概率论讲义(茆诗松)

概率论讲义(茆诗松)

第二章 随机变量及其分布

教学目的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。

教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。

教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。 教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。 教学时数：20学时 教学过程：

§2.1 随机变量及其分布

例2.1.1 (1) 掷一颗骰子，出现的点数X ：1、2、…、6； (2) n 个产品中的不合格品个数Y ：0、1、2、…、n ； (3) 某商场一天内来的顾客数Z ：0、1、2、…； (4) 某种型号电视机的寿命T ：[0,)+∞。

§2.1.1 随机变量的概念

定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数称为随机变量，常用大写X 、

Y 、Z 等表示；随机变量的取值用小写字母x 、y 、z 等表示。

注意：(1) 随机变量()X ω是样本点ω的函数，其定义域为Ω，其值域为

(,)R =-∞+∞，若X 表示掷一颗骰子出现的点数，则{ 1.5}X =是不可能事件；

(2) 若X 为随机变量，则{}X k =、{}a X b <≤、…均为随机事件，即：

{}{:()}a X b a X b ωω<≤=<≤⊂Ω；

(3) 注意以下一些表达式：

{}{}{}X k X k X k ==≤-< {}{}{}a X b X b X a <≤=≤-≤ {}{}X b X b >=Ω-≤

(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量。 两类随机变量：

若随机变量X 可能取值的个数为有限个或可列个，则称X 为离散随机变量；

若随机变量X 的可能取值充满某个区间(,)a b ，则称X 为连续随机变量，其中a 可以是-∞，b 可以是+∞。前例2.1.1中的X 、Y 、Z 为离散随机变量；而T 为连续随机变量。

§2.1.2 随机变量的分布函数

定义2.1.2 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称

()()F x p X x =≤

为随机变量X 的分布函数，且称X 服从()F x ，记为~()X F x ，有时也可用()X F x 表明是X 的分布函数。

定理2.1.1 任一个分布函数()F x 都有如下三条基本性质：

(1) 单调性：()F x 是定义在整个实数轴(,)-∞+∞上的单调非减函数，即对任意的12x x ≤，有12()()F x F x ≤；

(2) 有界性：x ∀，有0()1F x ≤≤，且

()lim ()0x F F x →-∞

-∞==

()lim ()1x F F x →+∞

+∞==

(3) 右连续性：()F x 是x 的右连续函数，即对任意的0x ，有

00lim ()()x x F x F x +

→=

即：00(0)()F x F x +=。

注：(1) 上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件；

(2) 有了分布函数的定义，可以计算：

()()()p a X b F b F a <≤=- ()()(0)p X a F a F a ==-- ()1(0)p X b F b ≥=--等。

§2.1.3 离散随机变量的概率分布列

定义2.1.3 设X 是一个离散随机变量，如果X 的所有可能取值是1x 、2x 、…、n x 、…，则称X 取i x 的概率

()()i i i p p x p X x === (1,2,,)i n =L L

为X 的概率分布列或简称为分布列，记为{}~i X p 。

(1) 非负性：()0i p x ≥ (1,2,)i =L (2) 正则性：1()1i i p x +∞

==∑。

注：(1) 上述两条可以作为判断一个数列是否为分布列的充要条件； (2) 离散随机变量的分布函数为：()()i i x x

F x p x ≤=

∑。

求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值； (2) 计算每个取值点的概率。

对离散随机变量的分布函数应注意： (1) ()F x 是递增的阶梯函数；

(2) 其间断点均为右连续的；

(3) 其间断点即为X 的可能取值点；

(4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值。 例2.1.2 求X 解：

001301()121212x x F x x x <⎧⎪≤<⎪=⎨

≤<⎪⎪≤⎩。

例2.1.3 已知X 的分布函数如下，求X 的分布列？

000.401()0.8121

2x x F x x x

<⎧⎪≤<⎪=⎨

≤<⎪⎪≤⎩

解：X

§2.1.4 连续随机变量的概率密度函数

因为连续随机变量X 的可能取值充满某个区间(,)a b ，所以对连续随机变量

X ，有()0p X c ==，从而无法仿离散随机变量用()p X c =来描述连续随机变量X 的分布；

定义2.1.4 设随机变量X 的分布函数为()F x ，如果存在实数轴上的一个非负可积函数()p x ，使得对任意实数x ，有

()()x

F x p t dt -∞=⎰

则称X 为连续随机变量，称()p x 为X 的概率密度函数，简称为密度函数。

密度函数的基本性质： (1) 非负性：()0p x ≥； (2) 正则性：()1p x dx +∞-∞

=⎰

。

注：(1) 上述两条可以作为判断一个函数是否为密度函数的充要条件； (2) ()()b

a

p a X b p x dx ≤≤=⎰；

(3) ()F x 是(,)-∞+∞上的连续函数； (4) ()()(0)0p X x F x F x ==--=；

(5) ()()()()()()p a X b p a X b p a X b p a X b F b F a <≤=<<=≤<=≤≤=-； (6) 当()F x 在x 点可导时，()()p x F x '=，当()F x 在x 点不可导时，()0p x =。