氢原子的量子力学
氢原子能级
氢原子能级氢原子是最简单的原子系统之一，由一个质子和一个电子组成。
其电子围绕核心运动，而不同的电子轨道对应着不同的能级。
本文将介绍氢原子的能级结构，探讨其特性和相关的物理概念。
数据建模我们首先可以通过数学方法对氢原子的能级进行建模。
根据量子力学理论，氢原子的能级可以用以下方程表示：\[ E_n = -\frac{m_e e^4 Z^2}{2 \hbar^2 n^2} \]其中，\(E_n\) 表示第 n 能级的能量，\(m_e\) 是电子的质量，\(e\) 是基本电荷，\(Z\) 是原子序数（对于氢原子为1），\(\hbar\) 是约化普朗克常数，\(n\) 表示能级。
能级结构根据上述能量公式，我们可以计算出不同能级的能量值。
氢原子的能级是离散的，且具有以下特点：1.能级间距递减：氢原子的能级间距随着能级增加而减小。
这表现为不同能级之间的差值按照 \(~\frac{1}{n^2}\) 的比例递减。
2.基态能级：最低的能级称为基态，即 n=1 时的能级。
这是电子最稳定的状态，也是氢原子最常见的状态。
3.激发态：当电子受到外部能量激发时，它可以跳跃到更高的能级，形成激发态。
这些态相对不稳定，电子常常会回到基态释放能量。
能级转变氢原子的能级转变是物质吸收或发射光线时的基础。
当电子从高能级跃迁到低能级时，会释放光子能量。
反之，吸收光子能量的过程也与能级转变有关。
在氢原子中，能级转变的典型过程包括：1.吸收辐射：电子从低能级跃迁至高能级时吸收能量，这种现象通常用于激发原子。
2.自发辐射：电子自发跃迁至低能级时释放能量，导致光子的辐射。
3.受激辐射：当光子刺激原子跃迁时，光子与原子交换能量，导致受激辐射的发生。
应用与研究氢原子能级结构的研究对于光谱学、量子力学等领域有着重要意义。
科学家们通过对氢原子的能级分析，深入了解了原子内部结构和电子行为。
此外，氢原子的能级结构也在实际应用中有所体现，例如光谱分析、原子钟精度计算等都与氢原子的能级相关。
氢原子的薛定谔方程
氢原子的薛定谔方程在量子力学中，薛定谔方程是描述微观粒子运动的基本方程之一。
对于氢原子来说，薛定谔方程起着至关重要的作用，它能够描述氢原子中电子的运动状态和能级分布，为我们理解氢原子的结构和性质提供了重要依据。
氢原子由一个质子和一个围绕质子运动的电子组成。
在薛定谔方程中，波函数描述了电子的运动状态，包括位置和动量等信息。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中电子的能级和波函数，从而揭示出氢原子的量子性质。
薛定谔方程的解可以分解为径向部分和角向部分，分别描述了电子在氢原子中径向和角向的运动。
径向部分的解决定了氢原子中电子的轨道半径和能级，而角向部分则描述了电子在轨道上的运动方式。
通过这两部分的解，我们可以全面了解氢原子中电子的运动规律。
薛定谔方程的一个重要应用是计算氢原子的能级结构。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到氢原子中不同能级的能量和波函数。
这些能级决定了氢原子的光谱线，可以用来解释氢原子在不同波长下的吸收和发射现象。
因此，薛定谔方程的解不仅可以帮助我们理解氢原子的内部结构，还可以解释氢原子的光谱特性。
除了氢原子外，薛定谔方程还可以应用于其他原子和分子系统的研究。
通过对薛定谔方程的求解，我们可以得到不同原子和分子系统的波函数和能级，从而揭示它们的量子性质和相互作用规律。
这为我们研究原子和分子的结构、性质和反应机制提供了重要的理论基础。
总的来说，薛定谔方程是量子力学中的重要方程之一，对于理解氢原子和其他微观粒子系统的性质和行为具有重要意义。
通过求解薛定谔方程，我们可以揭示微观世界的奥秘，探索物质世界的微观规律，为科学技术的发展提供重要支持。
希望未来能有更多科学家通过对薛定谔方程的研究，揭示出更多微观世界的奥秘，推动人类对自然界的认识和探索。
量子力学：氢原子理论2
w00
w10
w1±1
§20.8 电子的自旋．泡利原理．原子的壳层结构
一．电子的自旋 电子绕核运动形成电流，因而具有 磁矩，称为轨道磁矩 Pm ，它和轨道角动 量 L 的关系为：
e
L
e Pm L 2m
Pm
因为角动量是量子化的，所以磁矩也是量子化
的
因为角动量是量子化的，所以磁矩也是量子化的 斯特恩－盖拉赫实验（1921）
nlm(r, , ) Rnl (r)lm ( )m ( ) Rnl (r)Ylm ( , )
其中： Rnl ( r ) 为径向函数； Ylm ( , ) 为球谐函数
简并度：同一个能级所对应的状态（波函数）称为能级 2 的简并度。氢原子，能级仅与n 有关，简并度：（ n ) 3、讨论： 波函数（空间）的解为： 这里：
目的是：对于任意给定的E 值，找出满足标准条件的 上述方程的解 ( r , , ) ，在求解过程中自然地得 到 E 0 束缚态 一些量子化条件。
