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2018南通一模(四)数学高三

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江苏省苏北四市2018届高三第一次模拟考试

江苏省苏北四市2018届高三第一次模拟考试

江苏省苏北四市2018 届高三第一次模拟考试数学参考答案及评分标准1. {-1,0,1}2. 13. (0,1]4. 135. 7506.78549.410.11.11 ..12. [ -1,+1] 13 . [-2,2]14. -15 . (1) 在△ABC中 ,由 cos A= ,得A为锐角 ,所以 sin A=-= ,所以 tan A== ,(2 分)所以 tan B=tan[( B-A)+A]= --(4 分) -==3.(6 分) -(2)在△ABC 中,由tan B=3,得 sin B=,cos B=,(8 分)所以 sin C=sin( A+B)=sin A cos B+ cos A sin B=.(10 分)由正弦定理=,得 b===15,(12 分)所以△ABC 的面积为 S= bc sin A= ×15×13×=78 .(14 分)16 . (1) 如图 , 取AB的中点P, 连接PM,PB1.因为 M,P 分别是 AB,AC 的中点,所以 PM∥BC,且 PM= BC.在直三棱柱 ABC- A1B1C1中,BC∥B1C1,BC=B 1C1,又因为N 是 1 1的中点,B C所以 PM∥B1N,且 PM=B1 N,(2 分)所以四边形 PMNB 1是平行四边形,所以∥ 1.(4分 ) MN PB因为 MN?平面 ABB1A1,PB1?平面 ABB1A1,所以 MN∥平面ABB1A1.(6分 )(2)因为三棱柱 ABC-A1B1C1为直三棱柱,所以 BB1⊥平面 A1B1C1,(第 16 题)又因为 BB1?平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1⊥平面 A1 B1C1 .(8 分)因为∠ABC=90°,所以 B1C1⊥B1A1,平面11∩平面1111A1, 1 1?平面111,ABB A ABC=B B C A B C所以 B1 C1⊥平面ABB1 A1 .(10 分)又因为 A1B?平面 ABB1A1,所以 B1 C1⊥A1B,即 NB 1⊥A1 B.如图 ,连接AB1,因为在平行四边形 ABB1 A1中,AB=AA1,所以 AB1⊥A1 B.又因为 NB 1∩AB1=B 1,且 AB1,NB 1?平面 AB1 N,所以 1 ⊥平面 1 ,(12 分)A B AB N因为 AN?平面 AB1N,所以 A1 B⊥AN.(14 分)(第 17题)17 . (1)如图 ,设AO交BC于点D,过点O作OE⊥AB,垂足为 E.在△AOE 中,AE=10cosθ,AB=2 AE=20cosθ,(2 分)在△ABD 中,BD=AB ·sinθ=20cosθ·sinθ,(4 分)所以S=· 2π·20sin ·cos ·20cos400π·sin cos 2θ.(6 分)θ θθ=θ(2)要使侧面积最大 ,由 (1)得 ,S=θθ=θ-θ.(8 分)400π sin cos 2400π(sin sin 3)设 f(x)=x-x3(0 <x<1),则 f' (x)=1 -3 x2,由 f' (x)=1-3x2=0,得 x= .当 x∈时,f'(x)>0;当 x∈时,f'(x)<0,所以 f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以 f(x)在 x=时取得极大值,也是最大值,所以当 sin θ=时 ,侧面积S取得最大值.此时等腰三角形的腰长AB=20cos20 -=20 -=.θ=答: 侧面积S取得最大值时 ,等腰三角形的腰AB 的长度为cm .18 . (1) 设椭圆的方程为+ =1( a>b>0),由题意知解得所以椭圆的方程为+=1 .(2) 若AF=FC,由椭圆的对称性 , 知A,所以B--,此时直线BF的方程为 34 3 0.x- y-=--得 7 x2-6 x-13 =0,由解得 x=( x=-1 舍去 ),- -故== .-(3)设 A(x0,y0),则 B(-x0,-y0),直线 AF 的方程为 y=-(x-1),代入椭圆的方程+ =1,2-8-15+24 x =0 .得(15 -6 x ) x00因为0 是该方程的一个解,所以C 点的横坐标C-.x=x x =-又 C( x C,y C)在直线 y=-(x-1) 上 ,(11 分)(14 分)(2 分)(4 分)(6 分)(8 分)(10 分)(12 分)-所以 y C= -( x C-1) = -.同理 ,点D的坐标为,(14分 )--所以2=-= 1 ,k-= k--即存在 m= ,使得 k2 = k1 .(16分 ) 19 . (1) 函数h( x)的定义域为 (0,+∞).当 a= 1时, h(x)=f(x)-g(x)=x2 +x-ln x+2,所以 ()2 1-,(2 分) h' x = x+ - =所以当 0 <x<时 ,h'(x)<0;当 x> 时,h'(x)>0,所以函数h(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,所以当x=时,函数()取得极小值ln2, 无极大值.(4 分)h x+(2)设函数 f(x)上点( x1,f(x1))与函数 g(x)上点(x2,g(x2))处切线相同, 则(1)(2)-,f' x=g' x=-所以 2x1+a==--(6 分) -,所以 x1=-,代入-=11(ln2-a), +ax +- x得 - +ln x2+ -a-2=0 .(*)(8 分)设 F (x)= - +ln x+ -a- 2,则 F'( x)=- + + =- .不妨设 2+ax0-1=0( x0>0),则当 0<x<x0时 ,F'(x)<0;当 x>x 0时,F'(x) >0,所以 F(x)在区间(0,x0)上单调递减,在区间(x0,+∞)上单调递增,(10 分)代入 a= - = -2x 0 ,得 F (x )min =F ( x 0)= +2x 0 - +ln x 0-2 .设 G (x )=x 2 +2 x- +ln x-2, 则 G'(x ) =2 x+2+ + >0 对 x>0 恒成立 ,所以 ( )在区间 (0,)上单调递增 . 又G (1)=0,G x+∞所以当 0 <x ≤1 时 , G ( x )≤0,即当 0 0≤1 时, ( 0)≤0 .(12 分)<xF x又当 x=e a+2 时,F (x )= -+lne a+2 + -a-2 =- ≥0.(14 分)因此当 0 <x 0≤1 时,函数 F (x )必有零点 ,即当 0 <x 0≤1 时 ,必存在 x 2 使得 ( *)成立 ,即存在 x 1 ,x 2 使得函数 f (x )上点 (x 1 ,f (x 1))与函数 g (x )上点 (x 2, g ( x 2)) 处切线相同 .又由 2 x , 得y'=- 2 0,y= -- <所以 y= -2 x 在(0,1) 上单调递减 ,因此 a= -= -2x 0 ∈[-1,+∞),所以实数 a 的取值范围是 [-1,+∞).(16 分)20 .(1) 若 0, 4,则 n 4 n- 1( ≥2),λ=μ= S = a n所以 a n+1=S n+1 -S n =4( a n -a n- 1),即 a n+1-2a n =2(a n -2a n-1 ), 所以 b =2 b 1.(2 分)n n-又由12, 1 24 1,a = a +a = a得 a 2=3 a 1=6,a 2 -2 a 1 =2 ≠0, 即 b n ≠0,所以2,故数列 {n }是等比数列.(4 分)=b-(2) 若{a n }是等比数列 , 设其公比为 q (q ≠0),当 n= 2 时, S 2 =2λa 2+μa 1,即 a 1 +a 2=2λa 2+μa 1,得1+q=2λ q+μ; ①22当 n= 3 时, S 3 =3λa 3+μa 2,即 a 1 +a 2+a 3 =3 λa 3+μa 2,得 1+q+q =3λq +μq ; ②当 n= 4时, 4 4 43,即 1 2 3 4 4 43 ,得 1 23 4 32③S =λa +μaa +a +a +a= λa +μa +q+q +q = λq +μq .2②-①×q ,得 1 =λq ,③-②×q ,得 13 ,=λq解得 q=1,λ=1.代入① 式 ,得 0(8 分)μ=.此时 S n =na n (n ≥2),所以n1 2,数列 { n }是公比为 1的等比数列 ,a=a =a故 λ=1,μ=0.(10 分)(3) 若 a 2=3,由 a 1+a 2+2λa 2+μa 1, 得 5 =6λ+2μ,又,解得 , 1 (12 分)λ +μ= λ=μ=.由 a 1=2,a 2 =3,λ=,μ=1,代入 S n =λ na+μa n-1 ,得 a 3=4, 所以 a 1,a 2 ,a 3 成等差数列 .由 S n = a n +a n-1 ,得 S n+1 = a n+1 +a n ,两式相减 ,得 an+1 = an+1 - a +a -a n- 1 ,n n即( n-1)a n+1 -( n-2)a n -2a n-1 =0, 所以 na n+2 -(n-1) a n+1 -2a n =0,相减 ,得na n+ 2 2( 1) a n+1 ( 2) n 2 n 2n-10,- n- + n- a - a + a =所以 n (a n+2-2 a n+ 1 +a n )+2( a n+1-2a n +a n- 1) =0,- -所以 (a n+2-2a n+1 +a n ) =- (a n+1-2a n +a n-1 )=(a n -2 a n-1+a n-2 )= =·(a 3-2a 2+a 1 ).(14 分 )--因为1 2 2+a 3 0,所以an+ 2 2 n+1n0,a - a = - a+a =故数列 { a } 是等差数列 .(16 分 )n江苏省苏北四市 2018 届高三第一次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准21 . A. 连接 AD. 因为 AB 为圆的直径 ,所以 AD ⊥BD , 又 EF ⊥AB ,则 A ,D ,E ,F 四点共圆 ,所以· ·(5 分)BD BE=BA BF.又△∽△,ABCAEF所以 = ,即 AB ·AF=AE ·AC ,所以· · · ··( ) 2. (10 分 )BE BD-AE AC=BA BF-AB AF=AB BF-AF=ABB. 因为 M=BA= =-(5 分 )- ,-所以 M - 1=.(10 分)- -C. 把直线方程 l :化成普通方程为 x+y= 2.(3 分)-2ρcos θ-2 ρsin θ=0 2 2-2 y=0,将圆 C :ρ+2 化成普通方程为 x +2x+y即( x+1) 2+( y-1) 2=2.(6 分)圆心 C 到直线 l 的距离为 d==,所以直线 l 与圆 C 相切 . (10 分 )D.因为 [(1 +a)+(1+b)+(1+c )+(1 +d)]·≥=(a+b+c+d )2=1,(5 分)又(1 +a)+(1 +b) +(1 +c)+(1 +d)=5,所以+++≥ .(10 分) 22 . (1)因为 AB=1,AA1=2,则 F(0,0,0), A,C -,B,E,所以=(-1,0,0),= -. (2分)记直线 AC 和 BE 所成的角为α,则 cos cos<,>|α =|=-=, -所以直线 AC 和 BE 所成角的余弦值为.(4 分) (2)设平面 BFC1的法向量为 m=(x1,y1, z1),因为=,=-,则-取 x1=4,得 m=(4,0,1) .(6 分)设平面BCC 1 的法向量为(2, 2, 2 ),n= x y z因为=,=(0,0,2),则取 x2=,得n=(,-1,0) .(8 分) -所以 cos <m, n>=-=.根据图形可知二面角 F -BC 1-C 为锐二面角,所以二面角-1-的余弦值为.(10 分)F BC C23 . (1) 因为抛物线 C 的方程为 y2 =4x,所以 F 的坐标为(1,0),设 M(m, n),因为圆 M 与 x 轴、直线 l 都相切,l 平行于 x 轴,所以圆M 的半径为|n|,点(2,2),P n n则直线 PF 的方程为= --,即 2 n(x-1) -y(n2-1) =0,(2 分)所以---=|n|,又,≠0,-m n所以22121,即n2-m+10,|m-n - |=n +=所以 E 的方程为 y2=x- 1( y≠0).(4 分) (2) 设Q(t2+1, t), A(0,y1 ),B(0,y2),由(1) 知, 点Q处的切线l1的斜率存在 ,由对称性不妨设t>0,由 y'=,所以k AQ=-=-- ,,k BQ==-2--所以1= -, 2233,(6 分)y y =t +t所以 AB=-=2t3+ t+ (t>0) .(8 分)令 f(t)=2t3+ t+ ,t>0,则 f' (t)=6 t2 + -=-,由 f' (t)>0,得 t>-;由 f' (t)<0,得0<t<所以 f(t)在区间-,-上单调递减 ,在-上单调递增 ,所以当-时 , ()取得极小值也是最小值,即AB 取得最小值 ,t= f t此时 s=t2 +1=.(10 分)。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷4理含答案

江苏省南通基地2018年高考数学密卷4理含答案

xyy 0 11π24y 05π24O （第7题）江苏省南通基地2018年高考数学密卷（4）理第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．设复数满足（为虚数单位），则复数 ． 2．已知集合，，则共有 个子集．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果为 ． 4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个 小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组 数据的频数为25，则样本容量为 ．5．在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，且它的一个焦点为，则双曲线的方程为 ． 6．函数的定义域为 ． 7．若函数的部分图象如图所示， 则的值为 ．8．现有5张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片，它们的大小和颜色完全相同．从中随机抽取2张组成两位数，则该两位数为奇数的概率为 ．9．在三棱锥中，，分别为，的中点，记三棱锥的体积为， 三棱锥的体积为，则 ．10．设点是所在平面上的一点，点是的中点，且，设，则 ． 11．已知数列中，，，．若是等比数列，则 ． 12．已知，，若，则的最小值为 ．13．在平面直角坐标系中，动圆（其中）截轴所得的弦长恒为．若过点作圆的一条切线，切点为，则点到直线距离的最大值为 ．14．已知，若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分． 15．已知向量，，函数．（1）求函数的最小正周期； （2）若，且，求的值．16．如图，在四棱锥中，底面为梯形，，， 交于，锐角所在平面⊥底面，，点在侧棱上，且． （1）求证：平面； （2）求证：．17．如图所示，圆是一块半径为米的圆形钢板，为生产某部件需要，需从中截取一块多边形．其中为圆的直径，,,在圆上，， ,在上，且 ,．（1）设，试将多边形面积表示成的函数关系式； （2）多边形面积的最大值．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知分别为椭圆（）的左、右焦点，且椭圆经过点和点，其中为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程；（2）过点的直线交椭圆于另一点，点在直线上，且．若，求直线的斜率．(第16题图)PABCD QO19．已知函数，其中，e是自然对数的底数．（1）若，求函数的单调增区间；（2）若函数为上的单调增函数，求的值；（3）当时，函数有两个不同的零点，求证：．20．已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为．（1）若数列通项公式为，求证：；（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；（3）设，数列的各项均为正数，且．问数列中是否存在无穷多项依次成等差数列？若存在，给出一个数列的通项；若不存在，说明理由．2018年高考模拟试卷（4）数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定两题，并．．．．．．．．．．．．．．．．．．在相应的答题区域内作答A．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，过D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．若DA = DC，求证：AB = 2BC．B ．[选修：矩阵与变换] （本小题满分10分）已知，向量为是矩阵的属于特征值的一个特征向量． （1）求矩阵的另一个特征值； （2）求矩阵的逆矩阵． C ．[选修：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数．以原点O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为． 求直线被曲线所截得的弦长． D ．[选修：不等式选讲] （本小题满分10分）已知实数x ，y ，z 满足x + y + z = 2，求的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答． 22．（本小题满分10分）某小组共10人，利用寒假参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别 为3，3，4．现从这10人中选出2人作为该组代表参加座谈会．（1）记“选出2人参加义工活动的次数之和为4”为事件，求事件发生的概率；（2）设为选出2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望．23．（本小题满分10分）在各项均不相同的数列，，，…，中，任取,且项变动位置，其余项保持位置不动，得到不同的新数列，由此产生的不同新数列的个数记为．（1）求的值；（2）求的值；（3）设，求证：．2018年高考模拟试卷（4）参考答案数学Ⅰ一、填空题：1．【解析】．2．【解析】由条件得，所以的子集有个．3．【解析】由题意可知．4．150【解析】设第一个小矩形面积为，由，得，从而样本容量为．5．【解析】设双曲线的方程为，因为双曲线的渐近线方程为，所以，又因为一个焦点为，所以，所以，所以双曲线的方程为6．【解析】由已知得，，所以7．4【解析】由图知函数的周期为，所以．8．【解析】从张分别标有数字1，2，3，4，5的卡片中随机抽取张组成两位数，共有种情况，要使中的两个数组成两位奇数，有种情况，所以其概率为．9．【解析】因为，，所以．10．【解析】因为，所以，即，所以，所以，又点是的中点，所以，所以，所以．11．3049 【解析】，所以，所以．12．【解析】因为，，，所以．令，，，则，所以，当且仅当时取等号．所以的最小值为．13．【解析】因为动圆（其中）截轴所得的弦长恒为，所以，设，由已知条件得，，所以，即点在圆，所以点到直线距离的最大值为．14．【解析】，题意即为在上恒成立，即．由于，且，则．当时，恒成立，符合；当时，，所以在上单调递增，不符合；当时，，所以在上单调递减，此时，即．令（），不等式即为，由于，所以在上单调递增，而当时，，所以恒成立．综上所述，的取值范围是．15．解：（1），，…… 2分，…… 4分所以函数的最小正周期为．…… 6分（2），，且，，…… 8分，，…… 10分，…… 12分，．…… 14分16．证明：（1）如图，连接，因为，，所，………2分又，所以，…………4分又平面，平面，所以平面. ……… 6分（2）在平面内过作于，因为侧面底面，平面平面，平面，所以平面，…………………8分又平面，所以，…………………10分因为是锐角三角形，所以与不重合，即和是平面内的两条相交直线，又，所以平面，…………………12分又平面，所以．…………………14分17．解：连接，，，，，，………2分（1）在中，，，，，，………4分，．………8分（2）令，，则，且，………10分，，………12分当，即时，，即多边形面积的最大值为平方米．………14分18．解：（1）因为椭圆经过点和点，所以…… 2分解得，所以椭圆的方程为．…… 6分（2）解法一：由（1）可得，设直线的斜率为，则直线的方程为．由方程组消去，整理得，解得或，所以点坐标为．…… 8分由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为．…… 10分所以，．若，则．…… 14分解得，所以，即直线的斜率．…… 16分解法二：由（1）可得，设（），则①，…… 8分直线，由知，点在的中垂线上，又在直线上，所以点坐标为．…… 10分所以，，若，则，所以②，…… 12分由①②可得，即，所以或(舍)，．所以，即直线的斜率．…… 16分19．解：（1）当a=0时，，，令，得，所以的单调增区间为．…… 3分（2），因为函数为上的单调增函数，所以0在上恒成立．……5分当时，，0显然成立；当时，恒成立，则恒成立，此时；当时，恒成立，则恒成立，此时．综上，．…… 8分（3）不妨设，当时，，函数在上单调递减，在上单调递增．因为，所以，，，…… 10分在上单调递减，所以要证，即证，即证，又因为，所以即证（*）．12分记，，，所以在上恒成立，所以函数在上为增函数，又因为，，所以，即，（*）式得证．所以，命题成立．…… 16分20．解:（1）因为，所以，…… 2分所以，所以，即．…… 4分（2）设的公差为，因为，所以（*），特别的当时，，即，…… 6分由（*）得，整理得，因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，又，所以，…… 8分于是，即，所以，即，所以，因此的取值范围是．…… 10分（3）由得，所以，即，所以，从而有，又，所以，即，又，，所以有，所以，…… 12分假设数列（其中）中存在无穷多项依次成等差数列，不妨设该等差数列的第项为(为常数)，则存在，，使得，即，…… 14分设，则，即，于是当时，，从而有：当时，即，于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列．…… 16分数学Ⅱ（附加题）21．A．证明：连接OD因为DC为切线且点D为切点，所以因为OA=OD所以又因为AD=DC所以故所以BC=OD=R从而AB=2BC ……………10分B．解：（1）由条件得，，，解得………2分因为矩阵，所以特征多项式为，………4分令，解得．所以矩阵的另一个特征值为．………5分（2）因为，………7分所以．………10分C．解：把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为：，即，………2分曲线表示的是圆心，半径为的圆．………4分直线的参数方程为参数化为普通方程为，………6分圆心到直线的距离为，………8分直线被曲线所截得的弦长为．………10分（说明：也可以用直线参数方程的几何意义去完成）D．证明：由柯西不等式可知所以，当且仅当时取等号．………10分22．解：（1）由已知有，所以事件A的发生的概率为．…3分（2）随机变量X的所有可能的取值为0，1，2．………4分；；．………6分所以随机变量X的分布列为X 0 1 2P………8分数学期望．………10分23．解：（1）．………2分（2）．………4分（3）证明：，，，．………10分。

