大学物理 第3章刚体力学基础(完全版)
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大学物理课件第3章-刚体
究力的平衡和静力问题。
刚体的分类总结
根据是否可以发生平动或转动， 可以将刚体分为可动刚体和固定 刚体两类。不同类型的刚体在研 究力和运动关系时具有不同的应
用场景和特点。
02
刚体的运动
平动
01
02
03
平动定义
刚体在运动过程中，其上 任意两点都保持相对位置 不变的运动。
平动特点
刚体上任意两点在运动过 程中保持相对位置不变， 刚体整体做平行移动，没 有发生旋转。
刚体的稳定性
总结词
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保 持原有平衡状态的能力。
VS
详细描述
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保持 原有平衡状态的能力。如果外力较小，刚 体能够恢复到原来的平衡状态，则称该平 衡状态是稳定的。反之，如果外力较小， 刚体不能恢复到原来的平衡状态，则称该 平衡状态是不稳定的。刚体的稳定性可以 通过对平衡状态的稳定性进行分析来确定 。
刚体的性质总结
刚体的性质包括不发生形变、具有无限大的弹性和重心位 置不变。这些性质使得刚体成为研究力和运动关系的理想 化模型。
刚体的分类
可动刚体
可动刚体是指可以发生平动或转 动的刚体。这类刚体通常用于研 究物体的运动状态和力的作用效
果。
固定刚体
固定刚体是指形状和大小始终不 变的刚体。这类刚体通常用于研
06
刚体的应用
刚体在日常生活中的应用
钟表
钟表内部的齿轮、指针等都是刚 体，其运动规律符合刚体的运动
定理。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
交通工具
自行车、汽车、火车等交通工具中 的轮子、轴承等都是刚体，其运动 规律符合刚体的运动定理。
家居用品
家具如椅子、桌子等，其结构大多 由刚体组成，符合刚体的运动定理 。
刚体的分类总结
根据是否可以发生平动或转动， 可以将刚体分为可动刚体和固定 刚体两类。不同类型的刚体在研 究力和运动关系时具有不同的应
用场景和特点。
02
刚体的运动
平动
01
02
03
平动定义
刚体在运动过程中，其上 任意两点都保持相对位置 不变的运动。
平动特点
刚体上任意两点在运动过 程中保持相对位置不变， 刚体整体做平行移动，没 有发生旋转。
刚体的稳定性
总结词
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保 持原有平衡状态的能力。
VS
详细描述
刚体的稳定性是指刚体在外力作用下保持 原有平衡状态的能力。如果外力较小，刚 体能够恢复到原来的平衡状态，则称该平 衡状态是稳定的。反之，如果外力较小， 刚体不能恢复到原来的平衡状态，则称该 平衡状态是不稳定的。刚体的稳定性可以 通过对平衡状态的稳定性进行分析来确定 。
刚体的性质总结
刚体的性质包括不发生形变、具有无限大的弹性和重心位 置不变。这些性质使得刚体成为研究力和运动关系的理想 化模型。
刚体的分类
可动刚体
可动刚体是指可以发生平动或转 动的刚体。这类刚体通常用于研 究物体的运动状态和力的作用效
果。
固定刚体
固定刚体是指形状和大小始终不 变的刚体。这类刚体通常用于研
06
刚体的应用
刚体在日常生活中的应用
钟表
钟表内部的齿轮、指针等都是刚 体，其运动规律符合刚体的运动
定理。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
交通工具
自行车、汽车、火车等交通工具中 的轮子、轴承等都是刚体，其运动 规律符合刚体的运动定理。
家居用品
家具如椅子、桌子等，其结构大多 由刚体组成，符合刚体的运动定理 。
大学物理教程课件讲义刚体力学基础
图3.13 例3.4图
3.2 刚体的定轴转动定律
例3.5 一根长为l，质 量为m的均匀细杆，可绕通过 其一端且与杆垂直的光滑水 平轴转动，如图3.14所示， 将杆由水平位置静止释放， 求它下摆到角度为θ 时
的角加速度和角速度。
图3.14 例3.5图
3.2 刚体的定轴转动定律
3.3 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.4.5
1.刚体定轴转动的功能原理
如果刚体在定轴转动中除受到外力矩外，还受到 保守力矩的作用，而在刚体的定轴转动中，涉及的势 能主要是重力势能。所以，保守力只考虑重力，当系 统取地球和刚体时，式(3-22) 可写为
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.2 刚体的定轴转动定律
图3.12 平行轴定理
3.2 刚体的定轴转动定律
以上例子是根据转动惯量的定义式（3-5）计算规则几 何形状的刚体的转动惯量，对于几何形状较复杂的刚体通 常要用实验测定。表3.1列出几种几何形状简单、规则、密 度均匀的物体对通过质心的不同转轴的转动惯量。
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2.3 力对转轴的力矩
图3.9 转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
由转动定律的表达式M=Jβ可以看出，在相同的外力矩作 用下，刚体的转动惯量J越大，刚体所获得的角加速度β越小， 则刚体的转动状态不易改变；刚体的转动惯量J越小，刚体所获 得的角加速度β越大，刚体的转动状态容易发生变化。转动惯 量J是和质量m相对应的物理量，物体的质量m是质点的平动惯性 的量度，而刚体的转动惯量J是刚体转动惯性的量度。
3.2 刚体的定轴转动定律
例3.5 一根长为l，质 量为m的均匀细杆，可绕通过 其一端且与杆垂直的光滑水 平轴转动，如图3.14所示， 将杆由水平位置静止释放， 求它下摆到角度为θ 时
的角加速度和角速度。
图3.14 例3.5图
3.2 刚体的定轴转动定律
3.3 刚体定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.4.5
1.刚体定轴转动的功能原理
如果刚体在定轴转动中除受到外力矩外，还受到 保守力矩的作用，而在刚体的定轴转动中，涉及的势 能主要是重力势能。所以，保守力只考虑重力，当系 统取地球和刚体时，式(3-22) 可写为
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.4 刚体定轴转动的动能定理
3.2 刚体的定轴转动定律
图3.12 平行轴定理
3.2 刚体的定轴转动定律
以上例子是根据转动惯量的定义式（3-5）计算规则几 何形状的刚体的转动惯量，对于几何形状较复杂的刚体通 常要用实验测定。表3.1列出几种几何形状简单、规则、密 度均匀的物体对通过质心的不同转轴的转动惯量。
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2.3 力对转轴的力矩
图3.9 转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
3.2 刚体的定轴转动定律
由转动定律的表达式M=Jβ可以看出，在相同的外力矩作 用下，刚体的转动惯量J越大，刚体所获得的角加速度β越小， 则刚体的转动状态不易改变；刚体的转动惯量J越小，刚体所获 得的角加速度β越大，刚体的转动状态容易发生变化。转动惯 量J是和质量m相对应的物理量，物体的质量m是质点的平动惯性 的量度，而刚体的转动惯量J是刚体转动惯性的量度。
大学物理第3章-刚体力学基础
2
FT2
(mA mC 2)mB g mA mB mC 2
大学物理学A
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
例6、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ 的定滑轮（当作均匀圆盘）上面 绕有细绳，绳的一端固定在滑轮 边上，另一端挂一质量为ｍ的物 体而下垂。忽略轴处摩擦，求物 mg 体ｍ由静止下落高度ｈ时的速度 和此时滑轮的角速度。