令：
ψ(r,θ,) R(r)Θ(θ)Φ() Y ( , )
代入方程，分离变量
sin 2 θ d 2 dR 2m 2 e2 2 (r ) 2 r sin θ(E ) R dr dr 4πε0 r 1 d dΘ 1 d Φ sin θ ( sin θ ) Θ dθ dθ d 2
ms称为自旋磁量子数， ms : s, s 1,...s 1, s
它只能取两个值：
1 ms 2
1 Sz 2
电子除了轨道运动外，还有自旋运动。 关于原子中各个电子的运动状态，量子力 学给出的一般结论是：电子运动状态由四个量 子数决定； n＝1，2，3….它大体上决定了原子中 1）主量子数 n 总结
氢原子的量子力学理论
角量子数
角量子数（l）：描述电子在核周围的角动量，取值范围为0 到n-1的正整数。
角量子数决定了电子的角动量，进而影响电子云的形状和 方向。
磁量子数
磁量子数（m）：描述电子在磁场中的取向，取值范围为-l到l的正整数。
磁量子数决定了电子在磁场中的自旋方向和状态，是描述电子自旋状态的量子数 之一。
波函数具有全同性，即对于任意实数a和b，若将波函数中的x替换为ax+b， 其概率幅不变。
波函数具有连续性，即它在整个空间中是连续的，没有跳跃或间断点。
波函数具有周期性，即对于某些特定的能级，波函数可能呈现出周期性振 动的模式。
03
氢原子的波函数
径向波函数
定义
径向波函数描述了电子在核周 围不同半径的分布概率。
氢原子光谱在实验室和天文观测中都有广泛应用。在实验室中，可以通过控制氢原子所处的环境，如 温度、压力等，来研究其光谱特性，进而了解物质的基本性质。在天文学领域，通过对氢原子光谱的 观测和分析，可以研究宇宙中氢气分布、星系演化等重要问题。
原子钟
原子钟是一种利用原子能级跃迁频率 作为计时基准的精密计时仪器。其中， 氢原子钟是其中一种较为精准的原子 钟。
自旋量子数
自旋量子数（s）：描述电子的自旋状 态，取值范围为±1/2。
自旋量子数决定了电子的自旋方向， 是描述电子自旋状态的唯一量子数。
能级与能级间距
能级
由主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数共同决定，不同能级对应不同的能量状 态。
能级间距
相邻能级之间的能量差值，与主量子数和角量子数有关，随着主量子数的增加而减小。
量子力学是描述微观粒子运动规律的 物理学分支。
量子力学-氢原子和类氢离子
角动量及其算符(1)
9
二、角动量的本征值与本征函数（2）
角动量及其算符(2)
x r sin cos 在球坐标下， y r sin sin z r cos ˆ 则 l x i(sin cot cos ), ˆ l y i( cos cot sin ) ˆ l z i 形式简洁
( 2) ( 3)
对于任意函数f (r, θ, φ) （其中，r, θ, φ都是 x, y, z 的函数）则有： 将（1） 式两边分 别对 x y z 求偏导数 得： 将（2） 式两边分 别对 x y z 求偏导数 得：
r sin cos x r sin sin s y r cos z
d lm ( ) （1－cos ) P (cos ) m l d (cos ) 1 m ( ) exp(im ) 2
2 2 2 d | Y ( , ) | sin d 1 lm 0 0
4
|m| 2
m
一、氢原子(3)
2、氢原子能级图
6
一、氢原子波函数(5)
3、氢原子的能级简并度(2)
En n ,
2
n 1, 2,3, ,
l 0,1, 2, ,( n 1); m l , l 1, , l 1, l ; 波函数 nlm ( r, , ) Rnl ( r )Ylm ( , ) n 2，l 0,1 当l 0 m 0； 当l 1 m 1,0, 1, ( nlm) (200),(210),(211),(21 1) E2 200 R20Y00； 210 R21Y10； 211 R21Y11；
氢原子的量子力学描述电子自旋
荷兰物理学家塞曼发现，在强磁场中，一些元素的光谱线会发生分裂，分裂后 的线距与磁场强度有关。这一现象证明了电子具有自旋特性。
斯特恩-盖拉赫实验
德国物理学家斯特恩和盖拉赫通过实验发现，原子在强磁场中会发生偏转，偏 转方向与电子自旋方向有关。这一实验进一步证实了电子自旋的存在。
电子自旋的数学描述
05 氢原子量子力学与经典物 理的区别与联系
波粒二象性
总结词
波粒二象性是指量子力学中的基本特性，即粒子可以同时表现为波和粒子。在氢原子中，电子的波粒二象性表现 为其运动状态的波动性和粒子性。
详细描述
在经典物理中，物体被视为具有确定位置和速度的粒子，其运动轨迹可以精确描述。然而，在量子力学中，电子 等微观粒子被视为波和粒子的结合体，其位置和动量不能同时确定，而是存在不确定性。这种不确定性是由测不 准原理所限制的。
氢原子的量子力学描述电子自旋
目录
