2015高考理科数学《曲线与方程》练习题
2015年高考数学试题分类汇编圆锥曲线与方程
3.（ 15 北京文科）已知
2,0 是双曲线 x2
y2 b2
1（ b 0 ）的一个焦点，则 b
．
【答案】 3
【解析】
试题分析：由题意知 c 2, a 1 ， b2 c2 a2 3 ，所以 b 3 .
考点：双曲线的焦点 .
4.（ 15 北京文科）已知椭圆 C : x2 3y2 3，过点 D 1,0 且不过点
直线 与直线 x 3 交于点 ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的离心率；
（Ⅱ）若
垂直于 x 轴，求直线
的斜率；
2,1 的直线与椭圆 C 交于 ， 两点，
;.
..
（Ⅲ）试判断直线
与直线 D 的位置关系，并说明理由．
【答案】（ 1） 6 ；（ 2）1；（ 3）直线 BM 与直线 DE 平行 . 3
【解析】
试题分析：本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系等基础知识，考查学
;.
..
令x
3，得点 M (3, y1
x1
3 ).
x1 2
x2
由
3 y2
3 ，得 (1
3k 2 ) x2
6k2 x 3k 2
3
0.
y k( x 1)
所以 x1
x2
6k 2 1 3k 2
，
x1 x2
3k 2 3 1 3k2 .
考点：椭圆的标准方程及其几何性质、直线的斜率、两直线的位置关系
.
5.（15 年广东理科）已知双曲线
（ 2）求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程； （ 3）是否存在实数 k ，使得直线 L : y = k( x - 4) 与曲线 C 只有一个交点：若存在，求出 k 的取值范围；若不
【5年高考3年模拟】2015届高考理科数学(新课标版)§10.5 曲线与方程
§10.5 曲线与方程考点轨迹与轨迹方程1.(2014广东,20,14分)已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(5,0),离心率为53.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若动点P(x0,y)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.解析(1)由题意知c=5,e=ca =53,∴a=3,b2=a2-c2=4,故椭圆C的标准方程为x 29+y24=1.(2)设两切线为l1,l2,①当l1⊥x轴或l1∥x轴时,l2∥x轴或l2⊥x轴,可知P(±3,±2).②当l1与x轴不垂直且不平行时,x≠±3,设l1的斜率为k,且k≠0,则l2的斜率为-1k ,l1的方程为y-y=k(x-x),与x29+y24=1联立,整理得(9k2+4)x2+18(y0-kx)kx+9(y-kx)2-36=0,∵直线l1与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y-kx)2k2-(9k2+4)·[(y-kx)2-4]=0,∴(x02-9)k2-2x0yk+y02-4=0,∴k是方程(x02-9)x2-2x0yx+y02-4=0的一个根,同理,-1k 是方程(x02-9)x2-2xyx+y02-4=0的另一个根,∴k·-1k =y02-4x02-9,整理得x02+y02=13,其中x≠±3,∴点P的轨迹方程为x2+y2=13(x≠±3).检验P(±3,±2)满足上式.综上,点P的轨迹方程为x2+y2=13.2.(2014重庆,21,12分)如图,设椭圆x 2a +y2b=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,|F1F2||DF1|=22,△DF1F2的面积为22.(1)求椭圆的标准方程;(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.解析 (1)设F 1(-c,0),F 2(c,0),其中c 2=a 2-b 2.由|F 1F 2||DF 1|=2 2得|DF 1|=122 2= 22c. 从而S △DF 1F 2=12|DF 1||F 1F 2|= 22c 2= 22,故c=1. 从而|DF 1|= 22,由DF 1⊥F 1F 2 得|DF 2|2=|DF 1|2+|F 1F 2|2=92, 因此|DF 2|=3 22.所以2a=|DF 1|+|DF 2|=2 2, 故a= 2,b 2=a 2-c 2=1.因此,所求椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)如图,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22+y 2=1相交,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是两个交点,y 1>0,y 2>0,F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2. 由圆和椭圆的对称性,易知x 2=-x 1,y 1=y 2,|P 1P 2|=2|x 1|.由(1)知F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1P 1 =(x 1+1,y 1),F 2P 2 =(-x 1-1,y 1).再由F 1P 1⊥F 2P 2得-(x 1+1)2+y 12=0.由椭圆方程得1-x 122=(x 1+1)2,即3x 12+4x 1=0,解得x 1=-43或x 1=0.当x 1=0时,P 1,P 2重合,此时题设要求的圆不存在.当x 1=-43时,过P 1,P 2分别与F 1P 1,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C. 由F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2,知CP 1⊥CP 2. 又|CP 1|=|CP 2|,故圆C 的半径|CP 1|= 22|P 1P 2|= 2|x 1|=4 23.。
(智慧测评)2015届高考数学大一轮总复习 第8篇 第6节 曲线与方程课时训练 理 新人教A版
（智慧测评）2015届高考数学大一轮总复习 第8篇 第6节 曲线与方程课时训练 理 新人教A 版一、选择题1．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 解析：设动圆的半径为r ，圆心为O ′(x ，y )到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y 2＝8x .故选A.答案：A2．方程(x －y )2＋(xy －1)2＝0的曲线是( )A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对 解析：由方程知x －y ＝0且xy ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－1，故该方程表示两个点(1,1)和(－1，－1)．故选C.答案：C3．长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上移动，则AB 中点C 的轨迹是( )A ．线段B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则x ＝a 2，y ＝b 2，即a ＝2x ，b ＝2y . 代入a 2＋b 2＝9，得4x 2＋4y 2＝9，即x 2＋y 2＝94. 故选B.答案：B4．方程(x 2＋y 2－4)x ＋y ＋1＝0的曲线形状是( )解析：原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4＝0，x ＋y ＋1≥0或x ＋y ＋1＝0. 显然方程表示直线x ＋y ＋1＝0和圆x 2＋y 2－4＝0在直线x ＋y ＋1＝0的右上方部分，故选C.答案：C5．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果M 是线段F 1P 的中点，则动点M 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线解析：如图所示，设椭圆方程为 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，连接MO ，由三角形的中位线可得：|F 1M |＋|MO |＝a (a ＞|F 1O |)，则M 轨迹为以F 1、O 为焦点的椭圆．故选B.答案：B6．已知A (1,0)，点P 在圆x 2＋y 2＝1上移动，以OA ，OP 为邻边作▱OAMP (O 为坐标原点)，则点M 的轨迹方程为( )A ．(x －1)2＋y 2＝1B ．(x ＋1)2＋y 2＝1 C ．x 2＋(y －1)2＝1 D ．x 2＋(y ＋1)2＝1 解析：设P (x 1，y 1)，M (x ，y )，则x 21＋y 21＝1，OP →＝(x 1，y 1)，OA →＝(1,0)，OM →＝(x ，y )，由OM →＝OA →＋OP →得(x ，y )＝(x 1＋1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 1＋1，y ＝y 1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝x －1，y 1＝y ， 代入x 21＋y 21＝1得(x －1)2＋y 2＝1.故选A.答案：A二、填空题7．已知两点M (4,0)，N (1,0)，点P 满足MN →·MP →＝6|PN →|，则点P 的轨迹方程为________．解析：设动点P (x ，y )，则MP →＝(x －4，y )，MN →＝(－3,0)，PN →＝(1－x ，－y )，由已知得－3(x －4)＝6 1－x 2＋ －y 2，化简得3x 2＋4y 2＝12，即x 24＋y 23＝1. 答案：x 24＋y 23＝1 8．设x ，y ∈R ，i 、j 为直角坐标平面内x ，y 轴正方向上的单位向量，向量a ＝x i ＋(y ＋2)j ，b ＝x i ＋(y －2)j ，且|a|＋|b|＝8，则点M (x ，y )的轨迹方程为________．解析：由已知得a ＝(x ，y ＋2)，b ＝(x ，y －2)，而|a |＋|b |＝8，故有x 2＋ y ＋2 2＋x 2＋ y －2 2＝8①由①式知动点M (x ，y )到两定点F 1(0，－2)，F 2(0,2)的距离之和为一常数，满足椭圆的定义，故M 点轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆，椭圆的长半轴长a ＝4，所以短半轴长b ＝23，故其轨迹方程为x 212＋y 216＝1. 答案：x 212＋y 216＝1 9．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (－2,1)，B (－1，3)，若点C 满足OC →＝αOA →＋βOB →，其中α，β∈[0,1]且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程是________．解析：设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2α－β，y ＝α＋3β，整理得⎩⎪⎨⎪⎧α＝－3x ＋y 5，β＝x ＋2y 5， 将其代入α＋β＝1中整理得2x －y ＋5＝0， 又x ＝－2α－β＝－2α－(1－α)＝(－α－1)∈[－2，－1]， 所以点C 的轨迹方程是2x －y ＋5＝0，x ∈[－2，－1]． 答案：2x －y ＋5＝0，x ∈[－2，－1] 10．点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2,0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是________________．解析：依题意有|QP |＝|QF |，∴||QC |－|QF ||＝|CP |＝2，又|CF |＝4>2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，∴b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.答案：x 2－y 23＝1 三、解答题11．如图，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1、F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：圆F 1：(x ＋5)2＋y 2＝1，∴圆心F 1(－5,0)，半径r 1＝1.圆F 2：(x －5)2＋y 2＝42，∴圆心F 2(5,0)，半径r 2＝4.设动圆M 的半径为R ，则有|MF 1|＝R ＋1，|MF 2|＝R ＋4，∴|MF 2|－|MF 1|＝3＜|F 1F 2|. ∴M 点轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线(左支)，且a ＝32，c ＝5，b 2＝c 2－a 2＝25－94＝914. ∴双曲线方程为49x 2－491y 2＝1⎝⎛⎭⎪⎫x ≤－32. 12.如图所示，圆O ：x 2＋y 2＝16与x 轴交于A 、B 两点，l1、l 2是分别过A 、B 点的圆O 的切线，过此圆上的另一个点P (P 点是圆上任一不与A 、B 重合的点)作圆的切线，分别交l 1、l 2于C 、D 点，且AD 、BC 两直线的交点为M .当P 点运动时，求动点M 的轨迹方程．解：设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则x 20＋y 20＝16，所以，切线CD 的方程为x 0x ＋y 0y ＝16，由题意，知A (－4,0)、B (4,0)，得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，4 4＋x 0 y 0和D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，4 4－x 0 y 0， 则直线AD 的方程是y ＝4－x 02y 0·(x ＋4)， 直线BC 的方程是y ＝－ 4＋x 0 2y 0(x －4)， 则交点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫x 0，y 02， 所以x 0＝x ，y 0＝2y ，代入x 20＋y 20＝16，得x2＋4y2＝16，由于点P与A、B都不重合，所以y≠0，即所求动点M的轨迹方程是x2＋4y2＝16(y≠0)．。
2015年高考数学(苏教版,理)一轮题库：第10章 第6讲 曲线与方程
第6讲曲线与方程一、填空题1．△ABC的顶点A(－5,0）、B（5,0),△ABC的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．答案错误!－错误!＝1（x>3）2．点P到点(1,1)和到直线x＋2y＝3的距离相等，则点P的轨迹方程为________．答案2x－y－1＝03．已知一条曲线在y轴的右方,它上面的每一点到点A(4，0) 的距离减去该点到y轴的距离之差都是4，则这条曲线的方程是________．解析由题意,曲线上每一点P到点A（4，0）与到直线l：x＝－4距离相等，所以曲线是抛物线，方程为y2＝16x.答案y2＝16x4．过点P（1,1）且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x、y轴交于A、B两点, 则AB中点M的轨迹方程为________．答案x＋y－1＝05．有一动圆P恒过定点F(a,0）(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为________．答案双曲线6．设圆（x＋1)2＋y2＝25的圆心为C,A（1，0）是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为________．解析M为AQ垂直平分线上一点，则AM＝MQ，∴MC＋MA＝MC＋MQ＝CQ＝5,由椭圆的定义知，M的轨迹为椭圆．∴a＝错误!，c＝1，则b2＝a2－c2＝错误!,∴椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1。