1.刚体 §3.1 刚体运动概述
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变 的物体，即运动过程中不发生形变的物体。 ➢ 刚体是实际物体的一种理想的模型 ➢ 刚体可视为由无限多个彼此间距离保持不变的质 元组成的质点系。
大学物理学A
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
2.刚体的运动形式
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过 该点的轴线的转动
大学物理学A
第一篇 力学基础
第3章 刚体力学基础
k
3
t3
3 400π 1503
rad s-4
103 rad s-4
由此得
1 103 t3
3
由角速度的定义 d，得转子在150s内转过的角度为
dt
150 1 103 t3dt 1687.5102 rad 03
因而转子在这一段时间内转过的圈数为
由角加速度的定义，有
d kt 2
dt
分离变量并积分，有
d
t kt 2dt
0
0
t 时刻转子的角速度为
1 kt3
3
当t =150s，转子的角速度为 2π 12000 rad s-1 400πrad s-1
60
则有
k
3t3
3 400π 1503
rad s-4
大学物理B层次--第三章 刚体力学基础ppt课件
5
对比：
L L M dt
t 1 外 2
t2
1
F dtp p
t 1 外 2
t2
1
3.质点角动量守恒守律 根据上式,如果合外力矩零(即M外=0),则L1=L2 , 即 L=常矢量 这就是说,对一固定点o,质点所受的合外力矩为 零,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论 叫做质点角动量守恒定律。 对比： 角动量守恒定律是：M外=0，则L=常矢量。 动量守恒定律是： F外=0 ，则p=常矢量。 6
d r 2 r F=ma=-m2r a 2 dt M=rF=-m2rr =0
2
7
例题3-2 如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上 的小孔o，绳的一端系有一质量为m的小球并放在 桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角 速度0绕孔o作半径r的匀速圆周运动,现在向下缓慢 拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止，求这 一过程中拉力的功。 0 解 绳的拉力对o点的力矩为 o 零,故小球在运动中对o点的角 r m 动量守恒,于是有 mr2 0= m(r/2)2 F =40 由动能定理，拉力的功为
1r 22 1 2 2 3 2 2 A m () mr mr 0 0 22 2 2
8
例题3-3 在一光滑的水平面上，有一轻弹簧,倔强 系数为k=100N/m,一端固定于o点，另一端连接一质 量为m=1kg的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的 长度为l0=0.2m(自然长度), 滑块速度0=5m/s, 方向与 弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度l=0.5m，求此 时滑块速度 的大小和方向。 解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量 和机械能都守恒： l m l0=m lsin o m 1 2 1 2 1 2 m k ( l l ) 0 m 0 d l0 2 2 2 解得: =4m/s, =300。
对比：
L L M dt
t 1 外 2
t2
1
F dtp p
t 1 外 2
t2
1
3.质点角动量守恒守律 根据上式,如果合外力矩零(即M外=0),则L1=L2 , 即 L=常矢量 这就是说,对一固定点o,质点所受的合外力矩为 零,则此质点的角动量矢量保持不变。这一结论 叫做质点角动量守恒定律。 对比： 角动量守恒定律是：M外=0，则L=常矢量。 动量守恒定律是： F外=0 ，则p=常矢量。 6
d r 2 r F=ma=-m2r a 2 dt M=rF=-m2rr =0
2
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例题3-2 如图所示，一细绳穿过光滑水平桌面上 的小孔o，绳的一端系有一质量为m的小球并放在 桌面上；另一端用力往下拉住。设开始时小球以角 速度0绕孔o作半径r的匀速圆周运动,现在向下缓慢 拉绳，直到小球作圆周运动的半径为r/2时止，求这 一过程中拉力的功。 0 解 绳的拉力对o点的力矩为 o 零,故小球在运动中对o点的角 r m 动量守恒,于是有 mr2 0= m(r/2)2 F =40 由动能定理，拉力的功为
1r 22 1 2 2 3 2 2 A m () mr mr 0 0 22 2 2
8
例题3-3 在一光滑的水平面上，有一轻弹簧,倔强 系数为k=100N/m,一端固定于o点，另一端连接一质 量为m=1kg的滑块，如图所示。设开始时，弹簧的 长度为l0=0.2m(自然长度), 滑块速度0=5m/s, 方向与 弹簧垂直。当弹簧转过900时，其长度l=0.5m，求此 时滑块速度 的大小和方向。 解 对滑块运动有影响的力只有弹性力，故角动量 和机械能都守恒： l m l0=m lsin o m 1 2 1 2 1 2 m k ( l l ) 0 m 0 d l0 2 2 2 解得: =4m/s, =300。
大学物理第三章刚体力学基础习题答案
方向竖直向下
3-15 由角动量守恒得
mul J mvl 1 1 2 1 2 2 mu m v J 因弹性碰撞，系统机械能守恒： 2 2 2 1 1 2 2 又： J M 2l Ml 12 3 6mu M 3m u 联立可得： v M 3m l M 3m
2 2 2 1 mv l [m( l ) M l 2 ] 3 3 3
o
2 l 3
6mv (4m 3M ) l
v
m
A
3-9 电风扇在开启电源后，经过t1时间到达了额定 转速，此时相应的角速度为 0。当关闭电源后，经 过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 J， 并假定摩擦力矩和电机的电磁力矩均为常量，试根据 已知量推算电机的电磁力矩。 解： 设电机的电磁力矩为M，摩擦力矩为Mf
1
0
t1
3-9 (1)
mg T ma
T mg sin 30 ma
g 2 a m/s 4
方向竖直向下
T2 N 2
mg
(2)
mg T1 ma
T2 mg sin 300 ma
T1r T2r J
a r
T1
1
mg
J k m r2
g 联立求解得： a 22 k
质点运动 m 质 量 力 F 刚体定轴转动 2 J r 转动惯量 m dm 力矩 M Fr sin
dp dL F m a F 第二定律 转动定律 M J M dt dt p mv 动 量 角动量 L J t t2 动量定理 t Fdt mv2 mv1 角动量定理 t Mdt J 2 J1 1 动量守恒 F 0, mv 恒矢量 角动量守恒 M 0, J 恒矢量 力矩的功 W Md 力 的 功 W F dr
大学物理第三章刚体力学
薄板的正交轴定理：
Jz Jx J y
o x
y
X,Y 轴在薄板面上，Z轴与薄板垂直。
例3、质量m，长为l 的四根均匀细棒， O 组成一正方形框架，绕过其一顶点O 并与框架垂直的轴转动，求转动惯量。 解：由平行轴定理，先求出一根棒 对框架质心C的转动惯量：
C
m, l
1 l 2 1 2 2 J ml m( ) ml 12 2 3
M F2 d F2 r sin
若F位于转动平面内，则上式简化为
M Fd Fr sin