• 引言 • 电子自旋的发现与理解 • 氢原子的量子力学描述 • 电子自旋在氢原子中的应用 • 氢原子量子力学与经典物理的区别与联系 • 氢原子量子力学描述的实验验证与实际应
用 • 总结与展望
01 引言
氢原子简介
01
02
03
原子核
由一个质子组成，带正电 荷。
电子
电子自旋的量子化是量子力学的基本特征之一，对于理解物质的本质和性质具有重要意义。通过研究 氢原子的电子自旋，我们可以进一步探索其他复杂原子的电子自旋行为，为深入理解物质结构和性质 奠定基础。
对氢原子量子力学描述的进一步研究
氢原子是最简单的原子，其量子力学 描述相对较为简单。然而，对于更复 杂的原子和分子，其量子力学描述会 更加复杂。通过对氢原子量子力学描 述的进一步研究，我们可以探索更复 杂系统的量子力学行为，为解决实际 问题提供理论支持。
为什么量子力学氢原子基态n=1
量子力学是描述微观粒子行为的理论体系，它改变了人们对自然界的认识和理解。
氢原子是最简单的原子，由一个质子和一个电子组成，是研究原子结构和性质的重要模型。
在量子力学中，氢原子基态的能级被描述为n=1的状态，其特性受到广泛关注和研究。
本文将就为什么量子力学氢原子基态n=1进行探讨。
一、基态概念量子力学中，基态是指系统的最低能量状态。
对于氢原子而言，基态就是电子绕核旋转的最低能量状态，也是最稳定的状态。
基态的性质对于研究原子的结构和性质具有重要意义。
二、氢原子的基态能级1.氢原子的基态能级由原子的玻尔模型和量子力学给出。
2.玻尔模型通过经典物理的方法描述了氢原子的基态能级，但是无法描述大量实验现象。
3.量子力学将氢原子的基态描述为能级为-13.6电子伏特的状态，这个描述符合实验现象，更加精确。
三、基态n=1的性质1.基态n=1对应于氢原子最低能级的状态，这意味着电子距离原子核最近，具有最低的能量。
2.基态n=1的波函数是通过求解薛定谔方程获得的，描述了电子在基态下的运动和分布。
3.基态n=1还具有特定的角动量和自旋性质，这些性质影响着基态下氢原子的行为和相互作用。
四、基态n=1的研究意义1.研究基态n=1有助于深入理解氢原子的结构和性质，为原子物理和化学领域提供重要的理论基础。
2.基态n=1的研究可帮助科学家更好地探索和利用量子效应，拓展量子技术的应用范围。
3.氢原子基态的研究也有助于揭示基本粒子和宇宙的起源和演化规律。
五、未来展望1.随着实验技术和计算能力的提升，人们对氢原子基态的研究将更加深入和精确。
2.未来可以通过更精密的实验手段和更先进的理论模型来验证和理解基态n=1的特性。
3.量子技术的发展也将为基态n=1的研究提供更多机会和挑战。
量子力学氢原子基态n=1的研究对于推动原子物理和量子技术发展具有重要意义，也有助于揭示自然界微观世界的奥秘，值得科学家和研究人员进一步探索和挖掘。
六、氢原子基态n=1的实验研究量子力学氢原子基态n=1的理论研究为相应的实验提供了重要的指导和验证依据。
氢原子量子力学理论
由此得到三个量子数 n、l、m
确定氢原子定态波函数的三个量子数n、l、m
（1）主量子数 n
me e4 1 En , n 1, 2, 3, 2 2 2 2(4 0 ) n
（2）角量子数 l 对于一个确定的 n 值，l = 0，1，2，…，n - 1，λ = l(l+1) 氢原子系统的轨道角动量 p l (l 1)
角量子数:
l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值
氢原子的基态波函数：
1 r a0 100 (r ) e a03 2 三个量子数n, l, m:
n：主量子数； l：角量子数； l 0,1, 2,3,..., n 1, 共n个值 m：磁量子数； m 0, 1, 2,..., (l 1), 共2l 1个值
2 Wnl (r) Rnl (r)r 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
电子的角分布
Wlm ( , ) | Ylm ( , ) |2
设在空间（r,θ ,φ ）处体积元 dV 处发现电 子的几率为 Wnlm (r, , )dV
Wnlm (r , , )r sin drd d | nlm (r , , ) | r sin drd d
氢原子的量子力学理论
1926年，Erwin Schrodinger给出了 一个微观粒子在势场U(r,t)低速时波函数满 足的方程，称为薛定谔方程
2 2 i (r , t ) U (r , t ) (r , t ) t 2m
玻恩给出了波函数的概率解释
氢原子是两体问题，可以通过坐标的选取化 为折合质量为m=memp/(me+mp)的单体问题， 从而给出其薛定谔方程。 氢原子中的电子在核电场中运动，其电势能为：
第六节 量子力学对氢原子的描述(原子物理中的)
Y
Z
对于p态 l 对于 态(l=1,m=0,±1） ± ρy
3 = 3 cos2 θ cos θ ω10 = 4π 4π
