整数规划模型。
然后，可以使用相应的算法求解该模型，确定最优的生产方案，使得利润最大化。
对于这个例子来说，通过计算可以得到最优解为x=25，y=37，即生产25个单位的产品A和37个单位的产品B时，利润最大，为325元。
总结起来，0-1整数规划是一种重要的优化工具，可以应用于各种实际问题中。
通过明确决策变量的整数限制，可以获得最优解，实现最大化或最小化的目标。
在实际应用中，需要结合具体问题的特点和约束条件，构建相应的数学模型，并运用适当的算法求解。
这样可以有效地解决实际问题，提高效率和经济效益。
01型整数规划模型
§5.4 0—1型整数规划模型1、 0—1型整数规划模型概述整数规划指的是决策变量为非负整数值的一类线性规划，在实际问题的应用中，整数规划模型对应着大量的生产计划或活动安排等决策问题，整数规划的解法主要有分枝定界解法及割平面解法（这里不作介绍，感兴趣的读者可参考相关书籍）。
在整数规划问题中，0—1型整数规划则是其中较为特殊的一类情况，它要求决策变量的取值仅为0或1，在实际问题的讨论中，0—1型整数规划模型也对应着大量的最优决策的活动与安排讨论，我们将列举一些模型范例，以说明这个事实。
0—1型整数规划的的数学模型为： 目标函数nn x c x c x c z M i n M a x +++= 2211)(约束条件为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≥≤++=≥≤++=≥≤++1 | 0 ) ,() ,() ,(22112222212111212111n m n mn m m n n n n x x x b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a , , ,21这里，0 | 1表示0或1。
2、0—1型整数规划模型的解法0—1型整数规划模型的解法一般为穷举法或隐枚举法，穷举法指的是对决策变量nx x x , , ,21 的每一个0或1值，均比较其目标函数值的大小，以从中求出最优解。
这种方法一般适用于决策变量个数n 较小的情况，当n 较大时，由于n 个0、1的可能组合数为n2，故此时即便用计算机进行穷举来求最优解，也几乎是不可能的。
隐枚举法是增加了过滤条件的一类穷举法，该法虽能减少运算次数，但有的问题并不使用。
此时，就只能用穷举法了。
3. 应用实例例1 工程上马的决策问题1）问题的提出某部门三年内有四项工程可以考虑上马，每项工程的期望收益和年度费用（千元）如下表所示：假定每一项已选定的工程要在三年内完成，是确定应该上马哪些工程，方能使该部门可能的期望收益最大。
2）模型分析与变量的假设这是工程上马的决策问题，对任一给定的工程而言，它只有两种可能，要么上马，要么不上马，这两种情况分别对应二进制数中的1、0，大凡这样的实际背景所对应的工程问题，大都可考虑用0—1型整数规划模型建立其相应的模型。
0-1规划
0-1 规划的解法
下面举例说明一种解型整数规划的隐枚举法。
Max z 3x1 2x2 5x3
x1 2 x2 x3 2
s.t
x1 x1
4x2 x3 x2 3
4
4 x2 x3 6
（2）约束条件
x1 0 或 500 x1 800
可改写为
500
y
y x1 0或1
800 y
（3）如果有m 个互相排斥的约束条件：
可改写为
ai1 x1 ain xn bi i 1,2,, m
ai1 x1 ain xn bi yi M i 1,2,, m y1 ym m 1
( L1,1 )s.t
x1
1 2
x2 x2
41 2
2
2x1 3x2 14
( L1, 2
)s.t
x1
1 2
x2 x2
41 2
2
x1 3
x1 4
x1, x2 0
x1, x2 0
(ILP)
(L0 ) Z (0) 14.75 X (0) (3.25,2.5)
X (2) (2.5,3)
< <
(L2 ) Z (2) 13.5
(L1) Z (1) 14.5
X (1) (3.5,2)
X (11) (3,2)
(L11) Z (11) 13
第一讲线性规划和整数规划
3、非线性规划模型（化为线性规划求解）
4、动态规划模型（算法：递归算法）
5、多目标规划模型（化为线性规划求解）
一、线性规划模型
线性规划主要解决两个方面的问题： （1）对于给定的一项任务，如何统筹安排，使以 最少的资源消耗去完成？ （2）在给定的一定数量的资源条件下，如何合理 安排，使完成的任务最多？
季 买进价 度 （万元/万 米 3） 冬 410 春 430