答案错误!＋错误!＝17．若△ABC的顶点A（－5,0)、B（5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________．解析如图AD＝AE＝8，BF＝BE＝2,CD＝CF，所以CA－CB＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支,方程为错误!－错误!＝1(x〉3)．答案错误!－错误!＝1(x〉3)8．方程｜y ｜－1＝错误!表示的曲线是________．解析 原方程等价于⎩⎪⎨⎪⎧ |y ｜－1≥01－x －12≥0|y ｜－12＝1－x －12⇔错误!⇔错误!或错误!答案 两个半圆9．已知P 是椭圆错误!＋错误!＝1（a ＞b ＞0）上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，错误!＝错误!＋错误!,则动点Q 的轨迹方程是______________．解析 由错误!＝错误!＋错误!，又错误!＋错误!＝错误!＝2错误!＝－2错误!,设Q （x ,y ）,则错误!＝－错误!错误!＝－错误!(x ，y )＝错误!， 即P 点坐标为错误!，又P 在椭圆上,则有错误!＋错误!＝1,即错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0)．答案 错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0）10.已知两条直线l 1:2x －3y ＋2＝0和l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆（圆心和半径都动）与l 1、l 2都相交,且l 1、l 2被圆截得的弦长分别是定值26和24，则圆心的轨迹方程是____________．解析设动圆的圆心为M(x，y），半径为r，点M到直线l1,l2的距离分别为d1和d2。
2015年高考数学理真题圆锥曲线大题
2015年高考数学理圆锥曲线部分解答题1.【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E 于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .( i )求OQOP的值；（ii ）求ABQ ∆面积的最大值. 【考点定位】1、椭圆的标准方程与几何性质；2、直线与椭圆位置关系综合问题；3、函数的最值问题。
意在考查学生综合利用所学知识解决问题能力和较强的运算求解能力，把ABQ ∆ 面积转化为三角形OAB 的面积，在得到三角形的面积的表达式后，能否利用换元的方法，观察出其中的函数背景成了完全解决问题的关键.2.【2015高考四川，理20】如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【考点定位】本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想。
高考中解几题一般都属于难题的范畴，考生应立足于拿稳第（1）题的分和第（2）小题的步骤分.解决直线与圆锥曲线相交的问题，一般是将直线方程与圆锥曲线的方程联立，再根据根与系数的关系解答.本题是一个探索性问题，对这类问题一般是根据特殊情况找出结果，然后再证明其普遍性.解决本题的关键是通过作B 的对称点将问题转化.3.【2015高考湖南，理20】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为.（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向（ⅰ）若||||AC BD =，求直线l 的斜率；（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形。
2015年全国高考数学试题分类汇编考点40曲线与方程圆锥曲线的综合应用
考点40 曲线与方程、圆锥曲线的综合应用一、选择题1.(2015年新课标全国卷Ⅰ文科·T5)已知椭圆E 的中心为坐标原点,离心率为,E 的右焦点与抛物线C:y 2＝8x 的焦点重合,点A,B 是C 的准线与E 的两个交点,则＝( ) A.3B.6C.9D.12【试题解析】选B.设椭圆E 的方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，依题意得⎪⎩⎪⎨⎧==212a c c ，解得a ＝4,由b 2＝a 2-c 2＝16-4＝12,所以椭圆E 的方程为1121622=+y x ,因为抛物线C:y 2＝8x 的准线为x ＝-2,将x ＝-2代入到1121622=+y x ,解得A(-2,3),B(-2,-3),故＝6.2. （2015·重庆高考理科·Ｔ10）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右顶点为A ，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B ，C 分别作AC ，AB 的垂线，两垂线交于点D ，若D 到直线BC的距离小于a 则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（ ）A ()1,0(0,1)-B (),1(1,)-∞-+∞C.()(0,2)D.(,(2,)-∞+∞【解题指南】解答本题首先根据条件求出交点D 的坐标，然后利用距离小于a 求解渐近线斜率的取值范围.【试题解析】选A.由题意知 (,0),(,0)F c Aa ，其中c联立22221x c x y a b=⎧⎪⎨-=⎪⎩，可解得22(,),(,)b b B c C c a a - 22,ACAB b b c a c aa a k k c a a c a a-++==-==-- 所以AC 的垂线BD 的斜率为BDak c a=+，直线方程为2()b a y x c a c a -=-+ AB 的垂线CD 的斜率为CDak c a=-+，直线方程为2()b a y x c a c a +=--+ 联立22()()b ay x c a c a b a y x c a c a ⎧-=-⎪⎪+⎨⎪+=--⎪+⎩，解得22()(,0)b a c D c a +- 22()(,0)b a c D c a+-到直线BC ：x c =的距离22()b a c a a c a +<+=+ 解得b a <，所以01b a <<，又双曲线的渐近线为by x a=±，所以该双曲线的渐近线斜率的取值范围是()1,0(0,1)-.二、填空题3.(2015年山东高考理科·T15)平面直角坐标系xOy 中,双曲线C 1: 22221x y a b-= (a ＞0,b＞0)的渐近线与抛物线C 2:x 2＝2py(p ＞0)交于点O,A,B,若△OAB 的垂心为C 2的焦点,则C 1的离心率为 .【解题指南】本题是双曲线与抛物线性质的综合应用,应从焦点和垂心出发构造a,b,c 和p 的关系,进而求出离心率e.【试题解析】由对称性知△OAB 是以AB 为底边的等腰三角形,注意到双曲线的渐近线方程为b y x a =±，抛物线的焦点(0,)2p F ，设点(,),(,)b b A m m B m m a a -，则22b m p m a=⨯，由OAB ∆的垂心为F ，得1OA BF k k ⋅=-，21b p m b am a-⨯=--，消去m 得222p,2b pb p pb a a b ⨯-==，即2254b a =，所以2294c a =，故32c e a ==. 答案：324.(2015年新课标全国卷Ⅰ理科·T14)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为 .【解题指南】设出圆的方程为(x-a)2＋y 2＝r 2,然后由两点间距离公式求解.【试题解析】设圆心为(a,0),则圆的方程为(x-a)2＋y 2＝r 2,依题意得222)4(2a a -=+，解得23=a ， 4252=r ，所以圆的方程为425)23(22=+-y x . 答案: 425)23(22=+-y x三、解答题5.(2015年新课标全国卷Ⅱ理科·T20)(12分)已知椭圆C:9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0),直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点A,B,线段AB 的中点为M. (1)证明:直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.(2)若l 过点(,m),延长线段OM 与C 交于点P,四边形OAPB 能否为平行四边形?若能,求此时l 的斜率,若不能,说明理由.【解题指南】(1)将直线y ＝kx ＋b(k ≠0,b ≠0)与椭圆C:9x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)联立,结合根与系数的关系及中点坐标公式证明.(2)由四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分求解证明.【试题解析】(1)设直线l :y ＝kx ＋b(k ≠0,b ≠0),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x M ,y M ). 将y ＝kx ＋b 代入9x 2＋y 2＝m 2得(k 2＋9)x 2＋2kbx ＋b 2-m 2＝0,故92221+-=+=k kbx x x M ， 992+=+=k bb k y M M . 于是直线OM 的斜率kx y k M M OM 9-==即k OM ·k ＝-9,所以直线OM 的斜率与l 的斜率的积是定值. (2)四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(,m),所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0,k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝-x. 设点P 的横坐标为x p .由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22299m y x x k y ，得8192222+=k m k x p ，即932+±=k km x p . 将点),3(m m 的坐标代入l 的方程得3)3(k m b -=，因此)9(3)3(2+-=k k k x M 四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相评分，即P M x x =2.于是=k k 12=4=4因为k i ＞0,k i ≠3,i ＝1,2,所以当l 的斜率为4-或4＋时,四边形OAPB 为平行四边形.6.(2015年新课标全国卷Ⅰ理科·T20)(12分)在直角坐标系xOy 中,曲线C:y＝与直线y ＝kx ＋a(a ＞0)交于M,N 两点,(1)当k ＝0时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程.(2)y 轴上是否存在点P,使得当k 变动时,总有∠OPM ＝∠OPN?说明理由. 【试题解析】(1)由题设可得M(2,a),N(-2,a),或M(-2,a),N(2,a).又y ′＝,故y＝在x ＝2处的导数值为,曲线C 在点(2,a)处的切线方程为y-a＝(x-2),即x-y-a ＝0.y＝在x ＝-2处的导数值为-,曲线C 在点(-2,a)处的切线方程为y-a ＝-(x ＋2),即x ＋y ＋a ＝0.(2)存在符合题意的点P,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),直线PM,PN 的斜率分别为k 1,k 2. 将y ＝kx ＋a 代入C 的方程得x 2-4kx-4a ＝0. 故x 1＋x 2＝4k,x 1x 2＝-4a. 从而y b y b k k x x 121212--+=+()()kx x a b x x x x 1212122+-+=()k a b a+=. 当b ＝-a 时,有k 1＋k 2＝0,则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补,故∠OPM ＝∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意.7. （2015·重庆高考理科·Ｔ21）如题（21）图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1.PQ PF ⊥(1)若1222PF PF ==求椭圆的标准方程；（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率e .【解题指南】（1）直接根据椭圆的定义即可求出椭圆的长轴长即焦距，从而可求出椭圆的方程，（2）根据椭圆的定义即可求解.【试题解析】（1）由椭圆的定义，122224,a PF PF =+==故 2.a = 设椭圆的半焦距为c ，由已知12,PF PF ⊥因此122c F F====即c =从而1b ==故所求椭圆的标准方程为21.4x y +=（2）如答（21）图，设点00(,)P x y 在椭圆上，且12,PF PF ⊥则222220000221,,x y x y c a b+=+=求得200.b x y c ==± 由12,PF PQ PF =>得00x >，从而(242122222()2.b PFc ca b a ⎫=+⎪⎭=-+=由椭圆的定义，12122,2.PF PF a QF QF a+=+=从而由 122,PF PQ PF QF ==+有1142,QF a PF =-因此1(24,PF a =即(24,a a =于是(24,=解得e == 8. （2015·重庆高考文科·Ｔ21）如题（21）图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1.PQ PF ⊥(1)若1222PF PF ==求椭圆的标准方程；（2）若134,,43PQ PF λλ=≤<且试确定椭圆离心率e 的取值范围.【解题指南】（1）直接根据椭圆的定义即可求出椭圆的长轴长即焦距，从而可求出椭圆的方程，（2）将离心率整理成关于λ的函数，然后根据函数的单调性进行根求解.【试题解析】（1）由椭圆的定义，122224,a PF PF=+==故 2.a=设椭圆的半焦距为c，由已知12,PF PF⊥因此122c F F====即c=从而1b==故所求椭圆的标准方程为21. 4xy+=（2）如答（21）图，由1,PFPQ⊥1,PQ PFλ=得11.QF==由椭圆的定义，12122,2.PF PF a QF QF a+=+=从而有114,PF PQ QF a++=于是(114,PF aλ+=解得1PF=故212PF a PF=-=由勾股定理得222221212(2)4,PF PF F Fc c+===从而2224c⎛⎫⎛⎫+=两边除以24a，得()2224.1eλ+=+若记1t λ=+则上式变成22224(2)1118.42t e t t +-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭由34,43λ≤<并注意到1λ+λ的单调性，得11134,.43t t ≤<<≤即进而215,292e e <≤<≤。
曲线与方程复习试题(附解析2015数学高考一轮)
