直线电机电磁场

直线电机的电磁场分析

在物理学中，某一物理的空间分布构成一个物理的“场”，像电磁场都具有大小和方向，他们由在它们的作用范围内每一点的向量表示，这些向量产生一个向量场。描写场各点的空间变化趋势需用微分手段，矢量微分算符∇（哈密顿）就是为了这个目的引入的。

引入哈密顿算符：

∇=∂

∂x i x+∂

∂y

i y+∂

∂z

i z（1）

通量

设矢量函数A（x，y，z）构成矢量场，S为场中的某一曲面。设S为闭曲面，则

ψ=∯A∙dS

S

（2）对于闭曲面，规定其法矢量处处向外，于是，若ψ>0，则表示闭曲面S中流出的通量多于流入的通量，这表明S中源强于壑：若ψ<0，则表明S中源弱于壑。

散度

散度表示源在某点的详细分布情况，所以可以在某一点取一小的闭曲面，然后令其向这点无限收缩。在极限情况下，单位体积的通量就可以放映这点的详细分布。

divA=lim

∆V→0

1

∆V

∯A∙dS

S

（3）

divA=∇∙A=∂A x

∂x +∂A y

∂y

+∂A z

∂z

（4）

对于静电学中

运用静电场的coulomb定律，将点电荷推广到任意电荷分布q情形，即电场的Gauss定律。

ψ=∯E∙dS

S =q

4πε0r2

∯dS=

S

q

4πε0r2

4πr2q

ε0

（5）

∯E∙dS

S

=q

ε0

（6）

q为闭曲面S内所包含的净自由电荷。

所以

∇∙E=ρ0

ε0

（7）其中ρ0为体电荷密度。

对于磁学中

∯B∙dS

S

=0（8）即磁感应线B是闭合的，流入曲面S的磁感应线等于流出的。

环量

矢量场A(x，y，z)沿某闭合曲线C的环量，意义在于放映回路l中有无环量源。即表示了做功情况：

W=∮A∙dl

l

（9）这里的dl为l上的元位移，

旋度

旋度表示涡旋源在某点的详细分布情况，所以可以在某点取一小面元，面元周界为C，在极限情况下，单位周界的环量就可以放映这点的详细分布。规定最大的环量强度值为旋度矢量的量值，所以

rotA =lim

∆S→0n

∆S

(∮A ∙dl l )max

（10）

rotA =∇×A =[i x

i y

i z

∂

∂x

∂∂y

∂∂z

A x

A y A z

] （11）

n 表示∆S 的单位法矢量，它与C 的绕行方向成右手螺旋。若某区域中处处divA =0，则称

A 为无旋场。保守场就是无旋场。

对于静电场

E 的环量可以看做是电势，因为电场力

F =Eq 0,∮F ∙dl C 即电场力对移动电荷做的功，可以假设一点电荷q 的电场中，有一试验电荷q 0从a 点经过任意路径移到b 点，做功w 可以表示为

W =q 0∫E ∙dl b a =q 0∫q 4πε0r

2r b

r a

dr =

q 0q 4πε0

（

1r a

−

1r b

） （12）

由此可见，在点电荷电场中电场力做功与路径无关。即静电场力是保守力，静电场是保守场。

所以有

∮E ∙dl C

=0 （13） 表示静电场E 沿任意闭合路径C 的线积分，称为场强E 的环流，即静电场的环流定律。

对于磁场

取无限长的载流直导线的磁场中，取一个与载流直导线垂直的平面，并以这个平面与导线的交点为圆心，在平面上取一半径为r 的圆，则通过毕奥-萨伐尔定律dB =μ04π

J 0dl×r r 3

求得在

这圆周上任意一点的磁感应强度B =μ0J 02πr

，方向为该点切线方向。则B 沿该圆周为闭合路径C =

2πr 的积分为

∮B ∙dl C =∮μ0J 02πr ∙dl =C μ0J

2πr

×2πr =μ0J 0 （14） ∮B ∙dl C

=μ0J 0 （15） 即称为磁感应强度B 的环流，其中J 0为传导电流。通过分子电流的观点把此公式拓展到磁铁上，把磁铁在各个截面上的边缘看成是环形电流（宏观上叫它为磁化电流）。

推导MAXWELL 电磁方程组

Maxwell 场方程组放映了宏观电磁现象所遵守的客观规律，理论上研究电磁场问题就是求解满足问题的初始与边界条件的场方程组解。

关于静电场

电荷通常划分为自由电荷和极化电荷（又称束缚电荷），自由电荷是指能够被宏观分离并能在宏观范围内运动的正电荷或负电荷，极化电荷是指不能被宏观分离从而也不能在宏观范围内运动的正负等量电荷。

设自由电荷的体密度为ρ0，它产生的静电场为E 0，则E 0是有源无旋场，有

∇∙E 0=

ρ0ε0

（16）

∇×E 0=0 （17）

设极化电荷（束缚电荷）的体密度为ρ，，它产生的静电场为E ，，则E ，也是有源无旋场，

有：

∇∙E，=ρ，

ε0

（18）

∇×E，=0（19）以上式子相加，得

∇∙(E0+E，)=ρ0+ρ，

ε0

（20）

∇×(E0+E，)=0（21）设：

ρ=ρ，+ρ0（22）

E

位

=E0+E，（23）最后得：

∇∙E

位=ρ

ε0

（24）

∇×E

位

=0（25）

ρ是总的电荷密度，E

位是ρ产生的静电场，E

位

是有源无旋场即位场（势场）。

对于涡旋电场（法拉第定律）

变化的磁场产生涡旋电场E

旋

，用faraday电磁感应定律（确切的是解释其中的感生电动势，感生电动势产生的是涡旋电场力，通过F=q（E+vb）知道动生电动势产生的是

Lorentz力，广泛应用于电动力学）证得E

旋

是无源有旋（左旋）的电场。

法拉第定律的积分形式表示为

∮E

旋∙dl

C =−∂

∂t

∯B∙dS

S

（26）

得：

∇∙E

旋

=0（27）

∇×E

旋=−∂B

∂t

（28）

总电场

E=E0+E，+E

旋=E

位

+E

旋

（29）

所以，有：

∇∙E=ρ0

ε0+ρ，

ε0

（30）

∇×E=−∂B

∂t

（31）