大学物理 第3章刚体力学基础(完全版)

解 各物体受力情况如图所示。
m1:
T1R=
1 2
m1R21
m2:
T2r-T1r =
1 2
m2r22
m: mg-T2= ma
1
T1
R
m1
T1
2
r
m2
T2
a=R1=r2 , 2=2ah
m
求解联立方程，代入数据，可得
图5-9
=2m/s, T1=48N, T2=58N。
mg
28
小结: 若一个系统的运动包含物体平动和刚体的转动
在平动时,刚体内各质点的运动状态完全相同,因此
平动刚体可视为质点。通常是用刚体质心的运动来
代表整个刚体的平动。 比如：手捧一本书，围绕某点转一圈，书在平动
还是转动？
4
如果刚体内的各个质点都绕同一直线(转轴)作圆 周运动,这种运动便称为转动。如果转轴是固定不动 的,就称为定轴转动。
刚体的一般运动比较复杂。但可以证明,刚体一般 运动可看作是平动和转动的结合。
解 由 M=J , = o+t
有外力矩时,
20-M20r=J1， 1= /t1 (因o=0) (1)
撤去外力矩时,
-Mr=J2 , 2=- /t2
(2)
代入t1=10s , t2=100s , =(100×2)/60=10.5rad/s,
解式(1)、(2)得
J=17.3kg.m2 。
26
例题5-4 质量为M、半径为R的匀质柱体可绕通过 其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有 一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物 体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。
dt
)
对各质点求和，并注意到
源自文库( ri
fij ) 0
i
j( i j )
得
i
d ri Fi dt
i
( ri mii )
13
i
d ri Fi dt
i
( ri mii )
ri Fi =M质点系所受的合外力矩
i
(
ri
mii
) =L质点系的总角动量
i
于是得
M
dL
解 对柱体,由转动定律M=J有
mg.R=J
这式子对吗？ 错！此时绳中张力Tmg。 正确的解法是用隔离体法。
对m: mg-T=ma
对柱： TR=J
a=R 解得 =2mg/[(2m+M)R],
T=Mmg/(2m+M)。
M •R
T
m
mg 图5-8
27
例题5-5 两匀质圆盘可绕水平光滑轴转动，质量 m1=24kg， m2=5kg。一轻绳缠绕于盘m1上，另一端 通过盘m2后挂有m=10kg的物体。求物体m由静止开 始下落h=0.5m时，物体m的速度及 绳中的张力。
处理办法： 对平动的物体，分析受力，按照
F
ma列方程。
对转动的刚体，分析力矩，按照 M J列方程。
补加转动与平动的关联方程
联立求解各方程。
29
例题5-6 一根质量为m、长为l的均匀细棒AB，可 绕一水平光滑轴o在竖直平面内转动，Ao= l/3。今使
棒从水平位置由静止开始转动，求棒转过角 时的
角加速度和角速度。
r
lim 方是向：矢t量0与转. t向成右ddt手螺旋关系。
图5-1
6
•角加速度
lim ω d ω
t0 t
dt
d 2θ
dt 2
角加速度为角速度对时间 t 的一次导数，或为角坐标
对时间 t 的二次导数。
单位：弧度/秒2，rad/s2, s-2 方向：角速度变化的方向。
0
0
7
对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加 速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运 动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平 动的线量与描写转动的角量之间有什么关系呢？
又由2-o2=2 ，
dr r
水平桌面
图5-11
所以停下来前转过的圈数为
N - o2 3o2 R 2 2 16 g
33
§5-4 定轴转动的角动量守恒定律
定轴转动方程:
M dL d( J )
dt dt
t2 Mdt
t1
J 22 J11
d(
J )
J 22
-
J11
(5-8)
上式的物理意义是：合外力矩的冲量(冲量矩)等于
(1)正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计 的细杆连接,如图5-4。系统对通过质心C且垂直于三 角形平面的轴的转动惯量为