2018年江苏省南通市高考数学一模试卷

2018年江苏省南通市高考数学一模试卷

2018年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1. 已知集合A ={−1, 0, a}，B ={0, √a}．若B ⊆A ，则实数a 的值为________．2. 已知复数z =1+4i 1−i，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500．为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．5. 某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．6. 若实数x ，y 满足{x ≥1y ≤3x −y −1≤0 ，则2x −y 的最大值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2=8x 的焦点，则点F 到双曲线x 216−y 29=1的渐近线的距离为________．8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2=1，a 8=a 6+6a 4，则a 3的值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y =sin(2x +π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度．若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．10. 若曲线y =xlnx 在x =1与x =t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．11. 如图，铜质六角螺帽毛胚是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm ，圆柱的底面积为9√3cm 2．若将该螺帽熔化后铸成一个高12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB =2，AD =1．点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ =45∘，则AP →⋅AQ →的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(−4, 0)，B(0, 4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2+y 2=4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D ．设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为________．14. 已知函数f(x)={x 2−2ax −a +1,x ≥0ln(−x),x <0 ，g(x)=x 2+1−2a ．若函数y =f（g(x)）有4个零点，则实数a 的取值范围是________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）如图，在三棱锥P −ABC 中，AB ⊥PC ，CA =CB ，M 是AB 的中点．点N 在棱PC 上，点D 是BN 的中点．求证：（1）MD // 平面PAC ；（2）平面ABN ⊥平面PMC ．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2−bc ，a =√152b ．（1）求sinB 的值；（2）求cos(C+π12)的值．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22，两条准线之间的距离为4√2．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=89上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O．规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F．（道路宽度忽略不计）（1）若PB经过圆心，求点P到AD的距离；（2）设∠POD=θ，θ∈(0, π2)．①试用θ表示EF的长度；②当sinθ为何值时，绿化区域面积之和最大．已知函数g(x)=x3+ax2+bx(a, b∈R)有极值，且函数f(x)=(x+a)e x的极值点是g(x)的极值点，其中e是自然对数的底数．（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）（1）求b关于a的函数关系式；（2）当a>0时，若函数F(x)=f(x)−g(x)的最小值为M(a)，证明：M(a)<−73．若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n+1≥a n 恒成立；②对于给定的正整数k ，a n−k +a n+k =2a n 对于任意的正整数n(n >k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”． （1）已知a n ={2n −1,n 为奇数2n,n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列{a n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p >1)，使得b 3p−3，b 3p−1，b 3p+1，b 3p+3成等差数列，证明：{b n }是等差数列． 一、【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]如图，已知⊙O1的半径为2，⊙O 2的半径为1，两圆外切于点T ．点P 为⊙O 1上一点，PM 与⊙O 2切于点M ．若PM =√3，求PT 的长．[选修4-2：矩阵与变换]已知x ∈R ，向量[01]是矩阵A =[1x02]的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A −1．[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，直线y =x 与曲线{x =t −1y =t 2−1 （t 为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．[选修4-5：不等式选讲]已知a >1，b >1，求b 2a−1+a 2b−1的最小值． 【必做题】第25、26题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.如图，四棱锥P −ABCD 中，AP 、AB 、AD 两两垂直，DE // BC ，且AP =AB =AD =4，BC =2．（1）求二面角P −CD −A 的余弦值；（2）已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC =DH ，求PHPC 的值．（1）用数学归纳法证明：当n∈N∗时，cosx+cos2x+cos3x+...+cosnx= sin(n+12)x2sin12x−12(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z)；（2）求sinπ6+2sin2π6+3sin3π6+4sin4π6+...+2018sin2018π6的值．参考答案与试题解析2018年江苏省南通市高考数学一模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1.【答案】1【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】利用子集定义直接求解，【解答】∵集合A={−1, 0, a}，B={0, √a}．B⊆A，∴√a=a，且a≠0．解得a=1，∴实数a的值为1．2.【答案】−3 2【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】∵z=1+4i1−i =(1+4i)(1+i)(1−i)(1+i)=−32+52i，∴复数z的实部为−32．3.【答案】25【考点】分层抽样方法【解析】根据题意求出抽样比例值，再计算应从高三年级抽取的学生数．【解答】根据题意，抽样比例为65400+400+500=120，∴应从高三年级抽取500×120=25（名）．4.【答案】10伪代码（算法语句） 【解析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出S 的值． 【解答】模拟程序的运行过程，得： S =1，i =1，满足条件i ≤5，执行循环S =1+1=2，i =3 满足条件i ≤5，执行循环S =2+3=5，i =5 满足条件i ≤5，执行循环S =5+5=10，i =7 此时不满足条件i ≤5，退出循环，输出S =10． 5.【答案】12【考点】古典概型及其概率计算公式 【解析】基本事件总数n =C 42=6，数学建模社团被选中包含的基本事件个数m =C 11C31=3，由此能求出数学建模社团被选中的概率． 【解答】解：某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，基本事件总数n =C 42=6，数学建模社团被选中包含的基本事件个数m =C 11C 31=3， ∴ 数学建模社团被选中的概率为p =m n=36=12． 故答案为：12. 6.【答案】 5【考点】简单线性规划 【解析】画出不等式表示的平面区域，z =2x −y 的几何意义是直线y =2x −z 的纵截距的相反数，根据图形可得结论． 【解答】画出不等式表示的平面区域：z =2x −y 的几何意义是直线y =2x −z 的纵截距的相反数，由{y =3x −y −1=0 可得交点坐标为(4, 3)，根据图形可知在点(4, 3)处，z =2x −y 取得最大值，最大值为5 7.【答案】 65【考点】求得抛物线的焦点和双曲线的渐近线方程，再由点到直线的距离公式计算即可得到所求值．【解答】抛物线y2=8x的焦点F(2, 0)，双曲线x216−y29=1的渐近线方程为y=±34x，即3x±4y=0．则F到双曲线的渐近线的距离为d=22=658.【答案】√3【考点】等比数列的通项公式【解析】利用等比数列的通项公式列出方程组，能求出结果．【解答】∵在各项均为正数的等比数列{a n}中，a2=1，a8=a6+6a4，∴{a1q=1a1q7=a1q5+6a1q3，且q>0．解得q2=3，∴q=√3，∴a3=a1q⋅q=q=√3．9.【答案】π6【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】直接利用三角函数的平移变换求出结果．【解答】将函数y=sin(2x+π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位长度．得到：y=sin(2x−2φ+π3)，平移后得到的图象经过坐标原点，由于：0<φ<π2，则：−2φ+π3=0，解得：φ=π6．10.【答案】e−2【考点】求得函数的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，即可得到所求值． 【解答】y =xlnx 的导数为y′=1+lnx ，可得在x =1与x =t 处的切线斜率分别为1和1+lnt ， 由切线互相垂直，可得： 1+lnt =−1， 解得t =e −2． 11.【答案】 2√10 【考点】柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】设该正三棱柱的底面边长为xcm ，利用棱柱、圆柱的体积公式列出方程，由此能求出该正三棱柱的底面边长． 【解答】设该正三棱柱的底面边长为xcm ，则12∗x 2∗sin60∘∗6=6×(12×4×4×sin60∘)×4−9√3×4， 解得x =2√10．(cm) 12.【答案】 4√2−4 【考点】平面向量数量积的性质及其运算律 【解析】设∠PAB =θ，则∠DAQ =45∘−θ，分别由解直角三角形可得AQ ，AP 的长，再由向量的数量积的定义，结合三角函数的恒等变化公式，以及余弦函数的最值，即可得到所求最小值． 【解答】设∠PAB =θ，则∠DAQ =45∘−θ， AP →⋅AQ →=|AP →|⋅|AQ →|cos45∘， =2cosθ⋅1cos(45∘−θ)⋅√22， =cosθ∗(√22cosθ+√22sinθ)，=2cos 2θ+cosθsinθ， =21+cosθ2+sin2θ2，=√22sin(2θ+45)+12，当且仅当2θ+45∘=90∘，∴ θ=22.5∘时取“=”，当θ=22.5∘时，点P 恰在边BC 上，Q 恰边CD 上，满足条件， 综上所述，AP →⋅AQ →的最小值为4√2−4， 13.【答案】 3√2【考点】圆的切线方程 【解析】由题意可得AB 所在直线方程，设P(x 0, y 0)，则y 0=x 0+4，求出CD 所在直线方程为x 0x +y 0y =4，再求出直线OM 的方程x 0y −y 0x =0，联立消去x 0，y 0，可得M 的轨迹方程，数形结合即可求得线段AM 长的最大值． 【解答】 如图，直线AB 的方程为x −y +4=0，设P(x 0, y 0)，则y 0=x 0+4，① 以OP 为直径的圆的方程为x 2+y 2−x 0x −y 0y =0，联立{x 2+y 2=4x 2+y 2−x 0x −y 0y =0 ，可得CD 所在直线方程为：x 0x +y 0y =4，② ∵ 线段CD 的中点为M ，则直线OM:x 0y −y 0x =0，③联立①②③消去x 0，y 0，可得M 的轨迹方程为(x +12)2+(y −12)2=12，圆心坐标为(−12, 12)，半径r =√22，又A(−4, 0)，∴ |AM|max =√14+494+√22=3√2．14. 【答案】(−1+√5, 1)∪(1, +∞) 【考点】函数零点的判定定理 【解析】求出f(x)=0的解，讨论f(x)的零点与g(x)的最小值1−2a 的关系，得出a 的范围． 【解答】当x ≥0时，令f(x)=0得x 2−2ax −a +1=0， △=4a 2−4(1−a)=4(a 2+a −1)，方程f(x)=0(x ≥0)无解，由f （g(x)）=0可得g(x)=−1，又g(x)为偶函数，故而f （g(x)）=0最多只有2解，不符合题意（1）（2）若△=0即a =−1−√52或a =−1+√52时，方程f(x)=0(x ≥0)的解为x =a =−1+√52，而g min (x)=1−2a =2−√5，此时g(x)=−1无解，g(x)=−1+√52只有2解，不符合题意（2）（3）若△>0即a <−1−√52或a >−1+√52时，方程f(x)=0(x ≥0)的解为x 1=a −√a 2+a −1，x 2=a +√a 2+a −1， ①若a <−1−√52，则x 1<0，x 2<0，且g min (x)=1−2a >0，此时f （g(x)）=0无解，不符合题意（3）②若−1+√52<a <1，则x 2>x 1>0，而−1<1−2a <2−√5<0，∴ g(x)=x 1和g(x)=x 2各有2解，故f （g(x)）=0有4解，符合题意（4）③若a =1，则x 1=0，x 2=2，g min (x)=1−2a =−1，此时g(x)=x 1有2解，g(x)=x 2有2解，g(x)=−1有1解，此时f （g(x)）=0有5解，不符合题意（5）④若a >1，则x 2>0，x 1<0，而g min (x)=1−2a <−1，∴ g(x)=x 2有2解，g(x)=−1有2解， 故f （g(x)）=0有4解，符合题意． 综上，−1+√52<a <1或a >1．故答案为：(−1+√52, 1)∪(1, +∞)．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）【答案】 证明：（1）在△ABN 中，M 是AB 的中点，D 是BN 的中点， 所以MD // AN ．又因为AN ⊂平面PAC ，MD 平面PAC ， 所以MD // 平面PAC ．（2）在△ABC 中，CA =CB ，M 是AB 的中点， 所以AB ⊥MC ．又因为AB ⊥PC ，PC ⊂平面PMC ，MC ⊂平面PMC ，PC ∩MC =C ， 所以AB ⊥平面PMC ． 又因为AB ⊂平面ABN ， 所以平面ABN ⊥平面PMC ． 【考点】平面与平面垂直 【解析】 此题暂无解析【解答】证明：（1）在△ABN中，M是AB的中点，D是BN的中点．所以MD // AN．又因为AN⊂平面PAC，MD平面PAC，所以MD // 平面PAC．（2）在△ABC中，CA=CB，M是AB的中点，所以AB⊥MC．又因为AB⊥PC，PC⊂平面PMC，MC⊂平面PMC，PC∩MC=C，所以AB⊥平面PMC．又因为AB⊂平面ABN，所以平面ABN⊥平面PMC．【答案】在△ABC中，利用余弦定理：a2=b2+c2−2bccosA，所以：cosA=b2+c2−a22bc =12．由于：0<A<π，故：A=π3．在△ABC，由正弦定理asinA =bsinB得，sinB=b⋅sinAa =√55．因为a=√15b2>b，所以A，0<B<π3．又sinB=√55，所以cosB=√1−sin2B=2√55．在△ABC中，A+B+C=π．cos(C+π12)=−cos(B+π4)=−(2√55⋅√22−√55⋅√22)=−√1010．【考点】解三角形三角形的面积公式【解析】（1）直接利用已知条件和余弦定理和正弦定理求出结果．（2）利用三角函数关系式的恒等变换求出结论．【解答】在△ABC中，利用余弦定理：a2=b2+c2−2bccosA，所以：cosA=b2+c2−a22bc =12．由于：0<A<π，故：A=π3．在△ABC，由正弦定理asinA =bsinB得，sinB=b⋅sinAa =√55．因为a=√15b2>b，所以A，0<B<π3．又sinB=√55，所以cosB=√1−sin2B=2√55．在△ABC中，A+B+C=π．cos(C+π12)=−cos(B+π4)=−(2√55⋅√22−√55⋅√22)=−√1010．【答案】设椭圆的焦距为2c，由题意得，ca =√22，2a2c=4√2，解得a=2，c=b=√2．∴椭圆的方程为：x24+y22=1．△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，∴AB=2AM，∴点M为AB的中点．∵椭圆的方程为：x24+y22=1．∴A(−2, 0)．设M(x0, y0)，则B(2x0+2, 2y0)．由x02+y02=89，(2x0+2)24+(2y0)22=1，化为：9x02−18x0−16=0，−2√23≤x0≤2√23．解得：x0=−23．代入解得：y0=±23，∴k AB=±12，因此，直线AB的方程为：y=±12(x+2)．【考点】椭圆的定义【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，ca =√22，2a2c=4√2，解出即可得出．(2)△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，可得AB=2AM，即点M为AB的中点．A(−2, 0)．设M(x 0, y 0)，利用中点坐标公式可得：B(2x 0+2, 2y 0)．由x 02+y 02=89，(2x 0+2)24+(2y 0)22=1，联立解出，即可得出直线AB 的方程．【解答】设椭圆的焦距为2c ，由题意得，ca=√22，2a 2c=4√2，解得a =2，c =b =√2． ∴ 椭圆的方程为：x 24+y 22=1．△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，∴ AB =2AM ， ∴ 点M 为AB 的中点． ∵ 椭圆的方程为：x 24+y 22=1．∴ A(−2, 0)．设M(x 0, y 0)，则B(2x 0+2, 2y 0)．由x 02+y 02=89，(2x 0+2)24+(2y 0)22=1，化为：9x 02−18x 0−16=0，−2√23≤x 0≤2√23． 解得：x 0=−23． 代入解得：y 0=±23， ∴ k AB =±12，因此，直线AB 的方程为：y =±12(x +2)．【答案】直线PB 的方程为y =2x ，半圆O 的方程为x 2+y 2=402(y ≥0)， 由{y =2xx 2+y 2=402 ，得y =16√5． ∴ 点P 到AD 的距离为16√5m ． ①由题意，得P(40cosθ, 40sinθ)； 直线PB 的方程为y +80=sinθ+2cosθ+1(x +40)， 令y =0，得x E =80cosθ+80sinθ+2−40=80cosθ−40sinθsinθ+2．直线PC 的方程为y +80=sinθ−2cosθ−1(x −40)， 令y =0，得x F =80cosθ−80sinθ+2+40=80cosθ+40sinθsinθ+2．∴ EF 的长度为f(θ)=x F −x E =80sinθsinθ+2，θ∈(0, π2)． ②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为： S 1=12×(80−80sinθsinθ+2)×80=6400sinθ+2， 区域Ⅱ的面积为： S 2=12×(80sinθsinθ+2)×40sinθ=1600sin 2θsinθ+2，∴ S 1+S 2=1600sin 2θ+6400sinθ+2(0<θ<π2)．设sinθ+2=t ，则2<t <3， S 1+S 2=1600(t−2)2+6400t=1600(t +8t−4)≥1600(2√8−4)=6400(√2−1)．当且仅当t =2√2，即sinθ=2√2−2时“=”成立．∴ 休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1+S 2的最小值为6400(√2−1)m 2． 答：当sinθ=2√2−2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．