2
X
X Y
2
Z
X
Z
ω11 = Y 11
2
3 3 2 iϕ sinθe = sin θ = 8π 8π
2
ρx
Z
X
Y
Z
ω1−1 = Y1−1
2 2 2 0 ∞
π 2π
0 0
∫
Y(θ,ϕ) sin θdθdϕ
2
∞
∫R
0
π
2 nl
(r)r dr =1
2
2Z (n −l −1)! Cnl = − na 2n[(n +l)!]3 0
3
1 2
2 n
l
∫ Θlm(θ) sin θdθ =1
x= r sinθcosϕ θ ϕ
cosθ = z/r θ tgϕ = y/x ϕ r2=x2+y2+z2
将上三式写成球极坐标形式： 将上三式写成球极坐标形式：
ˆ L x = i h (sin ˆ L
y= r sinθsinϕ θ ϕ z= r cosθ θ
ϕ
∂ ∂ + cot θ cos ϕ ) ∂ϕ ∂θ ∂ ∂θ
H χ Hδ
4341 4102
波长埃
巴尔末线系的前4 巴尔末线系的前4条谱线
氢光谱
证明存在能级的实验
原子的线状光谱 夫兰克——赫兹实验 夫兰克——赫兹实验
2）角动量 ）
将上式写成分量算符的形式
ˆ = y p − zp = − ih ( y ∂ − z ∂ ) ˆz ˆy Lx ∂y ∂z
大学课件 量子力学 氢原子
c[ d 1 * Fˆ 2 d (Fˆ 1 ) * 2 ] c * [ d (Fˆ 2 ) * 1 d 2 * Fˆ 1 ]
令c = 1，得：
d 1 * Fˆ 2 d (Fˆ 1 ) * 2 d (Fˆ 2 ) * 1 d 2 * Fˆ 1
令c = i，得：
[ d 1 * Fˆ 1 ]* | c |2 [ d 2 * Fˆ 2 ]* c * d (Fˆ 2 ) * 1 c d (Fˆ 1 ) * 2
左式=右式 d 1 * Fˆ 1 | c |2 d 2 * Fˆ 2 c * d 2 * Fˆ 1 c d 1 * Fˆ 2
2
2
r 2
(r )
V
(
r
)
(r )
E
(r )
问题的求解上一节已经
解决，只要令： Z = 1, 是折合质量即可。于 是氢原子能级和相应的本 征函数是：
e4
En 22n2
n 1,2,3,
nlm
(r )
Rnl
(r )Ylm
(
,
)
V(r) e2 r
r x2 y2 z2
（I）能级
1. 基态及电离能
[ r] re 3/ 2 2
1
1
1 3 a0
r
27 3 81 3a0 a0
R31(r)
2 a0
( r ) e 3/ 2 1 1 81 15 a0
2
3
1 a0
r
W10 (r ) R102 (r )r 2 r e 4 2 2r / a0
a03
的归一化
求最可几半径极值
dW10(r ) dr
4 a03
（1）二体问题的处理
（I）基本考虑 二体运动动, 二粒子作为一个整体的质心运动。
量子力学课件(9)(氢原子)
（2）波函数及其能级的简并度
1.氢原子的波函数
n =1
2 R10 = a3/ 2 e−r / a
n=2 R20 (r) = 2( R21(r) = ( n =3 R30 (r) = 2( R31(r) = (
1 3/2 3a 1 3/2 2a
)
(2 − r)e
1 a
− 21a r
1 1 3/2 1 r − 2a r 2a 3 a
F1
1.0
0.8
0.6
w(r)
0.4 0.2 0.0 0 2 4 6 8 10
r/a
0.6
F1 F2
0.5
0.4
w(r)
0.3
0.2
0.1
0.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
r/a
0.6
0.5
1s 2s 3s
0.4
w(r)
0.3
0.2
0.1
0.0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32
线系的理论解释。 即所谓 Pickering 线系的理论解释。
原子中的电流和磁矩
（1）原子中的电流密度
电子在原子内部运动形 成了电流， 成了电流，其电流密度 代入 球坐标 中梯度 表示式
ψ nlm = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ )
原子处 于定态
r r ih J e = − eJ = − e [ψ nlm ∇ ψ nlm * −ψ nlm * ∇ ψ nlm ] 2µ
)
e
)
[1−
2 r 3a
r + ( ) ]e
2 r 2 27 a
−31a r
近代物理量子5-氢原子的量子理论,电子自旋
l = 0, 1, 2, 3, …, n-1 称为角量子数(副量子数)。
对同一个 n , 角动量有n个不同的值
定义L为角动量是因为 h 具有角动量的量纲， 并不需要有轨道的概念。
当n 1时，l 0，L 0，即电子处于 基态时角动量为零。 玻尔理论：
L n h n
2
n 1,2,3...