曲线与方程复习试题（附解析2015数学高考一轮）曲线与方程复习试题（附解析2015数学高考一轮）A组基础演练1．设m＞1，则关于x，y的方程(1－m)x2＋y2＝m2－1表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线答案：D2．动点P为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上异于椭圆顶点(±a,0)的一点，F1、F2为椭圆的两个焦点，动圆C与线段F1P、F1F2的延长线及线段PF2相切，则圆心C的轨迹为()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线解析：如图所示，设三个切点分别为M、N、Q.∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PM|＋|F2N|＝|F1N|＋|F2N|＝|F1F2|＋2|F2N|＝2a，∴|F2N|＝a－c，∴N点是椭圆的右顶点，∴CN⊥x轴，∴圆心C的轨迹为直线．答案：D3．若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹为()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案：D4．(2014•河北廊坊二模)有一动圆P恒过定点F(a,0)(a＞0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为()A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线解析：设P(x，y)，动圆P的半径为R，由于△ABP为正三角形，∴P到y轴的距离d＝32R，即|x|＝32R.而R＝|PF|＝－＋y2，∴|x|＝－＋y2.整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，即＋－y24a2＝1.∴点P的轨迹为双曲线．答案：D5．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1，2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是________．解析：由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.答案：2x－y＋5＝06．P是椭圆x2a2＋y2b2＝1上的任意一点，F1、F2是它的两个焦点，O为坐标原点，OQ→＝PF1→＋PF2→，则动点Q的轨迹方程是________．解析：由OQ→＝PF1→＋PF2→，又PF1→＋PF2→＝PM→＝2PO→＝－2OP→，设Q(x，y)，则OP→＝－12OQ→＝－12(x，y)＝－x2，－y2，即P点坐标为－x2，－y2，又P在椭圆上，则有－x22a2＋－y22b2＝1，即x24a2＋y24b2＝1.答案：x24a2＋y24b2＝17．(2014•广东阳江调研)已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足PA→•PB→＝x2－6，则动点P的轨迹是________．解析：∵动点P(x，y)满足PA→•PB→＝x2－6，∴(－2－x，－y)•(3－x，－y)＝x2－6，∴动点P的轨迹方程是y2＝x，轨迹为抛物线．答案：抛物线8．如图所示，过点P(2,4)作互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程．解：设点M的坐标为(x，y)，∵M是线段AB的中点，∴A点的坐标为(2x,0)，B点的坐标为(0,2y)．∴PA→＝(2x－2，－4)，PB→＝(－2,2y－4)由已知PA→•PB→＝0，∴－2(2x－2)－4(2y－4)＝0，即x＋2y－5＝0.∴线段AB中点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0.9．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上的一点，若RA→＝AP→，求点P的轨迹方程．解：∵RA→＝AP→，∴R，A，P三点共线，且A为RP的中点，设P(x，y)，R(x1，y1)，则由RA→＝AP→，得(1－x1，－y1)＝(x－1，y)，则1－x1＝x－1－y1＝y，即x1＝2－x，y1＝－y，将其代入直线y＝2x－4中，得y＝2x.∴点P的轨迹方程为y＝2x.B组能力突破1．已知点M到双曲线y25－x220＝1的两个焦点的距离之比为2∶3，则点M的轨迹方程是()A．x2＋y2＋50x＋25＝0或x2＋y2－50x＋25＝0B．x2＋y2＋26x－25＝0或x2＋y2－26x－25＝0C．x2＋y2＋50y－25＝0或x2＋y2－50y－25＝0D．x2＋y2＋26y＋25＝0或x2＋y2－26y＋25＝0解析：设M(x，y)，因为双曲线y25－x220＝1的两个焦点是F1(0,5)，F2(0，－5)，所以|MF1|∶|MF2|＝2∶3或|MF2|∶|MF1|＝2∶3，即x2＋－＋＋＝23或x2＋＋＋－＝23，化简得x2＋y2－26y＋25＝0或x2＋y2＋26y＋25＝0.故选D.答案：D2．抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过点F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是()A．4B．33C．43D．8解析：由题意可知，抛物线的准线方程为x＝－1，抛物线的焦点坐标为(1,0)．直线AF的方程为y＝3(x－1)，解方程组y2＝4xy＝－，得x＝3y＝23或x＝13y＝－233，因为点A在x轴的上方，所以x＝3y ＝23符合题意，即点A坐标为(3,23)，|AK|＝3＋1＝4，点F到直线AK 的距离d即为点A的纵坐标23，因此S△AKF＝12|AK|•d＝43.答案：C3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(－2,1)，B(－1,3)，若点C满足OC→＝αOA→＋βOB→，其中α，β∈0,1]且α＋β＝1，则点C的轨迹方程是________．解析：设C(x，y)，则x＝－2α－β，y＝α＋3β，整理得α＝－3x＋y5，β＝x＋2y5，将其代入α＋β＝1中整理得2x－y＋5＝0，又x＝－2α－β＝－2α－(1－α)＝(－α－1)∈－2，－1]，所以点C的轨迹方程是2x－y＋5＝0，x∈－2，－1]．答案：2x－y＋5＝0，x∈－2，－1]4．如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝45|PD|.(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为45的直线被C所截线段的长度．解：(1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，由已知得xP＝x，yP＝54y，∵P在圆上，∴x2＋54y2＝25，即轨迹C的方程为x225＋y216＝1.(2)过点(3,0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)，设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，得x225＋－＝1，即x2－3x－8＝0.∴x1＝3－412，x2＝3＋412.∴线段AB的长度为|AB|＝－＋－＝＋－＝4125×41＝415.。
2015年高考理科数学全国卷(新课标II卷)含答案
1 2
3 ． 2
y
B D
1 2 3 4
O
–1 –2 –3 –4
x
C
15． (a x)(1 x) 的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a __________．
4
【答案】 3 【解析】 试题分析：由已知得 (1 x) 1 4 x 6 x 4 x x ，故 (a x)(1 x) 的展开式中 x 的奇数次幂项分别
x A O B
【答案】B 【解析】
考点：函数的图象和性质． 11．已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120° ，则 E 的离 心率为（ ） A． 5 【答案】D 【解析】 B． 2 C． 3 D． 2
x2 y 2 2 1(a 0, b 0) ，如图所示， AB BM ，ABM 1200 ，过点 M 2 a b 作 MN x 轴，垂足为 N ，在 RtBMN 中， BN a ， MN 3a ，故点 M 的坐标为 M (2a, 3a ) ，
4 2 3 4
4
为 4ax ， 4ax3 ， x ， 6 x 3 ， x 5 ，其系数之和为 4a 4a 1+6+1=32 ，解得 a 3 ． 考点：二项式定理． 16．设 S n 是数列 an 的前 n 项和，且 a1 1 ， an1 Sn Sn1 ，则 Sn ________． 【答案】 【解析】 试题分析：由已知得 an1 Sn1 Sn Sn1 Sn ，两边同时除以 Sn 1 Sn ，得 是以 1 为首项， 1 为公差的等差数列，则
1 1 2 1 R R R3 36 ， 故 R 6 ， 则 球 O 的 表 面 积 为 3 2 6
2015年高考理科数学创新演练：曲线与方程(含答案)
创新演练一、选择题1．设动点P 在直线x －1＝0上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是( )A ．椭圆B ．两条平行直线C ．抛物线D ．双曲线B [设Q (x ，y )，P (1，a )，a ∈R ，则有OP ―→,·OQ ―→,＝0，且|OP ―→,|＝|OQ ―→,|，∴⎩⎨⎧x 2＋y 2＝1＋a 2，x ＋ay ＝0， 消去a ，得x 2＋y 2＝1＋x 2y 2＝x 2＋y2y 2.∵x 2＋y 2≠0，∴y ＝±1.即动点Q 的轨迹为两条平行直线y ＝±1.]2．已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1) B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0) D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)A [设另两个切点为E 、F ， 如图所示，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |， |NF |＝|NB |，从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2＜|MN |，所以P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．]3．已知定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆B [设N (a ，b )，M (x ，y )，则a ＝x －22，b ＝y2，代入圆O 的方程得点M 的轨迹方程是(x －2)2＋y 2＝22，此时|PF 1|－|PF 2|＝|PF 1|－(|PF 1|±2)＝±2，即||PF 1|－|PF 2||＝2，故所求的轨迹是双曲线．]4．若点P (x ，y )到点F (0，2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P (x ，y )的轨迹方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝－8xC ．x 2＝8yD ．x 2＝－8yC [点P (x ，y )到点F (0，2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0，2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py ，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y .]5．已知A (0，7)，B (0，－7)，C (12，2)，以C 为一个焦点的椭圆经过A ，B 两点，则椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( ) A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1(y ≥1)C ．x 2－y 248＝1(x ≤－1)D ．x 2－y 248＝1(x ≥1)A [由题意知|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又∵|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2，故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c ＝7，a ＝1，b 2＝48，∴点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．]6．设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴正半轴和y 轴正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点，若，则点P 的轨迹方程是( )A.32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) B.32x 2－3y 2＝1(x ＞0，y ＞0) C ．3x 2－32y 2＝1(x ＞0，y ＞0) D ．3x 2＋32y 2＝1(x ＞0，y ＞0)A [设A (a ，0)，B (0，b )(a ，b ＞0)．可得BP ―→,＝(x ，y －b )，P A ―→,＝(a －x ，－y )，OQ ―→,＝(－x ，y )，AB ―→,＝(－a ，b )．由BP ―→,＝2P A ―→,得⎩⎨⎧x ＝2a －2x ，y －b ＝－2y ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32x ，b ＝3y .由OQ ―→,·AB ―→,＝1得ax ＋by ＝1.所以32x 2＋3y 2＝1(x ＞0，y ＞0)．] 二、填空题7．点P 是圆C ：(x ＋2)2＋y 2＝4上的动点，定点F (2，0)，线段PF 的垂直平分线与直线CP 的交点为Q ，则点Q 的轨迹方程是________． 解析 依题意有|QP |＝|QF |， 则||QC |－|QF ||＝|CP |＝2，又|CF |＝4＞2，故点Q 的轨迹是以C 、F 为焦点的双曲线，a ＝1，c ＝2，得b 2＝3，所求轨迹方程为x 2－y 23＝1.答案 x 2－y 23＝18．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程__________．解析 设直线x a ＋y2－a ＝1与x ，y 轴交点为A (a ，0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1， ∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.答案 x ＋y ＝1(x ≠0，x ≠1)9．由抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交于点R ，则点R 的轨迹方程为______________．解析 设P (x 1，y 1)，R (x ，y )， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 则直线OP 的方程为y ＝y 1x 1x ，①直线FQ 的方程为y ＝－y 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，②由①②得x 1＝2x 1－2x ，y 1＝2y1－2x ，将其代入y 2＝2x ， 可得y 2＝－2x 2＋x .即点R 的轨迹方程为y 2＝－2x 2＋x . 答案 y 2＝－2x 2＋x 三、解答题10．已知定点F (0，1)和直线l 1：y ＝－1，过定点F 与直线l 1相切的动圆的圆心为点C .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)过点F 的直线l 2交动点C 的轨迹于P ，Q 两点，交直线l 1于点R ，求,的最小值．解析 (1)由题设知点C 到点F 的距离等于它到l 1的距离， ∴点C 的轨迹是以F 为焦点，l 1为准线的抛物线， ∴动点C 的轨迹方程为x 2＝4y .(2)由题意知，直线l 2方程可设为y ＝kx ＋1(k ≠0)， 与抛物线方程联立消去y ，得x 2－4kx －4＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4. 