（1）写出直线PB 的方程与半圆O 的方程，联立求得y 值，即可得到点P 到AD 的距离； （2）①由题意，得P(40cosθ, 40sinθ)．写出直线PB 的方程，求得E 的坐标，写出直线PC 的方程，求出F 的坐标，可得EF 的长度为f(θ)=x F −x E =80sinθsinθ+2，θ∈(0, π2)． ②求出区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和S 1 与区域Ⅱ的面积S 2，作和可得S 1+S 2=1600sin 2θ+6400sinθ+2(0<θ<π2)．设sinθ+2=t ，则2<t <3，然后利用基本不等式求最值．【解答】直线PB 的方程为y =2x ，半圆O 的方程为x 2+y 2=402(y ≥0)， 由{y =2xx 2+y 2=402 ，得y =16√5． ∴ 点P 到AD 的距离为16√5m ． ①由题意，得P(40cosθ, 40sinθ)； 直线PB 的方程为y +80=sinθ+2cosθ+1(x +40)， 令y =0，得x E =80cosθ+80sinθ+2−40=80cosθ−40sinθsinθ+2．直线PC 的方程为y +80=sinθ−2cosθ−1(x −40)， 令y =0，得x F =80cosθ−80sinθ+2+40=80cosθ+40sinθsinθ+2．∴ EF 的长度为f(θ)=x F −x E =80sinθsinθ+2，θ∈(0, π2)． ②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为： S 1=12×(80−80sinθsinθ+2)×80=6400sinθ+2，区域Ⅱ的面积为： S 2=12×(80sinθsinθ+2)×40sinθ=1600sin 2θsinθ+2，∴ S 1+S 2=1600sin 2θ+6400sinθ+2(0<θ<π2)．设sinθ+2=t ，则2<t <3， S 1+S 2=1600(t−2)2+6400t=1600(t +8t −4)≥1600(2√8−4)=6400(√2−1)．当且仅当t =2√2，即sinθ=2√2−2时“=”成立．∴ 休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1+S 2的最小值为6400(√2−1)m 2． 答：当sinθ=2√2−2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．【答案】∵ 函数f(x)=(x +a)e x ， ∴ f′(x)=e x (x +a +1)， 令f′(x)=0，解得x =−a −1，∵ 函数g(x)=x 3+ax 2+bx(a, b ∈R)， ∴ g′(x)=3x 2+2ax +b ，∵ 函数g(x)=x 3+ax 2+bx(a, b ∈R)有极值，且函数f(x)=(x +a)e x 的极值点是g(x)的极值点，∴ g′(−a −1)=3(−a −1)2+2a(−a −1)+b =0， 解得b =−a 2−4a −3． 证明：F(x)=f(x)−g(x)=(x +a)e x −x 3−ax 2−bx =(x +a)e x −x 3−ax 2+(a 2+4a +3)x ，F′(x)=(x +a +1)e x −3x 2−2ax +a 2+4a +3 =(x +a +1)e x −(x +a +1)(3x −a −3) =(x +a +1)(e x −3x +a +3)，令ℎ(x)=e x −3x +a +3，则ℎ′(x)=e x −3， 令ℎ′(x)=0，得x =ln3，ℎ(ln3)为ℎ(x)最小值，且ℎ(ln3)=6−3ln3+a，∵a>0，∴ℎ(ln3)>0，∴ℎ(x)>0，对于F′(x)=(x+a+1)ℎ(x)=0，有唯一解x=−a−1，当x∈(−∞, −a−1)时，F′(x)<0，当x∈(−a−1, +∞)时，F′(x)>0，∴F(−a−1)为F(x)最小值，M(a)=F(−a−1)=−e−a−1−(a+1)2⋅(a+2)，当a>0时，∴M(a)是减函数，M(a)<M(0)=−1e −2<−73，∴M(a)<−73．【考点】利用导数研究函数的极值【解析】（1）推导出f′(x)=e x(x+a+1)，令f′(x)=0，得x=−a−1，求出g′(x)=3x2+ 2ax+b，从而g′(−a−1)=3(−a−1)2+2a(−a−1)+b=0，由此能求出b关于a的函数关系式．（2）F(x)=f(x)−g(x)=(x+a)e x−x3−ax2+(a2+4a+3)x，推导出F′(x)= (x+a+1)e x−3x2−2ax+a2+4a+3=(x+a+1)(e x−3x+a+3)，令ℎ(x)= e x−3x+a+3，则ℎ′(x)=e x−3，令ℎ′(x)=0，得x=ln3，ℎ(ln3)=6−3ln3+a 为ℎ(x)最小值，推导出F(−a−1)为F(x)最小值，M(a)=F(−a−1)=−e−a−1−(a+1)2⋅(a+2)，由此能证明M(a)<−73．【解答】∵函数f(x)=(x+a)e x，∴f′(x)=e x(x+a+1)，令f′(x)=0，解得x=−a−1，∵函数g(x)=x3+ax2+bx(a, b∈R)，∴g′(x)=3x2+2ax+b，∵函数g(x)=x3+ax2+bx(a, b∈R)有极值，且函数f(x)=(x+a)e x的极值点是g(x)的极值点，∴g′(−a−1)=3(−a−1)2+2a(−a−1)+b=0，解得b=−a2−4a−3．证明：F(x)=f(x)−g(x)=(x+a)e x−x3−ax2−bx=(x+a)e x−x3−ax2+(a2+4a+3)x，F′(x)=(x+a+1)e x−3x2−2ax+a2+4a+3=(x+a+1)e x−(x+a+1)(3x−a−3)=(x+a+1)(e x−3x+a+3)，令ℎ(x)=e x−3x+a+3，则ℎ′(x)=e x−3，令ℎ′(x)=0，得x=ln3，ℎ(ln3)为ℎ(x)最小值，且ℎ(ln3)=6−3ln3+a，∵a>0，∴ℎ(ln3)>0，∴ℎ(x)>0，对于F′(x)=(x+a+1)ℎ(x)=0，有唯一解x=−a−1，当x∈(−∞, −a−1)时，F′(x)<0，当x∈(−a−1, +∞)时，F′(x)>0，∴F(−a−1)为F(x)最小值，M(a)=F(−a−1)=−e−a−1−(a+1)2⋅(a+2)，当a>0时，∴M(a)是减函数，M(a)<M(0)=−1e −2<−73，∴M(a)<−73．【答案】当n为奇数时，a n+1−a n=2(n+1)−(2n−1)=3>0，所以a n+1≥a n．a n−2+a n+2=2(n−2)−1+2(n+2)−1=2(2n−1)=2a n．当n为偶数时，a n+1−a n=2(n+1)−2n=3>0，所以a n+1≥a n．a n−2+a n+2=2(n−2)+2(n+2)=4n=2a n．所以，数列{a n}是否为“R数列数列”．证明（1）由题意可得：b n−3+b n+3=2b n，则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2，数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3，因为b n≤b n+1，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1，所以n(d2−d1)≥b1−b2①，n(d2−d1)≥b1−b2+d1，②．若d2−d1<0，则当n>b1−b2d2−d1时，①不成立；若d2−d1>0，则当n>b1−b2+d1d2−d1时，②不成立；若d2−d1=0，则①和②都成立，所以d1=d2．同理得：d1=d3，所以d1=d2=d3，记d1=d2=d3=d．设b3p−1−b3p−3=b3p+1−b3p−1=b3p+3−b3p+1=λ，则b3p−1−b3p−2=b3p−1−(n−p)d−(b3p+1−(n−p−1)d)=b3p−1−b3p+1+d= d−λ，同理可得：b3n−b3n−1=b3n+1−b3n=d−λ，所以b n+1−b n=d−λ．所以：{b n}是等差数列．【考点】数列递推式【解析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n−3+a n−2+a n−1+a n+1+a n+2+a n+3= (a n−3+a n+3)+(a n−2+a n+2)+(a n−1+a n+1)=2×3a n，根据“P(k)数列”的定义，可得数列{a n}是“P(3)数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n}从第3项起为等差数列，再通过判断a2与a3的关系和a1与a2的关系，可知{a n}为等差数列．【解答】当n为奇数时，a n+1−a n=2(n+1)−(2n−1)=3>0，所以a n+1≥a n．a n−2+a n+2=2(n−2)−1+2(n+2)−1=2(2n−1)=2a n．当n为偶数时，a n+1−a n=2(n+1)−2n=3>0，所以a n+1≥a n．a n−2+a n+2=2(n−2)+2(n+2)=4n=2a n．所以，数列{a n}是否为“R数列数列”．证明（1）由题意可得：b n−3+b n+3=2b n，则数列b1，b4，b7，…是等差数列，设其公差为d1，数列b2，b5，b8，…是等差数列，设其公差为d2，数列b3，b6，b9，…是等差数列，设其公差为d3，因为b n≤b n+1，所以b3n+1≤b3n+2≤b3n+4，所以b1+nd1≤b2+nd2≤b1+(n+1)d1，所以n(d2−d1)≥b1−b2①，n(d2−d1)≥b1−b2+d1，②．若d2−d1<0，则当n>b1−b2d2−d1时，①不成立；若d2−d1>0，则当n>b1−b2+d1d2−d1时，②不成立；若d2−d1=0，则①和②都成立，所以d1=d2．同理得：d1=d3，所以d1=d2=d3，记d1=d2=d3=d．设b3p−1−b3p−3=b3p+1−b3p−1=b3p+3−b3p+1=λ，则b3p−1−b3p−2=b3p−1−(n−p)d−(b3p+1−(n−p−1)d)=b3p−1−b3p+1+d= d−λ，同理可得：b3n−b3n−1=b3n+1−b3n=d−λ，所以b n+1−b n=d−λ．所以：{b n}是等差数列．一、【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]【答案】延长PT，交⊙O2与点C，连结O1P，O2C，O1O2，则O1O2过点T，由切割线定理得：PM2=PC×PT=3．因为∠O1TP=∠O2TC，△O1TP与△O2TC均为等腰三角形，所以△O1TP∽△O2TC，所以PT TC=PO1CO2=2，所以PTPC =23，即PC=32PT．因为PC×PT=32×PT×PT=3，解得PT=√2．【考点】与圆有关的比例线段【解析】延长PT，交⊙O2与点C，连结O1P，O2C，O1O2则O1O2过点T，由切割线定理得：PM2=PC×PT=3．推导出△O1TP∽△O2TC，从而PC=32PT．由此能求出PT．【解答】延长PT ，交⊙O 2与点C ，连结O 1P ，O 2C ，O 1O 2， 则O 1O 2过点T ，由切割线定理得：PM 2=PC ×PT =3． 因为∠O 1TP =∠O 2TC ，△O 1TP 与△O 2TC 均为等腰三角形，所以△O 1TP ∽△O 2TC ，所以PT TC =PO1CO 2=2，所以PT PC =23，即PC =32PT ． 因为PC ×PT =32×PT ×PT =3， 解得PT =√2．[选修4-2：矩阵与变换] 【答案】由已知得[1x 02][01]=[x 2]=λ[01]， 所以{λ=2x =0 ，所以A =[1002]． 方法一：设A −1=[abcd]，则AA −1=[1002][a b c d ]=[1001]，即[ab2c 2d]=[1001]，．所以a =1，b =c =0，d =12． 所以λ=2，A −1=[10012]．方法二：由A =[1002]．则|A|=2，则A −1=[10012]． 【考点】特征向量的意义 【解析】根据矩阵的特征向量的定义，即可求得λ及矩阵A ， 方法一：设逆矩阵，根据AA −1=E ，即可求得A −1．方法二：求得|A|=2，根据二阶矩阵逆矩阵的求法，即可求得|A|=2， 【解答】由已知得[1x 02][01]=[x 2]=λ[01]， 所以{λ=2x =0 ，所以A =[1002]． 方法一：设A −1=[abcd]，则AA −1=[1002][a b c d ]=[1001]，即[ab2c 2d]=[1001]，．所以a =1，b =c =0，d =12．所以λ=2，A−1=[10012]．方法二：由A =[1002]．则|A|=2，则A −1=[10012]． [选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】曲线{x =t −1y =t 2−1 的普通方程为y =x 2+2x ， 联立{y =x y =x 2+2x ，解得{x =0y =0 或{x =−1y =−1， 所以A(0, 0)，B(−1, −1)，所以AB =√(−1−0)2+(−1−0)2=√2． 【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】将曲线的参数方程化为直角坐标方程，与直线方程联立求出交点坐标，根据两点间距离公式求出线段长度． 【解答】曲线{x =t −1y =t 2−1 的普通方程为y =x 2+2x ， 联立{y =x y =x 2+2x ，解得{x =0y =0 或{x =−1y =−1 ， 所以A(0, 0)，B(−1, −1)，所以AB =√(−1−0)2+(−1−0)2=√2． [选修4-5：不等式选讲] 【答案】∵ a >1，b >1；∴ a −1>0，b −1>0； ∴b 2a−1+4(a −1)≥4b ，a 2b−1+4(b −1)≥4a ；两式相加：b 2a−1+4(a −1)+a 2b−1+4(b −1)≥4b +4a ； ∴b 2a−1+a 2b−1≥8； 当且仅当b 2a−1=4(a −1),a 2b−1=4(b −1)时“=”成立；即a =b =2时，b 2a−1+a 2b−1取得最小值8．【考点】基本不等式及其应用 【解析】根据a >1，b >1即可得出b 2a−1+4(a −1)≥4b,a 2b−1+4(b −1)≥4a ，两式相加便可求出b 2a−1+a 2b−1的最小值．【解答】∵ a >1，b >1；∴ a −1>0，b −1>0； ∴b 2a−1+4(a −1)≥4b ，a 2b−1+4(b −1)≥4a ； 两式相加：b 2a−1+4(a −1)+a 2b−1+4(b −1)≥4b +4a ；∴b 2a−1+a 2b−1≥8； 当且仅当b 2a−1=4(a −1),a 2b−1=4(b −1)时“=”成立；即a =b =2时，b 2a−1+a 2b−1取得最小值8．【必做题】第25、26题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】以AB →，AD →，AP →为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A −xyz ． 则A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，C(4, 2, 0)，D(0, 4, 0)，P(0, 0, 4)， DP →=(0, −4, 4)，DC →=(4, −2, 0)． 设平面PCD 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DP →=−4y +4z =0n →∗DC →=4x −2y =0 ，令x =1，得n →=(1, 2, 2)． 平面ACD 的法向量为m →=(0, 0, 1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=23，∴ 二面角P −CD −A 的余弦值为23．由题意可知，PC →=(4, 2, −4)，DC →=(4, −2, 0)， 设PH →=λPC →=(4λ, 2λ, −4λ)，则DH →=DP →+PH →=(4λ, 2λ−4, 4−4λ)，∵ DC =DH ，∴ √(4λ)2+(2λ−4)2+(4−4λ)2=√20， 化简得3λ2−4λ+1=0，解得λ=1或λ=13． 又∵ 点H 异于点C ，∴ λ=13． 故PHPC =13．【考点】二面角的平面角及求法 【解析】（1）以AB →，AD →，AP →为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A −xyz ．利用向量法能求出二面角P −CD −A 的余弦值．（2），PC →=(4, 2, −4)，DC →=(4, −2, 0)，设PH →=λPC →=(4λ, 2λ, −4λ)，则DH →=DP →+PH →=(4λ, 2λ−4, 4−4λ)，由DC =DH ，能求出PHPC 的值． 【解答】以AB →，AD →，AP →为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A −xyz ． 则A(0, 0, 0)，B(4, 0, 0)，C(4, 2, 0)，D(0, 4, 0)，P(0, 0, 4)， DP →=(0, −4, 4)，DC →=(4, −2, 0)． 设平面PCD 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →∗DP →=−4y +4z =0n →∗DC →=4x −2y =0 ，令x =1，得n →=(1, 2, 2)． 平面ACD 的法向量为m →=(0, 0, 1)， ∴ cos <m →,n →>=m →∗n→|m →|∗|n →|=23，∴ 二面角P −CD −A 的余弦值为23．由题意可知，PC →=(4, 2, −4)，DC →=(4, −2, 0)， 设PH →=λPC →=(4λ, 2λ, −4λ)，则DH →=DP →+PH →=(4λ, 2λ−4, 4−4λ)，∵ DC =DH ，∴ √(4λ)2+(2λ−4)2+(4−4λ)2=√20， 化简得3λ2−4λ+1=0，解得λ=1或λ=13． 又∵ 点H 异于点C ，∴ λ=13． 故PHPC =13．【答案】①当n=1时，等式右边=sin 3x 22sin x2−12=sin(x+x2)−sin(x−x2)2sin x2=sinxcos x2+cosxsin x2−sinxcos x2+cosxsin x22sin x2=cosx=等式左边，等式成立．②假设当n=k时等式成立，即cosx+cos2x+cos3x+...+coskx=sin(k+12)x2sin12x−12．那么，当n=k+1时，有cosx+cos2x+cos3x+...+coskx+cos(k+1)x=sin(k+12)x2sin12x−1+cos(k+1)x=sin(k+12)x+2sin12xcos(k+1)x2sin12x−12=sin(k+1)xcos12x−cos(k+1)xsin12x+2sin12xcos(k+1)x2sin12x−12=sin(k+1)xcos12x+cos(k+1)xsin12x2sin12x−12=sin(k+1+12 )x2sin12x−12．即当n=k+1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n∈N∗，等式都成立．由（1）可知，cosx+cos2x+cos3x+...+cos2018x=sin(2018+12)x2sin12x−12，两边同时求导，得−sinx−2sin2x−3sin3x−...−2018sin2018x=(2018+12)cos[(2018+12)xbrack∗sin12x−12sin[(2018+12)xbrackcos12x2sin212x．令x=−π6可得：sin π6+2sin2π6+3sin3π6+4sin4π6+...+2018sin2018π6=(2018+12)cos[(2018+12)∗(−π6)brack∗sin(−π12)−12sin[(2018+12)∗(−π6)brackcos(−π12)2sin2(−π12)=√3−20152．【考点】数学归纳法【解析】（1）先验证n=1结论成立，假设n=k结论成立，验证n=k+1结论是否成立即可；（2）对（1）的结论两边求导，再令x=−π6即可得出答案．【解答】①当n=1时，等式右边=sin 3x 22sin x2−12=sin(x+x2)−sin(x−x2)2sin x2=sinxcos x2+cosxsin x2−sinxcos x2+cosxsin x22sin x2=cosx=等式左边，等式成立．②假设当n=k时等式成立，即cosx+cos2x+cos3x+...+coskx=sin(k+12)x2sin12x−12．那么，当n=k+1时，有cosx+cos2x+cos3x+...+coskx+cos(k+1)x=sin(k+12)x2sin12x−12+cos(k+1)x=sin(k+12)x+2sin12xcos(k+1)x2sin12x−12=sin(k+1)xcos12x−cos(k+1)xsin12x+2sin12xcos(k+1)x2sin12x−12=sin(k+1)xcos12x+cos(k+1)xsin12x2sin12x−12=sin(k+1+12 )x2sin12x−12．即当n=k+1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n∈N∗，等式都成立．由（1）可知，cosx+cos2x+cos3x+...+cos2018x=sin(2018+12)x2sin12x−12，两边同时求导，得−sinx−2sin2x−3sin3x−...−2018sin2018x=(2018+12)cos[(2018+12)xbrack∗sin12x−12sin[(2018+12)xbrackcos12x2sin212x．令x=−π6可得：sin π6+2sin2π6+3sin3π6+4sin4π6+...+2018sin2018π6=(2018+12)cos[(2018+12)∗(−π6)brack∗sin(−π12)−12sin[(2018+12)∗(−π6)brackcos(−π12)2sin2(−π12)=√3−20152．。