卖出价 （万元/万 米 3）
预计销售 量（万米3）
425 440
1000 1400
夏 460
秋 450
465 455
2000 1600
例题7 自行车生产规划问题 有一家公司生产儿童自行车。在下表中给出了明年预期的销售量（ 以千辆为单位计）。此公司的生产能力为每个月30000辆自行车。 通过工人加班，可以将产量提高50%，但会将每辆自行车的生产成 本从30欧元提高到40欧元。 表： 明年的销售预期（千辆）
用线性规划方法解决问题一般按下列步骤进行 第一步：建立线性规划模型； 第二步：用单纯形算法进行求解； 第三步：对求解结果进行检验； 第四步：将求解结果形成优化方案，付诸实施；
线性规划模型一般包括三个要素：
（1）决策变量
（2）目标函数
（3）约束条件
线性规划的一般形式为： max(或min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn
（1.2)
（1.3)
或矩阵形式
max( 或 min)z cx AX ( , ) b s.t X 0
其中c=(c1,c2,…,cn)，称为价值系数向量；
线性规划整数规划0-1规划
二、线性规划模型
线性规划模型是所有规划模型中最基本、最 简单的一种.
2.1 线性规划模型的标准形式
例1.（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养 素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij , n 种 食物价格分别为c1, c2, …, cn，请确定食谱中n 种食 物的数量x1, x2, …, xn，要求在食谱中 m 种营养素 的含量分别不低于b1, b2, …, bm 的情况下，使得总 总的费用最低.
c(c1,,cn)T价值向量 cj,j1,2,,n价值系数
xj,j1,2,,n决策变量
min(max) z c1x1 cnxn
A
T i
s.t.
系ai1
x1
数
矩aiA1x1 阵ai1x1
a1a1 i2
x2a
12
aa1inn xn
a 2a1 i2
a
x2
22
aa2innxn
bi , bi ,
足供需要求的条件下，使总运输费用最省.
数学模型：
mn
min
z
cij x ij
i1 j1
n
xij ai , i 1,2, , m
j1
m
s .t .
xij b j , j 1,2, , n
i1
xij 0, i 1,2, , m ; j 1,2, , n
若其中各产地的总产量等于各销地的总销量，
mn
Min f =
i=1 j=1
cij
xij
n
s.t. xij =ai i = 1,2,…,m
j=1
m
xij bj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
LINDO软件求线性规划、整数规划和0-1规划
LINDO软件简介/求解线性规划问题LINDO是一种专门用于求解数学规划问题的软件包。
由于LINDO执行速度很快、易于方便输入、求解和分析数学规划问题。
因此在数学、科研和工业界得到广泛应用。
LINDO/GO主要用于解线性规划、非线性规划、二次规划和整数规划等问题。
也可以用于一些非线性和线性方程组的求解以及代数方程求根等。
LINDO/GO中包含了一种建模语言和许多常用的数学函数（包括大量概论函数），可供使用者建立规划问题时调用。
一般用LINDO（Linear Interactive and Discrete Optimizer）解决线性规划（LP—Linear Programming）。
整数规划（IP—Integer Programming）问题。
其中LINDO 6 .1 学生版至多可求解多达300个变量和150个约束的规划问题。
其正式版（标准版）则可求解的变量和约束在1量级以上。
LINGO则用于求解非线性规划（NLP—NON—LINEAR PROGRAMMING）和二次规则（QP—QUARATIC PROGRAMING）其中LINGO ６.0学生版最多可版最多达300个变量和150个约束的规则问题，其标准版的求解能力亦在10^4量级以上。
虽然LINDO和LINGO 不能直接求解目标规划问题,但用序贯式算法可分解成一个个LINDO和LINGO能解决的规划问题。
要学好用这两个软件最好的办法就是学习他们自带的HELP文件。
下面拟举数例以说明这两个软件的最基本用法。