m
Jc 3mr2 ml 2 ,(r
3 l)
3
通过o点且垂直于三角形平 面的轴的转动惯量为
l
l
·c
mr
m
JO=ml2+ml2 =2ml2
o
l
图5-4
=ml2+(3m)r2=2ml2
(2)质量连续分布刚体
J r 2dm
(5-6)
式中: r为刚体上的质元dm到转轴的距离。
20
三.平行轴定理
Jo=Jc+Md2
(5-7)
Jc 通过刚体质心的轴的转动 惯量;
M 刚体系统的总质量; d 两平行轴(o,c)间的距离。
Jo d Jc
o
C M
图5-3
21
例题5-1 质量离散分布刚体: J=Δmi ri2
第5章
Dynamics of Rigid Body
刚体力学基础
(6)
1
本章的主要内容是研究刚体的转动，尤其是定轴 转动。
核心内容： • 定轴转动的转动定理 • 刚体的转动惯量 • 定轴转动的角动量守恒 • 定轴转动的功能原理
这些内容同学们最不熟悉，请同学们先预习。
2
刚体——力学中物体的一种理想模型。 刚体：运动中形状和大小都保持不变的物体。
题的方法。
18
§5-3 转动惯量 一.转动惯量的物理意义
动量: p=m 角动量: L=J
质量m—物体平动惯性大小的量度。 转动惯量J—物体转动惯性大小的量度。
19
二.转动惯量的计算
(1)质量离散分布刚体
J=Δmi ri2
(5-5)
即：刚体的转动惯量等于刚体上各质点的质量乘
以它到转轴距离的平方的总和。
上式称为物体定轴转动方程。
对定轴转动的刚体, J为常量, d /dt=, 故式(6-16)
又可写成
M=J
(5-4)
这就是刚体定轴转动定理，它是刚体定轴转动
的动力学方程 。
15
M J (5-4)
(5-4)表明, 刚体所受的合外力矩等于刚体的转动
惯量与刚体角加速度的乘积。 M 恒与 方向相同.
dt
(5-2)
式(5-2)的意义是:质点系所受的合外力矩等于质点系的 总角动量对时间的变化率。这个结论叫质点系角动量 定理。
显然它也适用于定轴转动刚体这样的质点系。
14
M
dL
dt
(5-2)
上式是一矢量式, 它沿通过定点的固定轴z方
向上的分量式为
Mz
dLz dt
d( J )
dt
(5-3)
(Lz=J)
实际问题中，当物体的形变很小可忽略时，就将物体
视为刚体。 刚体的特征： (a)刚体上各质点之间的距离保持不变。 无论所受外力多大，不论转动多快，刚体的形 状都始终保持不变。
(b)刚体有确定的形状和大小。
(c)刚体可看作是由许多质点(质元)组成的质点系。
3
§5-1 刚体运动学
一.刚体的平动和转动
如果刚体在运动中,刚体内任何两点的连线在空间 的指向始终保持平行,这样的运动就称为平动。
2 线量与角量之间的关系
•线位移和角位移的关系
刚体转过 d
刚体上的一点位移 ds
r
ds
d
o
x
ds rd
8
•速度与角速度之间的关系
将 ds rd 式两边同除 dt
ds r d dt dt
r
•加速度与角加速度之间的关系
r
将质点的加速度
可分解为切向加速度 和法向加速度.
a
o
r an
at
物理意义: 1 受合外力矩作用,刚体转动状态将发生改变，
产生角加速度。
当刚体的 J 一定时， M
16
M J M 2 当 一定时， 1
J
J 是刚体转动惯性大小的量度
注意： 1 改变刚体转动状态，产生角加速度的原因是
力矩，而不是力！
如果说：作用于刚体的力越大，则刚体的角加速
度一定大，则错。
d
3gcosd
0
0 2l
完成积分得 3gsin
l
A
o
C
B
讨论: (1)当=0时， =3g/2l， =0 ； mg
(2)当=90°时， =0， 3g 图5-10
l
31
例题5-7 匀质圆盘：质量m、半径R，以o的角速
度转动。现将盘置于粗糙的水平桌面上，摩擦系数 为µ，求圆盘经多少时间、转几圈将停下来？
Jii
常矢量
(5-10)
i
系统动量守恒是：
当 F外 0 时,
mi i
常矢量
(4-6)
i
在日常生活中,利用角动量守恒的例子也是很多的。
物体角动量的增量。
若物体所受的合外力矩为零(即Ｍ＝0)时，则
J =常量
(5-9)
这表明：当合外力矩为零时，物体的角动量将保持
不变，这就是定轴转动的角动量守恒定律。
34
系统角动量守恒定律：
当系统所受的合外力力矩为零时，系统的总角动量 的矢量和就保持不变。
对比：
系统角动量守恒是：
当 M外 0 时,
二.定轴转动的描述
刚体在作定轴转动时,由于各质点 到转轴的距离不同,所以各质点的线 速度、加速度一般是不同的。