江苏省南通基地2018年高考数学密卷(4)理

江苏省南通基地2018年高考数学密卷(4)理

C．[选修 44：坐标系与参数方程]（本小题满分 10 分）
4 x 1 t 5 在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数 ) ．以原点 O 为 3 y 1 t 5
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2 cos( ) ． 4 求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长．
7．4【解析】由图知函数的周期为 11 5 2 ，所以 2 4 ． 24 24 2 2


3 8． 【解析】从 5 张分别标有数字 1，2，3，4，5 的卡片中随机抽取 2 张组成两位数，共有 20 5
种情况，要使 1, 2,3, 4,5 中的两个数组成两位奇数，有 12 种情况，所以其概率为 9．
（3）设
An kPn (n k )
k 1
n
，求证：
An 1 (n 1) Pn (n k )
k 0
n
．
2018 年高考模拟试卷（4）参考答案 数学Ⅰ 一、填空题：
1 3 1 i (1 i )(2 i ) 1 3i 1． + i 【解析】 z ． 2 i (2 i )(2 i ) 5 5 5
19．已知函数 f ( x) ( x 1)e x ax 2 ，其中 a R ，e 是自然对数的底数． （1）若 a 0 ，求函数 y f ( x) 的单调增区间； （2）若函数 f ( x) 为 R 上的单调增函数，求 a 的值； （3）当 a 0 时，函数 y f ( x) 有两个不同的零点 x1 ，x2 ，求证： x1 x2 0 ．
x2 y 2 1(a 0, b 0) ，因为双曲线 C 的渐近线 a 2 b2

高三数学-2018年南通高考数学密卷四 精品

高三数学-2018年南通高考数学密卷四 精品

2018年南通高考数学密卷四本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合A ＝{a ，b ，c}，集合B ＝{－1，0，1}，f 是A 到B 的映射，且满足条件f(a)+f(b)+f(c)=0，这样的映射共有 （ ） A 、6个 B 、7个 C 、8个 D 、9个2.函数1,(0,)1x x e y x e +=∈+∞-的反函数是 （ ） A ．)1,(,11ln-∞∈+-=x x x y B. )1,(,11ln -∞∈-+=x x x y C. ),1(,11ln+∞∈+-=x x x y D. ),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 3.已知方程0)81)(81(22=+-+-nx x mx x 的四个根组成一个首项为81的等比数列,则n m -= ( )A.89B. 1C. 43 D. 834.已知函数m x x x f +-=23212)(（m 为常数）图象上A 处的切线与03=+-y x 的夹角为45 ，则A 点的横坐标为 （ ） A ．0 B ．1 C ．0或61 D ．1或61 5.以棱长为a 的正方体的8个顶点中的4个为顶点构造一个正四面体,此正四面体的体积是( ) A.321a B. 331a C ．3122a D ．3123a 6.等边三角形ABC 和等边三角形ABD 在两个相互垂直的平面内，则∠CAD= （ ）A ．1arccos()2- B ．1arccos4C ．7arccos()16-D ．2π7.直线143x y +=与椭圆221169x y +=相交于A 、B 两点，该椭圆上点P ，使得△APB 的面积等于3，这样的点P 共有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个8.有10件产品，其中4件为一等品，6件为二等品。

2018南通一模(四)数学

2018南通一模(四)数学

2018南通一模(四)数学2018届高三年级第一次模拟考试(四)数学(满分160分，考试时间120分钟) 参考公式：柱体的体积公式：V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A＝{－1，0，a}，B＝{0，a}．若B⊆A，则实数a的值为________．2. 已知复数z＝1＋4i1－i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为________．3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm .(不计损耗)(第11题)(第12题) 12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ＝45°，则AP→·AQ →的最小值为________． 13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 的长度的最大值为________．14. 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧x 2－2ax －a ＋1，x ≥0，ln （－x ）， x<0，g(x)＝x 2＋1－2a.若函数y ＝f(g(x))有4个零点，则实数a 的取值范围是________________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，AB⊥PC ，CA ＝CB ，M 是AB 的中点．点N 在棱PC 上，D 是BN 的中点．求证：(1) MD ∥平面PAC ；(2) 平面ABN ⊥平面PMC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝152 b. (1) 求sin B 的值；(2) 求cos ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π12的值．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2 a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2＋y2＝89上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F.(道路宽度忽略不计)(1) 若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离：(2) 设∠POD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. ①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大．已知函数g(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)有极值，且函数f(x)＝(x＋a)e x的极值点是g(x)的极值点，其中e是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b关于a的函数关系式；(2) 当a>0时，若函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值为M(a)，证明：M(a)<－73.若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n(n>k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”．(1) 已知a n ＝⎩⎨⎧2n －1，n 为奇数，2n ， n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；(2) 已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p>1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．2018届高三年级第一次模拟考试(四)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，已知⊙O1的半径为2，⊙O2的半径为1，两圆外切于点T.点P为⊙O1上一点，PM与⊙O2切于点M.若PM＝3，求PT的长．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ∈R ，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤01是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A －1.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与曲线⎩⎨⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知a>1，b>1，求b2a－1＋a2b－1的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD中，AP，AB，AD 两两垂直，BC∥AD，且AP＝AB＝AD＝4，BC ＝2.(1) 求二面角PCDA的余弦值；(2) 已知点H为线段PC上异于C的点，且DC＝DH，求PHPC的值．23. (本小题满分10分)(1) 用数学归纳法证明：当n∈N*时，cos x＋cos2x＋cos3x＋…＋cos nx＝sin⎝⎛⎭⎪⎪⎫n＋12x2sin12x－12(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z)；(2) 求sin π6＋2sin2π6＋3sin3π6＋4sin4π6＋…＋2 018sin 2 018π6的值.2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 12. －323. 254. 105. 126. 57.658. 3 9. π610. e －211. 210 12. 42－413. 32 14. ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1∪(1，＋∞)15. 解析：(1) 在△ABN 中，M 是AB 的中点，D 是BN 的中点， 所以MD ∥AN.(3分)因为AN ⊂平面PAC ，MD ⊄平面PAC ， 所以MD ∥平面PAC.(6分)(2) 在△ABC 中，CA ＝CB ，M 是AB 的中点，所以AB ⊥MC.(8分)因为AB ⊥PC ，PC ⊂平面PMC ，MC ⊂平面PMC ，PC ∩MC ＝C ，所以AB ⊥平面PMC.(11分) 因为AB ⊂平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC.(14分) 16. 解析：(1) 在△ABC 中，根据余弦定理及a 2＝b 2＋c 2－bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3分)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝55.(6分)(2) 因为a ＝152b>b ，所以A>B ，即0<B<π3.又sin B ＝55，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.(9分) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A －B ＋π12＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π4(12分)＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos B cos π4－sin B sin π4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫255×22－55×22＝－1010.(14分)17. 解析：(1) 设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a 2c＝42，(2分) 解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2. 所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(4分)(2) 方法一：因为S △AOB ＝2S △AOM ， 所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．(6分) 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)．所以x 20＋y 20＝89， ① （2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1, ②(10分) 由①②得9x 20－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23，x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，(12分)所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分) 方法二：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．(6分)设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)．由⎩⎨⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2）得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 21＋2k2.(8分) 所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k 21＋2k 2，y M ＝k(x M ＋2)＝2k 1＋2k2，(10分) 代入x 2＋y 2＝89得，⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 22＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，(12分) 即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，所以直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分) 18. 解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．(1) 直线PB 的方程为y ＝2x ，半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，(2分)由⎩⎨⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝402，y ≥0得y ＝16 5. 所以点P 到AD 的距离为16 5 m ．(4分)(2) ①由题意得P(40cos θ，40sin θ)． 直线PB 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ＋1(x ＋40)，令y ＝0，得x E ＝80cos θ＋80sin θ＋2－40＝80cos θ－40sin θsin θ＋2.(6分)直线PC 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ－1(x －40)，令y ＝0，得x F ＝80cos θ－80sin θ＋2＋40＝80cos θ＋40sin θsin θ＋2，(8分)所以EF 的长度为f(θ)＝x F －x E ＝80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(10分) ②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫80－80sin θsin θ＋2×80＝ 6 400sin θ＋2， 区域Ⅱ的面积为S 2＝12×EF ×40sin θ＝12×80sin θsin θ＋2× 40sin θ＝1 600sin 2θsin θ＋2， 所以S 1＋S 2＝ 1 600sin 2θ＋6 400sin θ＋2⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.(3分) 设sin θ＋2＝t ，则2<t<3，则S 1＋S 2＝1 600（t －2）2＋6 400t＝1 600⎝⎛⎭⎪⎪⎫t ＋8t －4≥1 600(28－4)＝6 400(2－1)，当且仅当t ＝22，即sin θ＝22－2时等号成立．所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6 400(2－1)m 2.故当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分)19. 解析：(1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x .令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1.f(x)，f ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，f(x)取得极小值．(2分)因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知 g ′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0， 所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0， 化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0得a ≠－32， 所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx)，所以F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3) ＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3，则h′(x)＝e x －3， 令h′(x)＝0，解得x ＝ln 3.h(x)，h ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝ln 3时，h(x)取得极小值，也是最小值，此时h(ln 3)＝eln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 23＋a>a>0.(10分) 令F′(x)＝0，解得x ＝－a －1.F(x)，F ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x＝－a－1时，F(x)取得极小值，也是最小值，所以M(a)＝F(－a－1)＝(－a－1＋a)e－a－1－[(－a－1)3＋a(－a－1)2＋b(－a－1)]＝－e－a－1－(a＋1)2(a＋2)．(12分)令t＝－a－1，则t<－1，记m(t)＝－e t－t2(1－t)＝－e t＋t3－t2，t<－1，则m′(t)＝－e t＋3t2－2t，t<－1.因为－e－1<－e t<0，3t2－2t>5，所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e－t－2<－13－2＝－7 3，所以M(a)<－73.(16分)20. 解析：(1) 当n为奇数时，a n＋1－a n＝2(n ＋1)－1－(2n－1)＝2>0，所以a n＋1≥a n.(2分)a n－2＋a n＋2＝2(n－2)－1＋2(n＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n；(4分)当n为偶数时，a n＋1－a n＝2(n＋1)－2n＝2>0，所以a n＋1≥a n.a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n . 所以数列{a n }是“R(2)数列”．(6分)(2) 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ， 则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1，数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.(8分)因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4， 所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1， 所以n(d 2－d 1)≥b 1－b 2，①n(d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n>b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立； 若d 2－d 1>0，则当n>b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立．若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d.(12分)设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ，则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p)d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d]＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.(14分)同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ.所以{b n }是等差数列．(6分)另解：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d]＝b 2－b 3＋d ，λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d]＝b 1－b 2＋d ，λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd)＝b 3－b 1，以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，(12分)所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d 3， b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d 3， b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d 3， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d 3， 所以数列{b n }是等差数列．(16分)21. A . 解析：延长PT 交⊙O 2于点C ， 连结O 1P ，O 2C ，O 1O 2，则O 1O 2过点T. 由切割线定理得PM 2＝PC·PT ＝3. 因为∠O 1TP ＝∠O 2TC ，△O 1TP 与△O 2TC 均为等腰三角形，(5分)所以△O 1TP ∽△O 2TC ，所以PT CT ＝PO 1CO 2＝2， 所以PT PC ＝23，即PC ＝32PT. 因为PC·PT ＝32PT ·PT ＝3，所以PT ＝ 2.(10分)B . 解析：由已知得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，所以⎩⎨⎧λ＝2，x ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(4分) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以a ＝1，b ＝c ＝0，d ＝12， 所以λ＝2，A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10012.(10分) C. 解析：曲线⎩⎨⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1的普通方程为y ＝x 2＋2x .(4分)联立⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝x 2＋2x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1，(8分)所以A (0，0)，B (－1，－1)，所以AB ＝（－1－0）2＋（－1－0）2＝2.(10分)D. 解析：因为a>1，b>1，所以b2a－1＋4(a－1)≥4b，a2b－1＋4(b－1)≥4a.(4分)两式相加b2a－1＋4(a－1)＋a2b－1＋4(b－1)≥4b＋4a，所以b2a－1＋a2b－1≥8.(8分)当且仅当b2a－1＝4(a－1)且a2b－1＝4(b－1)时，等号成立，即当a＝b＝2时，b2a－1＋a2b－1取得最小值为8.(10分)22. 解析：以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．(1) 由题意可知，＝(0，－4，4)，＝(4，－2，0)．设平面PCD的法向量为n1＝(x，y，z)，则即⎩⎨⎧－4y ＋4z ＝0，4x －2y ＝0.令x ＝1，则y ＝2，z ＝2.所以n 1＝(1，2，2)．(3分)平面ACD 的法向量为n 2＝(0，0，1)，所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23， 所以二面角PCDA 的余弦值为23.(5分)(2) 由题意可知，＝(4，2，－4)，＝(4，－2，0)．设＝λ＝(4λ，2λ，－4λ)，则＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ)．(7分) 因为DC ＝DH ，所以（4λ）2＋（2λ－4）2＋（4－4λ）2＝20，化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝13.因为点H 异于点C ，所以λ＝13.(10分) 23. 解析：①当n ＝1时，等式右边＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋12x 2sin 12x －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋12x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－12x 2sin 12x ＝ 12sin 12x ×[(sin x cos 12x ＋cos x sin 12x)－(sin x cos 12x －cos x sin 12x)] ＝cos x ＝等式左边，等式成立．(2分) ②假设当n ＝k 时等式成立，即cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋12x 2sin 12x －12. 那么，当n ＝k ＋1时，有cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＋cos (k ＋1)x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫k ＋12x 2sin 12x －12＋cos (k ＋1)x ＝12sin 12x ×{sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤（k ＋1）x －12x ＋2sin 12x ·cos (k ＋1)x}－12＝12sin 12x ×[sin (k ＋1)x cos 12x －cos (k ＋1)x sin 12x ＋2sin 12x cos (k ＋1)x]－12＝sin （k ＋1）x cos 12x ＋cos （k ＋1）x sin 12x 2sin 12x －12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k ＋1＋12x 2sin 12x －12.这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立． 根据①和②可知，对任何n ∈N *等式都成立．(6分)(2) 由(2)可知，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos2 018x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2 018＋12x 2sin 12x －12， 两边同时求导，得－sin x －2sin2x －3sin3x －…－2 018sin2 018x＝12sin 212x ×[(2 018＋12)cos(2 018＋12)x sin 12x －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 018＋12x cos 12x ]，(8分) 所以－sin π6－2sin 2π6－3sin 3π6－…－2 018sin 2 018π6＝12sin 2π12×[⎝⎛⎭⎪⎪⎫2 018＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 018＋12π6sin π12－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2 018＋12π6cos π12]＝2 0152－3，所以sin π6＋2sin2π6＋3sin3π6＋4sin4π6＋…＋2 018sin 2 018π6＝3－2 0152.(10分)。