力矩是矢量，在定轴转动中， 力矩的方向沿着转轴，其指向 可按右手螺旋法则确定：右手 四指由矢径r的方向经小于的 角度转向力F方向时，大拇指的 指向就是力矩的方向。根据矢 量的矢积定义，力矩可表示为：
例9 行星运动的开普勒第二运动定律：行星对太阳 的位矢在相等的时间内扫过相等的面积。 解：行星在太阳引力（有心 力）作用下沿椭圆轨道运动， 因而行星在运行过程中，它 对太阳的角动量守恒不变。
L rmvsin 常量
因而掠面速度：
dS dt
r dr sin 2dt
1 rv sin 常量 2
Fi fi Δmi ai
切向的分量式为
Fi sin i f i sin i mi ri
Fi sin i f i sin i mi ri
两边同乘ri，得
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
上式左边第一项为外力Fi对转轴的力矩，而第二项是 内力fi 对转轴的力矩。对刚体的所有质点都可写出类 似上式的方程，求和得
质点的角动量一质量为m的质点以速度v运动相对于坐标原点o的位置矢量为r定义质点对坐标原点o的角动量为sinrmv282质点的角动量定理质点所受的合外力对某一参考点的力矩等于质点对该点的角动量对时间的变化率角动量定理
刚体力学基础PPT课件
转动：分定轴转动和非定轴转动 刚体的平面运动
5
二、刚体定轴转动的描述
1.刚体定轴转动的特点 轴上各点都保持不动，轴外各点在同一时间间隔内转过的角度一样。
以某转动平面与转轴的交点为原点，转动平面上所有质元都绕着这个 原点作圆周运动。
2.描述 可类似地定义绕定轴转动的刚体的：
*角位置 (t)
i
ri
z
切向加速度 法向加速度
ai ri
ani ri 2
ri
vi
§3-2 定轴转动刚体的转动惯量
一、刚体定轴转动定律
（1）单个质点m
与转轴刚性连接
Ft mat mr
M rF sinθ
z
M
Ft
F
O
r
m
Fn
M rFt mr 2 M mr2
一、刚体运动分类
2.转动 如果刚体上的所有质元都绕某同一直线作圆周运动，这种运动就称之为转动，
这条直线称为转轴。
A
A
分为定轴转动和非定轴转动
*非定轴转动 若转轴方向或位置变化，这种转动称为非定轴转动
A
A
* 定轴转动 若转动轴固定不动，这种转动称为定轴转动. 这个转
轴称为固定轴，
转动平面：垂直于固定轴的平面
内力（F质i2j 量）元刚受体外力Fej ，
Mej Mij mjrj2
外力矩
内力矩
z
O rj
Fej
m j
Fij
Mej Mij mjrj2
j
j
Mij M ji Mij 0
j
大学物理 第3章刚体力学基础(完全版)课件
环
(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转
动时，可将圆盘划分为若干个半
径r、宽dr的圆环积分 ：
Jc
R
r2
m
0 R
2
2rdr
1 mR 2 2
R
d m
r dr
图5-7
学习交流PPT
25
例题5-3 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的 转轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到 100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。 试推算此转轮对该轴的转动惯量。
实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体
视为刚体。
刚体的特征：
(a)刚体上各质点之间的距离保持不变。
无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形 状都始终保持不变。
(b)刚体有确定的形状和大小。
(c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。
学习交流PPT
3
§5-1 刚体运动 学 一.刚体的平动和转动
学习交流PPT
19
二.转动惯量的计算
(1)质量离散分布刚体
J=Δmi ri2
(5-5)
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘
以它到转轴距离的平方的总和。
(2)质量连续分布刚体
J r2dm (5-6)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
学习交流PPT
20
三.平行轴定理
Jo=Jc+Md2
第5章
Dynamics of Rigid
Bod刚y 体力学基础
(6)
学习交流PPT
1
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。
核心内容： • 定轴转动的转动定理 • 刚体的转动惯量 • 定轴转动的角动量守恒
(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转
动时，可将圆盘划分为若干个半
径r、宽dr的圆环积分 ：
Jc
R
r2
m
0 R
2
2rdr
1 mR 2 2
R
d m
r dr
图5-7
学习交流PPT
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例题5-3 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的 转轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到 100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。 试推算此转轮对该轴的转动惯量。
实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体
视为刚体。
刚体的特征：
(a)刚体上各质点之间的距离保持不变。
无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形 状都始终保持不变。
(b)刚体有确定的形状和大小。
(c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。
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3
§5-1 刚体运动 学 一.刚体的平动和转动
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19
二.转动惯量的计算
(1)质量离散分布刚体
J=Δmi ri2
(5-5)
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘
以它到转轴距离的平方的总和。
(2)质量连续分布刚体
J r2dm (5-6)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
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三.平行轴定理
Jo=Jc+Md2
第5章
Dynamics of Rigid
Bod刚y 体力学基础
(6)
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1
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。
核心内容： • 定轴转动的转动定理 • 刚体的转动惯量 • 定轴转动的角动量守恒
大学物理 第3章刚体力学基础(完全版)课件
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
dsrd
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r ds d
o
x
8
•速度与角速度之间的关系
将 dsrd式两边同除 dt
ds r d dt dt
r
r
•加速度与角加速度之间的关系
将质点的加速 度可分解为切向加速 度和法向加速度.