又易得点R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，－1，,＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ，y 1＋1·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ，y 2＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2k ＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k (x 1＋x 2)＋4k 2＋4＝－4(1＋k 2)＋4k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k ＋4k 2＋4＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＋1k 2＋8. ∵k 2＋1k 2≥2，当且仅当k 2＝1时取等号，≥4×2＋8＝16，即RP ―→,·RQ ―→,的最小值为16.11．已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点F 1，F 2在y 轴上，它的一个顶点为A (2，0)，且中心O 到直线AF 1的距离为焦距的14，过点M (2，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上． (1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，求动点N 的轨迹方程． 解析 (1)设椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由于椭圆的一个顶点是A (2，0)，故b 2＝2. 根据题意得∠AF 1O ＝π6，sin ∠AF 1O ＝ba ， 即a ＝2b ，a 2＝8，所以椭圆的标准方程是y 28＋x 22＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x ，y )，由题意知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．直线l 的方程与椭圆方程联立消去y 得 (k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－8＝0. 由Δ＝16k 4－4(k 2＋4)(4k 2－8)＞0， 得－2＜k ＜2.根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 24＋k 2，x 1x 2＝4k 2－84＋k 2.又|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |， 即(2－x 1)(x 2－x )＝(x －x 1)(2－x 2)．解得x ＝1，代入直线l 的方程得y ＝－k ，y ∈(－2，2)． 所以动点N 的轨迹方程为x ＝1，y ∈(－2，2)．12．(2012·辽宁高考)如图，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2，1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积；(2)求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程． 解析 (1)设A (x 0，y 0)， 则矩形ABCD 的面积S ＝4|x 0||y 0|. 由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 20＝x 20⎝⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t ＝5时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为6.(2)由A (x 0，y 0)，B (x 0，－y 0)，A 1(－3，0)，A 2(3，0)知 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)．①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)． ② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x29－y2＝1(x<－3，y<0)．因此点M的轨迹方程为x29－y2＝1(x<－3，y<0)．。
《三维设计》2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套课时训练：(五十八) 曲线与方程
课时跟踪检测(五十八)曲线与方程第Ⅰ组：全员必做题1. 长为3的线段AB的端点A，B分别在x轴，y轴上移动，AC＝2CB，则点C的轨迹是()A．线段B．圆C．椭圆D．双曲线2. 已知定点A(2,0)，它与抛物线y2＝x上的动点P连线的中点M的轨迹方程为()A．y2＝2(x－1) B．y2＝4(x－1)C．y2＝x－1 D．y2＝12(x－1)3．(2014·长春模拟) 设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为()A.4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221＝14．(2014·银川模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是() A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝05．(2013·焦作模拟)设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，P A是圆的切线，且|P A|＝1，则P点的轨迹方程为()A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝26．已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是____________．7．△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是________________．8．(2013·武汉调研)动点P到点F(2,0)的距离与它到直线x＋2＝0的距离相等，则动点P的轨迹方程为________．9．(2013·大连模拟) 设A，B分别是直线y＝22x和y＝－22x上的动点，且|AB|＝2，设O为坐标原点，动点P满足OP＝OA＋OB.(1)求点P的轨迹方程；(2)过点(3，0)作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1，l2与点P的轨迹的相交弦分别为CD，EF，设CD，EF的弦中点分别为M，N，求证：直线MN恒过一个定点．10. (2013·广州模拟)如图，已知抛物线P：y2＝x，直线AB与抛物线P交于A，B两点，OA⊥OB，OA＋OB＝OC，OC与AB交于点M.(1)求点M的轨迹方程；(2)求四边形AOBC的面积的最小值．第Ⅱ组：重点选做题1．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线2．(2014·余姚模拟)已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 设C (x ，y )，A (a,0)，B (0，b )，则a 2＋b 2＝9①又AC ＝2CB ，所以(x －a ，y )＝2(－x ，b －y )，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3x ，b ＝32y ，②代入①式整理可得：x 2＋y 24＝1. 2．选D 设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋22，y ＝y 02.所以⎩⎨⎧x 0＝2x －2，y 0＝2y .由于y 20＝x 0，所以4y 2＝2x －2.即y 2＝12(x －1)．3．选D ∵M 为AQ 垂直平分线上一点，则|AM |＝|MQ |，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5，故M 的轨迹为椭圆．∴a＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214， ∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y 221＝1.4．选D 设Q (x ，y )，则P 为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0得2x －y ＋5＝0.5.选D 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)．连接MA ，则MA ⊥P A ，且|MA |＝1，又∵|P A |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|P A |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.6．解析：设抛物线焦点为F ，过A ，B ，O 作准线的垂线AA 1，BB 1，OO 1，则|AA 1|＋|BB 1|＝2|OO 1|＝4，由抛物线定义得|AA 1|＋|BB 1|＝|F A |＋|FB |，∴|F A |＋|FB |＝4，故F 点的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)．答案：x 24＋y 23＝1(y ≠0)7．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)8．解析：由抛物线定义知点P 的轨迹是以F (2,0)为焦点的抛物线，设抛物线的方程为y 2＝2px ，从而可知p ＝4，所以动点P 的轨迹方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x9．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )，∵OP ＝OA ＋OB ，∴x ＝x 1＋x 2，y ＝y 1＋y 2，∵y 1＝22x 1，y 2＝－22x 2，∴x ＝x 1＋x 2＝2(y 1－y 2)，y ＝y 1＋y 2＝22(x 1－x 2)．∵|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2， ∴12x 2＋2y 2＝2，∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 1的方程为x －3＝ky .由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3＝ky ，x 24＋y 2＝1得(k 2＋4)y 2＋23ky －1＝0，∴y 1＋y 2＝－23k k 2＋4，x 1＋x 2＝83k 2＋4. ∴M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43k 2＋4，－3k k 2＋4， 同理可得N 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43k 24k 2＋1，3k 4k 2＋1. ∴直线MN 的斜率k MN ＝3k 4k 2＋1＋3k k 2＋443k 24k 2＋1－43k 2＋4＝5k 4(k 2－1). ∴直线MN 的方程为y ＋3k k 2＋4＝5k 4(k 2－1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －43k 2＋4. 整理化简得4k 4y ＋(43－5x )k 3＋12k 2y －16y ＋(－20x ＋163)k ＝0，∴x ＝435，y ＝0，∴直线MN 恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫435，0. 10．解：(1)设M (x ，y )，A (y 21，y 1)，B (y 22，y 2)，∵OA ＋OB ＝OC ，∴M 是线段AB 的中点．∴x ＝y 21＋y 222＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 22，① y ＝y 1＋y 22.②∵OA ⊥OB ，∴OA ·OB ＝0.∴y 21y 22＋y 1y 2＝0.依题意知y 1y 2≠0，∴y 1y 2＝－1.③把②、③代入①得：x ＝4y 2＋22，即y 2＝12(x －1)．∴点M 的轨迹方程为y 2＝12(x －1)．(2)依题意得四边形AOBC 是矩形，∴四边形AOBC 的面积为S ＝|OA ||OB |＝(y 21)2＋y 21·(y 22)2＋y 22 ＝(y 21＋1)(y 22＋1)(y 1y 2)2 ＝y 21y 22＋y 21＋y 22＋1 ＝2＋y 21＋y 22.∵y 21＋y 22≥2|y 1y 2|＝2，当且仅当|y 1|＝|y 2|时，等号成立，∴S ≥2＋2＝2.∴四边形AOBC 的面积的最小值为2.第Ⅱ组：重点选做题1．选D 原方程可化为⎩⎨⎧ 2x ＋3y －1＝0，x －3≥0或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，故原方程表示的曲线是一条直线和一条射线．2．选D 由已知得|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，故选D.。
2015高考理科数学《曲线与方程》练习题
2015高考理科数学《曲线与方程》练习题2015高考理科数学《曲线与方程》练习题[A组基础演练·能力提升]一、选择题1．方程x2－y2＝0对应的图象是( )解析：由x2－y2＝0得，y＝x或y＝－x，故选C.答案：C2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.答案：D3．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点的椭圆经过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )A．y2－x248＝1(y≤－1) B．y2－x248＝1(y≥1)C．x2－y248＝1(x≤－1) D．x2－y248＝1(x≥1)解析：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又∵|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．答案：A4．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝|PF |＝x －a 2＋y 2， ∴|x |＝32·x －a2＋y 2.整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即x ＋3a212a 2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线． 答案：D5．已知点A (1,0)和圆C ：x 2＋y 2＝4上一点R ，动点P 满足RA →＝2AP →，则点P 的轨迹方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝1C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＝1D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1解析：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则有RA →＝(1－x 0，－y 0)，AP →＝(x －1，y )． 又RA →＝2AP →， ∴⎩⎨⎧1－x 0＝2x －1，－y 0＝2y .∴⎩⎨⎧x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y .