南通一模数学

南通一模数学

南通一模数学集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]2018届高三年级第一次模拟考试(四)数 学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－1，0，a}，B ＝{0，a}．若BA ，则实数a 的值为________．2. 已知复数z ＝1＋4i1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．6. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤3，x －y －1≤0，则2x —y 的最大值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，则点F 到双曲线x216－y29＝1的渐近线的距离为________． 8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．10. 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________． 11. 如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为9 3 cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm .(不计损耗)(第11题) (第12题)12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ＝45°，则AP →·AQ →的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 的长度的最大值为________．14. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax －a ＋1，x ≥0，ln （－x ）， x<0，g(x)＝x 2＋1－2a.若函数y ＝f(g(x))有4个零点，则实数a 的取值范围是________________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，AB ⊥PC ，CA ＝CB ，M 是AB 的中点．点N 在棱PC 上，D 是BN 的中点．求证：(1) MD∥平面PAC ； (2) 平面ABN⊥平面PMC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝152b. (1) 求sin B 的值； (2) 求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π12的值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB 的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F.(道路宽度忽略不计)(1) 若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离：(2) 设∠POD＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大．已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R)有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73.若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k ＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n(n>k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”．(1) 已知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n ， n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；(2) 已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p>1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．2018届高三年级第一次模拟考试(四) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，已知⊙O 1的半径为2，⊙O 2的半径为1，两圆外切于点T .点P 为⊙O 1上一点，PM 与⊙O 2切于点M .若PM ＝3，求PT 的长．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ∈R，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤01是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A －1.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 已知a >1，b >1，求b 2a －1＋a 2b －1的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD 中，AP ，AB ，AD 两两垂直，BC ∥AD ，且AP ＝AB ＝AD ＝4，BC ＝2. (1) 求二面角PCDA 的余弦值；(2) 已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC ＝DH ，求PHPC的值．23. (本小题满分10分)(1) 用数学归纳法证明：当n∈N *时，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos nx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12x 2sin 12x－12(x ∈R，且x ≠2k π，k ∈Z)； (2) 求sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6的值.2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 12. －323. 254. 105. 126. 57. 658. 3 9. π6 10. e －211. 210 12. 42－413. 3 2 14. ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1∪(1，＋∞)15. 解析：(1) 在△ABN 中，M 是AB 的中点，D 是BN 的中点， 所以MD ∥AN.(3分)因为AN 平面PAC ，MD 平面PAC ， 所以MD ∥平面PAC.(6分)(2) 在△ABC 中，CA ＝CB ，M 是AB 的中点， 所以AB ⊥MC.(8分)因为AB ⊥PC ，PC 平面PMC ，MC 平面PMC ，PC ∩MC ＝C ， 所以AB ⊥平面PMC.(11分) 因为AB 平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC.(14分)16. 解析：(1) 在△ABC 中，根据余弦定理及a 2＝b 2＋c 2－bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3分)在△ABC 中，由正弦定理asin A ＝b sin B得 sin B ＝basin A ＝215×32＝55.(6分) (2) 因为a ＝152b>b ， 所以A>B ，即0<B<π3.又sin B ＝55，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.(9分) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π12＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－A －B ＋π12＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4(12分)＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos B cos π4－sin B sin π4＝－⎝⎛⎭⎪⎫255×22－55×22＝－1010.(14分) 17. 解析：(1) 设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a2c ＝42，(2分)解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2.所以椭圆的方程为x 24＋y22＝1.(4分)(2) 方法一：因为S △AOB ＝2S △AOM ， 所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．(6分) 因为椭圆的方程为x 24＋y22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)． 所以x 20＋y 20＝89， ①（2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1, ②(10分) 由①②得9x 20－18x 0－16＝0， 解得x 0＝－23，x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，(12分)所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分) 方法二：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ， 所以M 为AB 的中点．(6分)设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2）得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 21＋2k2.(8分)所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k 21＋2k 2，y M ＝k(x M ＋2)＝2k1＋2k 2，(10分)代入x 2＋y 2＝89得，⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 1＋2k 22＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，(12分) 即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，所以直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分)18. 解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系． (1) 直线PB 的方程为y ＝2x ，半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝402，y ≥0得y ＝16 5. 所以点P 到AD 的距离为16 5 m ．(4分)(2) ①由题意得P(40cos θ，40sin θ)． 直线PB 的方程为 y ＋80＝sin θ＋2cos θ＋1(x ＋40)，令y ＝0，得x E ＝80cos θ＋80sin θ＋2－40＝80cos θ－40sin θsin θ＋2.(6分)直线PC 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ－1(x －40)，令y ＝0，得x F ＝80cos θ－80sin θ＋2＋40＝80cos θ＋40sin θsin θ＋2，(8分)所以EF 的长度为 f(θ)＝x F －x E ＝80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(10分)②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫80－80sin θsin θ＋2×80＝ 6 400sin θ＋2， 区域Ⅱ的面积为S 2＝12×EF ×40sin θ＝12×80sin θsin θ＋2×40sin θ＝1 600sin 2θsin θ＋2，所以S 1＋S 2＝1 600sin 2θ＋6 400sin θ＋2⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.(3分)设sin θ＋2＝t ，则2<t<3， 则S 1＋S 2＝1 600（t －2）2＋6 400t＝1 600⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋8t －4≥1 600(28－4)＝6 400(2－1)， 当且仅当t ＝22，即sin θ＝22－2时等号成立．所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6 400(2－1)m 2. 故当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分)19. 解析：(1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x.令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1.f(x)，f ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，f(x)取得极小值．(2分)因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知g ′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0，所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0，化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0得a ≠－32，所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎪⎫a ≠－32.(6分)(2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x－(x 3＋ax 2＋bx)，所以F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x－(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x－3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3，则h′(x)＝e x－3， 令h′(x)＝0，解得x ＝ln 3.h(x)，h ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝ln 3时，h(x)取得极小值，也是最小值， 此时h(ln 3)＝eln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 23＋a>a>0.(10分)令F′(x)＝0，解得x ＝－a －1. F(x)，F ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，F(x)取得极小值，也是最小值，所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分) 令t ＝－a －1，则t<－1，记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2，t<－1，则m′(t)＝－e t ＋3t 2－2t ，t<－1.因为－e －1<－e t <0，3t 2－2t>5，所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增．(14分) 所以m(t)<－e －t－2<－13－2＝－73，所以M(a)<－73.(16分)20. 解析：(1) 当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－1－(2n －1)＝2>0，所以a n ＋1≥a n .(2分)a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n ；(4分) 当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－2n ＝2>0，所以a n ＋1≥a n . a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n . 所以数列{a n }是“R(2)数列”．(6分) (2) 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1， 数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.(8分) 因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4， 所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1， 所以n(d 2－d 1)≥b 1－b 2，① n(d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n>b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立；若d 2－d 1>0，则当n>b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立．若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d.(12分) 设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ，则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p)d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d] ＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.(14分)同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ. 所以{b n }是等差数列．(6分)另解：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d]＝b 2－b 3＋d ， λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d]＝b 1－b 2＋d ， λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd)＝b 3－b 1， 以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，(12分)所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d3，b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d3，b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d3，所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d3，所以数列{b n }是等差数列．(16分)21. A . 解析：延长PT 交⊙O 2于点C ， 连结O 1P ，O 2C ，O 1O 2，则O 1O 2过点T.由切割线定理得PM 2＝PC·PT＝3. 因为∠O 1TP ＝∠O 2TC ，△O 1TP 与△O 2TC 均为等腰三角形，(5分) 所以△O 1TP ∽△O 2TC ，所以PT CT ＝PO 1CO 2＝2，所以PT PC ＝23，即PC ＝32PT.因为PC·PT＝32PT ·PT ＝3，所以PT ＝ 2.(10分)B . 解析：由已知得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，x ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(4分) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d， 则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以a ＝1，b ＝c ＝0，d ＝12，所以λ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012.(10分)C. 解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1的普通方程为y ＝x 2＋2x .(4分) 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(8分) 所以A (0，0)，B (－1，－1)，所以AB ＝（－1－0）2＋（－1－0）2＝ 2.(10分) D. 解析：因为a >1，b >1， 所以b 2a －1＋4(a －1)≥4b ，a 2b －1＋4(b －1)≥4a .(4分) 两式相加b 2a －1＋4(a －1)＋a 2b －1＋4(b －1)≥4b ＋4a ，所以b 2a －1＋a 2b －1≥8.(8分)当且仅当b 2a －1＝4(a －1)且a 2b －1＝4(b －1)时，等号成立，即当a ＝b ＝2时，b 2a －1＋a 2b －1取得最小值为8.(10分)22. 解析：以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)． (1) 由题意可知，＝(0，－4，4)，＝(4，－2，0)． 设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则即⎩⎪⎨⎪⎧－4y ＋4z ＝0，4x －2y ＝0.令x ＝1，则y ＝2，z ＝2. 所以n 1＝(1，2，2)．(3分)平面ACD 的法向量为n 2＝(0，0，1)， 所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23，所以二面角PCDA 的余弦值为23.(5分)(2) 由题意可知，＝(4，2，－4)，＝(4，－2，0)． 设＝λ＝(4λ，2λ，－4λ)，则＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ)．(7分) 因为DC ＝DH ，所以（4λ）2＋（2λ－4）2＋（4－4λ）2＝20，化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝13.因为点H 异于点C ，所以λ＝13.(10分)23. 解析：①当n ＝1时，等式右边＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12x2sin 12x－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫1＋12x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫1－12x2sin 12x＝12sin 12x×[(sin x cos 12x ＋cos x sin 12x)－(sin x cos 12x －cos x sin 12x)] ＝cos x ＝等式左边，等式成立．(2分) ②假设当n ＝k 时等式成立，即cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋12x2sin 12x－12. 那么，当n ＝k ＋1时，有cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＋cos (k ＋1)x＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋12x2sin 12x－12＋cos (k ＋1)x ＝12sin 12x×{sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤（k ＋1）x －12x ＋2sin 12x ·cos (k ＋1)x}－12 ＝12sin 12x×[sin (k ＋1)x cos 12x －cos (k ＋1)x sin 12x ＋2sin 12x cos (k ＋1)x]－12 ＝sin （k ＋1）x cos 12x ＋cos （k ＋1）x sin 12x2sin 12x－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1＋12x2sin 12x－12. 这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n ∈N *等式都成立．(6分)(2) 由(2)可知，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos2 018x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 018＋12x 2sin 12x－12，两边同时求导，得－sin x －2sin2x －3sin3x －…－2 018sin2 018x ＝12sin 212x×[(2 018＋12)cos(2 018＋12)x sin 12x －12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018＋12x cos 12x ]，(8分)所以－sin π6－2sin 2π6－3sin 3π6－…－2 018sin 2 018π6＝12sin2π12×[⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018＋12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018＋12π6sin π12－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018＋12π6cos π12]＝2 0152－3， 所以sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6＝3－2 0152.(10分)。

南通市达标名校2018年高考四月大联考数学试卷含解析

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南通市达标名校2018年高考四月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知π3π,22α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()3tan π4α-=-，则sin cos αα+等于（ ）．A ．15±B ．15-C ．15D ．75-2．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．123．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 4．已知函数()ln 2f x x ax =-，()242ln ax g x x x=-，若方程()()f x g x =恰有三个不相等的实根，则a的取值范围为（ ） A ．(]0,eB ．10,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(),e +∞D ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭5．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．2806．已知平面α和直线a ，b ，则下列命题正确的是（ ）A ．若a ∥b ，b ∥α，则a ∥αB ．若a b ⊥，b α⊥，则a ∥αC ．若a ∥b ，b α⊥，则a α⊥D ．若a b ⊥，b ∥α，则a α⊥7．若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( ) A ．51-B ．51- C ．51+D ．51+ 8．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324B ．522C ．535D ．5789．已知抛物线C ：()220y px p =>，直线()02p y k x k ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭与C 分别相交于点A ，M 与C 的准线相交于点N ，若AM MN =，则k =（ ）A ．3B 22C ．22D ．1310．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 和2C 的离心率之32C 的渐近线方程为（ ） A ．20x y =B 20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=11．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，113QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．61⎡-⎢⎣⎭ B ．(62⎤⎦C ．2312⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．(31⎤⎦12．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布()20,3N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，()2295.44%P μσξμσ-<<+=．）A ．4.56%B ．13.59%C ．27.18%D ．31.74%二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省苏北四市2018届高三一模数学试题

江苏省苏北四市2018届高三一模数学试题

江苏省苏北四市2018届高三一模数学试题参考公式：1.柱体的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面面积，h 是高． 2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ▲ ．2．已知复数2i2iz +=-（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ．3．函数y =的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b 的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．8．已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy中，曲线:C xy =P到直线:0l x =的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ．13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．14．如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC = = ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3B A -=.（1）求tan B 的值；（2）若13c =，求ABC △的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：（1）//MN 平面11ABB A ；（2）1AN A B ⊥.17．(本小题满分14分)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2．（1）求S 关于θ的函数关系式；（2）为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D两点.（1）求椭圆的标准方程； （2）若AF FC =，求BFFD的值； （3）设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，． （1）当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n …，n *∈N ，λ，μ∈R .（1）若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； （3）若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.附加题21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题作答．．．．．．．．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB是圆O的直径，弦BD,CA的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：2AB BE BD AE AC=⋅-⋅B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A，4123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B，若矩阵=M BA，求矩阵M的逆矩阵1-M．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x t l y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．D ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++…．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和11A C 的中点．以{,,}FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -．（1）求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值；（2）求二面角1F BC C --的余弦值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．【参考答案】一、填空题1．{1,0,1}-2．13．(0,1]4．135．750 67．598．54 9．410．1112．1]13．[2,2]-14．277- 二、解答题15．解：（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A =，所以sin 4tan cos 3A A A ==， 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A -+=-+=--⋅1433314133+==-⨯. （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin 1010B B ==，由sin sin()sin cos cos sin 50C A B A B A B =+=+=， 由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C ==， 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. 16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB 因为,M P 分别是,AB AC 的中点， 所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点， 所以1//,PM B N 且1PM B N =. 所以四边形1PMNB 是平行四边形， 所以1//MN PB ，而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ， 所以//MN 平面11ABB A .（2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ， 又因为90ABC ∠=，所以1111B C B A ⊥， 面11ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥面11ABB A ，又因为1A B ⊂面11ABB A ，所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ，所以11AB A B ⊥， 又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，而AN ⊂面1AB N ，所以1A B AN ⊥.17．解：（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ， 在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， 在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅， 所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<< （2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-设3(),(01)f x x x x =-<<则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '<所以()f x 在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以()f x 在3x =时取得极大值，也是最大值；所以当sin θ时，侧面积S 取得最大值，此时等腰三角形的腰长20cosABθ===答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB．18．解：（1）设椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>，由题意知：22121914caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解之得：2ab=⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y+=.（2）若AF FC=，由椭圆对称性，知3(1,)2A，所以3(1,)2B--，此时直线BF方程为3430x y--=，由223430,1,43x yx y--=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x--=，解得137x=（1x=-舍去），故1(1)713317BFFD--==-．（3）设00,)A x y（，则00(,)B x y--，直线AF的方程为0(1)1yy xx=--，代入椭圆方程22143x y+=，得2220000(156)815240x x y x x---+=，因为x x=是该方程的一个解，所以C点的横坐标08552Cxxx-=-，又(,)c CC x y在直线0(1)1yy xx=--上，所以00003(1)152C cy yy xx x-=-=--，同理，D点坐标为085(52xx++，03)52yx+，所以00002100000335552528585335252y yyx xk kx x xx x--+-===+--+-，即存在53m=，使得2153k k=．19．解：（1）函数()h x的定义域为(0,)+∞，当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+， 所以1(21)(1)()21x x h x x x x-+'=+-=， 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增， 所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln 24，无极大值； （2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同， 则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-，所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得：222221ln 20(*)424a a x a x x -++--=， 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x+-'=-++= 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+-， 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G ，所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, 又当2ea x +=时222421()ln e 24e 2e 4a a a a a F x a +++=-++--2211()04ea a +=-≥， 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--< 所以12(0,1)y x x =-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-，即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=， 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠， 即0n b ≠，所以12nn b b -=， 故数列{}n b 是等比数列．（2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠）， 当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ①当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得2213q q q q ++=+λμ， ②当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得233214+q q q q q ++=+λμ， ③②-①×q ，得21q =λ， ③-②×q ，得31q =λ，解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．此时n n S na =(2n ≥)， 所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列， 故10 ==，λμ．（3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ，解得112==，λμ． 由12a =，23a =，12λ=，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =， 所以1a ，2a ，3a 成等差数列， 由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-， 因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=， 即数列{}n a 是等差数列.21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥， 又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． 又△ABC ∽△AEF ，所以AB ACAE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． B ．解：因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．C.把直线方程12:12x t l y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=．将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2xy ++-=．圆心C 到直线l 的距离d ==，所以直线l 与圆C 相切.D ．证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d ab c d ++++++++++++++2≥ 2()1a b c d =+++=，又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=，所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．22．解：（1）因为11,2AB AA ==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -，所以(1,0,0)=-AC，1(,2=BE ， 记直线AC 和BE 所成角为α，则11cos |cos ,|α-⨯=<>==AC BE ， 所以直线AC 和BE． （2）设平面1BFC 的法向量为111(,,)x y z =m ，因为(0,FB =，11(,0,2)2FC =-， 则1111301202FB y FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩m m ，取14x =得：(4,0,1)=m ， 设平面1BCC 的一个法向量为222(,,)x y z =n ，因为1(22CB =，1(0,0,2)CC =， 则221210220CB x y CC z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩n n ，取2x =1,0)=-n ，cos ,∴<>==m n 根据图形可知二面角1F BC C --为锐二面角， 所以二面角1F BC C --23．解：（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)， 设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M 的半径为n ，点P 2(,2)n n ， 则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，n =，又,0m n ≠，所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠.（2）设2(1,)+Q t t ，1(0,)A y ，2(0,)B y ，由（1）知，点Q 处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'y ，所以121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t，3223=+y t t ， 所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t=+-+=++>． 令351()222f t t t t=++，0t >，则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t '>得t >，由()0f t '<得0t <<所以()f t 在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t =()f t 取得极小值也是最小值，即AB 取得最小值，此时21s t =+=。

高三数学-2018年南通密卷四 精品

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2018年数学学科高考模拟试卷（四）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x －m ≤0}，N={y|y=(x －1)2－1,x ∈R}，若M ∩N=Φ，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥－1B ．m ＞－1C ．m ≤－1D ．m ＜－1 2．x ＜3是13>x的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．等比数列}{n a 中，∈n a R +，3254=⋅a a ，则822212log ...log log a a a +++的值为（ ）A ．10B ．20C ．36D ．1284．A ，B ，C ，D ，E 五种不同的商品要在货架上排成一排，其中A ，B 两种商品必须排在一起，而C ，D 两种商品不能排在一起，则不同的排法共有（ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种 5．抛物线2x y =在点P （－1，1）处的切线的倾斜角为（ ）A ．2arctanB ．arctan(－2)C ．arctan 21D ．π－arctan26．在nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-23221的展开式中，仅第6项的二项式系数最大，则展开式中不含x 的项为（ ）A ．420B ．－420C ．840D ．－630 7．已知向量a =（2，1），与a 平行且长度为52的向量b 是（ ）A ．（4，2）B ．（－4，－2）C ．（2，1）或（－2，－1）D ．（4，2）或（－4，－2）8．设△ABC 的一个顶点是A （3，－1），∠B ，∠C 的平分线方程分别是x =0，y=x ，则直线BC 的方程是（ ）A ．y=2x+5B ．y=2x+3C ．y=3x+5D ．252+-=x y9．设n 个实数n x x x ,...,,21的算术平均数是x ，若x a ≠，设2222122221)(...)()(,)(...)()(a x a x a x q x x x x x x p n n -++-+-=-++-+-=，则 一定有（ ）A ．q p >B ．q p <C ．q p =D ．q p =10．已知函数∈++=c b a c bx ax x f ,,()(2R )0,<a 对一切实数)1()1(,x f x f x +=-均成立，且,0)0(,0)1(><-f f 则有（ ） A ．0<++c b aB ．0>abcC ．c a b +<D ．b c 2< 11．函数)(|),2||2(|||)(x f x x x x f 则+--=（ ）A ．既是奇函数又是减函数B ．是奇函数但不是减函数C ．是减函数但不是奇函数D ．既不是奇函数也不是减函数12．计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“逢2进1”，如（1101）2表示二进制数,将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，那么将二进制数（11…11）2（2018个1）转换成十进制形式是 （ ）A ．22018－2B ．22018－2C ．22018－1D ．22018－12018年数学学科高考模拟试卷（四）第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.13．某品牌彩电为了打开市场，促进销售，准备对某特定型号的彩电降价，现有四种降价方案 方案一先降价a%，再降价b%； 方案二先降价b%，再降价a%； 方案三先降价%2b a +，再降价%2ba +； 方案四一次性降价（a+b)%； 其中a>0，b>0，a ≠b .上述四种方案中，降价幅度最小的是方案_____________________.14．设322cos =θ，则θθ44cos sin +的值是__________________. 15．一个正方体的棱长为2，将八个直径各为1的球放进去之后，正中央空间．．．．．能放下的最大的球的直径为__________________.16．设a ，b ，c 是不大于2018的自然数，规定2yx y x +=*，则c b a c b a **-**)()(的最大值是_______________.三、解答题本大题共6小题，共74分，解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分2分） 甲，乙两个篮球运动员，投篮的命中率分别为0.7与0.8，如果每人投篮两次. （1）求甲投进2球且乙投进1球的概率；（2）若投进1个球得2分，未投进得0分，求甲，乙两人得分相等的概率.18．（本小题满分12分） 已知函数)0(1)1(3)(223>+-+-=k k x k kx x f . （1）若)(x f 的单调减区间为（0，4），求k 的值； （2）当k x >时，求证xx 132->.已知)2,0(,πβα∈ 且满足)cos(sin sin βααβ+=. （1）求证αααβ2sin 1cos sin tan +=； （2）求βtan 的最大值，并求当βtan 取得最大值时，)tan(βα+的值.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=2，过点D，C，E的平面交AA1于F，（1）求证EF∥CD1；（2）求二面角D1－CE－D的大小；（3）求点D到平面CEFD1的距离.如图，椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ，A ，P ，F 分别为左顶点，上顶点，右焦点，E 为x 轴正方向上的一点，且||,||,|OE 成等比数列.又点N 满足)(21PE PF PN +=，PF 的延长线与椭圆的交点为Q ，过Q 与x 轴平行的直线与PN 的延长线交于M ， （1）求证⋅=⋅ ；（2）若32||,2==QM FQ PF 且，求椭圆的方程.对于函数)(x f ，若存在∈0x R ，使00)(x x f =成立，则称0x 为)(x f 的不动点，如果函数∈-+=c b c bx ax x f ,()(2N *)有且只有两个不动点0，2，且21)2(-<-f .（1）求函数)(x f 的解析式；（2）已知各项不为零的数列}{n a 满足1)1(4=⋅nn a f S ，求数列通项n a ； （3）如果数列}{n a 满足)(,411n n a f a a ==+，求证当2≥n 时，恒有3<n a 成立.。

