空间直角坐标系的建立_课件

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空间直角坐标系PPT

解 M1M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14, M2M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6, M3M1 2 (4 5)2 (3 2)2 (1 3)2 6,
M2M3 M3M1 , 原结论成立.
例 3 设 P 在 x 轴上，它到 P1 (0, 2,3)的距离为到点 P2 (0,1,1)的距离的两倍，求点 P 的坐标.
①
③
x
②

例1、如图，在长方体OABC DABC中，OA 3，
OC 4，OD 2，写出D，C，A，B四点的坐标。
z
D'
C'
A'
2
B'
y
4
3o
C
xA
B
例2、在空间直角坐标系中标出下列各点
►A（0，2，4）、B（1，0，5）、 ►C（0，2，0）、D（1，3，4）
特殊位置的点的坐标
►原点 ►x轴上的点 ►y轴上的点 ►z轴上的点 ►xoy平面上的点 ►yoz平面上的点 ►xoz平面上的点
解因为P 在x 轴上，设P点坐标为 ( x,0,0),
PP1 x2 2 2 32 x2 11,
PP2 x2 12 12 x2 2,
PP1 2 PP2 , x2 11 2 x2 2
x 1, 所求点为 (1,0,0), (1,0,0).
4. 3.1 空间直角坐标系
数轴上的点
B -2 -1 O 1
A 2 3x
数轴上的点可以用一个实数表示
y y
O
平面坐标系中的点
P (x,y) xx
平面中的点可以用有序实数对(x，y)
来表示
思考:
►空间中的点如何表示呢?

空间直角坐标系课件——2022-2023学年高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册

1.点A(0，－2,3)在空间直角坐标系中的位置是
A.在x轴上
B.在xOy平面内
C.在yOz平面内
D.在xOz平面内
第4题
2 已知空间中点A(1,3,5)，点A与点B关于x轴对称，则点B的坐
标为（）
3 在空间直角坐标系中，点M(－2,4，－3)在xOz平面上的射影为
点M1，则点M1关于原点对称的点的坐标是（）
1
1
1
{ OA, OC , OD}
3
4
2
为单位正交基底, 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
(1) 写出D', C, A', B'四点的坐标;
z
(2) 写出向量 AB, BB , AC , AC 的坐标.
D′
解（1）由已知
A′
D′（0，0，2），C(0，4，0）
A′(3，0，2）,B′(3，4，2）
叫做点A的竖坐标
• (2)在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量，作＝
Ԧ
.
Ԧ
由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，
使=xԦ
Ԧ +y Ԧ +
有序实数组(x，y，z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上
Ԧ
式可简记作＝(x，y，z)
Ԧ
概念巩固
如图，过点A分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依
平面，Oyz平面，Ozx平面，它们把空间分成八个部分．
画空间直角坐标系Oxyz时，一般使 ∠xOy＝135°(或 45°) ∠yOz＝90°
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y
轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手

空间直角坐标系PPT课件

通过透视变换将三维图形投影到某一平面上，产生近大远小
的效果。
二面投影
将三维图形分别投影到两个互相垂直的平面上，得到两个二
维图形。
三面投影
将三维图形分别投影到三个互相垂直的平面上，得到三个二
维图形。
05
空间直角坐标系与向量代数
向量的线性运算
向量的加法
向量加法满足交换律和结合律，即向量a+b=b+a， (a+b)+c=a+(b+c)。
描述向量场中某点处场量旋转程度的大小和方向，其方向垂直于该点处的场量。
06
空间直角坐标系与微积分
微分学在空间直角坐标系中的应用
空间直角坐标系中的导数
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，在空间直角坐标系中，导数可以用来研究函数在三维空间中的变化趋势。
空间曲线在某点的切线方向
通过求导数，可以得到空间曲线在某一点的切线方向向量，从而确定该点处曲线的变化趋势。
曲线和曲面的长度
通过使用一重积分，可以计算三维空间中曲线和曲面的长度。
重积分在空间直角坐标系中的应用
01
重积分在解决实际问题中的应用
重积分在解决实际问题中有着广泛的应用，例如计算物体的质量、质心、
转动惯量等。
02 03
重积分的物理意义
重积分的结果具有明确的物理意义，例如三重积分的结果表示三维空间的体积，二重积分的结果表示二维平面的面积，一重积分的结果表示一维线段的长度。
性质
空间直角坐标系具有方向性、正交性和无限延展性，是描述空间中点位置的数学工具。
坐标系的建立
01
02
03
确定原点
选择一个点作为原点，该点是空间直角坐标系的起点。