5.求出概率密度分布及其他力学量
一、氢原子的量子力学处理
1.氢原子的定态薛定谔方程
[
22Βιβλιοθήκη U (r )]( r )
E (r )
2m
氢原子中电子的电势能 U e2
4π 0 r
U和方向无关 为中心力场U( r )
z
球坐标 x r sin cos
y r sin sin
z r cos
y
x
在球坐标中的薛定谔方程
而且计算得到的两条沉积线之间的距离 也与实验符合得很好。
讨论 四个量子数 • 电子的状态用量子数 n , l , ml 描述
考虑自旋后 还有2种可能 相当于还需一个自由度来表征
• 所以 电子的状态应用n，l，ml ，ms描述
（1）主量子数 n：n =1，2，3……，可以大体上决
定原子中电子的能量。
1900-1958 1945年诺贝尔物理
学奖获得者
半年后，荷兰物理学家埃斯费斯特的两个学生乌仑贝克和 高斯密特在不知上述情形下，也提出了同样的想法，并写了 一篇论文，请埃斯费斯特推荐给“自然”杂志。接着又去找 洛仑兹，一周后，洛仑兹交给他们一叠稿纸。并告诉他们， 如果电子自旋，其表面速度将超过光速，但论文已寄出，他 们后悔不已。
1921年史特恩---盖拉赫进行的实验是证明角动量空间量 子化的首例实验，是原子物理学最重要的实验之一 。
氢原子的px状态,磁量子数为多少
氢原子是一个非常重要的量子系统，它的波函数可以用数学的形式描述，同时在研究原子的性质时也有很高的实用价值。
在氢原子的波函数中，px状态是其中一种状态，它对应着原子的一个特定的角动量量子数。
1. px状态的描述在量子力学中，氢原子的px状态是指原子的波函数在x轴方向上的分布情况。
在三维直角坐标系中，px状态对应着原子波函数在x轴方向上的变化规律。
具体来说，px状态的波函数可以用数学公式描述为ψpx(x, y, z) = NpxHpx(x)e^(-r/na)，其中ψpx表示px状态的波函数，Npx是归一化常数，Hpx(x)是关于位置坐标x的函数，r表示原子的径向位置，a是玻尔半径。
通过这个波函数公式，可以清晰地了解氢原子的px状态在空间中的分布情况。
2. px状态的磁量子数在氢原子波函数中，除了描述位置坐标的部分，还有描述角动量的部分。
而描述角动量的部分可以用一个量子数来表示，这个量子数就是磁量子数。
对于px状态来说，它的磁量子数的取值可以通过简单的计算得到。
根据量子力学的原理，角动量量子数l和磁量子数m的取值范围分别是l=0,1,2,...,n-1，m=-l,-l+1,...,0,...,+l。
对于px状态来说，它的角动量量子数l=1，根据这个情况，可以推算出px状态的磁量子数m的取值范围是m=-1,0,1。
这个结果告诉我们，在px状态下，原子的角动量在x轴方向上的投影只能取这三个特定的值，不能取其他的值。
这个结论对于研究氢原子的性质和特性具有很高的意义。
3. px状态的性质和意义px状态是氢原子波函数的一种特殊形式，它对应着原子在x轴方向上的波函数分布情况。
通过对px状态的研究，可以深入了解氢原子波函数的特性和规律。
px状态的磁量子数的取值范围也是研究原子角动量的一个重要方面。
角动量的取值对于原子的能级结构和光谱特性都有很大的影响，因此对px状态的磁量子数的研究对于理解原子的性质和行为有着重要意义。
氢原子能级跃迁知识点
氢原子能级跃迁知识点氢原子能级跃迁是指氢原子中电子从一个能级跃迁到另一个能级的过程。
这种跃迁是由于电子吸收或发射光子引起的。
氢原子能级跃迁是量子力学的基础知识，研究氢原子的能级跃迁可以帮助我们理解和解释氢原子的光谱和能级结构。
氢原子是最简单的原子，它只包含一个质子和一个电子。
氢原子的电子绕着质子旋转，根据量子力学的理论，电子只能处于特定的能级上，而不能处于能级之间的状态。
氢原子的能级由能量量子数n来表示，能级与n的关系为En=-13.6/n^2电子跃迁的过程可以分为两种类型：吸收光子导致的激发跃迁和自发辐射导致的退激跃迁。
吸收光子导致的激发跃迁是指当光子的能量等于原子能级之间的能量差时，电子可以从低能级跃迁到高能级。
这种跃迁过程会吸收光子的能量，使原子处于激发态。
激发态的原子可能会经过一段时间后自发退激，返回到低能级，而发射一个光子。
激发和退激的能级差导致的光谱被称为发射光谱。
自发辐射导致的退激跃迁是指原子在激发态下逐渐大概率地退激到基态的过程。
激发态的原子在短暂的时间内停留在激发态，然后以一定的几率退激到基态。
这种退激跃迁是随机的，没有外界光子的作用。
退激的能级差导致的光谱被称为吸收光谱。
氢原子的能级跃迁可以通过光谱进行观测和研究。
当光通过氢原子时，会与原子间相互作用，吸收或发射特定频率的光子。
这些特定的频率对应于原子能级之间的能量差。
通过测量被吸收或发射的光子频率和强度，可以确定氢原子的能级结构。
氢原子能级跃迁的研究对于理解和解释氢原子光谱具有重要意义。
氢原子的光谱包含了一系列的谱线，这些谱线对应于氢原子能级之间的跃迁。
氢原子的光谱被广泛应用于物理、化学和天体物理学中。
例如，氢原子光谱的分析可以用于测定星系的距离和化学成分，也可以用于研究物质的电子结构和分子光谱。
总之，氢原子能级跃迁是氢原子中电子从一个能级跃迁到另一个能级的过程。
这种跃迁可以通过吸收或发射光子引起，涉及了激发和退激的过程。