高考数学母题题源系列专题07三角函数图像与应用理

高考数学母题题源系列专题07三角函数图像与应用理
【答案】
考点：三角函数性质
10．【江苏省启东中学高三上学期期中模拟数学试卷】将函数 （ ）的图象，向左平移 个单位，得到 函数的图象，若 在 上为增函数，则 的最大值为_____ _____．
【答案】
考点：三角函数图像及性质
【母题原题4】【2016江苏，理14】在锐角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是▲.
【答案】8
【考点】三角恒等变换，切的性质应用
【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三 角形中隐含的边角关系作为消元依据是本题突破口，斜三角形 中恒有 ，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，提高转化问题能力，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．
7.求解三角函数对称性的方法：
（1）求函数 的对称中心、对称轴问题往往转化为解方程问题：①由 的对称中心是 ， ，所以 的中心，由方程 解出 即可；②因为 的对称轴是 ， ，所以可由 解出 ，即为函数 的对称轴；注意 的对称中心为 ；
（2） 对于函数 ，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函 数的零点，因此在判 断直线 或点 是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验 的值进行判断．
【命题规律】1.高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)．
2.高考中主要涉及如下题型：(1)考查周期、单调性、极 值等简单性质；(2)考查与三角函数有关的零点问题；(3)考查图象的识别．
【考点】两角和正切公式

南通市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

南通市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

南通市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．π2． 已知复合命题p ∧（￢q ）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（ ） A ．（￢p ）∨q B ．p ∨q C ．p ∧q D ．（￢p ）∧（￢q ）3． 已知点A （﹣2，0），点M （x ，y ）为平面区域上的一个动点，则|AM|的最小值是（ ）A ．5B ．3C ．2 D．4． 函数2(44)x y a a a =-+是指数函数，则的值是（ ） A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．15． 若变量x y ，满足约束条件22024010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则目标函数32z x y =-的最小值为（ ）A ．-5B ．-4 C.-2 D ．3 6． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC === ,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）7． 如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．15B ．C ．15D ．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 8． 已知集合{2,1,1,2,4}A =--，2{|log ||1,}B y y x x A ==-∈，则A B = （ ） A ．{2,1,1}-- B ．{1,1,2}- C ．{1,1}- D ．{2,1}-- 【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力．9． 方程x= 所表示的曲线是（ ）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分10．设集合（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知，则tan2α=（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知集合A ，B ，C 中，A ⊆B ，A ⊆C ，若B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，则A 的子集最多有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个 D ．8个二、填空题13．函数()x f x xe =在点()()1,1f 处的切线的斜率是 .14．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．15．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想． 16．数列{a n }是等差数列，a 4=7，S 7= ．三、解答题17．如图，在四边形ABCD 中,,,3,2,45AD DC AD BC AD CD AB DAB ⊥===∠= , 四 边形绕着直线AD 旋转一周.（1）求所成的封闭几何体的表面积； （2）求所成的封闭几何体的体积.18．（本小题满分12分）已知函数()23cos cos 2f x x x x =++. （1）当63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，求函数()y f x =的值域；（2）已知0ω>，函数()212x g x f ωπ⎛⎫=+⎪⎝⎭，若函数()g x 在区间236ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数，求ω的最大值．19．（本题12分）在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为，，，且2sin a B ．111] （1）求角A 的大小；（2）若6a =，8b c +=，求ABC ∆的面积．20．已知函数()2ln f x x bx a x =+-.（1）当函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程为550y x +-=，求函数()f x 的解析式； （2）在（1）的条件下，若0x 是函数()f x 的零点，且()*0,1,x n n n N ∈+∈，求的值；（3）当1a =时，函数()f x 有两个零点()1212,x x x x <，且1202x x x +=，求证：()00f x '>．21．（本小题满分12分）已知椭圆1C ：14822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，过点1F 作垂直 于轴的直线，直线2l 垂直于点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M . （1）求点M 的轨迹2C 的方程；（2）过点2F 作两条互相垂直的直线BD AC 、，且分别交椭圆于D C B A 、、、，求四边形ABCD 面积 的最小值.22．设极坐标与直角坐标系xOy有相同的长度单位，原点O为极点，x轴坐标轴为极轴，曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ+3=0，曲线C2的参数方程为（t是参数，m是常数）．（Ⅰ）求C1的直角坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）若C1与C2有两个不同的公共点，求m的取值范围．23．设圆C满足三个条件①过原点；②圆心在y=x上；③截y轴所得的弦长为4，求圆C的方程．南通市一中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：根据几何体的三视图，得该几何体是圆锥被轴截面截去一半所得的几何体，底面圆的半径为1，高为2，所以该几何体的体积为V几何体=×π•12×2=．故选：B．【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体体积的应用问题，是基础题目．2．【答案】B【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，可推出￢p为假命题，q为假命题，故为真命题的是p∨q，故选：B．【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．3．【答案】D【解析】解：不等式组表示的平面区域如图，结合图象可知|AM|的最小值为点A到直线2x+y﹣2=0的距离，即|AM|min=．故选：D．【点评】本题考查了不等式组表示的平面区域的画法以及运用；关键是正确画图，明确所求的几何意义．4．【答案】C【解析】考点：指数函数的概念． 5． 【答案】B 【解析】试题分析：根据不等式组作出可行域如图所示阴影部分，目标函数可转化直线系31y 22x z =+，直线系在可行域内的两个临界点分别为)2,0(A 和)0,1(C ，当直线过A 点时，32224z x y =-=-⨯=-，当直线过C 点时，32313z x y =-=⨯=，即的取值范围为]3,4[-，所以Z 的最小值为4-.故本题正确答案为B.考点：线性规划约束条件中关于最值的计算. 6． 【答案】C 【解析】试题分析：由题意得，当01t <≤时，()2122f t t t t =⋅⋅=，当12t <≤时， ()112(1)2212f t t t =⨯⨯+-⋅=-，所以()2,0121,12t t f t t t ⎧<≤=⎨-<≤⎩，结合不同段上函数的性质，可知选项C 符合，故选C.考点：分段函数的解析式与图象. 7． 【答案】C【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积为1S =262创?1123+22622创创?15=，故选C ．4646101011326E VD CBA8． 【答案】C【解析】当{2,1,1,2,4}x ∈--时，2log ||1{1,1,0}y x =-∈-，所以A B = {1,1}-，故选C ． 9． 【答案】C【解析】解：x=两边平方，可变为3y 2﹣x 2=1（x ≥0），表示的曲线为双曲线的一部分；故选C ．【点评】本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x 的范围，注意数形结合的思想．10．【答案】B【解析】解：集合A中的不等式，当x ＞0时，解得：x ＞；当x ＜0时，解得：x ＜， 集合B 中的解集为x ＞，则A ∩B=（，+∞）． 故选B【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．11．【答案】C 【解析】解：∵，又sin 2α+cos 2α=1，联立解得，或故tan α==，或tan α=3，代入可得tan2α===﹣，或tan2α===故选C【点评】本题考查二倍角的正切公式，涉及同角三角函数的基本关系，属中档题．12．【答案】B【解析】解：因为B={0，1，2，3}，C={0，2，4}，且A ⊆B ，A ⊆C ； ∴A ⊆B ∩C={0，2}∴集合A 可能为{0，2}，即最多有2个元素， 故最多有4个子集． 故选：B ．二、填空题13．【答案】2e 【解析】试题分析：()(),'xxxf x xe f x e xe =∴=+ ，则()'12f e =，故答案为2e .考点：利用导数求曲线上某点切线斜率.14．【答案】 （，） ．【解析】解：设C （a ，b ）．则a 2+b 2=1，① ∵点A （2，0），点B （0，3）， ∴直线AB 的解析式为：3x+2y ﹣6=0．如图，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，欲使△ABC 的面积最小，只需线段CF 最短．则CF=≥，当且仅当2a=3b 时，取“=”，∴a=，②联立①②求得：a=，b=，故点C 的坐标为（，）．故答案是：（，）．【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【答案】816．【答案】49【解析】解：==7a4=49．故答案：49．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细求解．三、解答题17．【答案】（1）(8π+；（2）203π． 【解析】考点：旋转体的概念；旋转体的表面积、体积. 18．【答案】（1）332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）．【解析】试题分析：（1）化简()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合取值范围可得1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭⇒值域为332⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）易得()sin 22123x g x f x ωππω⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和233363x πωππωππω⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，，由()g x 在236ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上是增函数⇒222Z 336322k k k ωππωππππππ⎡⎤⎡⎤-++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，⇒ 223322632k k ωππππωππππ⎧-+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩⇒534112k k ωω⎧≤-⎪⎨⎪≤+⎩⇒151212k -<<，Z k ∈⇒0k =⇒1ω≤⇒ω的最大值为.考点：三角函数的图象与性质. 19．【答案】（1）3π=A ；（2）337=∆ABC S . 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理AaB b sin sin =及b B a 3sin 2=，便可求出A sin ，得到A 的大小；（2）利用（1）中所求A 的大小，结合余弦定理求出bc 的值，最后再用三角形面积公式求出1sin 2ABC S bc A ∆=值.试题解析：（1）由b B a 3sin 2=及正弦定理A a B b sin sin =，得23sin =A .…………分 因为A 为锐角，所以3π=A .………………分（2）由余弦定理A bc c b a cos 2222-+=，得3622=-+bc c b ，………………分又8=+c b ，所以328=bc ，………………分所以3372332821sin 21=⨯⨯==∆A bc S ABC .………………12分 考点：正余弦定理的综合应用及面积公式.20．【答案】（1）()26ln f x x x x =--；（2）3n =；（3）证明见解析. 【解析】试题解析： （1）()2af'x x b x =+-，所以(1)251(1)106f'b a b f b a =+-=-=-⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩， ∴函数()f x 的解析式为2()6ln (0)f x x x x x =-->；（2）22626()6ln '()21x x f x x x x f x x x x--=--⇒=--=，因为函数()f x 的定义域为0x >，令(23)(2)3'()02x x f x x x +-==⇒=-或2x =， 当(0,2)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增， 且函数()f x 的定义域为0x >，（3）当1a =时，函数2()ln f x x bx x =+-，21111()ln 0f x x bx x =+-=，22222()ln 0f x x bx x =+-=，两式相减可得22121212()ln ln 0x x b x x x x -+--+=，121212ln ln ()x x b x x x x -=-+-． 1'()2f x x b x =+-，0001'()2f x x b x =+-，因为1202x x x +=，所以12120121212ln ln 2'()2()2x x x x f x x x x x x x +-=⋅+-+--+ 212121221221122112211121ln ln 2()211ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤--⎝⎭⎢⎥=-=--=-⎢⎥⎢⎥-+-+-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦设211xt x =>，2(1)()ln 1t h t t t -=-+，∴2222214(1)4(1)'()0(1)(1)(1)t t t h t t t t t t t +--=-==>+++， 所以()h t 在(1,)+∞上为增函数，且(1)0h =，∴()0h t >，又2110x x >-，所以0'()0f x >．考点：1、导数几何意义及零点存在定理；2、构造函数证明不等式.【方法点睛】本题主要考查导数几何意义及零点存在定理、构造函数证明不等式，属于难题.涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图象交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 21．【答案】（1）x y 82=；（2）964. 【解析】试题分析：（1）求得椭圆的焦点坐标，连接2MF ，由垂直平分线的性质可得2MF MP =，运用抛物线的定义，即可得到所求轨迹方程；（2）分类讨论：当AC 或BD 中的一条与轴垂直而另一条与轴重合时，此时四边形ABCD 面积22b S =．当直线AC 和BD 的斜率都存在时，不妨设直线AC 的方程为()2-=x k y ，则直线BD 的方程为()21--=x ky ．分别与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式可得AC ，BD ．利用四边形ABCD 面积BD AC S 21=即可得到关于斜率的式子，再利用配方和二次函数的最值求法，即可得出．（2）当直线AC 的斜率存在且不为零时，直线AC 的斜率为，),(11y x A ，),(22y x C ，则直线BD 的斜率为k1-，直线AC 的方程为)2(-=x k y ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=+-=148)2(22y x x k y ，得0888)12(2222=-+-+k x k x k .111]∴2221218k k x x +=+，22212188k k x x +-=.12)1(324)(1||22212212++=-+⋅+=k k x x x x k AC .由于直线BD 的斜率为k 1-，用k 1-代换上式中的。