a
o
ran
at
学习交流PPT
9
由
a
d dt
an
2 r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2 r2
r
•若角加速度 =c(恒量)，则有
a
o
ran
a
o t
ot
1t2
2
2 -o2 2
学习交流PPT
10
§5-2 刚体的定轴转动
一.刚体的角动量
刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。
设刚体以角速度 绕固定轴z转动(见图5-2),质量
为Δmi的质点对o点的角动量为
对时间 t 的二次导数。
单位：弧度/秒2，rad/s2, s-2 方向：角速度变化的方向。
0
0
学习交流PPT
7
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角 加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线 运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写 平动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
2 线量与角量之间的关系
环
(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转
动时，可将圆盘划分为若干个半
径r、宽dr的圆环积分 ：
Jc
大学物理课件第3章刚体力学
d dt
3
二. 刚体的定轴转动 1.力矩
力F 对o点的力矩定义为：
M=r×F 力矩的大小: M=Frsin =Fd 方向: r F 右手螺旋 注意: 对定轴转动, (1)只有 在垂直于转轴平面内的力才会 产生力矩; 平行于转轴的力是 不会产生力矩的。 (2)力矩的方向沿转轴。
2
T2
m: mg-T2= ma
a=R1= r2 , 2=2ah
求解联立方程，代入数据，可得
m mg
=2m/s, T1=50N, T2=60N。
17
例题1.6 均匀细棒(m、长l)AB可绕o轴转 动，Ao= l/3。求棒从水平位置静止开始转过 角 时的角加速度和角速度。 解 重力集中在质心，其力矩为
即一对内力的力矩的矢量和为零。 也可以从力矩大小对应于平行四边形面积的角 度来看。 两个平行四边形底和高都相等，故而面积相同； 两力矩大小相等，方向相反，于是矢量和为零。 任意质点系的合内力矩都为零。
6
三. 转动惯量
1.转动惯量的物理意义
M I F ma
质量m—物体平动惯性大小的量度。
2
1
2
t1
26
例题2.1 一质点的质量为m，位矢为： r =acos t i+bsin t j (式中a、b、 均为常量); 求质点的角动量及它所受的力矩。 z dr k 解 asinti bcostj j o dt
i x L r ( m ) mr m(acosti bsintj ) ( asinti bcostj ) 2 2 mabsin tk mabcos tk
25
第3章-刚体 大学物理课件
2020/10/29
例4. 质量为M =16 kg的实心滑轮，半径为R = 0.15 m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。
求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2）
绳子的张力。
解: (1) T
M
M
m
mg
m
2020/10/29
TR1MR2 a 2R
T
mgTma
T 1 Ma 2
m
NT
2
2
m2g
m2 g
a
T2
Ny
rom
Nx
mg T 1
T1
m1 a
列方程如下：
m 1g T1 m 1a
T2 m 2g m 2a
T1r
T2r
1 2
mr
2
a r
m1 g
可求解
解：在地面参考系中，选取m1 、 m2和滑轮m为研 究对象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得。
2020/10/29
2020/10/29
（2） 由刚体的机械能守恒得：
mgl 1 J2
22
1 ml22
6
3g l
A
c
o
B
0
零势点
2020/10/29
例11. 长为 l 的均质细直杆OA，一端悬于O点铅直下
垂，如图所示。一单摆也悬于O点，摆线长也为l，摆
球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放，
摆球在 A 处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试
转轴固定不动的转动。
2020/10/29
定轴转动的特点：
• 各质点都作圆周运动； • 各质点圆周运动的平面垂直于轴线，圆心
在轴线上； • 各质点的矢径在相同的时间内转过的角度
大学物理第三章刚体力学基础1课件
外力矩 内力矩
Oi r i
fi f it
Fit Fi
mi
对所有质元的同样的式子求和： ∑Fit ri +∑fit ri = ∑miri2 一对内力的力矩之和为零，所以有
对于转轴的转动惯量 用M表示∑Fit ri （合外力矩） 则有 M＝J
∑Fit ri = （∑miri2） 令J＝ ∑miri2 J为刚体
o′
·
o′
·
Δ Δ
· o
o
3-1 刚体运动的描述 一、描述刚体转动的物理量 角位置：
转动正方向
(t )
角位移
刚体运动方程
r
（参考方向）
转动平面
(t t ) (t )
d 角速度： dt
d d 2 角加速度 dt dt 2
在刚体作匀加速转动时:
1 xc l cos 2
2 0
1 M mgl cos 2
2 0
mg
dmg
l l A Md mg cosd mg 2 2 刚体的重力势能： E p mg hc 如果刚体在运动过程中
1 l mg J 2 2
2
3g l
只有保守力作功,则此 系统的机械能守恒。
F2
M r1 F1 sin 1 r2 F2 sin 2
M 0 M 0 则M的方向和转轴的正方向一致 则M的方向和转轴的正方向相反
二、刚体定轴转动的转动定律 对mi用牛顿第二定律：
F i f i mi a i
切向分量式为：
z
Fit+fit= miait= miri 两边乘以ri ,有： Fit ri +fit ri = miri2
Oi r i
fi f it
Fit Fi
mi
对所有质元的同样的式子求和： ∑Fit ri +∑fit ri = ∑miri2 一对内力的力矩之和为零，所以有
对于转轴的转动惯量 用M表示∑Fit ri （合外力矩） 则有 M＝J
∑Fit ri = （∑miri2） 令J＝ ∑miri2 J为刚体
o′
·
o′
·
Δ Δ
· o
o
3-1 刚体运动的描述 一、描述刚体转动的物理量 角位置：
转动正方向
(t )
角位移
刚体运动方程
r
（参考方向）
转动平面
(t t ) (t )
d 角速度： dt
d d 2 角加速度 dt dt 2
在刚体作匀加速转动时:
1 xc l cos 2
2 0
1 M mgl cos 2
2 0
mg
dmg
l l A Md mg cosd mg 2 2 刚体的重力势能： E p mg hc 如果刚体在运动过程中
1 l mg J 2 2
2
3g l
只有保守力作功,则此 系统的机械能守恒。
F2
M r1 F1 sin 1 r2 F2 sin 2
M 0 M 0 则M的方向和转轴的正方向一致 则M的方向和转轴的正方向相反
二、刚体定轴转动的转动定律 对mi用牛顿第二定律：
F i f i mi a i
切向分量式为：
z
Fit+fit= miait= miri 两边乘以ri ,有： Fit ri +fit ri = miri2
第3章 刚体力学基础
第i个质元的动能： Eki
1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 n 1 1 n 1 2 2 2 2 刚体的动能： Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1 2
1 E k J 2 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半。
1
d J d dt
W
2
1
1 1 2 Jd J2 J12 2 2
1 2 Md ( J ) 2
2
1
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动 动能的增量。这就是刚体定轴转动时的动能定理。
-------------------------------------------------------------------------------
当输出功率一定时 ,力矩与角速度成反比。 ------------------------------------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W M d
1 2
Jd
1
2
2
2
-------------------------------------------------------------------------------
L＝rm=mr2
2.定轴转动的角动量守恒 若
M
iz
0
则 L=J = 恒量
外力对某轴的力矩之和为零，则该物 体对同一轴的角动量守恒.
装置反向转动的双旋翼产 生反向角动量而相互抵消
-------------------------------------------------------------------------------
1 1 mi vi2 mi ri 2 2 2 2 n 1 1 n 1 2 2 2 2 刚体的动能： Ek mi ri ( mi ri ) J 2 2 i 1 2 i 1 2
1 E k J 2 2
刚体绕定轴转动时的转动动能等于刚体的转动惯 量与角速度平方乘积的一半。
1
d J d dt
W
2
1
1 1 2 Jd J2 J12 2 2
1 2 Md ( J ) 2
2
1
合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动 动能的增量。这就是刚体定轴转动时的动能定理。
-------------------------------------------------------------------------------
当输出功率一定时 ,力矩与角速度成反比。 ------------------------------------------
3. 刚体定轴转动的动能定理：
W M d
1 2
Jd
1
2
2
2
-------------------------------------------------------------------------------
L＝rm=mr2
2.定轴转动的角动量守恒 若
M
iz
0
则 L=J = 恒量
外力对某轴的力矩之和为零，则该物 体对同一轴的角动量守恒.
装置反向转动的双旋翼产 生反向角动量而相互抵消
-------------------------------------------------------------------------------
大学物理 第3章 刚体力学基础
2 1
Jd
1 2
J22
1 2
J12
2 Md (1 J2 )
1
2
力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量。
例 如图所示，一根质量为m，长为l的均匀细棒OA，可绕固定点O在竖直平 面内转动.今使棒从水平位置开始自由下摆，求棒摆到与水平位置成30°角 时中心点C和端点A的速度.
F
·
F
式中为力F到轴的距离
F
若力的作用线不在转动在平面内，
则只需将力分解为与轴垂直、平行
r
的两个分力即可。
力对固定点的力矩为零的情况：
1、力F等于零， 2、力F的作用线与矢径r共线
（有心力对力心的力矩恒为零）。
力对固定轴的力矩为零的情况：
若力的作用线与轴平行 若力的作用线与轴相交
则力对该轴无力矩作用。
dJ R2dm
考虑到所有质元到转轴的距离均为R，所以细圆环对中心轴的转动惯量为
J dJ R2dm R2 dm mR2
m
m
(2)求质量为m，半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量.整个圆盘可以看成许
多半径不同的同心圆环构成.为此，在离转轴的距离为r处取一小圆环，如
图2.36(b)所示，其面积为dS＝2πrdr，设圆盘的面密度(单位面积上的质量)
力矩在x,y,z轴的分量式，称力对轴的矩。例如上面所列
Ｍx , My , Mz , 即为力对Ｘ轴、Ｙ轴、Ｚ轴的矩。 设力Ｆ 的作用线就在Z轴
的转动平面内，作用点到Ｚ
轴的位矢为r，则力对Ｚ轴
的力矩为
M z rF sin
r sin F F rF sin rF
第3章 大学物理刚体力学ppt课件
M2 0
z F // M1 M r d
A
M2 F 2
F
对定轴转动，力矩用正负表示方向。 F1
F
M 1 0
3.合力矩
M M M M 1 2 3
M 对同一定轴的合力矩等于各分力矩的代数和 M i
与正方向相同的力矩取 正值，相反的取负值.
若力对刚体的转动状态有影响，称该力有力矩。若两个 力对刚体的转动状态影响相同，称为力矩相同。
力矩的影响因素分析，请选择： 1力矩与哪些因素有关？ A 力的大小； B 力的方向； C 力的大小和方向； D力的大小、力的方向、力的作用点； 2 如果一个垂直于门面的力分别作用在门的中心①与边 缘② ，两种方式中哪个更容易推动一个静止的门？ A ①容易；
3.1.2 角速度和角加速度
圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方 法，此处全部可用。此处注意方向性。 角速度的正负表示方向. 定轴转动： 可沿转轴设正方向，
dω z 2 角加速度： α 方向：右手螺旋拇指方向.