数学人教A版选择性必修第一册1.3.1空间直角坐标系课件

底是单位正交基{ i ， j ， k }．
2．解答本例问题的关键是用所给的基底表示向量，根据新定义的向量的坐标求解．其实质仍然是空间向量基本定理的应用．
课后作业：P18第3题
＝12―O→A ＋12―O→C ＋12―O→D ，所以点 M 的坐标为(2，3，1)．
思路总结
1．求点关于坐标轴或坐标平面对称的点的坐标，其规律是“关于谁对称，谁不变”，如点(x，y，z)关于 y 轴的对称点为(－x，y，－z)，关于平面 Oyz 的对称点是(－x，y，z)．
2．求空间一点 P 的坐标方法有两个：(1)利用点在坐标轴上的投影求解； (2)利用单位正交基底表示向量―O→P ，―O→P 的坐标就是点 P 的坐标．
∴ x－y＝1，∴ y＝1，
z＝－1，
2 z＝－1，
即 p 在基底{a ＋ b ， a － b ， c }下的坐标为 32，12，－1 ，同理可求得 p 在基
底{2 a ， b ，－ c }下的坐标为(1，1，1)． [答案] 32，12，－1 (1，1，1)
思路总结 1．同一向量在不同基底下对应的坐标不同，当空间一个基底确定之后，该向量的坐标是唯一确定的，在没有特殊说明情况下，求某向量的坐标就认为它的基
3 向量坐标的广义理解
[例 3] 定义向量 p 在基底{a ， b ， c }下的坐标如下：若 p＝x a ＋y b ＋z c ，则(x，y，z)叫做 p 在基底{a ， b ， c }下的坐标．已知向量 p 在基底{a ， b ， c }
下的坐标为(2，1，－1)，则 p 在基底{a ＋ b ， a － b ， c }下的坐标为________，在基底{2 a ， b ，－ c }下的坐标为________．
[跟踪训练]

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坐标系 Oxyz 中 x 轴、y 轴、z 轴的正方向
上的单位向量，且O→B＝－i＋j－k，则点 B 的坐标是
√A.(－1，1，－1)
B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1)
D.不确定
由空间直角坐标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1).
D.5，23，2
由题图知，点 P 在 x 轴、y 轴、z 轴上的射影分别为 P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点 P 的坐标是32，5，4.
3.已知点 B 的坐标是(－1，2，1)，则|O→B|＝
√A. 6
B.6
C. 5
D.5
由 B 点坐标是(－1，2，1)，得O→B＝－i＋2j＋k，故|O→B|2＝1＋4＋1＝6，故|O→B|＝ 6.
特别提醒
空间点对称问题的解题策略 (1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题，要掌握对称点的变化规律，才能准确求解. (2)对称点的问题常常采用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反” 这个结论.
训练3.已知点P(2，3，－1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1，点P1关于坐标平面 Oyz 的对称点为 P2 ，点 P2 关于 z 轴的对称点为 P3 ，则 (点2，P－3 的3，坐1)标为 ______________.
则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
x＋y＝1，
x＝23，
所以xz＝－3y，＝2，解得yz＝＝3－，12，
故 p 在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－21，3.
二、空间点及向量的坐标表示
探究 2 在平面直角坐标系中，{i，j}为一个单位正交基底，O→A＝xi＋yj，那么向量O→A的坐标为(x，y)，点 A 的坐标为(x，y)；如果设{i，j，k}为空间的单位正交基底，O→A＝xi＋yj＋zk，猜想空间向量O→A的坐标是什么？点 A 的坐标是什么？提示 (x，y，z)；(x，y，z).