氢原子能级跃迁的研究对于理解和解释氢原子的光谱和能级结构具有重要意义。
原子物理课件 第6节 量子力学对氢原子的描述
5.同前
H n,l,m E n,l,m
L2 n,l ,m
l(l
1)2 n,l,m
Lz n,l,m m n,l,m
三个量子数n（主量子数），l（角量子数），m（磁量子数） 与状态Ψ n,l,m有一一对应关系，为了简单，我们常用量子数(n， l，m)表征量子态Ψ n,l,m。
对于每一个给定的主量子数n，角量子数可以取n个值：0、1、 2、…，n－1；对于每一个确定的l值，磁量子数m取2l＋1个值： －l、－（l－1）， … （l－1）、 l。氢原子的能量只与n有关， 所以是简并的，其简并度为
数
1.决定角动
Lz
m
量的Z分量的 大小
2.决定LZ大 小是量子化
的
0, ±1, ±2
…±
Ylm ( ) 2
3.决定某一 电子云在空 间伸展方向 是量子化的
4.决定磁距 的Z分量
z
mB
5.在外磁场 中与能量有
关
1.同前
P n
0, ±1,
n ±2…
±n
z n B
2.同前
3.电子轨 道角动量 在空间的 取向或轨 道平面在 空间的方 位是量子 化的
i
Ae im
mAeim m
Lz m m l,l 1, , l
总角动量L在z 轴方向的分量Lz也是量子化的
1 r2
d dr
(r 2
dR ) dr
2m
2
(E
Ze2 )
4πε0r
r2
R
0
(1)
Rn,l,m (r)
s in
Θ
d
d
(sin
dΘ ) sin 2 d
1
量子力学课件(9)(氢原子)
类氢离子
以上结果对于类氢离子（He+, Li++, Be+++ 等）也 都适用，只要把核电荷 +e 换成 Ze，μ 换成相应 的折合质量即可。类氢离子的能级公式为：
En
e4 Z 2
2
2
n
2
n 1, 2,3,
即所谓 Pickering 线系的理论解释。
原子中的电流和磁矩
（1）原子中的电流密度
21a r
3 1/ 2 z 3/ 2 1 zr r 2 p 211 R210Y11 a 2 6 a e 8 sin ei 3 1/ 2 z 3/ 2 1 zr r 2 p 211 R210Y11 a 2 6 a e 8 sin ei
假设存在
(r, , ) R(r )Ylm ( , )
代入上式，可以化解为一个径向的常微分 方程：
1 2 l (l 1) 2 e2 [ r ]R(r ) ER(r ) 2 2 2me r r 2me r 4 0r
2
对于E〈0的情形，常微分方程的本征函数 和本征值有解析解，详细见附录C
Z
z
y
x z
例3. = 1, m = 0 时，W1,0() = {3/4π} cos2。正好与例2相反，在 = 0时，最大； 在 =π/2时，等于零。
y
x
m = +2
m = +1
m=0
=2
m = -2
m = -1
11.5 波函数
T=0时，氢原子被制备在本征态：
nlm (r, , ) Rnl (r )Ylm ( , )
氢原子薛定谔方程
氢原子薛定谔方程介绍薛定谔方程是量子力学中的基础方程之一，描述了微观粒子的行为。
在氢原子中，薛定谔方程被广泛应用于描述电子在氢原子中的运动。
本文将深入探讨氢原子薛定谔方程的内容。
氢原子的结构氢原子由一个质子和一个电子组成。
质子带正电荷，电子带负电荷，两者之间形成了一个静电力场。
电子在这个静电力场中运动，其行为可以用薛定谔方程来描述。
薛定谔方程的形式薛定谔方程可以写为：Ĥψ=Eψ其中，Ĥ是哈密顿算符，ψ是波函数，E是能量。
波函数的解释波函数ψ描述了电子在空间中的分布情况。
根据波函数的模的平方|ψ|2，可以得到电子在不同位置上的概率密度分布。
波函数本身是复数，其实部和虚部分别表示了不同的物理量。
分离变量法对于氢原子，可以使用分离变量法来求解薛定谔方程。
假设波函数可以写成一个径向部分和一个角向部分的乘积形式：ψ(r,θ,ϕ)=R(r)⋅Y(θ,ϕ)将波函数代入薛定谔方程，并对两个变量r和θ,ϕ分别进行分离变量，可以得到一系列关于r的径向方程和关于θ,ϕ的角向方程。
径向方程的求解径向方程可以写为：1 r2ddr(r2dRdr)+[2mℏ2(E−e24πε0r)−l(l+1)r2]R=0其中，m是电子的质量，ε0是真空介电常数，l是角量子数。
径向方程的解是球贝塞尔函数和球贝塞尔函数的导数的线性组合。
角向方程的求解角向方程可以写为：1 sinθddθ(sinθdYdθ)+[l(l+1)−m2sin2θ]Y=0其中，m是磁量子数。
角向方程的解是球谐函数。
能级和轨道通过求解径向方程和角向方程，可以得到一系列解。
每个解对应一个能级和一个轨道。
能级是电子的能量，轨道描述了电子在空间中的运动。
数值求解和定态波函数对于复杂的情况，无法通过解析方法得到薛定谔方程的解。
此时可以使用数值方法进行求解，例如使用数值计算软件。
通过数值求解可以得到氢原子的定态波函数。
结论氢原子薛定谔方程是描述氢原子中电子行为的基础方程。
通过求解薛定谔方程，可以得到氢原子的能级和轨道。
氢原子的量子力学描述
氢原子的量子力学描述氢原子是最简单的原子，也是量子力学的经典案例之一。
在量子力学的描述中，氢原子的性质可以通过薛定谔方程来研究。
本文将从波函数、能级、角动量等方面对氢原子的量子力学描述进行详细介绍。