3 角量与线量的关系 2 法向加速度 an r 切向加速度
dt
3若 t 2 ，圆盘半径为r，其边缘加速度为 (E) 2 r(2 t)2r (F)
2r
(G) r(2t )
2
2 r e ( 2 t )r e (H) 2 t n
力矩为零的情况： 对定轴：
当力的作用线与轴平行或相交时， 该力对刚体转动状态不影响，相对于该 轴的力矩为零。
F1
F2
z 方向沿转轴
dv 0 0 r a t dt
A
v ωr
v
r
z F // M1 M r d
A
M2 F 2
F
对定轴转动，力矩用正负表示方向。 F1
F
M 1 0
3.合力矩
M M M M 1 2 3
M 对同一定轴的合力矩等于各分力矩的代数和 M i
与正方向相同的力矩取 正值，相反的取负值.
若力对刚体的转动状态有影响，称该力有力矩。若两个 力对刚体的转动状态影响相同，称为力矩相同。
力矩的影响因素分析，请选择： 1力矩与哪些因素有关？ A 力的大小； B 力的方向； C 力的大小和方向； D力的大小、力的方向、力的作用点； 2 如果一个垂直于门面的力分别作用在门的中心①与边 缘② ，两种方式中哪个更容易推动一个静止的门？ A ①容易；
3.1.2 角速度和角加速度
圆周运动，因此前面关于质点圆周运动的全套描述方 法，此处全部可用。此处注意方向性。 角速度的正负表示方向. 定轴转动： 可沿转轴设正方向，
dω z 2 角加速度： α 方向：右手螺旋拇指方向.
3 角量与线量的关系 2 法向加速度 an r 切向加速度
dt
3若 t 2 ，圆盘半径为r，其边缘加速度为 (E) 2 r(2 t)2r (F)
2r
(G) r(2t )
2
2 r e ( 2 t )r e (H) 2 t n
力矩为零的情况： 对定轴：
当力的作用线与轴平行或相交时， 该力对刚体转动状态不影响，相对于该 轴的力矩为零。
F1
F2
z 方向沿转轴
dv 0 0 r a t dt
A
v ωr
v
r
大学物理-第三章 刚体力学
向力的作用点P的矢量。 M rF
大小：M rF sin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
方向：右手螺旋，图中向上
0 , M o，沿转轴向上，使刚体绕转轴逆时针转
2 , M o，沿转轴向下，使刚体绕转轴顺时针转
上一页 下一页
2.外力F不在转动平面内 MFOFr FFz r F r Fz
T
N2
mg T2 T2 2m
2mg
解 ： 设 整 体 顺 时 针 运 动， 即 两 滑 轮 转 轴 正 向 向内 。
右 质 点2m正 向 向 下 ， 左 质 点m正 向 向 上 ，
受力分析如图。
上一页 下一页
右质点 2mg T2 2ma
左质点 T1 mg ma
右 滑 轮 T2 r
Tr
第三章 刚体力学
上一页 下一页
刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。 刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动
刚体复杂运动可视为：平动 转动（绕某轴线转动） 刚体力学研究方法 把刚体看成不变质点系(任意两个质元的相对距离 保持不变),运用质点系定理和定律研究刚体的运动。
m 2
r
2
左滑轮Tr
T1r
m 2
r 2
关联方程 a r
解出 T 11 mg 8
N1
T
T1
mg
T1 m
mg
T
N2
a
mg T2
T2 2m
2mg
上一页 下一页
M,
J
大小：M rF sin Fd
M
O
z
M
r
d
P*
F
方向：右手螺旋，图中向上
0 , M o，沿转轴向上，使刚体绕转轴逆时针转
2 , M o，沿转轴向下，使刚体绕转轴顺时针转
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2.外力F不在转动平面内 MFOFr FFz r F r Fz
T
N2
mg T2 T2 2m
2mg
解 ： 设 整 体 顺 时 针 运 动， 即 两 滑 轮 转 轴 正 向 向内 。
右 质 点2m正 向 向 下 ， 左 质 点m正 向 向 上 ，
受力分析如图。
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右质点 2mg T2 2ma
左质点 T1 mg ma
右 滑 轮 T2 r
Tr
第三章 刚体力学
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刚体：不发生形变的物体（理想模型）
刚体模型突出了物体的大小形状，忽略形变和振动。 刚体的运动形式：平动、转动、滚动、进动
刚体复杂运动可视为：平动 转动（绕某轴线转动） 刚体力学研究方法 把刚体看成不变质点系(任意两个质元的相对距离 保持不变),运用质点系定理和定律研究刚体的运动。
m 2
r
2
左滑轮Tr
T1r
m 2
r 2
关联方程 a r
解出 T 11 mg 8
N1
T
T1
mg
T1 m
mg
T
N2
a
mg T2
T2 2m
2mg
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M,
J
大学物理03-刚体力学基础
15
J
r
m
2
dm
• 刚体的形状（质量分布）
16
J
注 意
r
m
2
dm
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
例3-2 一均匀细棒，质量为 m ，长为 l 。求该棒对下列转轴 的转动惯量：（1）通过棒中心且与棒垂直的轴；（2）通过 棒的一端且与棒垂直的轴。 解：取如图坐标，在棒上任取质元，到转轴的垂直距离为x， 长度为 d x，该质元的质量为 dm = (m/l )dx (质量为线分布)。 A L/2 C
S
O
Mz r d
P
F
M r F
O r
F
P
F
F //
大小： M rF sin Fd 方向： 由右手螺旋法则确定
转动平面
F 应该理解为外力在转动平面内的 分力F//
转动平面
在定轴转动中，M 的方向只有两种可能指向。若先选 定了转轴的正方向，则 M 与转轴方向一致时取正 值，反之为负值
11
(3) 如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等 于各个力矩的代数和
M
i i i
ri Fi
12
2
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体可视为由许多质点组成的，而每一个质点都遵从质点力学 的规律。刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出。
Fi f i mi ai mi ri
一、力对转轴的力矩
力是引起质点运动状态变化的原因，而力 矩是引起转动物体运动状态变化的原因
(2) 外力F 不在转动平面内（任意力） 可将 F 分解为转动平面内的分力 F// 和垂直于转动平面的分力F F不能引起刚体转动状态的变化 力矩：
J
r
m
2
dm
• 刚体的形状（质量分布）
16
J
注 意
r
m
2
dm
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布 的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量
例3-2 一均匀细棒，质量为 m ，长为 l 。求该棒对下列转轴 的转动惯量：（1）通过棒中心且与棒垂直的轴；（2）通过 棒的一端且与棒垂直的轴。 解：取如图坐标，在棒上任取质元，到转轴的垂直距离为x， 长度为 d x，该质元的质量为 dm = (m/l )dx (质量为线分布)。 A L/2 C
S
O
Mz r d
P
F
M r F
O r
F
P
F
F //
大小： M rF sin Fd 方向： 由右手螺旋法则确定
转动平面
F 应该理解为外力在转动平面内的 分力F//
转动平面