又R (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴(－2x ＋3)2＋(－2y )2＝4，即⎝⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1.答案：A6．设A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1的长轴两个端点，P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.x29＋y24＝1 B.y29＋x 24＝1 C.x 29－y 24＝1 D.y 29－x 24＝1 解析：设交点为P (x ，y )，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)， ∵A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝yx ＋3.① ∵A 2，P 2，P 共线，∴y ＋y 0x －x 0＝yx －3.② 由①②解得x 0＝9x，y 0＝3yx，代入x 209＋y 204＝1，化简，得x 29－y 24＝1.答案：C 二、填空题7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|B F |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案：x 29－y 216＝1(x >3)8．(2014年成都模拟)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝ 2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )， 则OP →＝－12OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1. 答案：x 24a 2＋y 24b2＝19．已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O ，A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是________．解析：如图，连接AP ，由于P 是线段AB 垂直平分线上一点，故有|PA |＝|PB |，因此||PA|－|PO||＝||PB|－|PO||＝|OB|＝R＝定值，其中R为⊙O的半径．又由于点A在圆外，故||PA|－|PO||＝|OB|＝R<|OA|，故动点P的轨迹是以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线．答案：以O，A为焦点，OB为实轴长的双曲线三、解答题10.如图所示，直线l1与l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝17，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．解析：以l1为x轴，l2为y轴建立平面直角坐标系，M为坐标原点．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分别为E、D、F.设A(x A，y A)，B(x B，y B)，N(x N,0)．依题意有x A＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3，y＝|DM|＝|AM|2－|DA|2＝2 2.A∵△AMN是锐角三角形，∴x N＝|ME|＋|EN|＝|ME|＋|AN|2－|AE|2＝4，x＝|BF|＝|BN|＝6.B设P(x，y)是曲线段C上任一点，则P∈{(x，y)|(x－x N)2＋y2＝x2，x A≤x≤x B，y>0}．∴曲线段C的方程为y2＝8(x－2)(3≤x≤6，y>0)．11．已知圆C的方程为x2＋y2＝4.(1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程；(2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝23，求直线l的方程；(3)圆C 上有一动点M (x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解析：(1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，则由|2－k |k 2＋1＝2，得k 1＝0，k 2＝－43，从而所求的切线方程为y ＝2和4x ＋3y －10＝0.(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d (d >0)，则23＝24－d 2，得d ＝1，从而1＝|－k ＋2|k 2＋1，得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.(3)设Q 点的坐标为(x ，y )，M 点坐标是(x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，∵OQ →＝OM →＋ON →，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)⇒x ＝x 0，y ＝2y 0.∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝4，即x 24＋y 216＝1. ∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1，轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．12．(能力提升)(2014年恩施模拟)在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，|OM →|＝5，ON →＝255OM →.过点M 作MM 1⊥y 轴于点M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，OT →＝M 1M →＋N 1N →.记点T 的轨迹为曲线C ，点A (5,0)、B (1,0)，过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q (点Q 在A 与P 之间)．(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得|BP |＝|BQ |，并说明理由．解析：(1)设点T 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x ′，y ′)，则M 1的坐标为(0，y ′)， ON →＝255OM →＝255(x ′，y ′)，于是点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫255x ′，255y ′，N 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫255x ′，0，所以M 1M →＝(x ′，0)，N 1N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255y ′.由OT →＝M 1M →＋N 1N →，有(x ，y )＝(x ′，0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255y ′，所以⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝255y ′.由此得x ′＝x ，y ′＝52y . 由|OM →|＝5，得x ′2＋y ′2＝5，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝5，得x 25＋y 24＝1，即所求的方程表示的曲线C是椭圆．(2)点A (5,0)在曲线C 即椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆C 无交点，所以直线l 的斜率存在，并设为k ，直线l 的方程为y ＝k (x －5)．由方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，y ＝k x －5得(5k 2＋4)x 2－50k 2x ＋125k 2－20＝0.依题意知Δ＝20(16－80k 2)>0，得－55<k <55.当－55<k <55时，设交点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点为R (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝50k 25k 2＋4，x 0＝x 1＋x 22＝25k 25k 2＋4.∴y 0＝k (x 0－5)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫25k 25k 2＋4－5＝－20k25k 2＋4.又|BP |＝|BQ |⇔BR ⊥l ⇔k ·k BR ＝－1，k ·k BR ＝k ·20k 5k 2＋41－25k 25k 2＋4＝20k 24－20k 2＝－1⇔20k 2＝20k 2－4，而20k 2＝20k 2－4不可能成立，所以不存在直线l ，使得|BP |＝|BQ |.[B 组 因材施教·备选练习]1．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1) 解析：如图所示，设直线MP 与直线NP 分别与动圆C 切于点E 、F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |，所以点P 的轨迹是以M 、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．设对应的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a ＝1，c ＝3，b 2＝8.故P点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．答案：A2．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线解析：在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DC 与A 1D 1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD 过直线DC 且平行于A 1D 1，以D 为原点，分别以DA 、DC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点P (x ，y )在平面ABCD 内，且到A 1D 1到DC 的距离相等，∴|x |＝y 2＋a 2，∴x 2－y 2＝a 2，故该轨迹为双曲线．答案：D3．由抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交于点R ，则点R 的轨迹方程是________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202，y 0，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0∴OP 的方程y ＝2y 0x ①QF 的方程为：y ＝－y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12② 由①、②消去y 0得y 2＝－2x 2＋x . 答案：y 2＝－2x 2＋x======*以上是由明师教育编辑整理======。
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-8曲线与方程课后强化作业 北师大版
"【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 9-8曲线与方程课后强化作业 北师大版 "基础达标检测一、选择题1．到点F (0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2 C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y [答案]C[解析]∵动点M 到点F (0,4)的距离比它到直线y ＝－5的距离小1，∴动点M 到点F (0,4)的距离与它到直线y ＝－4的距离相等．根据抛物线的定义可得点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，以直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y ，故选C.2．已知两点M (－2,0)，N (2,0)，点P 满足PM →·PN →＝0，则点P 的轨迹方程为( ) A.x 216＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8 D ．x 2＋y 2＝8 [答案]B[解析]设点P 的坐标为(x ，y )，即PM →·PN →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝－4＋x 2＋y 2＝0，即得点P 的轨迹为x 2＋y 2＝4.3．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 [答案]A[解析]直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．4．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A 、B 两点，则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35 C ．－35D ．－45[答案]D[解析]设点A (x 1，y y )、B (x 2，y 2)．由题意得点F (1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4xy ＝2x －4消去y 得x 2－5x ＋4＝0，解得x ＝1或x ＝4，因此点A (1，－2)、B (4,4)，F A →＝(0，－2)，FB →＝(3,4)，cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →||FB →|＝0×3＋(－2)×42×5＝－45，选D.5．一圆形纸片的圆心为O ，点Q 是圆内异于O 的一个定点，点A 是圆周上一动点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后展开纸片，折痕CD 与OA 交于点P ，当点A 运动时，点P 轨迹为( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆 [答案]A[解析]∵折痕所在的直线是AQ 的垂直平分线， ∴|P A |＝|PQ |，又∵|P A |＋|OP |＝r ，∴|PQ |＋|OP |＝r >|OQ |. 由椭圆的定义知点P 的轨迹是椭圆．6．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 [答案]B[解析]∵k AB ＝0＋153＋12＝1，∴直线AB 的方程为y ＝x －3.由于双曲线的焦点为F (3,0)，∴c ＝3，c 2＝9. 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则x 2a 2－(x －3)2b 2＝1. 整理，得(b 2－a 2)x 2＋6a 2x －9a 2－a 2b 2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝6a 2a 2－b 2＝2×(－12)．∴a 2＝－4a 2＋4b 2，∴5a 2＝4b 2. 又a 2＋b 2＝9，∴a 2＝4，b 2＝5. ∴双曲线E 的方程为x 24－y 25＝1.二、填空题7．