线性规划整数规划01规划
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般形式的LP中，一个等式约束
aij x j bi j 1
可用下述两个不等式约束去替代
n
aij x j bi j 1
n
( aij ) x j ( bi ) j 1
n
对于一个无符号限制变量 x j ，引进两个非负
变量 x 和 ，并设 0 x j j 0
x j x x j j
这样就把一般形式的LP变换为规范形式.
②．为了把一般形式的LP问题变换为标准形式，
必须消除其不等式约束和符号无限制变量. 对符号无限制变量的处理可按上述方法进行.
对于一个不等式约束
aij x j bi j 1
可引入一个剩余变量 si ，用
n
aij x j si bi , j 1
一、引言
我们从2005年“高教社杯”全国大学生数模
竞 赛的B题“DVD在线租赁”问题的第二问和第三问 谈起.
其中第二个问题是一个如何来分配有限资源， 从而达到人们期望目标的优化分配数学模型. 这类问题一般可以归结为数学规划模型.
规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来 越多的人所重视. 随着计算机的逐渐普及，它越
上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下，
寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模
型.
线性规划模型的三种形式
⑴ 一般形式 T min(max) z c x c x Ai 1 1 n n b1 a11 a12 a1n 系 ,p b , i 1 , s .t . ai 1 x1 ai 2 x2 ain x n i b 数 a21 a22 a2 n ,, aiA x a x a x b , i p 1 s 1 1 i2 2 in n i 矩 bm n bi , i s 1,, m ai 1 x1 ai 2 x2 ain x 阵 右端向量 am 1 am 2 amn x j 0, j 1,, q 非负约束 Aj 自由变量 x 0 , j q 1 , n j
三种形式的LP问题全都是等价的，即一种 形式的LP可以简单的变换为另一种形式的LP，
且它们有相同的解 .
以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准 形式.
目标函数的转化
max z min ( z )
z
o
-z
x
约束条件和变量的转化
①．为了把一般形式的 LP 问题变换为规范形式，
我们必须消除等式约束和符号无限制变量 . 在一
断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不
是wk.baidu.com优解，则根据相应规则，迭代到下一个更好
的可行解（极点），直到最优解（或问题无界）.
关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求
解过程可参见文献[1]. 在实际应用中，特别是数学建模过程中，遇到线
性规划问题的求解，我们一般都是利用现有的软 件进行求解，此时通常并不要求线性规划问题是 标准形式. 比较常用的求解线性规划模型的软件 包有LINGO和LINDO.
代替上述的不等式约束.
n
si 0
对于不等式约束
aij x j bi j 1
可引入一个松弛变量 ri ，用
n
aij x j ri bi , j 1
代替上述的不等式约束
n
ri 0
这样就把一般形式的LP变换为标准形式 .
2.2 线性规划模型的求解 针对标准形式的线性规划问题，其解的理论 分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算 法——单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段 法，对偶单纯形法等）. 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也 是最核心的算法。它是一个迭代算法，先从一个 特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判
来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事
行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、 创造的价值无法估量. 特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常 见的一类数学模型. 从历年全国大学生数模竞赛 试题的解题方法统计结果来看，每年至少有一道 题涉及到利用规划理论来分析、求解.
二、线性规划模型
线性规划模型是所有规划模型中最基本、最 简单的一种. 2.1 线性规划模型的标准形式
运输问题
例2. 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物
资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C 地200吨、D地100吨. 已知每吨运费如表1.1所示. 假定运费与运量成正比. 在这种情况下，采用不 同的调拨计划，运费就可能不一样. 现在问：怎 样才能找出一个运费最省的调拨计划？
目标函数 c (c1 ,, cn )T 价值向量 c j , j 1,2,, n 价值系数 x j , j 1,2,, n 决策变量
⑵ 规范形式
min cT x
⑶ 标准形式
min cT x
Ax b s .t . x 0
Ax b s .t . x 0
例1.（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养
素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij , n 种 食物价格分别为c1, c2, …, cn，请确定食谱中n 种食 物的数量x1, x2, …, xn，要求在食谱中 m 种营养素 的含量分别不低于b1, b2, …, bm 的情况下，使得总 总的费用最低.
解 首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为 c1 x1 c2 x2 cn xn ,
其次食谱中第 i 种营养素的含量为 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn .
因此上述问题可表述为： min c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 s .t . a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 0, x2 0, xn 0
aij x j bi j 1
可用下述两个不等式约束去替代
n
aij x j bi j 1
n
( aij ) x j ( bi ) j 1
n
对于一个无符号限制变量 x j ，引进两个非负
变量 x 和 ，并设 0 x j j 0
x j x x j j
这样就把一般形式的LP变换为规范形式.
②．为了把一般形式的LP问题变换为标准形式，
必须消除其不等式约束和符号无限制变量. 对符号无限制变量的处理可按上述方法进行.