在定轴转动中，M 的方向只有两种可能指向。若先选 定了转轴的正方向，则 M 与转轴方向一致时取正 值，反之为负值
11
(3) 如果有几个外力矩作用在刚体上，则合力矩等 于各个力矩的代数和
M
i i i
ri Fi
12
2
二 刚体绕定轴的转动定律
刚体可视为由许多质点组成的，而每一个质点都遵从质点力学 的规律。刚体转动定律可由牛顿第二定律直接导出。
Fi f i mi ai mi ri
一、力对转轴的力矩
力是引起质点运动状态变化的原因，而力 矩是引起转动物体运动状态变化的原因
(2) 外力F 不在转动平面内（任意力） 可将 F 分解为转动平面内的分力 F// 和垂直于转动平面的分力F F不能引起刚体转动状态的变化 力矩：
第三章刚体力学基础(大学物理)
2
兰州城市学院
证: 两平行转轴间距d，C为刚体的质心，X轴垂直 ' 相交两转轴,质元到两转轴的距离为ri和ri 。
2 ri
z
m i
ri
'2 ri
d
2
' ' 2dri cos i
ri'2 d 2 2dxi'
相对质心C的X坐标值
J
m
'
' ri
i
n
m i ri2
o x i
兰州城市学院
例1: 一飞轮在时间t内转过角度 a bt 2 ct 3，式a，b，c中都 是常量。 求: 它的角速度和角加速度 解: 将角度式对时间求一阶导数，即得飞轮的角速度为
d 2 3 2 (a bt ct ) 2bt 3ct dt
由角加速度定义得
d d 2 (2bt 3ct ) 2b 6ct dt dt
d m 2r d r
由公式直接得
J r dm 2 r d r
2 3 0
R
R 4
2
1 mR 2 2
兰州城市学院
3.3 力矩 转动定律 3.3.1 力矩 力 改变质点的运动状态 力矩 改变刚体的转动状态 (1) 力 F 在转 动平面内 大小：
Z M z
兰州城市学院
(2)转动惯量——量度转动惯性大小的物理量
定轴转动动能的计算公式 1 1 2 2 2 Ek (mi ri ) I 单位：千克· 2 ，kg ·m2 米 2 2
J z mi ri 2
i 1 n
J z r 2 dm
质量连续分布
第3章 刚体力学基础
3-7如图所示，长为 的均匀细杆水平地放置在桌面上，质心离桌边缘的距离为 ，从静止开始下落。已知杆与桌边缘之间的摩擦系数为 。试求：杆开始滑动时的临界角。
分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以 点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系，细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ，根据垂直轴定理
(3)
由（1）~（3）式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时，相对于环的速度分别为 、 ，则有
解无滑动时，杆绕过 点的固定轴做定轴转动，由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时，杆绕 点转动，杆上各点做圆周运动，对质心 ，由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动，只有重力作功，机械能守恒，有
得
(5)
将式（5）代入式（3），并利用式（2），得
(6)
将式（1）代入式（4），并利用式（2），得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的 ，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间 。
解（1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即
(1)
解得
（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。
分析细杆滑动前以 点为轴在重力矩作用下转动，细杆质心做以 点为圆心的圆周运动，根据转动定律及质心运动定律即可求出 点摩擦力 与 角关系，细杆开始滑动的临界条件为 。
(1)
(2)
式中 为圆环对 轴的转动惯量，圆环绕过中心且垂直环面的轴的转动量为 ，根据垂直轴定理
(3)
由（1）~（3）式解得
(4)
(5)
取小珠、环及地球为系统，在小珠下落过程中，外力做功为零，系统中又无非保守内力做功，所以系统的机械能守恒。设小珠落至 、 处时，相对于环的速度分别为 、 ，则有
解无滑动时，杆绕过 点的固定轴做定轴转动，由转动定律有
(1)
由平行轴定理求细杆绕 点转动时的转动惯量
(2)
无滑动时，杆绕 点转动，杆上各点做圆周运动，对质心 ，由牛顿运动定律得
(3)
(4)
杆绕 点转动，只有重力作功，机械能守恒，有
得
(5)
将式（5）代入式（3），并利用式（2），得
(6)
将式（1）代入式（4），并利用式（2），得
分析滑块与细杆碰撞角动量守恒，由此求细杆转动的 ，此后，细杆受摩擦力矩作用转速逐渐减为零，由摩擦力矩，根据角动量定理即可求出时间 。
解（1）以杆和滑块为研究系统。由于碰撞时间极短，杆所受到的摩擦力矩远小于滑块的冲力矩，故可认为合外力矩为零，因此系统的角动量守恒，即
(1)
解得
（2）碰后杆在转动过程中所受的摩擦力矩为
第3章 刚体力学基础
一、目的与要求
1．确切理解描述刚体平动和定轴转动的基本物理定义及性质，并掌握角量与线量的关系。
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为Δmi的质点对o点的角动量为
Z
Li=Δmiiri=Δmi ri2
L
刚体对z轴的角动量就是
Lz=(Δmi ri2) =J
式中: J=Δmi ri2
称为刚体对z轴的转动惯量。
o ri i
mi
图5-2
11
刚体对z轴的角动量：
Lz= J (5-1)
显然，刚体的角动量的方向
与角速度的方向相同，沿z轴
方向(见图5-2),故也称为刚体对 固定轴z的角动量。
(1)正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计 的细杆连接,如图5-4。系统对通过质心C且垂直于三 角形平面的轴的转动惯量为
m
Jc 3mr2 ml 2 ,(r
3 l)
3
通过o点且垂直于三角形平 面的轴的转动惯量为
l
l
·c
mr
m
JO=ml2+ml2 =2ml2
o
l
图5-4
=ml2+(3m)r2=2ml2
解 细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力 矩为
Mo
mg
l cos
6
A
o
B
C
Jo
1 ml 2 12
m( l )2 6
1 9
ml 2
mg
Mo 3g cos
Jo 2l 2 - o2 2
图5-10
oc l - l l 236
30
Mo 3g cos d
Jo 2l
dt
又因 d d d d 3g cos dt d dt d 2l
物理意义: 1 受合外力矩作用,刚体转动状态将发生改变，
产生角加速度。
当刚体的 J 一定时， M
16
M J M 2 当 一定时， 1
J
J 是刚体转动惯性大小的量度
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是
力矩，而不是力！
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速
度一定大，则错。
9
由
a
d dt
an
2 r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2
r
r2
•若角加速度 =c(恒量)，则有
a
o
r an
a
o t
ot
1 t 2
2
2 - o2 2
10
§5-2 刚体的定轴转动
一.刚体的角动量
刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。
设刚体以角速度 绕固定轴z转动(见图5-2),质量
