2015高考理科数学《曲线与方程》练习题

2015高考理科数学《曲线与方程》练习题

[A组基础演练·能力提升]

一、选择题

1．方程x2－y2＝0对应的图象是( )

解析：由x2－y2＝0得，y＝x或y＝－x，故选C.

答案：C

2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )

A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0

C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0

解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.

答案：D

3．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点的椭圆经过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )

A．y2－x2

48

＝1(y≤－1) B．y2－

x2

48

＝1(y≥1)

C．x2－y2

48

＝1(x≤－1) D．x2－

y2

48

＝1(x≥1)

解析：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，

又∵|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，

∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又

c＝7，a＝1，b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－x2

48

＝1(y≤－1)．

答案：A

4．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为( )

A ．直线

B ．圆

C ．椭圆

D ．双曲线

解析：设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32

R . 而R ＝|PF |＝x －a 2

＋y 2， ∴|x |＝

32

·x －a

2

＋y 2.

整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，

即

x ＋3a

2

12a 2

－y 2

4a

2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线． 答案：D

5．已知点A (1,0)和圆C ：x 2

＋y 2

＝4上一点R ，动点P 满足RA →＝2AP →

，则点P 的轨迹方程为( ) A.⎝ ⎛

⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1

B.⎝ ⎛

⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝1

C ．x 2

＋⎝

⎛

⎭⎪⎫y －322＝1

D ．x 2

＋⎝

⎛

⎭⎪⎫y ＋322＝1

解析：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，

则有RA →

＝(1－x 0，－y 0)，AP →

＝(x －1，y )． 又RA →＝2AP →

， ∴⎩⎨

⎧

1－x 0＝2x －1，

－y 0＝2y .

∴⎩⎨

⎧

x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y .

又R (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，

∴(－2x ＋3)2＋(－2y )2＝4，即⎝ ⎛

⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1.

答案：A

6．设A 1，A 2是椭圆x 29＋y 2

4

＝1的长轴两个端点，P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与

A 2P 2交点的轨迹方程为( )

A.x 29＋y 24＝1

B.y 29＋x 24＝1

C.x 29－y 2

4

＝1 D.y 29－x 2

4

＝1

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解析：设交点为P (x ，y )，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)， ∵A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝y

x ＋3.① ∵A 2，P 2，P 共线，∴

y ＋y 0x －x 0＝y

x －3.② 由①②解得x 0＝9x

，y 0＝3y

x

，

代入x 209＋y 204＝1，化简，得x 29－y 2

4＝1.

答案：C 二、填空题

7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．

解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，

|B F |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.

根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 2

16＝1(x >3)．

答案：x 29－y 2

16

＝1(x >3)

8．(2014年成都模拟)P 是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，

有一动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→

，则动点Q 的轨迹方程是________．

解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→

，