r
但由于各质点的相对位置保持不变, 所以描述各质点运动的角量,如角位移、 角速度和角加速度都是一样的。
图5-1 5
1 描述定轴转动刚体的运动的角量
• 角坐标：
角位移：
• 角速度
单位：rad
Jc
R2dm mR2
环
(3)均质圆盘(m,R)绕中心轴转 动时，可将圆盘划分为若干个 半径r、宽dr的圆环积分 ：
Jc
R
r
0
2
m
R
2
2rdr
1 2
mR2
R
dm
r dr
图5-7
25
例题5-3 以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转 轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到 100rev/min。此时撤去该力矩,转轮经100s而停止。试 推算此转轮对该轴的转动惯量。
问题：为何动量的概念对刚体 已失去意义？
Z
L
o ri i
mi
图5-2
P=0
12
二.刚体定轴转动定理
设有一质点系, 第i个质点的
位矢为 ri , 外力为 Fi , 内力为 fij ,
j( i j )
按mi质：r点i 角F动i 量 r定i 理(4-11f)ij式，d有( ri j( i j )
mii
解 将圆盘分为无限多个半径为r、宽为dr的圆环， 用积分计算出摩擦力矩。
M
R
-
0
r
g
m
R2
2rdr
o
- 2 mgR
3
dr r
J 1 mR2 2
水平桌面
图5-11
32
M - 2 mgR, J 1 mR2
3
2
于是得 M - 4g
J 3R
o
由= o+ t = 0得 t - o 3RO 4g
解 方法：将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx ,然后
积分得
记住！
l
Jc
2 x2m dx 1 ml2
-l l
12
C dm o x dx x
2
若棒绕一端o转动，由平行轴 定理， 则转动惯量为
图5-6 o
Jo
1 ml 2
12
m(
l 2
)2
1 3
ml 2
24
(2)均质细圆环(m, R)绕中心轴转动时，其转动 惯量为
为Δmi的质点对o点的角动量为
Z
Li=Δmiiri=Δmi ri2
L
刚体对z轴的角动量就是
Lz=(Δmi ri2) =J
式中: J=Δmi ri2
称为刚体对z轴的转动惯量。
o ri i
mi
图5-2
11
刚体对z轴的角动量：
Lz= J (5-1)
显然，刚体的角动量的方向
与角速度的方向相同，沿z轴
方向(见图5-2),故也称为刚体对 固定轴z的角动量。
9
由
a
d dt
an
2 r
a
d dt
r
d
dt
r
an
2 r
(r )2
r
r2
•若角加速度 =c(恒量)，则有
a
o
r an
a
o t
ot
1 t 2
2
2 - o2 2
10
§5-2 刚体的定轴转动
一.刚体的角动量
刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。
设刚体以角速度 绕固定轴z转动(见图5-2),质量
解 细棒AB受的重力可集中在质心，故重力的力 矩为
Mo
mg
l cos
6
A
o
B
C
Jo
1 ml 2 12
m( l )2 6
1 9
ml 2
mg
Mo 3g cos
Jo 2l 2 - o2 2
图5-10
oc l - l l 236
30
Mo 3g cos d
Jo 2l
dt
又因 d d d d 3g cos dt d dt d 2l
17
2
M
M
JJ为瞬间作用规律。
一旦 M 0，立刻 0，匀角速度转动。
3 M 和 J ，均对同一转轴而言。
4 M代表作用于刚体的合外力矩，M
M外
0 特别强调：系统所受合外力为零， M 外 不一定
一对力偶产生的力矩不为零。
以上内容的学习要点：掌握刚体定轴转
动定律及用隔离体法求解(刚体+质点)系统问
22
(2)用质量不计的细杆连接的五个质点, 如图55所示。转轴垂直于质点所在平面且通过o点, 转动 惯量为
JO=m.02 +2m(2l2) +3m(2l)2 +4ml2 +5m(2l2) =30ml2 2m
l
ml
l 3m
o
4m
l
5m
图5-5
23
例题5-2 质量连续分布刚体: J r 2dm
(1)质量为m、长度为l的细直棒，可绕通过质心C 且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。