（例子均选自张莹《运筹学基础》）例１.（选自《运筹学基础》Ｐ５４.汽油混合问题，线性规划问题）一种汽油的特性可用两个指标描述：其点火性用“辛烷数”描述，其挥发性用“蒸汽压力”描述。
某炼油厂有四种标准汽油，设其标号分别为１，２，３，４，其特性及库存量列于下表１中，将上述标准汽油适量混合，可得两种飞机汽油，某标号为１，２，这两种飞机汽油的性能指标及产量需求列于表２中。
运筹学——0-1整数规划
(1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
0’’ -2 3 1 6
1
.2
.3
Z .4 足 值 no no no no
最优解(X2,X1,X3) =（0，1，1） Z=8 实际只计算了16次
例2
求下列问题：
Max Z=3x1+ 4x2 + 5x3 + 6x4 s.t. 2x1+ 3x2 + 4x3 + 5x4 15
0-1规划应用
华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目 的投资额和期望的投资收益见下表： 项目 投资额(万元) 投资收益(万元) 1 210 150
2
3 4 5
300
100 130 260
210
60 80 180
该公司只有600万元资金可用于投资， 由于技术原因，投资受到以下约束： 在项目1、2和3中必须有一项被选中；
0-1 规划及其解法
0-1 规划在线性整数规划中具有重要地位。 定理：任何整数规划都可以化成0-1规划。 一般地说，可把整数x变成(k+1)个0-1变量公 式为：x=y0+2y1+22y2+….2kyk 若x上界为U，则对0<x<U,要求k满足2k+1 U+1.
由于这个原因，数学界曾纷纷寻找“背包问 题”解的方法，但进展缓慢。
xi=1或0
• 点击这里进入 “指派问题”的 学习
解：由于目标函数中变量x1, x2 , x4 的系数均为负数， 可作如下变换：
令 x1 ＝1－ x1′ , x2 =1- x2′, x3= x3′, x4 =1- x4′带入原题 中，但需重新调整变量编号。令 x3′ = x1′, x4′ = x2′得到下式。
整数线性规划及0-1规划
x1(x1 80) 0 x2 (x2 80) 0
x1, x2 , x3为非负整数
IP 结果输出
280x1+250x2+400x3< 60000 end
OBJECTIVE FUNCTION VALUE
1)
632.0000
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1
64.000000
-
2.000000
X2
168.000000
-
“gignin3 3”表示“前3个变 量为整数”，等价于： gin x1 gin x2 gin x3
模型求解 整数规划(Integer Programming,简记
Max z 2x1 3x2 4x3
IPIP可) 用LINDO直接求解
s. t. 1.5x1 3x2 5x3 600 280 x1 250 x2 400 x3 60000
max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3<600
模型建立
令xj表示对第j个发展项目的投资数量
n
Max z cj x j j 1 n
s. t. a j xj b j 1
xj 0或1(j=1,2, ,n)
整数 线性 规划 0－ 1模 型 (IP)
整数线性规划及0－1规划
例1 汽车厂生产计划
汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。
x1,x2,, x3=0 或 80 方法1：分解为8个LP子模型
其中3个子模型应去掉，然后 逐一求解，比较目标函数值， 再加上整数约束，得最优解：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运输问题
例2. 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物
资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C 地200吨、D地100吨. 已知每吨运费如表1.1所示. 假定运费与运量成正比. 在这种情况下，采用不 同的调拨计划，运费就可能不一样. 现在问：怎 样才能找出一个运费最省的调拨计划？
三种形式的LP问题全都是等价的，即一种 形式的LP可以简单的变换为另一种形式的LP，
且它们有相同的解 .