2.14空间直角坐标系ppt课件

求距离的步骤：①建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；②代入空间两点间的距离公式求值．
4．已知A(1,2，－1)，B(2,0,2)． (1)在x轴上求一点P，使|PA|＝|PB|； (2)若xOz平面上的点M到A点的距离与到B点的距离相等，求点M的坐标满足的条件．
解析： (1)由于点 P 在 x 轴上，故可设 P(a,0,0)，由|PA|＝|PB|得 a－12＋4＋1＝ a－22＋4，即 a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得 a＝1，所以点 P 的坐标为(1,0,0)．
点P关于xOy平面对称后，它在x轴，y轴的分量均不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以点P关于xOy平面的对称点P2的坐标为(－2,1 ，－4)．设点P关于点A的对称点坐标为P3(x，y，z)，由中点坐标公式可得
－22＋x＝1 1＋ 2 y＝0 4＋ 2 z＝2
x＝4
，解得y＝－1 . z＝0
一、空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：从空间某一定点
O 引三条两两垂直，且有相同单位长
度的数轴：_x_轴__、__y_轴__、__z_轴_____，这样
就建立了一个_空__间__直__角__坐__标__系__O__－__x_y_z___.
(2)相关概念：__点__O___叫做坐标原点，_x_轴__、__y_轴__、__z_轴____
互相垂直且有相同单位长定点o• 度的数轴,这样就建立了空
y纵轴
间直角坐标系O-xyz.点O 横 x
叫坐标原点;
轴
2.两条确定一个坐标平
面,分别称为xoy面,yoz面,zox面
yoz面
xoy面
x
z
zox 面

空间直角坐标系的建立(最新课件)

1．确定空间定点M的坐标的步骤 (1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P、Q和R. (2)确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z. (3)得出点M的坐标为(x，y，z)．
2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤 (1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、 Q、R. (2)过P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面． (3)三个平面的唯一交点就是M. 3．对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则．
4.如图，在棱长为1的正方体ABCD－ A1B1C1D1中，E、F分别为D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG＝14CD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E、F、G、H的坐标．
解：以D为原点，DA所在直线为x轴，DC 所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系． ∵点E在z轴上，且为D1D的中点，故点E坐标为(0,0，12)．过F作FM⊥AD、 FN⊥DC，则|FM|＝|FN|＝12，故点F坐标为(12，12，0)；
10．点P在x轴上，它到点P1(0， 2，3)的距离为到点P2 (0,1，－1)的距离的2倍，则点P的坐标是_______．解析：由已知可设P(x,0,0)，则 |PP1|＝2|PP2|. ∴x2＋( 2)2＋32＝4[x2＋1＋(－1)2]． ∴3x2＝3. ∴x＝±1. ∴P点坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．答案：(1,0,0)或(－1,0,0)
[精解详析] 点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为 (a，b，－c)，关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a，－b， c)，关于yOz平面的对称点M3的坐标为(－a，b，c)．
关于x轴的对称点M4的坐标为(a，－b，－c)，关于y轴的对称点M5的坐标为(－a，b，－c)，关于z轴的对称点M6的坐标为(－a，－b，c)，关于原点对称的点M7的坐标为(－a，－b，－c)．