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1，F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为________.[答案]55[解析]本题考查了椭圆的定义与离心率的求法． 由已知|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝a －c ，|BF 1|＝a ＋c ， 因为|F 1F 2|2＝|AF 1||BF 1|，所以(2c )2＝(a －c )(a ＋c )， ∴5c 2＝a 2，∴e ＝55. 8．长为3的线段AB 的端点A ，B 分别在x ，y 轴上移动，动点C (x ，y )满足AC →＝2CB →，则动点C 的轨迹方程是________．[答案]x 2＋y 24＝1 [解析]由题意设A (x A,0)，B (0，y B )，AC →＝(x －x A ，y )，CB →＝(－x ，y B －y )， ∵AC →＝2CB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x A ＝－2x ，y ＝2(y B －y )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x A ＝3x ，y B ＝32y .由x 2A ＋y 2B ＝9⇒9x 2＋94y 2＝9⇒x 2＋y 24＝1. 9．(2014·东北三校联考)已知双曲线方程是x 2－y 22＝1，过定点P (2,1)作直线交双曲线于P 1，P 2两点，并使P (2,1)为P 1P 2的中点，则此直线方程是________．[答案]4x －y －7＝0[解析]设点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则由x 21－y 212＝1，x 22－y 222＝1，得k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝2(x 2＋x 1)y 2＋y 1＝2×42＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ>0，故此直线满足条件．三、解答题 10.(2012·某某一中期中)如图，两条过原点O 的直线l 1，l 2分别与x 轴、y 轴成30°的角，点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动，且线段PQ 的长度为2.(1)求动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与(1)中的轨迹C 交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值X 围．[解析](1)由已知得直线l 1⊥l 2， l 1y ＝33x ，l 2y ＝－3x ，∵点P (x 1，y 1)在直线l 1上运动，点Q (x 2，y 2)在直线l 2上运动， ∴y 1＝33x 1，y 2＝－3x 2， 由|PQ |＝2，得(x 21＋y 21)＋(x 22＋y 22)＝4，即43x 21＋4x 22＝4⇒x 213＋x 22＝1， ∴动点M (x 1，x 2)的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2，将其代入x 23＋y 2＝1，化简得(1＋3k 2)x 2＋12kx ＋9＝0， 设A (x 3，y 3)、B (x 4，y 4)，∴Δ＝(12k )2－36×(1＋3k 2)>0⇒k 2>1， 且x 3＋x 4＝－12k 1＋3k 2，x 3x 4＝91＋3k 2， ∵∠AOB 为锐角，∴OA →·OB →>0，即x 3x 4＋y 3y 4>0⇒x 3x 4＋(kx 3＋2)(kx 4＋2)>0， ∴(1＋k 2)x 3x 4＋2k (x 3＋x 4)＋4>0.将x 3＋x 4＝－12k 1＋3k 2，x 3x 4＝91＋3k 2代入上式， 化简得13－3k 21＋3k 2>0⇒k 2<133.由k 2>1且k 2<133，得k ∈(－393，－1)∪(1，393).能力强化训练一、选择题1．平面直角坐示系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线 [答案]A[解析]设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)， ∵OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝3x ＋y10，y 2＝3y －x 10.又λ1＋λ2＝1，∴x ＋2y －5＝0，表示一条直线．2．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是( )A.x 29－y 216＝1B.x 216－y 29＝1 C.x 29－y 216＝1(x >3) D.x 216－y 29＝1(x >4) [答案]C[解析]如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2， |CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)． 二、填空题3．设P 为双曲线x 24－y 2＝1上一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M的轨迹方程是________．[答案]x 2－4y 2＝1[解析]设M (x ，y )，P (x 1，y 1)，则0＋x 12＝x ，0＋y 12＝y ，∴x 1＝2x ，y 1＝2y ，又P (x 1，y 1)在双曲线上， ∴(2x )24－(2y )2＝1，∴x 2－4y 2＝1. 4．(2013·某某高考)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A 、B 两点，若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值X 围为________．[答案]a ≥1[解析]本题考查了直角三角形的性质．抛物线的X 围以及恒成立问题，不妨设A (a ，a )，B (－a ，a )，C (x 0，x 20)，则CB →＝(－a －x 0，a －x 20)，CA →＝(a －x 0，a －x 20)，∵∠ACB ＝90°. ∴CA →·CB →＝(a －x 0，a －x 20)·(－a －x 0，a －x 20)＝0.∴x 20－a ＋(a －x 20)2＝0，则x 20－a ≠0. ∴(a －x 20)(a －x 20－1)＝0，∴a －x 20－1＝0. ∴x 20＝a －1，又x 20≥0.∴a ≥1. 三、解答题5．(2013·新课标Ⅱ)在平面直角坐标系xOy 中，己知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． [解析](1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题意知y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而得y 2＋2＝x 2＋3. ∴点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设与直线y ＝x 平行且距离为22的直线为l ：x －y ＋c ＝0，由平行线间的距离公式得c ＝±1.∴l ：x －y ＋1＝0或x －y －1＝0.与方程y 2－x 2＝1联立得交点坐标为A (0,1)，B (0，－1)．即点P 的坐标为(0,1)或(0，－1)，代入y 2＋2＝r 2得r 2＝3. ∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.6．(2014·某某调研)已知椭圆的中心是坐标原点O ，焦点F 1，F 2在y 轴上，它的一个顶点为A (2，0)，且中心O 到直线AF 1的距离为焦距的14，过点M (2,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，点N 在线段PQ 上．(1)求椭圆的标准方程；(2)设|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |，求动点N 的轨迹方程． [解析](1)设椭圆的标准方程是y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)．由于椭圆的一个顶点是A (2，0)，故b 2＝2. 根据题意得，∠AF 1O ＝π6，sin ∠AF 1O ＝ba ，即a ＝2b ，a 2＝8，所以椭圆的标准方程是y 28＋x 22＝1.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x ，y )， 由题意知直线l 的斜率存在， 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)．直线l 的方程与椭圆方程联立消去y 得： (k 2＋4)x 2－4k 2x ＋4k 2－8＝0.由Δ＝16k 2－4(k 2＋4)(4k 2－8)>0，得－2<k <2. 根据根与系数的关系得x 1＋x 2＝4k 24＋k 2，x 1x 2＝4k 2－84＋k 2. 又|PM |·|NQ |＝|PN |·|MQ |， 即(2－x 1)(x 2－x )＝(x －x 1)(2－x 2)．解得x ＝1，代入直线l 的方程得y ＝－k ，y ∈(－2,2)． 所以动点N 的轨迹方程为x ＝1，y ∈(－2,2)．。
2015广东高考理科数学第一轮强化练习Ⅴ(圆锥曲线与方程)
2015广东高考理科数学第一轮强化练习Ⅴ（圆锥曲线与方程）1．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），当x 1+x 2=6时，弦长｜AB ｜＝（ ）．A ．4B ．6C ．8D ．102．平面上有一长度为2的线段AB 和一动点P ，若满足｜PA ｜＋｜PB ｜＝6，则｜PA ｜的取值范围为（ ）．A ．［1，4］B ．［1，6］C ．［2，6］D ．［2，4］3．直线l 过抛物线y 2=a (x +1)(a >0)的焦点，并且与x 轴垂直，若l 被抛物线截得的线段长为4，则a ＝（ ）．A ．4B ．2C ．0.25D ．0.5 4．设双曲线12222=-by a x （a >b>0）的半焦距为c ，且直线l 过（a ，0），（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距离为c 32，则双曲线的离心率为（ ）．A ．3或26B ．2C ．3D ．26 5．若双曲线经过点（6，3），且它的两条渐近线方程是x ±3y =0，则该双曲线的方程为（ ）．A ．1922=-x y B ．11822=-x y C ．1922=-y x D ．131822=-y x 6．过抛物线y 2=2p x （p>0）的焦点作一直线交抛物线于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，则2121x x y y 的值为（ ）． A ．4 B ．－4 C ．p 2 D ．－p 27．椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离为（ ）．A ．3B ．11C ．22D ．108．如图，直线l ：x -2y+2=0过椭圆左焦点F 1和一个顶点B ，则该椭圆的离心率为 ．9．过抛物线y 2=6x 的顶点作互相垂直的两条直线，交抛物线于AB 的中点的轨迹方程为 ． 10．双曲线12222=-by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上的一点，PF 1的中点在y 轴上，线段PF 2的长为34，双曲线的虚轴长为4，则实轴长为 ．。
2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(12 圆锥曲线与方程)
2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （12圆锥曲线与方程）一、选择题：1.（2015安徽文）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -=（C ）2212y x -= （D ）2212x y -=2.（2015安徽理）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=3．（2015福建文）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）A ．(0,2 B ．3(0,]4 C ．2D ．3[,1)4【答案】A考点：1、椭圆的定义和简单几何性质；2、点到直线距离公式．4．（2015福建理）若双曲线22:1916x y E -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF 等于（ ）A ．11B ．9C ．5D ．3【答案】B 【解析】试题分析：由双曲线定义得1226PF PF a -==，即236PF -=，解得29PF =，故选B ． 考点：双曲线的标准方程和定义．5. （2015广东文）已知椭圆222125x y m+=（0m >）的左焦点为()1F 4,0-，则m =（ ）A ．9B ．4C ．3D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意得：222549m =-=，因为0m >，所以3m =，故选C ． 考点：椭圆的简单几何性质．6．（2015广东理）已知双曲线C ：12222=-by a x 的离心率54e =，且其右焦点()25,0F ，则双曲线C的方程为（ ）A ．13422=-y x B. 191622=-y x C. 116922=-y x D. 14322=-y x 【答案】B ．【解析】因为所求双曲线的右焦点为()25,0F 且离心率为54c e a ==，所以5c =，4a =，2229b c a =-=所以所求双曲线方程为221169x y -=，故选B ．【考点定位】本题考查双曲线的标准方程及其简单基本性质，属于容易题． 7. （2015湖北文）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ） A ．对任意的,a b ，12e e > B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e < C ．对任意的,a b ，12e e < D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e >【答案】D .【考点定位】本题考查双曲线的定义及其简单的几何性质，考察双曲线的离心率的基本计算，涉及不等式及不等关系.【名师点睛】将双曲线的离心率的计算与初中学习的溶液浓度问题联系在一起，突显了数学在实际问题中实用性和重要性，充分体现了分类讨论的数学思想方法在解题中的应用，能较好的考查学生思维的严密性和缜密性. 8．（2015湖北理）将离心率为1e 的双曲线1C 的实半轴长a 和虚半轴长()b a b ≠同时增加(0)m m >个单位长度，得到离心率为2e 的双曲线2C ，则（ ）A ．对任意的,a b ，12e e >B ．当a b >时，12e e >；当a b <时，12e e <C ．对任意的,a b ，12e e <D ．当a b >时，12e e <；当a b <时，12e e > 【答案】D考点：1.双曲线的性质，2.离心率.9、(2015湖南文)若双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），则此双曲线的离心率为A 、73B 、54C 、43D 、53【答案】D【解析】试题分析：由题利用双曲线的渐近线方程经过的点，得到a 、b 关系式，然后求出双曲线的离心率即可．因为双曲线22221x y a b-=的一条渐近线经过点（3，-4），2225349163c ba c a a e a ∴=∴-=∴=，（），=．故选D.