对于一个不等式约束
aij x j bi j 1
可引入一个剩余变量 si ，用
n
aij x j si bi , j 1
一、引言
我们从2005年“高教社杯”全国大学生数模
竞 赛的B题“DVD在线租赁”问题的第二问和第三问 谈起.
其中第二个问题是一个如何来分配有限资源， 从而达到人们期望目标的优化分配数学模型. 这类问题一般可以归结为数学规划模型.
规划模型的应用极其广泛，其作用已为越来 越多的人所重视. 随着计算机的逐渐普及，它越
上述食谱问题就是一个典型的线性规划问题， 它是指在一组线性的等式或不等式的约束条件下，
寻求以线性函数的最大（小）值为目标的数学模
型.
线性规划模型的三种形式
⑴ 一般形式 T min(max) z c x c x Ai 1 1 n n b1 a11 a12 a1n 系 ,p b , i 1 , s .t . ai 1 x1 ai 2 x2 ain x n i b 数 a21 a22 a2 n ,, aiA x a x a x b , i p 1 s 1 1 i2 2 in n i 矩 bm n bi , i s 1,, m ai 1 x1 ai 2 x2 ain x 阵 右端向量 am 1 am 2 amn x j 0, j 1,, q 非负约束 Aj 自由变量 x 0 , j q 1 , n j
三种形式的LP问题全都是等价的，即一种 形式的LP可以简单的变换为另一种形式的LP，
且它们有相同的解 .
以下我们仅将一般形式化成规范形式和标准 形式.
目标函数的转化
max z min ( z )
z
o
-z
x
约束条件和变量的转化
①．为了把一般形式的 LP 问题变换为规范形式，
我们必须消除等式约束和符号无限制变量 . 在一
断该可行解是否为最优解（或问题无界），若不
是wk.baidu.com优解，则根据相应规则，迭代到下一个更好
的可行解（极点），直到最优解（或问题无界）.
关于线性规划问题解的理论和单纯形法具体的求
解过程可参见文献[1]. 在实际应用中，特别是数学建模过程中，遇到线
性规划问题的求解，我们一般都是利用现有的软 件进行求解，此时通常并不要求线性规划问题是 标准形式. 比较常用的求解线性规划模型的软件 包有LINGO和LINDO.
代替上述的不等式约束.
n
si 0
对于不等式约束
aij x j bi j 1
可引入一个松弛变量 ri ，用
n
aij x j ri bi , j 1
代替上述的不等式约束
n
ri 0
这样就把一般形式的LP变换为标准形式 .
2.2 线性规划模型的求解 针对标准形式的线性规划问题，其解的理论 分析已经很完备，在此基础上也提出了很好的算 法——单纯形方法及其相应的变化形式（两阶段 法，对偶单纯形法等）. 单纯形方法是线性规划问题的最为基础、也 是最核心的算法。它是一个迭代算法，先从一个 特殊的可行解（极点）出发，通过判别条件去判
来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事
行为核科学研究的各个方面，为社会节省的财富、 创造的价值无法估量. 特别是在数模竞赛过程中，规划模型是最常 见的一类数学模型. 从历年全国大学生数模竞赛 试题的解题方法统计结果来看，每年至少有一道 题涉及到利用规划理论来分析、求解.
二、线性规划模型
线性规划模型是所有规划模型中最基本、最 简单的一种. 2.1 线性规划模型的标准形式
运输问题
例2. 设要从甲地调出物资2000吨，从乙地调出物
资1100吨，分别供给A地1700吨、B地1100吨、C 地200吨、D地100吨. 已知每吨运费如表1.1所示. 假定运费与运量成正比. 在这种情况下，采用不 同的调拨计划，运费就可能不一样. 现在问：怎 样才能找出一个运费最省的调拨计划？
目标函数 c (c1 ,, cn )T 价值向量 c j , j 1,2,, n 价值系数 x j , j 1,2,, n 决策变量
⑵ 规范形式
min cT x
⑶ 标准形式
min cT x
Ax b s .t . x 0
Ax b s .t . x 0
例1.（食谱问题）设有 n 种食物，各含 m 种营养
素，第 j 种食物中第 i 中营养素的含量为 aij , n 种 食物价格分别为c1, c2, …, cn，请确定食谱中n 种食 物的数量x1, x2, …, xn，要求在食谱中 m 种营养素 的含量分别不低于b1, b2, …, bm 的情况下，使得总 总的费用最低.
解 首先根据食物数量及价格可写出食谱费用为 c1 x1 c2 x2 cn xn ,
其次食谱中第 i 种营养素的含量为 ai1 x1 ai 2 x2 ain xn .
因此上述问题可表述为： min c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 s .t . a x a x a x b m2 2 mn n m m1 1 x1 0, x2 0, xn 0