(4.3.1空间直角坐标系)课件新人教版必修2

第2页，共28页。
第3页，共28页。
知识探究（一）：空间直角坐标系
思考1:数轴上的点M的坐标用一个实数x 表示，它是一维坐标；平面上的点M的坐标用一对有序实数（x，y）表示，它是二维坐标.设想：对于空间中的点的坐标，需要几个实数表示？
(x,y) y
Ox x
第4页，共28页。
O
x
思考2:平面直角坐标系由两条互相垂直的数轴组成，设想：空间直角坐标系由几条数轴组成？其相对位置关系如何？
z
B
O
y
A
C
x
第21页，共28页。
思考2:在空间直角坐标系中，设点 P（ x，y，z）在xOy平面上的射影为M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM|的值分别是什么？
M(x,y,0)
|PM|=|z|
z
O
P
y
x
M
| OM | x 2 y2
第22页，共28页。
思考3:基于上述分析，你能得到点 P（ x，y，z）与坐标原点O的距离公式吗？
4.3 空间直角坐标系
4.3.1 空间直角坐标系
第1页，共28页。
问题提出
t
p
1 2
5730
对于直线上的点，我们可以通过数轴来确定点的位置；对于平面上的点，我们可以通过平面直角坐标系来确定点的位置；对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置. 因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题.
z
xO A x
Байду номын сангаас
z
z M
C
M
z
y
O
y
x
By
M

空间直角坐标系通用课件

向量的数量积、向量积和混合积
通过向量的数量积、向量积和混合积，可以研究向量的长度、角度、向量的平行与垂直等关系。
空间几何图形的表示与计算
平面几何图形
在空间直角坐标系中，可以表示平面几何图形，如三角形、四边形、圆等，并研究其性质和计算面积、体积等。
立体几何图形
利用空间直角坐标系，可以表示三维几何图形，如长方体、圆柱体、圆锥体等，并研究其性质和计算表面积、体积等。
各坐标轴的单位长度可以根据实际需要设定，通常为厘米或米等。
空间点的坐标表示
点P的坐标
在空间直角坐标系中，任意一点P可以用三个实数来表示，这三个实数分别是点P在三个坐标轴上的投影点的坐标值。
坐标表示方法
设点P在x轴、y轴和z轴上的投影点分别为P₁、P₂和P₃，则点P的坐标可以表示为 (x, y, z)，其中x=x₁, y=y₂, z=z₃。
柱面坐标系是以某一方向为轴线，以原点为中心，以一定长度为范围的柱面来表示空间位置的坐
标系。
三个参数
柱面坐标系由三个参数确定，分别是方位角、仰角和距离。
转换关系
柱面坐标系与直角坐标系之间可以通过一系列的坐标变换进行转换。
任意曲线坐标系
定义
任意曲线坐标系是指以任意曲线为轴线，以该曲线上某一点为中心，以一定长度为范围的曲线来表示空间位置的坐标系。
旋转变换可以用旋转变换矩阵来表示，该矩阵表示了每个点在旋转过程中的角度和旋转轴的方向。
旋转变换在三维空间中也是可逆的，即可以通过旋转变换矩阵的逆矩阵来恢复原始位置。
坐标变换的矩阵表示
坐标变换的矩阵表示是一种通用的方法，可以将平移变换和旋转变换等操作统一表示为矩阵乘法运算。
通过坐标变换的矩阵表示，我们可以方便地实现三维空间中任意两个坐标系之间的转换，从而方便地描述三维空间中物体的位置和运动状态。

空间直角坐标系及点的坐标表示PPT课件

定义
在空间直角坐标系中，一个点P 可以用三个实数x、y、z来表示，
这三个实数称为点P的坐标。
坐标轴
空间直角坐标系由三条互相垂直的坐标轴X、Y、Z组成，其中X 轴与Y轴构成平面直角坐标系。
点的坐标表示
点P在直角坐标系中的表示方法为(x, y, z)。
点在极坐标系中的表示
01
02
03
04
定义
在空间中，一个点P可以用极径ρ和极角θ来表示，这种表示
通过球面坐标与直角坐标之间的转换公式将点在球面坐标系中的坐标转换为直角坐标系中的坐标。
坐标系的扩展与推广
参数方程表示
通过引入参数方程来表示点的位置，使得点的表示更加灵活和多样。
多维空间坐标系
将二维或三维直角坐标系扩展到更高维度的空间，用于描述更复杂的多维几何对象。
05
空间直角坐标系的实践案例
计算几何量
通过空间直角坐标系，可以方便地计算几何量，如两点之间的距离、点到直线的距离等。
在物理学中的应用
01
பைடு நூலகம்
02
03
描述物体运动轨迹
在物理中，物体的运动轨迹通常可以用空间直角坐标系来表示。
描述力场和电场
通过空间直角坐标系，可以描述各种物理场，如重力场、电场等。
计算物理量
利用空间直角坐标系，可以方便地计算物理量，如速度、加速度等。
镜像坐标系
将坐标系沿某一轴进行对称，得到镜像坐标系，如极坐标系。
拉伸坐标系
通过拉伸坐标轴上的单位长度来改变坐标系的尺度，但不改变其方向。
坐标系的转换
笛卡尔坐标系到极坐标系的转换
通过极坐标与笛卡尔坐标之间的转换公式将点在笛卡尔坐标系中的坐标转换为极坐标系中的坐标。