考点：双曲线的简单性质10、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线2:8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( )（A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12【答案】B11.(2015全国新课标Ⅰ卷理)已知M （x 0，y 0）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，F 1、F 2是C 上的两个焦点，若1MF ∙2MF ＜0，则y 0的取值范围是（ ）（A ）（-33，33） （B ）（-36，36） （C ）（223-，223） （D ）（233-，233）【答案】A考点：向量数量积；双曲线的标准方程12．(2015全国新课标Ⅱ卷理)已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，∆ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（ ）A 5B ．2C 3D 2【答案】D 【解析】试题分析：设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，如图所示，AB BM =，0120ABM ∠=，过点M 作MN x ⊥轴，垂足为N ，在Rt BMN ∆中，BN a =，3MN a =，故点M 的坐标为(2,3)M a a ，代入双曲线方程得2222a b a c ==-，即222c a =，所以2e =，故选D ．考点：双曲线的标准方程和简单几何性质．13. (2015陕西文) 已知抛物线22(0)y px p =>的准线经过点(1,1)-，则抛物线焦点坐标为（ ）A ．(1,0)-B ．(1,0)C ．(0,1)-D ．(0,1) 【答案】B 【解析】试题分析：由抛物线22(0)y px p =>得准线2px =-，因为准线经过点(1,1)-，所以2p =， 所以抛物线焦点坐标为(1,0)，故答案选B 考点：抛物线方程.14、(2015四川文、理)过双曲线2213y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( )(A )43(B )23 (C )6 (D )43 【答案】D【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力.【名师点睛】本题跳出直线与圆锥曲线位置关系的常考点，进而考查直线与双曲线渐近线交点问题，考生在解题中要注意识别.本题需要首先求出双曲线的渐近线方程，然后联立方程组，接触线段AB 的端点坐标，即可求得|AB |的值.属于中档题.【名师点睛】双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为22220x y a b -=，将直线2x =代入这个渐近线方程，便可得交点A 、B 的纵坐标，从而快速得出||AB 的值.15、(2015四川文)设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆C ：(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )(A )(1，3) (B )(1，4) (C )(2，3) (D )(2，4) 【答案】D【考点定位】本题考查直线、圆及抛物线等基本概念，考查直线与圆、直线与抛物线的位置关系、参数取值范围等综合问题，考查数形结合和分类与整合的思想，考查学生分析问题和处理问题的能力.【名师点睛】本题实质是考查弦的中垂线过定点问题，注意到弦的斜率不可能为0，但有可能不存在，故将直线方程设为x ＝ty ＋m ，可以避免忘掉对斜率不存在情况的讨论.在对r 的讨论中，要注意图形的对称性，斜率存在时，直线必定是成对出现，因此，斜率不存在(t ＝0)时也必须要有两条直线满足条件.再根据方程的判别式找到另外两条直线存在对应的r 取值范围即可.属于难题.16.(2015四川理)设直线l 与抛物线24y x =相交于A ，B 两点，与圆()()22250x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（ ） （A ）()13， （B ）()14， （C ）()23， （D ）()24， 【答案】D【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式. 【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5，那么必有两条直线（即与x 轴垂直的两条切线）满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点的问题，常常采用“点差法”.在本题中利用点差法可得，中点必在直线3x 上，由此可确定中点的纵坐标0y 的范围，利用这个范围即可得到r 的取值范围.17. (2015天津文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个焦点为(2,0)F ,且双曲线的渐近线与圆()222y 3x -+=相切,则双曲线的方程为（ ）(A)221913x y -= (B) 221139x y -= (C) 2213x y -= (D ) 2213y x -= 【答案】D考点：圆与双曲线的性质.18.(2015天津理)已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>> 的一条渐近线过点( ，且双曲线的一个焦点在抛物线2y = 的准线上，则双曲线的方程为（ ）（A ）2212128x y -= （B ）2212821x y -= （C ）22134x y -=（D ）22143x y -= 【答案】D考点：1.双曲线的标准方程及几何性质；2.抛物线的标准方程及几何性质.19、(2015浙江文)如图，斜线段AB 与平面α所成的角为60，B 为斜足，平面α上的动点P 满足30∠PAB =，则点P 的轨迹是（ ）A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线的一支【答案】C 【解析】试题分析：由题可知，当P 点运动时，在空间中，满足条件的AP 绕AB 旋转形成一个圆锥，用一个与圆锥高成60角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选C. 考点：1.圆锥曲线的定义；2.线面位置关系.20. (2015浙江理) 如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ∆与ACF ∆的面积之比是（ ）A.11BF AF -- B.2211BF AF -- C.11BF AF ++ D.2211BF AF ++21. (2015重庆文)设双曲线22221(a 0,b 0)x y a b-=>>的右焦点是F ，左、右顶点分别是12A ,A ,过F做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ）(A) 12± (B) 22± (C) 1± (D) 2±【答案】C 【解析】考点：双曲线的几何性质.22．(2015重庆理)设双曲线22221x y a b-=（a >0,b >0）的右焦点为1，过F 作AF 的垂线与双曲线交于B ,C 两点，过B ,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D .若D 到直线BC 的距离小于22a a b +则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）A 、(1,0)(0,1)-B 、(,1)(1,)-∞-+∞C 、(2,0)(0,2)-D 、(,2)(2,)-∞-+∞ 【答案】A【考点定位】双曲线的性质.二、填空题：1、（2015北京文）已知()2,0是双曲线2221y x b-=（0b >）的一个焦点，则b = ．【答案】3【解析】试题分析：由题意知2,1c a ==，2223b c a =-=，所以3b =. 考点：双曲线的焦点.2. （2015北京理）已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线为30x y +=，则a =．【答案】3考点：双曲线的几何性质3.(2015湖南理)设F 是双曲线C ：22221x y a b-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为 . 【答案】5.【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行 等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用222b ac +=，焦点坐标，渐近线方程等性质，也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.4. (2015江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线122=-y x 右支上的一个动点。
2015高考理科数学《曲线与方程》练习题
高考理科数学《曲线与方程》练习题[组基础演练·能力提升]一、选择题．方程－＝对应的图象是( )解析：由－＝得，＝或＝－，故选.答案：．已知点是直线－＋＝上的一个动点，定点(－)，是线段延长线上的一点，且＝，则点的轨迹方程是( )．＋＋＝．－－＝．－－＝．－＋＝解析：设(，)，则为(－－－)，代入－＋＝得－＋＝.答案：．已知()，(，－)，()，以为一个焦点的椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程是( ) ．－＝(≤－) ．－＝(≥)．－＝(≤－) ．－＝(≥)解析：由题意知＝，＝，＝，又∵＋＝＋，∴－＝－＝，故点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线的下支．又＝，＝，＝，∴点的轨迹方程为－＝(≤－)．答案：．有一动圆恒过定点()(>)且与轴相交于点、，若△为正三角形，则点的轨迹为( )．直线．圆．椭圆．双曲线解析：设(，)，动圆的半径为，由于△为正三角形，∴到轴的距离＝，即＝.而＝＝，∴＝·.整理得(＋)－＝，即－＝.∴点的轨迹为双曲线．答案：．已知点()和圆：＋＝上一点，动点满足＝，则点的轨迹方程为( )＋＝＋＝．＋＝．＋＝解析：设(，)，(，)，则有＝(－，－)，＝(－，)．又＝，∴∴又(，)在圆＋＝上，∴(－＋)＋(－)＝，即＋＝.答案：．设，是椭圆＋＝的长轴两个端点，，是垂直于的弦的端点，则直线与交点的轨迹方程为( ) ＋＝＋＝－＝－＝解析：设交点为(，)，(－)，()，(，)，(，－)，∵，，共线，∴＝.①∵，，共线，∴＝.②由①②解得＝，＝，代入＋＝，化简，得－＝.答案：二、填空题．△的顶点(－)，()，△的内切圆圆心在直线＝上，则顶点的轨迹方程是．解析：如图，＝＝，＝＝，＝，。
高中理科数学20.1曲线与方程求曲线的方程导学案附分层练习题及答案解析
20．1 曲线与方程 求曲线的方程【知识网络】1．巩固前期学习的曲线的定义与性质，熟悉圆锥曲线的统一定义． 2．体会曲线与方程的对应关系．． 3．进一步感受数形结合的基本思想． 【典型例题】[例1]（1）圆心在抛物线x y 22=（0>y ）上，并且与抛物线的准线及x 轴都相切的圆的方程是（ ）A ．221204x y x y +---= B ．22210x y x y ++-+= C ．22210x y x y +--+= D ．041222=+--+y x y x（2）已知两点M （1，54 ），N （－4，－54 ），给出下列曲线方程：①4x ＋2y －1=0 ②x 2＋y 2=3 ③22x ＋y 2=1 ④22x ＋y 2=1在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程的代号是 （ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④（3）条件A ：曲线C 上所有点的坐标都是方程f(x,y)=0的解；条件B ：以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C 上．则A 与B 关系是（ ）A ．A 是B 的充分不必要条件 B ．A 是B 的必要不充分条件C ．A 是B 的充要条件D ．A 既不是B 的充分条件也不是B 的必要条件 （4）已知曲线C ：x y ＋2x －ky ＋3=0经过点（－1，2），则k= ．（5）点（m,n)在圆x 2＋y 2－2x ＋4y=0外，则m ，n 满足的条件是 ．[例2] 求到两不同定点距离之比为一常数λ（λ≠0）的动点的轨迹方程．[例3] 已知三点A(-2-a,0)，P(-2-a ，t)，F(a,0),其中a 为大于零的常数，t 为变数，平面内动点M 满足⋅=0，且∣∣=∣∣+2． （1）求动点M 的轨迹；（2）若动点M 的轨迹在x 轴上方的部分与圆心在C(a+4,0)，半径为4的圆相交于两点S ，T ，求证：C 落在以S 、T 为焦点过F 的椭圆上．[例4] 已知点P(-3,0)，点A 在y 轴上，点Q 在x 轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足23,0-==⋅ （1） 当点A 在y 轴上移动时，求动点M 的轨迹C 的方程；（2） 设轨迹C 的准线为l ，焦点为F ，过F 作直线m 交轨迹C 于G ，H 两点，过点G 作平行于轨迹C 的对称轴的直线n ，且n l=E ，试问点E ，O ，H （O 为坐标原点）是否在同一条直线上？并说明理由．【课内练习】1．方程()()0122=-+-xy y x 表示的图形是（ ）A ．一条直线和一条双曲线B ．两条双曲线C ．两个点D ．以上答案都不对．2．下列各组方程中表示同一曲线的是 （ ） A ．x 2=y 与x=y B ．y －2x ＋1=0与121y x -=- C ．y=|x|与x 2－y 2=0 D ．y －1=21y x+与y 2＋x －xy ＋1=03．到x 轴y 轴距离之积等于常数k （k ＞0）的点的轨迹所在象限是（ ）A ．一、三象限B ．二、四象限C ．第一象限D ．第一、二、三、四象限4．长为m 的一条线段AB ，其两段分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上移动，则线段的中点轨迹是 （ ）A ．直线的一部分B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．一个以原点为圆心半径为m2 的圆．5． 到两定点（1，0），（－1，0）的距离之比等于2的点的轨迹方程是 ． 6．已知动抛物线以x 轴为准线，且经过点（0，1），则抛物线的焦点的轨迹方程是 ．7．椭圆221169x y +=上一点到其左准线的距离是2，则到右焦点的距离等于 ． 8．已知动点P 到定点(－3，0)的距离比它到直线x －1=0的距离大2，求动点P 的轨迹方程．9．抛物线y 2=2px(p ＞0)有一内接直角三角形，直角顶点为原点，一直角边的方程为y=2x ，斜边长为5 3 ，求抛物线的方程．10．已知动点P 与双曲线13222=-y x 的两个焦点1F 、2F 的距离之和为定值，且 21cos PF F ∠的最小值为91-．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若已知)3,0(D ，M 、N 在动点P 的轨迹上且λ=，求实数λ的取值范围．20．1 曲线与方程 求曲线的方程A 组1．方程221||||x y x y +=表示的图形是 （ ） A ．一条直线 B ．两条平行线段 C ．一个正方形 D ．一个正方形（除去四个顶点） 2．已知线段AB=2，动点M 到A ，B 两点的距离的平方差是10，则动点的轨迹是（ ） A ．一条直线 B ．一个圆 C ．一个椭圆 D ．双曲线3．已知直角△ABC 的斜边BC 的两个端点分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上移动，顶点A 和原点分别在BC 的两侧，则点A 的轨迹是 （ ）A ．线段B ．射线C ．一段圆弧D ．一段抛物线4．抛物线y 2=6x 的斜率为2的平行弦的中点轨迹方程是 ．5．点Q 是双曲线x 2－4y 2=16上任意一点，定点A （0，4），则内分AQ → 所成比为12 的点P 的轨迹方程是 ．6．已知动圆过点F 1（－5，0）且与定圆x 2＋y 2－10x －11=0相外切，求动圆圆心的轨迹方程．7．已知常数0,(0,),(1,0)a c a i >==向量。