以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准 形式.
目标函数的转化
max z min ( z )
z
o
-z
x
约束条件和变量的转化
①．为了把一般形式的 LP 问题变换为规范形式，
我们必须消除等式约束和符号无限制变量 . 在一
目标函数 c (c1 ,, cn )T 价值向量 c j , j 1,2,, n 价值系数 x j , j 1,2,, n 决策变量
⑵ 规范形式
min cT x
⑶ 标准形式
min cT x
Ax b s .t . x 0
Ax b s .t . x 0
上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下，
寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模
型.
线性规划模型的三种形式
⑴ 一般形式 T min(max) z c x c x Ai 1 1 n n b1 a11 a12 a1n 系 ,p b , i 1 , s .t . ai 1 x1 ai 2 x2 ain x n i b 数 a21 a22 a2 n ,, aiA x a x a x b , i p 1 s 1 1 i2 2 in n i 矩 bm n bi , i s 1,, m ai 1 x1 ai 2 x2 ain x 阵 右端向量 am 1 am 2 amn x j 0, j 1,, q 非负约束 Aj 自由变量 x 0 , j q 1 , n j
来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事
行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、 创造的价值无法估量. 特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常 见的一类数学模型. 从历年全国大学生数模竞赛 试题的解题方法统计结果来看，每年至少有一道 题涉及到利用规划理论来分析、求解.
二、线性规划模型
线性规划模型是所有规划模型中最基本、最 简单的一种. 2.1 线性规划模型的标准形式
般形式的LP中，一个等式约束
aij x j bi j 1
可用下述两个不等式约束去替代
n
aij x j bi j 1
n
( aij ) x j ( bi ) j 1
n
对于一个无符号限制变量 x j ，引进两个非负
变量 x 和 ，并设 0 x j j 0
例1.（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养
素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij , n 种 食物价格分别为c1, c2, …, cn，请确定食谱中n 种食 物的数量x1, x2, …, xn，要求在食谱中 m 种营养素 的含量分别不低于b1, b2, …, bm 的情况下，使得总 总的费用最低.
代替上述的不等式约束.
n
si 0
对于不等式约束
aij x j bi j 1
可引入一个松弛变量 ri ，用
n
aij x j ri bi , j 1
代替上述的不等式约束
n
ri 0
这样就把一般形式的LP变换为标准形式 .
Байду номын сангаас
2.2 线性规划模型的求解 针对标准形式的线性规划问题，其解的理论 分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算 法——单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段 法，对偶单纯形法等）. 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也 是最核心的算法。它是一个迭代算法，先从一个 特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判
一、引言
我们从2005年“高教社杯”全国大学生数模
竞 赛的B题“DVD在线租赁”问题的第二问和第三问 谈起.
其中第二个问题是一个如何来分配有限资源， 从而达到人们期望目标的优化分配数学模型. 这类问题一般可以归结为数学规划模型.
规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来 越多的人所重视. 随着计算机的逐渐普及，它越
解 首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为 c1 x1 c2 x2 cn xn ,
其次食谱中第 i 种营养素的含量为 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn .
因此上述问题可表述为： min c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 s .t . a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 0, x2 0, xn 0
x j x x j j
这样就把一般形式的LP变换为规范形式.
②．为了把一般形式的LP问题变换为标准形式，
必须消除其不等式约束和符号无限制变量. 对符号无限制变量的处理可按上述方法进行.
对于一个不等式约束
aij x j bi j 1
可引入一个剩余变量 si ，用
n
aij x j si bi , j 1
断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不
是最优解，则根据相应规则，迭代到下一个更好
的可行解（极点），直到最优解（或问题无界）.
关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求
解过程可参见文献[1]. 在实际应用中，特别是数学建模过程中，遇到线
性规划问题的求解，我们一般都是利用现有的软 件进行求解，此时通常并不要求线性规划问题是 标准形式. 比较常用的求解线性规划模型的软件 包有LINGO和LINDO.