高中数学必修2课件：第二章 3 空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标

(1)关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：
(2)点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”．
[活学活用]
在空间直角坐标系中，点 P(3，－2,4) 在 xOz 平面上的射影为 P′，则 P′关于坐标原点的对称点的坐标是________．
解析：点 P 在 xOz 平面上的射影 P′的坐标为(3,0,4)，P′关于坐标原点的对称点的坐标为(－3,0，－4)．答案：(－3,0，－4)
3．1 & 3.2
空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标
预习课本P89～91，思考并完成以下问题
(1)如何建立直角空间坐标系？建系原则是什么？它又有哪些构成要素？ (2)空间中的点由几个坐标参数确定？如何确定空间中的点的位置？
1．空间直角坐标系 (1)建系方法：过空间任意的一点 O 作二条两两互相垂直的轴、有相同的长度单位． (2)建系原则：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向 x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转 90° 指向 y轴正方向，此时大拇指的指向即为 z轴正向． (3)构成要素： O 叫作原点， x，y，z轴统称为坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为 xOy 平面、
2．点 Q(0,0,3)的位置是 A．在 x 轴上 C．在 z 轴上 B．在 y 轴上 D．在面 xOy 上
(
)
答案：C
3．点 A(－3,1,5)，点 B(4,3,1)的中点坐标是
7 A．2，1，－2 1 B．2，2，3 1 4 D．3，3，2
由点的坐标确定点位置的方法 (1)先确定点(x0，y0,0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置； (2)以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|，|y0|，|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0，y0，z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．

人教B版高中数学选择性必修第一册精品课件第1章空间向量与立体几何第2课时空间直角坐标系

2 2
2
2
在本例中,若D是边AB的中点,E是AB的
1
分点,且靠近点A,求DE的长度.
4
1
1
解:∵D 是边 AB 的中点,∴D 2 ,0,3 .又 E 是 AB 的4分点,且靠近点 A,
1
∴E - ,1,3 ,∴DE=||=
4
1 1 2
- + (1-0)2 + (3-3)2 =
4 2
9
5
+1= .
向,在坐标平面xOy的上方,分别是第Ⅰ卦限、第Ⅱ卦限、第Ⅲ卦限、第Ⅳ
卦限;在xOy的下方,分别是第Ⅴ卦限、第Ⅵ卦限、第Ⅶ卦限、第Ⅷ卦限.事
实上,根据点的坐标的特征,第 Ⅰ 卦限的点集用集合可表示为
{(x,y,z)|x>0,y>0,z>0},其他卦限的点集可用类似的方法表示.
3.如图,建立空间直角坐标系,若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P是
(1)BD1⊥AC;
(2)BD1⊥EB1.
证明:以 D 为坐标原点,, , 1 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴正方向,建
立空间直角坐标系,如图所示.
设正方体的棱长为 1,则
1 1
B(1,1,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),C(0,1,0),E , ,0 ,B1(1,1,1).
1 5
C(2 , 2,3),求△ABC中边AB上的中线CD
的长度.
分析:先由中点坐标公式求出点D的坐标,再利用两点间距离公式求CD的
长度.
1
解:∵A(-1,2,3),B(2,-2,3),∴边 AB 的中点 D ,0,3 .
2
∴CD=| |=
5
.