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2015高考理科数学《曲线与方程》练习题[A组基础演练·能力提升]一、选择题1．方程x2－y2＝0对应的图象是( )解析：由x2－y2＝0得，y＝x或y＝－x，故选C.答案：C2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是( )A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0解析：设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0.答案：D3．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点的椭圆经过A，B两点，则椭圆的另一个焦点F的轨迹方程是( )A．y2－x248＝1(y≤－1) B．y2－x248＝1(y≥1)C．x2－y248＝1(x≤－1) D．x2－y248＝1(x≥1)解析：由题意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14，又∵|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|，∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，∴点F的轨迹方程为y2－x248＝1(y≤－1)．答案：A4．有一动圆P恒过定点F(a,0)(a>0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线解析：设P (x ，y )，动圆P 的半径为R ，由于△ABP 为正三角形， ∴P 到y 轴的距离d ＝32R ，即|x |＝32R . 而R ＝|PF |＝x －a 2＋y 2， ∴|x |＝32·x －a2＋y 2.整理得(x ＋3a )2－3y 2＝12a 2，即x ＋3a212a 2－y 24a2＝1. ∴点P 的轨迹为双曲线． 答案：D5．已知点A (1,0)和圆C ：x 2＋y 2＝4上一点R ，动点P 满足RA →＝2AP →，则点P 的轨迹方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322＋y 2＝1C ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －322＝1D ．x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y ＋322＝1解析：设P (x ，y )，R (x 0，y 0)，则有RA →＝(1－x 0，－y 0)，AP →＝(x －1，y )． 又RA →＝2AP →， ∴⎩⎨⎧1－x 0＝2x －1，－y 0＝2y .∴⎩⎨⎧x 0＝－2x ＋3，y 0＝－2y .又R (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，∴(－2x ＋3)2＋(－2y )2＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝1.答案：A6．设A 1，A 2是椭圆x 29＋y 24＝1的长轴两个端点，P 1，P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1C.x 29－y 24＝1 D.y 29－x 24＝1-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----解析：设交点为P (x ，y )，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，P 1(x 0，y 0)，P 2(x 0，－y 0)， ∵A 1，P 1，P 共线，∴y －y 0x －x 0＝yx ＋3.① ∵A 2，P 2，P 共线，∴y ＋y 0x －x 0＝yx －3.② 由①②解得x 0＝9x，y 0＝3yx，代入x 209＋y 204＝1，化简，得x 29－y 24＝1.答案：C 二、填空题7．△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|B F |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x 29－y 216＝1(x >3)．答案：x 29－y 216＝1(x >3)8．(2014年成都模拟)P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上的任意一点，F 1、F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，有一动点Q 满足OQ →＝PF 1→＋PF 2→，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝PM →＝ 2PO →＝－2OP →， 设Q (x ，y )， 则OP →＝－12OQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，即P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－x2，－y 2，又P 在椭圆上，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－y 22b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b2＝1. 答案：x 24a 2＋y 24b2＝19．已知真命题：若A 为⊙O 内一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是以O ，A 为焦点，OB 长为长轴长的椭圆．类比此命题，写出另一个真命题：若A 为⊙O 外一定点，B 为⊙O 上一动点，线段AB 的垂直平分线交直线OB 于点P ，则点P 的轨迹是________．解析：如图，连接AP ，由于P 是线段AB 垂直平分线上一点，故有|PA |＝|PB |，因此||PA |－|PO ||＝||PB |－|PO ||＝|OB |＝R ＝定值，其中R 为⊙O 的半径． 又由于点A 在圆外，故||PA |－|PO ||＝|OB |＝R <|OA |，故动点P 的轨迹是以O ，A 为焦点，OB 为实轴长的双曲线． 答案：以O ，A 为焦点，OB 为实轴长的双曲线 三、解答题10.如图所示，直线l 1与l 2相交于点M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1，以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等．若△AMN 为锐角三角形，|AM |＝17，|AN |＝3，且|NB |＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程．-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----解析：以l 1为x 轴，l 2为y 轴建立平面直角坐标系，M 为坐标原点．作AE ⊥l 1，AD ⊥l 2，BF ⊥l 2，垂足分别为E 、D 、F .设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，N (x N,0)． 依题意有x A ＝|ME |＝|DA |＝|AN |＝3，y A ＝|DM |＝|AM |2－|DA |2＝2 2. ∵△AMN 是锐角三角形， ∴x N ＝|ME |＋|EN |＝|ME |＋|AN |2－|AE |2＝4，x B ＝|BF |＝|BN |＝6.设P (x ，y )是曲线段C 上任一点，则P ∈{(x ，y )|(x －x N )2＋y 2＝x 2，x A ≤x ≤x B ，y >0}． ∴曲线段C 的方程为y 2＝8(x －2)(3≤x ≤6，y >0)． 11．已知圆C 的方程为x 2＋y 2＝4.(1)求过点P (1,2)且与圆C 相切的直线l 的方程；(2)直线l 过点P (1,2)，且与圆C 交于A 、B 两点，若|AB |＝23，求直线l 的方程；(3)圆C 上有一动点M (x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，若向量OQ →＝OM →＋ON →，求动点Q 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线．解析：(1)显然直线l 的斜率存在，设切线方程为y －2＝k (x －1)，则由|2－k |k 2＋1＝2，得k 1＝0，k 2＝－43，从而所求的切线方程为y ＝2和4x ＋3y －10＝0.(2)当直线l 垂直于x 轴时，此时直线方程为x ＝1，l 与圆的两个交点坐标为(1，3)和(1，－3)，这两点的距离为23，满足题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d (d >0)，则23＝24－d 2，得d ＝1，从而1＝|－k ＋2|k 2＋1，得k ＝34，此时直线方程为3x －4y ＋5＝0，综上所述，所求直线方程为3x －4y ＋5＝0或x ＝1.(3)设Q 点的坐标为(x ，y )，M 点坐标是(x 0，y 0)，ON →＝(0，y 0)，∵OQ →＝OM →＋ON →，∴(x ，y )＝(x 0,2y 0)⇒x ＝x 0，y ＝2y 0.∵x 20＋y 20＝4，∴x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝4，即x 24＋y 216＝1. ∴Q 点的轨迹方程是x 24＋y 216＝1，轨迹是一个焦点在y 轴上的椭圆．12．(能力提升)(2014年恩施模拟)在直角坐标平面上，O 为原点，M 为动点，|OM →|＝5，ON →＝255OM →.过点M 作MM 1⊥y 轴于点M 1，过N 作NN 1⊥x 轴于点N 1，OT →＝M 1M →＋N 1N →.记点T 的轨迹为曲线C ，点A (5,0)、B (1,0)，过点A 作直线l 交曲线C 于两个不同的点P 、Q (点Q 在A 与P 之间)．(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在直线l ，使得|BP |＝|BQ |，并说明理由．解析：(1)设点T 的坐标为(x ，y )，点M 的坐标为(x ′，y ′)，则M 1的坐标为(0，y ′)， ON →＝255OM →＝255(x ′，y ′)，于是点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫255x ′，255y ′，N 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫255x ′，0，所以M 1M →＝(x ′，0)，N 1N →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255y ′.由OT →＝M 1M →＋N 1N →，有(x ，y )＝(x ′，0)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0，255y ′，所以⎩⎨⎧x ＝x ′，y ＝255y ′.由此得x ′＝x ，y ′＝52y . 由|OM →|＝5，得x ′2＋y ′2＝5，所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝5，得x 25＋y 24＝1，即所求的方程表示的曲线C 是椭圆．(2)点A (5,0)在曲线C 即椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆C 无交点，所以直线l 的斜率存在，并设为k ，直线l 的方程为y ＝k (x －5)．由方程组⎩⎨⎧x 25＋y 24＝1，y ＝k x －5得(5k 2＋4)x 2－50k 2x ＋125k 2－20＝0.-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----依题意知Δ＝20(16－80k 2)>0， 得－55<k <55. 当－55<k <55时，设交点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，PQ 的中点为R (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝50k 25k 2＋4，x 0＝x 1＋x 22＝25k 25k 2＋4.∴y 0＝k (x 0－5)＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫25k 25k 2＋4－5＝－20k25k 2＋4. 又|BP |＝|BQ |⇔BR ⊥l ⇔k ·k BR ＝－1，k ·k BR ＝k ·20k 5k 2＋41－25k 25k 2＋4＝20k 24－20k 2＝－1⇔20k 2＝20k 2－4，而20k 2＝20k 2－4不可能成立，所以不存在直线l ，使得|BP |＝|BQ |.[B 组 因材施教·备选练习]1．已知点M (－3,0)，N (3,0)，B (1,0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过M 、N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，则P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x >1)B ．x 2－y 28＝1(x <－1)C ．x 2＋y 28＝1(x >0)D ．x 2－y 210＝1(x >1)解析：如图所示，设直线MP 与直线NP 分别与动圆C 切于点E 、F ，则|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB |＝4－2＝2<|MN |，所以点P 的轨迹是以M 、N为焦点，实轴长为2的双曲线的右支．设对应的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则a ＝1，c ＝3，b 2＝8.故P点的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x >1)．答案：A2．到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线解析：在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DC 与A 1D 1是两条相互垂直的异面直线，平面ABCD 过直线DC 且平行于A 1D 1，以D 为原点，分别以DA 、DC 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点P (x ，y )在平面ABCD 内，且到A 1D 1到DC 的距离相等，∴|x |＝y 2＋a 2，∴x 2－y 2＝a 2，故该轨迹为双曲线．答案：D3．由抛物线y 2＝2x 上任意一点P 向其准线l 引垂线，垂足为Q ，连接顶点O 与P 的直线和连接焦点F 与Q 的直线交于点R ，则点R 的轨迹方程是________．解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202，y 0，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 0∴OP 的方程y ＝2y 0x ①QF 的方程为：y ＝－y 0⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12② 由①、②消去y 0得y 2＝－2x 2＋x . 答案：y 2＝－2x 2＋x======*以上是由明师教育编辑整理======。