苏北四市2018届高三一模数学试卷+答案

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苏北四市2018届高三一模数学试卷2.圆锥的侧面积公式：12S cl =，其中c 是圆锥底面的周长，l 是母线长． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．已知集合2{0}A x x x =-=，{1,0}B =-，则A B = ▲ ．2．已知复数2iz +=（i 为虚数单位），则z 的模为 ▲ ． 3．函数y 的定义域为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，运行后输出b的值为 ▲ ．5．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[250，400)内的学生共有 ▲ 人．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为 ▲ ．7．连续2次抛掷一颗质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体），观察向上的点数，则事件“点数之积是3的倍数”的概率为 ▲ ．（第5题） （第17题） 012While 62End While Pr int a b I I a a b b a b I I b ←←← ←+ ←+ ←+ （第4题）8．已知正四棱柱的底面边长为3cm，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的体积是 ▲ 3cm ．9．若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ▲ ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，曲线:C xy P到直线:0l x =的距离的最小值为 ▲ ．11．已知等差数列{}n a 满足13579+10a a a a a +++=，228236a a -=，则11a 的值为 ▲ ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是 ▲ ．13．已知函数2211()(1)1x x f x x x ⎧-+ ⎪=⎨- > ⎪⎩，≤，，，函数()()()g x f x f x =+-，则不等式()2g x ≤的解集为 ▲ ．14．如图，在ABC △中，已知32120AB AC BAC = = ∠=︒，，，D 为边BC 的中点．若CE AD ⊥，垂足为E ，则EB ·EC 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．(本小题满分14分)在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且3cos 5A =,1tan()3B A -=.⑴求tan B 的值；⑵若13c =，求ABC △的面积.16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=，1=AB AA ，M ，N 分别是AC ，11B C 的中点.求证：⑴//MN 平面11ABB A ；⑵1AN A B ⊥.17．(本小题满分14分)B （第14题） A DC E （第16题）1A 1B NM1C CBA某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图1．为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O 及其内接等腰三角形ABC 绕底边BC 上的高所在直线AO 旋转180°而成，如图2．已知圆O 的半径为10 cm ，设∠BAO=θ，π02θ<<，圆锥的侧面积为S cm 2． ⑴求S 关于θ的函数关系式；⑵为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S 最大．求S 取得最大值时腰AB 的长度．18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点. ⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BFFD的值；⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k求出m 的值；若不存在，请说明理由.图1 图2（第17题）（第18题）19．(本小题满分16分)已知函数2()1()ln ()f x x ax g x x a a =++ =-∈R ，． ⑴当1a =时，求函数()()()h x f x g x =-的极值；⑵若存在与函数()f x ，()g x 的图象都相切的直线，求实数a 的取值范围． 20．（本小题满分16分）已知数列{}n a ，其前n 项和为n S ，满足12a =，1n n n S na a λμ-=+，其中2n ，n *∈N ，λ，μ∈R .⑴若0λ=，4μ=，12n n n b a a +=-（n *∈N ），求证：数列{}n b 是等比数列； ⑵若数列{}n a 是等比数列，求λ，μ的值； ⑶若23a =，且32λμ+=，求证：数列{}n a 是等差数列.数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．[选修41：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，弦BD ,CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F ．求证：2AB BE BD AE AC =⋅-⋅A B C D E F(第21－A 题) O .B ．[选修42：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵1001⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，4123⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，若矩阵=M BA ，求矩阵M 的逆矩阵1-M ．C ．[选修 4 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，判断直线12:12x tl y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）与圆2:2cos 2sin 0C ρρθρθ+-=的位置关系．D ．[选修 4 5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知,,,a b c d 都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 2222111115a b c d a b c d +++++++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写 出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）在正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB =，12AA =，E ，F ，G 分别是1AA ，AC 和11AC 的中点．以{,,}FA FB FG 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz -． ⑴求异面直线AC 与BE 所成角的余弦值；⑵求二面角1F BC C --的余弦值．23．（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知平行于x 轴的动直线l 交抛物线2:4C y x =于点P ，点F 为C 的焦点．圆心不在y 轴上的圆M 与直线l ，PF ，x 轴都相切，设M 的轨迹为曲线E ．⑴求曲线E 的方程；⑵若直线1l 与曲线E 相切于点(,)Q s t ，过Q 且垂直于1l 的直线为2l ，直线1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ．当线段AB 的长度最小时，求s 的值．A B C 1A 1B 1C F Exy z G数学参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．． 1．{1,0,1}- 2．1 3．(0,1] 4．13 5．750 67．598．54 9．4 1011．11 12．1] 13．[2,2]- 14．277-二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．（1）在ABC △中，由3cos 5A =，得A为锐角，所以4sin 5A ==，所以sin 4tan cos 3A A A ==，………………………………………………………………2分 所以tan()tan tan tan[()]1tan()tan B A AB B A A B A A-+=-+=--⋅. ………………………………4分1433314133+==-⨯ …………………………………………………………6分 （2）在三角形ABC 中,由tan 3B =，所以sin B B ==， ………………………………………………8分由sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+=，…………………………10分由正弦定理sin sin b c B C =,得13sin sin c B b C =，………………………12分 所以ABC △的面积114sin 151378225S bc A ==⨯⨯⨯=. …………………………14分16．（1）证明：取AB 的中点P ，连结1,.PM PB因为,M P 分别是,AB AC 的中点，所以//,PM BC 且1.2PM BC =在直三棱柱111ABC A B C -中，11//BC B C ，11BC B C =， 又因为N 是11B C 的中点，所以1//,PM B N 且1PM B N =. …………………………………………2分 所以四边形1PMNB 是平行四边形，所以1//MN PB ， ………………………………………………………………4分 而MN ⊄平面11ABB A ，1PB ⊂平面11ABB A ，所以//MN 平面11ABB A . ……………………………………………………6分（2）证明：因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以1BB ⊥面111A B C ， 又因为1BB ⊂面11ABB A ，所以面11ABB A ⊥面111A B C ， …………………8分 又因为90ABC ∠=，所以1111B C B A ⊥， 面11ABB A 面11111=A B C B A ，11111B C A B C ⊂平面，所以11B C ⊥面11ABB A ， ………………………10分 又因为1A B ⊂面11ABB A ， 所以111B C A B ⊥，即11NB A B ⊥，连结1AB ，因为在平行四边形11ABB A 中，1=AB AA ， 所以11AB A B ⊥， 又因为111=NB AB B ，且1AB ，1NB ⊂面1AB N ，所以1A B ⊥面1AB N ，……………………………………………………………………12分 而AN ⊂面1AB N ，所以1A B AN ⊥.……………………………………………………………………………14分 17．（1）设AO 交BC 于点D ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，在AOE ∆中，10cos AE θ=，220cos AB AE θ==， …………………………………………………………2分在ABD ∆中，sin 20cos sin BD AB θθθ=⋅=⋅，…………………………………………………………4分所以1220sin cos 20cos 2S θθθ=⋅π⋅⋅2400sin cos θθ=π，(0)2πθ<<……………………6分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sin cos 400(sin sin )S πθθπθθ==-…………8分 设3(),(01)f x x x x =-<< 则2()13f x x '=-，由2()130f x x '=-=得：x =当x ∈时，()0f x '>，当x ∈时，()0f x '< 所以()f x在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以()f x在x =所以当sin θ=时，侧面积S 取得最大值， …………………………11分此时等腰三角形的腰长20cos AB θ=== 答：侧面积S 取得最大值时，等腰三角形的腰AB．…………14分（第16题）1A 1B NM1C CB AP18．（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩……………2分解之得：2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y += ……………………………4分 （2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分 由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分 （3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=， 因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， ……………………………………………14分 所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分19．（1）函数()h x 的定义域为(0,)+∞当1a =时，2()()()ln 2h x f x g x x x x =-=+-+，所以1(21)(1)()21x x h x x x x-+'=+-=………………………………………………2分 所以当102x <<时，()0h x '<，当12x >时，()0h x '>，所以函数()h x 在区间1(0,)2单调递减，在区间1(,)2+∞单调递增，所以当12x =时，函数()h x 取得极小值为11+ln24，无极大值；…………………4分 （2）设函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同，则121212()()()()f x g x f x g x x x -''==-所以211212121(ln )12x ax x a x a x x x ++--+==- ……………………………………6分 所以12122ax x =-，代入21211221(ln )x x x ax x a x -=++--得：222221ln 20(*)424a a x a x x -++--= ………………………………………………8分 设221()ln 2424a a F x x a x x =-++--，则23231121()222a x ax F x x x x x +-'=-++= 不妨设2000210(0)x ax x +-=>则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '> 所以()F x 在区间0(0,)x 上单调递减，在区间0(,)x +∞上单调递增，……………10分代入20000121=2x a x x x -=-可得：2min 000001()()2ln 2F x F x x x x x ==+-+- 设21()2ln 2G x x x x x =+-+-，则211()220G x x x x'=+++>对0x >恒成立， 所以()G x 在区间(0,)+∞上单调递增，又(1)=0G所以当01x <≤时()0G x ≤，即当001x <≤时0()0F x ≤, ……………12分又当2a x e +=时222421()ln 2424a a a a a F x e a e e +++=-++-- 2211()04a a e+=-≥ ……………………………………14分 因此当001x <≤时，函数()F x 必有零点；即当001x <≤时，必存在2x 使得(*)成立； 即存在12,x x 使得函数()f x 上点11(,())x f x 与函数()g x 上点22(,())x g x 处切线相同．又由12y x x =-得：2120y x'=--<所以12(0,1)y x x =-在单调递减，因此20000121=2[1+)x a x x x -=-∈-∞， 所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞．…………………………………………………16分 20．（1）证明：若=0,4 =λμ，则当14n n S a -=(2n ≥),所以1114()n n n n n a S S a a ++-=-=-， 即1122(2)n n n n a a a a +--=-，所以12n n b b -=， ……………………………………………………………2分 又由12a =，1214a a a +=，得2136a a ==，21220a a -=≠，即0n b ≠，所以12nn b b -=， 故数列{}n b 是等比数列．……………………………………………………………4分 （2）若{}n a 是等比数列，设其公比为q （0q ≠ ），当2n =时，2212S a a =+λμ，即12212a a a a +=+λμ，得12q q +=+λμ， ① 当3n =时，3323S a a =+λμ，即123323a a a a a ++=+λμ，得2213q q q q ++=+λμ， ② 当4n =时，4434S a a =+λμ，即1234434a a a a a a +++=+λμ，得 233214+q q q q q ++=+λμ， ③ ②-①⨯q ，得21q =λ ，③-②⨯q ，得31q =λ ， 解得1,1 q ==λ．代入①式，得0=μ．…………………………………………………………………8分 此时n n S na =(2n ≥)，所以12n a a ==，{}n a 是公比为１的等比数列，故10 ==，λμ． ……………………………………………………………………10分 （3）证明：若23a =，由12212a a a a +=+λμ，得562=+λμ， 又32+=λμ，解得112==，λμ．…………………………………………………12分 由12a =，23a =，12λ= ，1μ=，代入1n n n S na a λμ-=+得34a =，所以1a ，2a ，3a 成等差数列，由12n n n n S a a -=+，得1112n n n n S a a +++=+，两式相减得：111122n n n n n n na a a a a ++-+=-+-即11(1)(2)20n n n n a n a a +-----= 所以21(1)20n n n na n a a ++---=相减得：2112(1)(2)220n n n n n na n a n a a a ++---+--+= 所以2111(2)2(2)0n n n n n n n a a a a a a +++--++-+=所以221111-222(2)(2)(2)(1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a n n n +++---+=--+=-+- 1321(2)(2)(1)2n a a a n n --==-+-， ……………………………………14分 因为12320a a a -+=，所以2120n n n a a a ++-+=，即数列{}n a 是等差数列.………………………………………………………………16分数学Ⅱ(附加题)参考答案与评分标准21．A ．证明：连接AD ，因为AB 为圆的直径，所以AD BD ⊥，又EF AB ⊥，则,,,A D E F 四点共圆，所以BD BE BA BF ⋅=⋅． …………………………………………………………5分 又△ABC ∽△AEF ， 所以AB AC AE AF=，即AB AF AE AC ⋅=⋅， ∴2()BE BD AE AC BA BF AB AF AB BF AF AB ⋅-⋅=⋅-⋅=⋅-=． …………10分B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦， ………………………………………5分 所以131********M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． ………………………………………………………10分 C .把直线方程12:12x t l y t =+⎧⎨=-⎩化为普通方程为2x y +=． ……………………………3分 将圆:C 22cos 2sin 0ρρθρθ+-=化为普通方程为22220x x y y ++-=，即22(1)(1)2x y ++-=． ………………………………………………………………6分圆心C 到直线l的距离d == 所以直线l 与圆C 相切.…………………………………………………………………10分D ．证明：因为2222[(1)(1)(1)(1)]()1111a b c d a b c d a b c d++++++++++++++2≥ 2()1a b c d =+++=， …………………………………………5分又(1)(1)(1)(1)5a b c d +++++++=， 所以2222111115a b c d a b c d +++≥++++．…………………………………………10分 22．（1）因为11,2AB AA ==，则111(0,0,0),(,0,0),(,0,0),(,0,1)222F A C B E -， 所以(1,0,0)=-AC，1(,2=BE ， ………………………………………2分 记直线AC 和BE 所成角为α，则11cos |cos ,|α-⨯=<>==AC BE ， 所以直线AC 和BE………………………………………4分 （2）设平面1BFC 的法向量为111(,,)x y z =m ，因为(0,FB =，11(,0,2)2FC =-， 则1111301202FB y FC x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩m m ，取14x =得：(4,0,1)=m ……………………………6分 设平面1BCC 的一个法向量为222(,,)x y z =n ， 因为1(2CB =，1(0,0,2)CC =， 则221210220CB x y CC z ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅==⎩n n ，取2x 1,0)=-n ………………………8分cos ,∴<m n 根据图形可知二面角1F BC C --为锐二面角，所以二面角1F BC C -- ……………………………………10分 23．（1）因为抛物线C 的方程为24y x =，所以F 的坐标为(1,0)，设(,)M m n ，因为圆M 与x 轴、直线l 都相切，l 平行于x 轴， 所以圆M的半径为n ，点P 2(,2)n n ，则直线PF 的方程为2121y x n n -=-，即22(1)(1)0n x y n ---=，………………………2分 n =，又,0m n ≠， 所以22211m n n --=+，即210n m -+=，所以E 的方程为2=1y x -(0)y ≠ ………………………………………………4分（2）设2(1,)+Q t t ， 1(0,)A y ，2(0,)B y ， 由（1）知，点Q处的切线1l 的斜率存在，由对称性不妨设0>t ，由'=y 121AQ t y k t -==+，221BQ t y k t -==-+ 所以1122=-t y t，3223=+y t t ， ……………………………………………………6分 所以33151|23|2(0)2222t AB t t t t t t t=+-+=++>．……………………………………8分 令351()222f t t t t=++，0t >， 则42222511251()6222t t f t t t t +-'=+-=，由()0f t'<得0t<<，f t'>得t>()0所以()f t在区间单调递减，在)+∞单调递增，所以当t=时，()f t取得极小值也是最小值，即AB取得最小值s t=+=．……………………………………………………………10分此时21。

高三数学-2018高三数学模拟试卷南通中学精品

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∵ A 点在 SR 上，∴ 4b=(x1+x2)a－ x1x2 ① 对 y
∴抛物线上 S． R 处的切线方程为
12
1
x 求导得： y′＝ x
4
2
y 1 x12
1 x1( x
x1 ) 即 4 y
2
2 x1x x1
②
4
2
y
1
x
2 2
4
1 x2 ( x
x2 ) 即 4 y
2 x2 x
2
x2
③
2
联立②、③得
9． C
10． A
11． B 12． C
2a b
13．
|2a b |
14． a>0，b<0 ， c<0，d=0
12
15．
5
16． 2027
[ 解析 ] ：注意到： 12 1,32 9, ,43 2 1849,452 2025
故前 2018 项共删去 22 个数，又因为 2018 与 2026 间还有一个需要删去的 项是 2018+22+1=2027 三、解答题
12．某工厂投入 98 万元购买一套设备，第一年的维修费用 12 万元，以后每年增加 4 万元，每年可
收入 50 万元．就此问题给出以下命题：①前两年没能收回成本；②前
5 年的平均年利润最多；
③前 10 年总利润最多；④第 11 年是亏损的；⑤ 10 年后每年虽有盈利但与前 10 年比年利润有
所减少．（总利润 =总收入－投入资金－总维修费）其中真命题是
（ 1）求： a2 a4 a6 a8 a10 a12 a14 a16 ；
（ 2）若 Sn a1 a2 a3
an 21

南通市达标名校2018年高考四月仿真备考数学试题含解析

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南通市达标名校2018年高考四月仿真备考数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．函数()cos2xf x x =的图象可能为（ ） A ． B ．C ．D ．2．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为3，则可输入的实数x 值的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．34．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 3C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为（ ） A 5 B ．22C ．23D ．335．阿波罗尼斯（约公元前262~190年）证明过这样的命题：平面内到两定点距离之比为常数()0,1k k k >≠的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 的距离之比为22，当P ，A ，B 不共线时，PAB ∆的面积的最大值是（ ）A ．22B ．2C ．223 D ．236．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（ ）A ．16-B ．6-C ．274-D ．2747．已知集合A ＝{0，1}，B ＝{0，1，2}，则满足A ∪C ＝B 的集合C 的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18．已知A ，B ，C ，D 是球O 的球面上四个不同的点，若2AB AC DB DC BC =====，且平面DBC ⊥平面ABC ，则球O 的表面积为（ ）A ．203πB ．152πC ．6πD ．5π9．已知函数321()(0)3f x ax x a =+>．若存在实数0(1,0)x ∈-，且012x ≠-，使得01()()2f x f =-，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2(,5)3 B ．2(,3)(3,5)3⋃ C ．18(,6)7 D ．18(,4)(4,6)7⋃ 10．已知命题:p 若1a <，则21a <，则下列说法正确的是（ ）A ．命题p 是真命题B ．命题p 的逆命题是真命题C ．命题p 的否命题是“若1a <，则21a ≥”D ．命题p 的逆否命题是“若21a ≥，则1a <”11．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ）A ．11a b >B ．11a b a >-C ．|a|>|b|D ．22a b >12．如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试（满分100分）中得分情况的茎叶图，则下列说法错误．．的是（ ）A ．甲得分的平均数比乙大B ．甲得分的极差比乙大C ．甲得分的方差比乙小D ．甲得分的中位数和乙相等二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2018南通一模(四)数学

2018南通一模(四)数学

2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 12. －323. 254. 105. 126. 57. 658. 3 9. π610. e －2 11. 210 12. 42－4 13. 32 14. ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12，1∪(1，＋∞) 15. 解析：(1) 在△ABN 中，M 是AB 的中点，D 是BN 的中点，所以MD ∥AN.(3分)因为AN ⊂平面PAC ，MD ⊄平面PAC ，所以MD ∥平面PAC.(6分)(2) 在△ABC 中，CA ＝CB ，M 是AB 的中点，所以AB ⊥MC.(8分)因为AB ⊥PC ，PC ⊂平面PMC ，MC ⊂平面PMC ，PC ∩MC ＝C ，所以AB ⊥平面PMC.(11分)因为AB ⊂平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC.(14分)16. 解析：(1) 在△ABC 中，根据余弦定理及a 2＝b 2＋c 2－bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12. 因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3分) 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B得 sin B ＝b a sin A ＝215×32＝55.(6分) (2) 因为a ＝152b>b ， 所以A>B ，即0<B<π3. 又sin B ＝55，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.(9分) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π－A －B ＋π12 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4(12分) ＝－⎝⎛⎭⎫cos B cos π4－sin B sin π4 ＝－⎝⎛⎭⎫255×22－55×22＝－1010.(14分)17. 解析：(1) 设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a 2c ＝42，(2分) 解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2.所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(4分) (2) 方法一：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．(6分)因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1， 所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)．所以x 20＋y 20＝89， ① （2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1, ②(10分) 由①②得9x 20－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23，x 0＝83(舍去)． 把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，(12分) 所以k AB ＝±12， 因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)， 即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分)18. 解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．(1) 直线PB 的方程为y ＝2x ，半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝402，y ≥0得y ＝16 5. 所以点P 到AD 的距离为16 5 m ．(4分)(2) ①由题意得P(40cos θ，40sin θ)．直线PB 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ＋1(x ＋40)，令y ＝0，得 x E ＝80cos θ＋80sin θ＋2－40＝80cos θ－40sin θsin θ＋2.(6分) 直线PC 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ－1(x －40)，令y ＝0，得x F ＝80cos θ－80sin θ＋2＋40＝80cos θ＋40sin θsin θ＋2，(8分) 所以EF 的长度为f(θ)＝x F －x E ＝80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(10分) ②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫80－80sin θsin θ＋2×80＝ 6 400sin θ＋2， 区域Ⅱ的面积为S 2＝12×EF ×40sin θ＝12×80sin θsin θ＋2× 40sin θ＝1 600sin 2θsin θ＋2， 所以S 1＋S 2＝1 600sin 2θ＋6 400sin θ＋2⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(3分) 设sin θ＋2＝t ，则2<t<3，则S 1＋S 2＝1 600（t －2）2＋6 400t＝1 600⎝⎛⎭⎫t ＋8t －4≥1 600(28－4)＝6 400(2－1)， 当且仅当t ＝22，即sin θ＝22－2时等号成立．所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6 400(2－1)m 2.故当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分)19. 解析：(1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x .令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1. f(x)，f ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，f(x)取得极小值．(2分)因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知g ′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0，所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0，化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0得a ≠－32， 所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎫a ≠－32.(6分) 20. 解析：(1) 当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－1－(2n －1)＝2>0，所以a n ＋1≥a n .(2分) a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n ；(4分)当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－2n ＝2>0，所以a n ＋1≥a n .a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n .所以数列{a n }是“R(2)数列”．(6分)(2) 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1，数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.(8分)因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4，所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1，所以n(d 2－d 1)≥b 1－b 2，①n(d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n>b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立； 若d 2－d 1>0，则当n>b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立． 若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d.(12分)设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ，则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p)d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d]＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.(14分)同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ.所以{b n }是等差数列．(6分)另解：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d]＝b 2－b 3＋d ，λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d]＝b 1－b 2＋d ，λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd)＝b 3－b 1，以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，(12分) 所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d 3， b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d 3， b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d 3， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d 3， 所以数列{b n }是等差数列．(16分)21. B . 解析：由已知得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，x ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(4分) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以a ＝1，b ＝c ＝0，d ＝12， 所以λ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012.(10分) C. 解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1的普通方程为y ＝x 2＋2x .(4分)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(8分) 所以A (0，0)，B (－1，－1)，所以AB ＝（－1－0）2＋（－1－0）2＝ 2.(10分)22. 解析：以{，，}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．(1) 由题意可知，＝(0，－4，4)，＝(4，－2，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则即⎩⎪⎨⎪⎧－4y ＋4z ＝0，4x －2y ＝0. 令x ＝1，则y ＝2，z ＝2.所以n 1＝(1，2，2)．(3分)平面ACD 的法向量为n 2＝(0，0，1)，所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23， 所以二面角PCDA 的余弦值为23.(5分)(2) 由题意可知，＝(4，2，－4)，＝(4，－2，0)．设＝λ＝(4λ，2λ，－4λ)，则＝＋＝(4λ，2λ－4，4－4λ)．(7分)因为DC ＝DH ， 所以（4λ）2＋（2λ－4）2＋（4－4λ）2＝20，化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝13. 因为点H 异于点C ，所以λ＝13.(10分) 23. 解析：①当n ＝1时，等式右边＝sin ⎝⎛⎭⎫1＋12x 2sin 12x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫1＋12x －sin ⎝⎛⎭⎫1－12x 2sin 12x ＝ 12sin 12x ×[(sin x cos 12x ＋cos x sin 12x)－(sin x cos 12x －cos x sin 12x)] ＝cos x ＝等式左边，等式成立．(2分)②假设当n ＝k 时等式成立，即cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋12x 2sin 12x －12. 那么，当n ＝k ＋1时，有cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＋cos (k ＋1)x＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋12x 2sin 12x －12＋cos (k ＋1)x ＝12sin 12x ×{sin ⎣⎡⎦⎤（k ＋1）x －12x ＋2sin 12x ·cos (k ＋1)x}－12 ＝12sin 12x ×[sin (k ＋1)x cos 12x －cos (k ＋1)x sin 12x ＋2sin 12x cos (k ＋1)x]－12 ＝sin （k ＋1）x cos 12x ＋cos （k ＋1）x sin 12x 2sin 12x －12 ＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋1＋12x 2sin 12x －12. 这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n ∈N *等式都成立．(6分)(2) 由(2)可知，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos2 018x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12x 2sin 12x －12， 两边同时求导，得－sin x －2sin2x －3sin3x －…－2 018sin2 018x＝12sin 212x ×[(2 018＋12)cos(2 018＋12)x sin 12x －12sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12x cos 12x ]，(8分) 所以－sin π6－2sin 2π6－3sin 3π6－…－2 018sin 2 018π6＝12sin 2π12×[⎝⎛⎭⎫2 018＋12cos ⎝⎛⎭⎫2 018＋12π6sin π12－12sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12π6cos π12]＝ 2 0152－3， 所以sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6＝3－2 0152.(10分)。