我们来介绍氢原子的波函数。
波函数是描述粒子在空间中的概率幅的函数。
对于氢原子而言，其波函数可以通过求解薛定谔方程得到。
波函数的模的平方表示了粒子存在于某一位置的概率密度。
对于氢原子而言，其波函数有一些特殊的解，分别对应不同的能级。
这些能级由主量子数n来标记，其中n=1,2,3...。
每个能级对应的波函数都具有特定的空间分布，这些分布在球坐标系中可以用球谐函数来描述。
接下来，我们来介绍氢原子的能级。
根据量子力学的理论，氢原子的能级可以通过求解薛定谔方程得到。
能级的大小由主量子数n来决定，能级越高，主量子数n的值越大。
每个能级都具有固定的能量，能量越高，能级越远离原子核。
而能级之间的能量差是不连续的，这就是量子力学的离散性质。
除了能级外，氢原子还具有角动量。
角动量是描述粒子旋转运动的物理量，对于氢原子而言，其角动量由轨道角动量和自旋角动量两部分组成。
轨道角动量是由电子围绕原子核运动而产生的，而自旋角动量是电子自身的固有性质。
氢原子的轨道角动量由量子数l来标记，其取值范围为0到n-1，其中n为主量子数。
自旋角动量由量子数s来标记，其取值为1/2。
这些角动量的取值对应着不同的能级和波函数，它们在氢原子的能级结构中起到重要的作用。
总的来说，氢原子的量子力学描述涉及到波函数、能级和角动量等方面。
波函数可以描述粒子在空间中的分布情况，能级则决定了粒子的能量和空间分布，而角动量则描述了粒子的旋转运动。
这些描述对于理解氢原子的性质和行为具有重要的意义，也为量子力学的发展提供了重要的范例。
通过对氢原子的量子力学描述的研究，我们可以更好地理解量子世界的奥秘。
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]Θ
=0
（2）
12
用分离变量法解此方程，设解为： = R ( r )Θ (θ )Φ (φ ） ψ （ r,θ ,φ ） 代入方程分别得三个微分方程：
dΦ + m 2 2 lΦ = 0 dt 1 d d Θ l ( l +1) sin [ ( ) + θ sin d θ θ d θ
2 1 d 2dR 2m e r ( ) + 2 2 [E + h r dr dr 4 π ε r
53
=0
量子力学对塞曼效应的解释
dΦ + m 2 （1） 2 lΦ = 0 dt 在求解方程（1）时，Φ (φ ) 必须满足标准 条件，自然得到 m l 只能取0，或正负整数 ml ] 0 2 = Θ sinθ 在求解上述方程时，得到的解要求 m l l
54
2
值。 1 d sin d Θ l ( l +1) [ ( ) + θ sin d θ θ d θ
n =4 4s n =5 5s
4p
5p
4d
5d
4f
5f 5g
31
氢原子内电子的状态 l=0 l=0l=0 l=0 l=0 l=0 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s n =3 3s 2p 3p 3d
n =4 4s n =5 5s n =6 6s
4p
5p
4d
h μ ν
0
β
B
1 E +μ β B l 0 E l E 1 μβ B
0 0 0
l
E0
f
ν
(μ β =
0
ν
0
eB 4π m
ν
0
ν
eB 0+ 4π m
39
eh ) 玻尔磁子 2m e
索末菲用玻尔轨道模型 对塞曼效应的解释
40
索末菲用玻尔轨道模型 对塞曼效应的解释
根据电磁理论，绕 核作轨道运动的电子相 当一圆电流，
29
氢原子内电子的状态 l=0 l=0l=0 l=0 l=0 l=0 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s n =3 3s 2p 3p 3d
n =4 4s
4p
4d
4f
30
氢原子内电子的状态 l=0 l=0l=0 l=0 l=0 l=0 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s n =3 3s 2p 3p 3d
0 21
三、角动量量子化
22
三、角动量量子化
可以证明，当角动量为下式给出时，方程 （2），（3）才有解
23
三、角动量量子化
可以证明，当角动量为下式给出时，方程 （2），（3）才有解 L = l ( l +1) h ( l = 0,1,2,..., n 1 )
24
三、角动量量子化
可以证明，当角动量为下式给出时，方程 （2），（3）才有解 L = l ( l +1) h ( l = 0,1,2,..., n 1 ) 这说明角动量只能取由l 决定的一系列分立值， 即角动量也是量子化的。
48
μ
量子力学对塞曼效应的解释
49
量子力学对塞曼效应的解释
dΦ + m 2 2 lΦ = 0 dt
2
（1）
50
量子力学对塞曼效应的解释
dΦ + m 2 （1） 2 lΦ = 0 dt 在求解方程（1）时，Φ (φ ) 必须满足标准 条件，
2
51
量子力学对塞曼效应的解释
dΦ + m 2 （1） 2 lΦ = 0 dt 在求解方程（1）时，Φ (φ ) 必须满足标准 条件，自然得到 m l 只能取0，或正负整数 值。
0 20
