矩阵的秩和初等变换.

m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有Ckm Ckn 个 .
定义2 设在矩阵 A中有一个不等于0 的 r 阶子式 D , 且所有 r 1 阶子式 (如果存在的话) 全等于 0 , 那么称 D 为矩阵 A 的最高阶非零子式, 数 r 称为矩 阵 A 的秩 , 记作 R ( A) . 并规定零矩阵的秩等于 0 .
定义 3 下面三种变换称为矩阵的初等行变换:
()对调两行(对调 i , j两行记作 ri rj ) ; ( )以数 k o 乘某一行中所有元素(第 i 行乘 k ,记
作 ri k ); ()把某一行所有的元素的k 倍加到另一行对应的
元素上去(第j 行的 k 倍加到第i 行上 , 记作 ri krj ). 把定义中的"行" 换成 "列" , 即得到矩阵中的
下面利用矩阵的初等行 变 换把B矩阵化为行阶梯形矩阵 :
2
B
1 4 3
1 1 6 6
1 2 2 9
1 1 2 7
2 4
r 1 r2
1 2
4 9
r3 2
2 3
1 1 3 6
2 1 1 9
1 1 1 7
4 2
2 9
r2 r3 1 1 2 1 r3 2r1 0 2 2 2
如果矩阵 A 经有限次初等行变换成矩阵 B 就称 矩阵 A 与 B 行等价记作 A r B ;
如果矩阵 A 经有限次初等列变换成矩阵 B, 就称
c
矩阵 A 与 B 列等价, 记作A B ;
定义4：如果矩阵 A 经有限次初等变换变成B ,
称矩阵A 与 B 等价,记作 A ~ B(或A B).
矩阵之间的等价关系具有以下性质： (i) 反身性 A ~ A ; (ii) 对称性 若 A ~ B , 则 B ~ A ; (iii) 传递性 若 A ~ B , B ~ C , 则 A ~ C.
00 4
它显然不等于0,因此R(B) 3 .
由本例可知， 一般矩阵当行数与列数较高时，按定义求秩很麻烦
而对于行阶梯形矩阵，它的秩就等于非零行的行数， 一看便知毋须计算.
因此自然想到用什么方法可把矩阵化为行阶梯形矩阵, 且变化后两个矩阵的秩能相等？
现作准备工作，给出－初等变换－的概念！ 二.矩阵的初等变换
由行列式的性质可知, 在 A 中当所有 r 1 阶子式全等于0 时, 所有高于阶 r 的子式也全等于0,
因此把 r 阶非零子式称为最高阶非零子式 ,
而 A的秩 R(A) (或r(A))就是 A中不等于 0的子式的最高阶数 .
由于 R( A) 是 A 的非零子式最高阶数, 故1若矩阵 A中有某 s 阶子式不为0 , 则 R(A) s ;
2.4矩 阵 的 秩
本节先建立矩阵的秩的概念,讨论矩阵的初等变换，
并提出求秩的有效方法．
再利用矩阵的秩来研究齐次线性方程组有非零解
的充分必要条件，并介绍用初等变换解线性方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
组的方法．
内容丰富，难度较大.
1矩阵的秩
2矩阵的初等变换
3用初等变换求矩阵的秩
4线性方程组与矩阵的初等变换
一.矩阵的秩
定义1 在 m n 矩阵 A中任取k行与 k 列(k m, k n) , 位于这些行列交叉处k2 个元素不改变它们在A中 所处的位置次序而得的k 阶行列式称为矩阵 A 的 k 阶子式.
因此 , 可逆矩阵又称满秩矩阵, 不可逆矩阵(奇异矩阵) 又称降秩矩阵.
例1 求矩阵 A 和 B 的秩 , 1 2 3
A 2 3 5 , 4 7 1
其中 2
B
0 0
0
1 3 0 0
0 1 0 0
3 2 4 0
2
5 3
.
0
解
在 A中容易看出一个 2 阶子式 1
2 0,
23
A 的3 阶子式只有一个A ,
4 0
r2 2
r3 5r2
1 1 2 1 4 0 1 1 1 0
r4 3r1
0 0
5 3
5 3
3 4
63
r4 3r2
0 0
0 0
0 0
2 1
6 3
1 1 2 1 4
1 1 2 1 4
0
0 0
1 0 0
1 0 0
1 2 1
0
6 3
r3 r4
r4 2r3
0
0 0
2若 A中所有t 阶子式全为0 , 则 R(A) t .
3显然 , 若 A 为 m n 矩阵 , 则0 R( A) min{ m , n} . 4有R( AT ) R( A) .
5若c 0, R(cA) R(A)
由于行列式与其转置行列式相等 , 因此 AT 的子式与A 的子式对应相等,
对于 n 阶矩阵 A , 由于 A 的 n 阶子式只有一个A, 6故当 A 0时 R(A) n , 当 A 0时 R(A) n. 可见可逆矩阵的秩等于矩阵的阶数 ,
下面的定理对此作出肯定回答.
定理 1：初等变换不改变矩阵的
秩
(即若 A B , 则 R( A) R(B) .)
初等变换求矩阵秩的方法：
把矩阵用初等变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.
3 2 0 5 0
例2
设
A
3 2 1
2 0 6
3 1 4
6 5 1
413求矩阵 A的秩 .
1 0 0
1 0 0
1 1 0
0 03
B1
可见用初等行变换可把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
由前例可知，对于一般的矩阵当行数与列数较高 时，按定义求秩是很麻烦的. 对于行阶梯形矩阵， 它的秩就等于非零行的行数。
因此可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵.
可用初等变换把矩阵B化为行阶梯形矩阵 B1
但两个等价矩阵的秩是否相等？
经计算可知 A 0 , 因此 R( A) 2 .
B是一个行阶梯形矩阵,
B是一个行阶梯形矩阵, 其特点是: 可画出一条阶梯线,
线的下方全为0 ;
其非零行有3 行 , 即知 B 的所有4阶子式全为零.
而以三个非零行的第一个非零元为对角元的3 阶
行列式
2 1 3 0 3 2 是一个上三角形行列式,
初等列变换的定义( 所用记号是把"r" 换成 "c") . 矩阵的初等行变换与初等列变换 , 统称初等变换.
显然 , 三种初等变换都是可逆的 , 且其逆变换 是同一类型的初等变换;
变换 ri rj 的逆变换就是其本身,
变换
ri
k
的逆交换为ri
1 k
或记作
(ri
k)
;
变换 ri krj 的逆变换为ri (k)rj ( 或记作 ri krj ) .
解 求A的秩, 对A作初等变换变成行阶梯 形矩阵 :