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2018届高三年级第一次模拟考试(四)数学(满分160分，考试时间120分钟)参考公式：柱体的体积公式：V 柱体＝Sh ，其中S 为柱体的底面积，h 为高． 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1. 已知集合A ＝{－1，0，a}，B ＝{0，a}．若B ⊆A ，则实数a 的值为________．2. 已知复数z ＝1＋4i1－i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的实部为________．3. 已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．4. 根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________．5. 若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．6. 若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤3，x －y －1≤0，则2x —y 的最大值为________．7. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，则点F 到双曲线x 216－y 29＝1的渐近线的距离为________．8. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋6a 4，则a 3的值为________．9. 在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎫0<φ<π2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．10. 若曲线y ＝x ln x 在x ＝1与x ＝t 处的切线互相垂直，则正数t 的值为________．11. 如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm ，圆柱的底面积为93cm 2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm 的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm .(不计损耗)(第11题) (第12题)12. 如图，已知矩形ABCD 的边长AB ＝2，AD ＝1.点P ，Q 分别在边BC ，CD 上，且∠PAQ ＝45°，则AP →·AQ →的最小值为________．13. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB 上一点P 向圆x 2＋y 2＝4引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D.设线段CD 的中点为M ，则线段AM 的长度的最大值为________．14. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2ax －a ＋1，x ≥0，ln （－x ）， x<0，g(x)＝x 2＋1－2a.若函数y ＝f(g(x))有4个零点，则实数a 的取值范围是________________．二、 解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，在三棱锥PABC 中，AB ⊥PC ，CA ＝CB ，M 是AB 的中点．点N 在棱PC 上，D 是BN 的中点．求证：(1) MD ∥平面PAC ； (2) 平面ABN ⊥平面PMC.16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2－bc ，a ＝152b. (1) 求sin B 的值； (2) 求cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π12的值．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为22，两条准线之间的距离为4 2.(1) 求椭圆的标准方程；(2) 已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆x 2＋y 2＝89上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且△AOB的面积是△AOM 的面积的2倍，求直线AB 的方程．如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m 的正方形ABCD ，另一部分是以AD 为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD ，PB ，PC 将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域(图中阴影部分)，Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P 在半圆弧上，AD 分别与PB ，PC 相交于点E ，F.(道路宽度忽略不计)(1) 若PB 经过圆心，求点P 到AD 的距离：(2) 设∠POD ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.①试用θ表示EF 的长度；②当sin θ为何值时，绿化区域面积之和最大．已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R)有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式；(2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73.若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n ＋1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n －k＋a n ＋k ＝2a n 对于任意的正整数n(n>k)恒成立，则称数列{a n }是“R(k)数列”．(1) 已知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －1，n 为奇数，2n ， n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；(2) 已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p(p>1)，使得b 3p －3，b 3p －1，b 3p ＋1，b 3p ＋3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．2018届高三年级第一次模拟考试(四) 数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A. [选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，已知⊙O 1的半径为2，⊙O 2的半径为1，两圆外切于点T .点P 为⊙O 1上一点，PM 与⊙O 2切于点M .若PM ＝3，求PT 的长．B. [选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知x ∈R ，向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤01是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A －1.C. [选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝x 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1(t 为参数)相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．D. [选修45：不等式选讲](本小题满分10分) 已知a >1，b >1，求b 2a －1＋a 2b －1的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在四棱锥PABCD 中，AP ，AB ，AD 两两垂直，BC ∥AD ，且AP ＝AB ＝AD ＝4，BC ＝2.(1) 求二面角PCDA 的余弦值；(2) 已知点H 为线段PC 上异于C 的点，且DC ＝DH ，求PHPC的值．23. (本小题满分10分)(1) 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos nx ＝sin ⎝⎛⎭⎫n ＋12x 2sin 12x－12(x ∈R ，且x ≠2k π，k ∈Z)；(2) 求sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6的值.2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1. 12. －323. 254. 105. 126. 57. 658. 3 9.π610. e －2 11. 210 12. 42－4 13. 32 14. ⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1∪(1，＋∞)15. 解析：(1) 在△ABN 中，M 是AB 的中点， D 是BN 的中点， 所以MD ∥AN.(3分)因为AN ⊂平面PAC ，MD ⊄平面PAC ， 所以MD ∥平面PAC.(6分)(2) 在△ABC 中，CA ＝CB ，M 是AB 的中点， 所以AB ⊥MC.(8分)因为AB ⊥PC ，PC ⊂平面PMC ，MC ⊂平面PMC ，PC ∩MC ＝C ， 所以AB ⊥平面PMC.(11分) 因为AB ⊂平面ABN ，所以平面ABN ⊥平面PMC.(14分)16. 解析：(1) 在△ABC 中，根据余弦定理及a 2＝b 2＋c 2－bc 得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(3分) 在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝bsin B 得sin B ＝b a sin A ＝215×32＝55.(6分)(2) 因为a ＝152b>b ， 所以A>B ，即0<B<π3.又sin B ＝55，所以cos B ＝1－sin 2B ＝255.(9分) 在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 所以cos ⎝⎛⎭⎫C ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫π－A －B ＋π12＝－cos ⎝⎛⎭⎫B ＋π4(12分)＝－⎝⎛⎭⎫cos B cos π4－sin B sin π4＝－⎝⎛⎭⎫255×22－55×22＝－1010.(14分) 17. 解析：(1) 设椭圆的焦距为2c ，由题意得c a ＝22，2a 2c ＝42，(2分)解得a ＝2，c ＝2，所以b ＝ 2.所以椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.(4分)(2) 方法一：因为S △AOB ＝2S △AOM ， 所以AB ＝2AM ，所以M 为AB 的中点．(6分) 因为椭圆的方程为x 24＋y 22＝1，所以A(－2，0)．设M(x 0，y 0)，则B(2x 0＋2，2y 0)． 所以x 20＋y 2＝89， ① （2x 0＋2）24＋（2y 0）22＝1, ②(10分) 由①②得9x 20－18x 0－16＝0，解得x 0＝－23，x 0＝83(舍去)．把x 0＝－23代入①，得y 0＝±23，(12分)所以k AB ＝±12，因此，直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)，即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分)方法二：因为S △AOB ＝2S △AOM ，所以AB ＝2AM ， 所以M 为AB 的中点．(6分)设直线AB 的方程为y ＝k(x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝k （x ＋2）得(1＋2k 2)x 2＋8k 2x ＋8k 2－4＝0，所以(x ＋2)[(1＋2k 2)x ＋4k 2－2]＝0， 解得x B ＝2－4k 21＋2k 2.(8分)所以x M ＝x B ＋（－2）2＝－4k 21＋2k 2，y M ＝k(x M ＋2)＝2k1＋2k 2，(10分) 代入x 2＋y 2＝89得，⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22＋⎝⎛⎭⎫2k 1＋2k 22＝89， 化简得28k 4＋k 2－2＝0，(12分) 即(7k 2＋2)(4k 2－1)＝0，解得k ＝±12，所以直线AB 的方程为y ＝±12(x ＋2)， 即x ＋2y ＋2＝0或x －2y ＋2＝0.(14分)18. 解析：以AD 所在直线为x 轴，以线段AD 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系．(1) 直线PB 的方程为y ＝2x ，半圆O 的方程为x 2＋y 2＝402(y ≥0)，(2分)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2＋y 2＝402，y ≥0得y ＝16 5. 所以点P 到AD 的距离为165m ．(4分)(2) ①由题意得P(40cos θ，40sin θ)．直线PB 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ＋1(x ＋40)，令y ＝0，得 x E ＝80cos θ＋80sin θ＋2－40＝80cos θ－40sin θsin θ＋2.(6分) 直线PC 的方程为y ＋80＝sin θ＋2cos θ－1(x －40)， 令y ＝0，得x F ＝80cos θ－80sin θ＋2＋40＝80cos θ＋40sin θsin θ＋2，(8分) 所以EF 的长度为f (θ)＝x F －x E ＝80sin θsin θ＋2，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2.(10分) ②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为S 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫80－80sin θsin θ＋2×80＝ 6 400sin θ＋2， 区域Ⅱ的面积为S 2＝12×EF ×40sin θ＝12×80sin θsin θ＋2× 40sin θ＝1 600sin 2θsin θ＋2， 所以S 1＋S 2＝1 600sin 2θ＋6 400sin θ＋2⎝⎛⎭⎫0<θ<π2.(3分) 设sin θ＋2＝t ，则2<t<3，则S 1＋S 2＝1 600（t －2）2＋6 400t＝1 600⎝⎛⎭⎫t ＋8t －4≥1 600(28－4)＝6 400(2－1)， 当且仅当t ＝22，即sin θ＝22－2时等号成立．所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S 1＋S 2的最小值为6 400(2－1)m 2.故当sin θ＝22－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．(16分)19. 解析：(1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x .令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1. f(x)，f ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，f(x)取得极小值．(2分)因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意可知g ′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0，所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0，化简得b ＝－a 2－4a －3.(4分)由Δ＝4a 2－12b ＝4a 2＋12(a ＋1)(a ＋3)>0得a ≠－32， 所以b ＝－a 2－4a －3⎝⎛⎭⎫a ≠－32.(6分) (2) 因为F(x)＝f(x)－g(x)＝(x ＋a)e x －(x 3＋ax 2＋bx)，所以F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝(x ＋a ＋1)e x －[3x 2＋2ax －(a ＋1)(a ＋3)]＝(x ＋a ＋1)e x －(x ＋a ＋1)(3x －a －3)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)．(8分)记h(x)＝e x －3x ＋a ＋3，则h′(x)＝e x －3，令h′(x)＝0，解得x ＝ln 3.h(x)，h ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝ln 3时，h(x)取得极小值，也是最小值，此时h(ln 3)＝eln 3－3ln 3＋a ＋3＝6－3ln 3＋a＝3(2－ln 3)＋a ＝3ln e 23＋a>a>0.(10分) 令F′(x)＝0，解得x ＝－a －1.F(x)，F ′(x)随x 的变化列表如下：所以当x ＝－a －1时，F(x)取得极小值，也是最小值，所以M(a)＝F(－a －1)＝(－a －1＋a)e －a －1－[(－a －1)3＋a(－a －1)2＋b(－a －1)]＝－e －a －1－(a ＋1)2(a ＋2)．(12分)令t ＝－a －1，则t<－1，记m(t)＝－e t －t 2(1－t)＝－e t ＋t 3－t 2，t<－1，则m′(t)＝－e t ＋3t 2－2t ，t<－1.因为－e －1<－e t <0，3t 2－2t>5，所以m′(t)>0，所以m(t)单调递增．(14分)所以m(t)<－e －t －2<－13－2＝－73， 所以M(a)<－73.(16分) 20. 解析：(1) 当n 为奇数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－1－(2n －1)＝2>0，所以a n ＋1≥a n .(2分) a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)－1＋2(n ＋2)－1＝2(2n －1)＝2a n ；(4分)当n 为偶数时，a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－2n ＝2>0，所以a n ＋1≥a n .a n －2＋a n ＋2＝2(n －2)＋2(n ＋2)＝4n ＝2a n .所以数列{a n }是“R(2)数列”．(6分)(2) 由题意可得b n －3＋b n ＋3＝2b n ，则数列b 1，b 4，b 7，…是等差数列，设其公差为d 1，数列b 2，b 5，b 8，…是等差数列，设其公差为d 2，数列b 3，b 6，b 9，…是等差数列，设其公差为d 3.(8分)因为b n ≤b n ＋1，所以b 3n ＋1≤b 3n ＋2≤b 3n ＋4，所以b 1＋nd 1≤b 2＋nd 2≤b 1＋(n ＋1)d 1，所以n(d 2－d 1)≥b 1－b 2，①n(d 2－d 1)≤b 1－b 2＋d 1.②若d 2－d 1<0，则当n>b 1－b 2d 2－d 1时，①不成立； 若d 2－d 1>0，则当n>b 1－b 2＋d 1d 2－d 1时，②不成立． 若d 2－d 1＝0，则①和②都成立，所以d 1＝d 2.同理得d 1＝d 3，所以d 1＝d 2＝d 3，记d 1＝d 2＝d 3＝d.(12分)设b 3p －1－b 3p －3＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝λ，则b 3n －1－b 3n －2＝b 3p －1＋(n －p)d －[b 3p ＋1＋(n －p －1)d]＝b 3p －1－b 3p ＋1＋d ＝d －λ.(14分)同理可得b 3n －b 3n －1＝b 3n ＋1－b 3n ＝d －λ，所以b n ＋1－b n ＝d －λ.所以{b n }是等差数列．(6分)另解：λ＝b 3p －1－b 3p －3＝b 2＋(p －1)d －[b 3＋(p －2)d]＝b 2－b 3＋d ，λ＝b 3p ＋1－b 3p －1＝b 1＋pd －[b 2＋(p －1)d]＝b 1－b 2＋d ，λ＝b 3p ＋3－b 3p ＋1＝b 3＋pd －(b 1＋pd)＝b 3－b 1，以上三式相加可得3λ＝2d ，所以λ＝23d ，(12分) 所以b 3n －2＝b 1＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －2－1)d 3， b 3n －1＝b 2＋(n －1)d ＝b 1＋d －λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1－1)d 3， b 3n ＝b 3＋(n －1)d ＝b 1＋λ＋(n －1)d ＝b 1＋(3n －1)d 3， 所以b n ＝b 1＋(n －1)d 3，所以b n ＋1－b n ＝d 3， 所以数列{b n }是等差数列．(16分)21. A . 解析：延长PT 交⊙O 2于点C ，连结O 1P ，O 2C ，O 1O 2，则O 1O 2过点T.由切割线定理得PM 2＝PC·PT ＝3.因为∠O 1TP ＝∠O 2TC ，△O 1TP 与△O 2TC 均为等腰三角形，(5分)所以△O 1TP ∽△O 2TC ，所以PT CT ＝PO 1CO 2＝2， 所以PT PC ＝23，即PC ＝32PT. 因为PC·PT ＝32PT ·PT ＝3，所以PT ＝ 2.(10分) B . 解析：由已知得⎣⎢⎡⎦⎥⎤1x 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01， 所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，x ＝0，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002.(4分) 设A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 则AA －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 所以a ＝1，b ＝c ＝0，d ＝12， 所以λ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012.(10分)C. 解析：曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t 2－1的普通方程为y ＝x 2＋2x .(4分) 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，y ＝x 2＋2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，(8分) 所以A (0，0)，B (－1，－1)，所以AB ＝（－1－0）2＋（－1－0）2＝ 2.(10分)D. 解析：因为a >1，b >1，所以b 2a －1＋4(a －1)≥4b ，a 2b －1＋4(b －1)≥4a .(4分) 两式相加b 2a －1＋4(a －1)＋a 2b －1＋4(b －1)≥4b ＋4a ， 所以b 2a －1＋a 2b －1≥8.(8分) 当且仅当b 2a －1＝4(a －1)且a 2b －1＝4(b －1)时，等号成立， 即当a ＝b ＝2时，b 2a －1＋a 2b －1取得最小值为8.(10分) 22. 解析：以{AB →，AD →，AP →}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0，0，0)，B(4，0，0)，C(4，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．(1) 由题意可知，DP →＝(0，－4，4)，DC →＝(4，－2，0)．设平面PCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·DP →＝0，n 1·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－4y ＋4z ＝0，4x －2y ＝0. 令x ＝1，则y ＝2，z ＝2.所以n 1＝(1，2，2)．(3分)平面ACD 的法向量为n 2＝(0，0，1)，所以|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝23， 所以二面角PCDA 的余弦值为23.(5分)(2) 由题意可知，PC →＝(4，2，－4)，DC →＝(4，－2，0)．设PH →＝λPC →＝(4λ，2λ，－4λ)，则DH →＝DP →＋PH →＝(4λ，2λ－4，4－4λ)．(7分)因为DC ＝DH ， 所以（4λ）2＋（2λ－4）2＋（4－4λ）2＝20，化简得3λ2－4λ＋1＝0，所以λ＝1或λ＝13. 因为点H 异于点C ，所以λ＝13.(10分) 23. 解析：①当n ＝1时，等式右边＝sin ⎝⎛⎭⎫1＋12x 2sin 12x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫1＋12x －sin ⎝⎛⎭⎫1－12x 2sin 12x ＝ 12sin 12x ×[(sin x cos 12x ＋cos x sin 12x)－(sin x cos 12x －cos x sin 12x)] ＝cos x ＝等式左边，等式成立．(2分)②假设当n ＝k 时等式成立，即cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋12x 2sin 12x －12. 那么，当n ＝k ＋1时，有cos x ＋cos 2x ＋cos 3x ＋…＋cos kx ＋cos (k ＋1)x＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋12x 2sin 12x －12＋cos (k ＋1)x ＝12sin 12x ×{sin ⎣⎡⎦⎤（k ＋1）x －12x ＋2sin 12x ·cos (k ＋1)x}－12 ＝12sin 12x ×[sin (k ＋1)x cos 12x －cos (k ＋1)x sin 12x ＋2sin 12x cos (k ＋1)x]－12 ＝sin （k ＋1）x cos 12x ＋cos （k ＋1）x sin 12x 2sin 12x －12＝sin ⎝⎛⎭⎫k ＋1＋12x 2sin 12x －12. 这就是说，当n ＝k ＋1时等式也成立．根据①和②可知，对任何n ∈N *等式都成立．(6分)(2) 由(2)可知，cos x ＋cos2x ＋cos3x ＋…＋cos2 018x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12x 2sin 12x －12， 两边同时求导，得－sin x －2sin2x －3sin3x －…－2 018sin2 018x＝12sin 212x ×[(2 018＋12)cos(2 018＋12)x sin 12x －12sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12x cos 12x ]，(8分) 所以－sin π6－2sin 2π6－3sin 3π6－…－2 018sin 2 018π6＝12sin 2π12×[⎝⎛⎭⎫2 018＋12cos ⎝⎛⎭⎫2 018＋12π6sin π12－12sin ⎝⎛⎭⎫2 018＋12π6cos π12]＝ 2 0152－3， 所以sin π6＋2sin 2π6＋3sin 3π6＋4sin 4π6＋…＋2 018sin 2 018π6＝3－2 0152.(10分)。

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