d
3gcosd
0
0 2l
完成积分得 3gsin
l
A
o
C
B
讨论: (1)当=0时， =3g/2l， =0 ； mg
(2)当=90°时， =0， 3g 图5-10
l
31
例题5-7 匀质圆盘：质量m、半径R，以o的角速
度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数 为µ，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
17
2
M
M
JJ为瞬间作用规律。
一旦 M 0，立刻 0，匀角速度转动。
3 M 和 J ，均对同一转轴而言。
4 M代表作用于刚体的合外力矩，M
M外
0 特别强调：系统所受合外力为零， M 外 不一定
一对力偶产生的力矩不为零。
以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转
动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问
处理办法： 对平动的物体，分析受力，按照
F
ma列方程。
对转动的刚体，分析力矩，按照 M J列方程。
补加转动与平动的关联方程
联立求解各方程。
29
例题5-6 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可 绕一水平光滑轴o在竖直平面内转动，Ao= l/3。今使
棒从水平位置由静止开始转动，求棒转过角 时的
角加速度和角速度。
解 将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环， 用积分计算出摩擦力矩。
M
R
-
0
r
g
m
R2
2rdr
o
- 2 mgR
3
dr r
J 1 mR2 2
水平桌面
图5-11
32
M - 2 mgR, J 1 mR2
3
2
于是得 M - 4g
J 3R
o
由= o+ t = 0得 t - o 3RO 4g
dt
(5-2)
式(5-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的 总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量 定理。
显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。
14
M
dL
dt
(5-2)
上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方
向上的分量式为
Mz
dLz dt
d( J )
dt
(5-3)
(Lz=J)
dt
)
对各质点求和，并注意到
( ri
fij ) 0
i
j( i j )
得
i
d ri Fi dt
i
( ri mii )
13
i
d ri Fi dt
i
( ri mii )
ri Fi =M质点系所受的合外力矩
i
(
ri
mii
) =L质点系的总角动量
i
于是得
M
dL
实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体
视为刚体。 刚体的特征： (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形 状都始终保持不变。
(b)刚体有确定的形状和大小。
(c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。
3
§5-1 刚体运动学
一.刚体的平动和转动
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间 的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。
上式称为物体定轴转动方程。
对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(6-16)
又可写成
M=J
(5-4)
这就是刚体定轴转动定理，它是刚体定轴转动
的动力学方程 。
15
M J (5-4)
(5-4)表明, 刚体所受的合外力矩等于刚体的转动
惯量与刚体角加速度的乘积。 M 恒与 方向相同.
Jii
常矢量
(5-10)
i
系统动量守恒是：
当 F外 0 时,
mi i
常矢量
(4-6)
i
在日常生活中,利用角动量守恒的例子也是很多的。
解 对柱体,由转动定律M=J有
mg.R=J
这式子对吗？ 错！此时绳中张力Tmg。 正确的解法是用隔离体法。
对m: mg-T=ma
对柱： TR=J
a=R 解得 =2mg/[(2m+M)R],
T=Mmg/(2m+M)。
M •R
T
m
mg 图5-8
27
例题5-5 两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量 m1=24kg， m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端 通过盘m2后挂有m=10kg的物体。求物体m由静止开 始下落h=0.5m时，物体m的速度及 绳中的张力。
题的方法。
18
§5-3 转动惯量 一.转动惯量的物理意义
动量: p=m 角动量: L=J
质量m—物体平动惯性大小的量度。 转动惯量J—物体转动惯性大小的量度。
19
二.转动惯量的计算
(1)质量离散分布刚体
J=Δmi ri2
(5-5)
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘
以它到转轴距离的平方的总和。
Jc
R2dm mR2
环
(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转 动时，可将圆盘划分为若干个 半径r、宽dr的圆环积分 ：
Jc
R
r
0
2
m
R
2
2rdr
1 2
mR2
R
dm
r dr
图5-7
25
例题5-3 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转 轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到 100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。试 推算此转轮对该轴的转动惯量。
第5章
Dynamics of Rigid Body
刚体力学基础
(6)
1
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。
核心内容： • 定轴转动的转动定理 • 刚体的转动惯量 • 定轴转动的角动量守恒 • 定轴转动的功能原理
这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。
2
刚体——力学中物体的一种理想模型。 刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
(2)质量连续分布刚体
J r 2dm
(5-6)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
20
三.平行轴定理
Jo=Jc+Md2
(5-7)
Jc 通过刚体质心的轴的转动 惯量;
M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
Jo d Jc
o
C M
图5-3
21
例题5-1 质量离散分布刚体: J=Δmi ri2
22
(2)用质量不计的细杆连接的五个质点, 如图55所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点, 转动 惯量为
JO=m.02 +2m(2l2) +3m(2l)2 +4ml2 +5m(2l2) =30ml2 2m
l
ml
l 3m
o
4m
l