惠州学院高等数学(下)期末试题参考答案

高等数学（下）期末试题参考答案

一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。

1、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点),(00y x 连续的（ ）。 A .必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；

C.充分且必要的条件；

D.即非充分又非必要的条件。 3、设)ln(222z y x u ++=，则)(u grad div ＝（ ）。 A.

2221z y x ++；B.2222z y x ++；C.2222)(1z y x ++；D.2

222)

(2

z y x ++ 3、设D 是xoy 面上以)1,1(),1,1(),1,1(---为顶点的三角形区域，1D 是D 中在第一象限的部分，则积分⎰⎰+D

d y x y x σ)sin cos (33＝（ ）

A.σd y x D ⎰⎰1

sin cos 23； B.⎰⎰1

32D yd x σ； C.⎰⎰+1

)sin cos (433D d y x y x σ； D.0

4、设∑为曲面)0(222>=+R R y x 上的10≤≤z 部分，则⎰⎰∑

++dS

y x e

y x )sin(222

2＝（ ）。

A .0； B.2sin Re R R π； C.R π4； D.2sin Re 2R R π 5、设二阶线性非齐次方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''有三个特解x y =1，x e y =2，

x e y 23=，则其通解为（ ）。

A.x x e C e C x 221++；

B.x x e C e C x C 2321++；

C.)()(221x x x e x C e e C x -+-+；

D.)()(2221x e C e e C x x x -+-

二、填空题（每题３分，总计１５分）。1、-5；2、)2,2,1(±±μ；3、)1(6

11--e ；

4、81

；5、C y y x =-

1、函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数a ＝_____。

2、若曲面2132222=++z y x 的切平面平行于平面02564=++-z y x ，则切点坐标为______________________。

3、二重积分dx e y dy y x ⎰⎰-1

1

03

的值为______________。

4、设空间立体Ω所占闭区域为0,0,1≥≥≤++y x z y x ，Ω上任一点的体密度是

z y x z y x ++=),,(ρ，则此空间立体的质量为____________。 5、微分方程2

y

x y

y +=

'的通解为_____________________。 三、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、已知22),,(z xy z y x f -=及点)1,1,2(-A 、)1,1,3(-B ，求函数),,(z y x f 在点A 处沿由A 到B 方向的方向导数，并求此函数在点A 处方向导数的最大值。

2、设),(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数，求y x z ∂∂∂2。

3、将函数2

23

)(x

x x f --=

展开成x 的幂级数，并指出收敛域。 4、设)(x y y =满足方程x e y y y 223=+'-''，且其图形在点)1,0(与曲线

12+-=x x y 相切，求函数)(x y 。

5、计算⎰

++L

z y x ds

2

22，其中L 是螺旋线t z t y t x ===,sin 8,cos 8对应π

20≤≤t 的弧段。

四、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、设0>a ，计算极限)321(lim 32n n a

n

a a a +++++∞→Λ的值。

2、计算⎰⎰⎰Ω

dv z ，其中Ω由不等式22y x z +≥及41222≤++≤z y x 所确定。

3、计算⎰⎰

∑

++++2

222)(z y x dxdy

a z axdydz ，其中∑为下半球面222y x a z ---=的下侧，

a 为大于零的常数。

4、将函数)11()(≤≤-=x x x f 展开成以2为周期的傅立叶级数。

5、设函数)(x f 具有连续导数并且满足3)1(=f ，计算曲线积分

dy y x f x dx x x f y L ))(())((2

2+++⎰的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，

曲线L 是由)2,1(到)1,2(的任一条逐段光滑曲线。

五、本题５分。

对0>p ，讨论级数∑-∞

=+11

)1(n n n

p

n 的敛散性。 一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。 1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ 二、填空题（每题３分，总计１５分）。

1、-5；

2、)2,2,1(±±μ；

3、)1(611--e ；

4、81

；5、C y y x =-

三、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、已知22),,(z xy z y x f -=及点)1,1,2(-A 、)1,1,3(-B ，求函数),,(z y x f 在点A 处沿由A 到B 方向的方向导数，并求此函数在点A 处方向导数的最大值。 解：由条件得

z z

f

x y f y x f 2,2,2-=∂∂=∂∂=∂∂ }cos ,cos ,{cos }3

2

,32,31{}2,2,1{0γβα=-=⇒-=AB AB

32

cos ,32cos ,31cos -===⇒γβα

从而

)1,1,2(cos cos cos -⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂=∂∂A z f y f x f l f γβα=3

10 点A 的梯度方向是}2,4,2{}2,2,2{--=-==A A

z x y f grad

所以方向导数的最大值是

6224242222==++=∂∂l

f

2、设),(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数，求y x z

∂∂∂2。

解：

2121,xf f y

z

yf f x

z

+-=∂∂+=∂∂ []2221211222211211221212)()()(f xyf f y x f f xf f y xf f f y

f y y f yf f y x z y y x z ++-+-=++-++-=+∂∂+∂∂=+∂∂

=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∂∂∂

3、将函数2

23

)(x

x x f --=

展开成x 的幂级数，并指出收敛域。