二、能量量子化 可以证明，在求解方程（1）及（2）时 为了满足 波函数的标准条件， m l 只能取值 m l = 0, + 1, + 2,..., + l l 只能取值 l = 0,1,2,..., 当 E < 0 时为了使 R ( r ) 满足标准条件， 求得 E 必须等于： 4 1 me En= ( 2 2 2 ) ( ) n 4π 2h ε 式中只能取 n l +1 的各正整数值。 n 称为主量子数。
x 在球坐标中的薛定谔方程为： 2 ψ 1 1 ψ r + sin ( ) ( ) 2 2 θ r r r r sinθ θ θ 2 2 1 ψ 2m e + 2 2 + 2 (E + )ψ = 0 2 h r sinθ φ 4πε 0 r
7
φ
y
用分离变量法解此方程，设解为：
8
用分离变量法解此方程，设解为： = R ( r )Θ (θ )Φ (φ ） ψ （ r,θ ,φ ）
27
氢原子内电子的状态 l=0 l=0l=0 l=0 l=0 l=0 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s 2p
28
氢原子内电子的状态 l=0 l=0l=0 l=0 l=0 l=0 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s n =2 2s n =3 3s 2p 3p 3d
L B Lz
θ
e
μ =
e L 2m
43
μ
在外磁场作用下，电子的角动 量 L 绕外磁场B 作进动。 L θ e
B Lz
μ
44
在外磁场作用下，电子的角动 B 量 L 绕外磁场B 作进动。夹角 L Lz θ 保持不变， θ e
μ
45
在外磁场作用下，电子的角动 B 量 L 绕外磁场B 作进动。夹角 L Lz θ 保持不变，角动量在外磁场 θ 方向上的分量 L z= L cosθ e 也保持不变，
2
m l 的取值决定电子角动量 L 在外磁场方向 上的投影 L z 的大小，
55
m l 的取值决定电子角动量 L 在外磁场方向 上的投影 L z 的大小，即： Lz = m l h ( m l = 0, + 1, + 2,..., + l )
56
m l 的取值决定电子角动量 L 在外磁场方向 上的投影 L z 的大小，即： Lz = m l h ( m l = 0, + 1, + 2,..., + l )
18-5 氢原子的量子力学处理方法
一、氢原子的薛定谔方程
氢原子带电系统的势能为：
V=
其定态薛定谔方程为：
4 πε o r
2
e
2
2
ψ
用球坐标 ( r ,θ ,φ ) 代替直角坐标（x,y,z)
1
2m e + h2 ( E + 4 πε o r
Δ
) ψ
=0
z
电子
θ
原子核
r
x
φ
y
2
x = r sin θ cos φ
2
52
量子力学对塞曼效应的解释
dΦ + m 2 （1） 2 lΦ = 0 dt 在求解方程（1）时，Φ (φ ) 必须满足标准 条件，自然得到 m l 只能取0，或正负整数 值。 1 d sin d Θ l ( l +1) [ ( ) + θ sin d θ θ d θ ml 2 sinθ
2 2
]Θ
16
二、能量量子化 可以证明，在求解方程（1）及（2）时 为了满足 波函数的标准条件， m l 只能取值 m l = 0, + 1, + 2,..., + l l 只能取值 l = 0,1,2,...,
17
二、能量量子化 可以证明，在求解方程（1）及（2）时 为了满足 波函数的标准条件， m l 只能取值 m l = 0, + 1, + 2,..., + l l 只能取值 l = 0,1,2,..., 当 E < 0 时为了使 R ( r ) 满足标准条件， 求得 E 必须等于：
0
2
（1）
ml 2 sinθ
2
]Θ
=0
（2） h 2 l ( l +1) 0 ] R = 2 2m r （3）
13
二、能量量子化
14
二、能量量子化 可以证明，在求解方程（1）及（2）时 为了满足 波函数的标准条件，
15
二、能量量子化 可以证明，在求解方程（1）及（2）时 为了满足 波函数的标准条件， m l 只能取值 m l = 0, + 1, + 2,..., + l
25
三、角动量量子化
可以证明，当角动量为下式给出时，方程 （2），（3）才有解 L = l ( l +1) h ( l = 0,1,2,..., n 1 ) 这说明角动量只能取由l 决定的一系列分立值， 即角动量也是量子化的。 称l 为副量子数，或角量子数 。
26
氢原子内电子的状态 l=0 l=0l=0 l=0 l=0 l=0 (s) (p) (d) (f) (g) (h) n =1 1s
x
φ
y
5
x = r sin θ cos φ y = r sin θ sinφ z = r cos θ
z
电子
θ
原子核
r
( r：电子到核的距离）
x 在球坐标中的薛定谔方程为：
φ
y
6
x = r sin θ cos φ y = r sin θ sinφ z = r cos θ
z
电子
θ
原子核
r
( r：电子到核的距离）
μ
46
在外磁场作用下，电子的角动 B 量 L 绕外磁场B 作进动。夹角 L Lz θ 保持不变，角动量在外磁场 θ 方向上的分量 L z= L cosθ e 也保持不变，索末菲认为 L z 和θ 只能取量子化的值。