断裂力学基本概念

（3－11）
式中 1、 2、 3 为主应力。

1 1 x y 2 2

x
y 2
2

2 xy
由（3－9）式可求得
1 cos 1 sin 2 2 2r KI 2 cos 1 sin 2 2 2r （平面应力） 0 3 1 2 （平面应变） KI

3-1
如图3—1中y＝0截面上的应力如图3—2所示，在
孔边的 m 点和 n 点有最大应力。我们定义为弹性应
力集中系数。在所述之圆孔条件下，Kt＝3。
同样受载的条件下，有
m 1
2a ，即 b
2 2 x y 若上述薄板中的孔是一个椭圆孔 ,则在 1 a2 b2
上式是一个近似解 （近场解），是取精确解
（全场解）的一个主项．当 r<<a 的条件下，带
来的误差不大。
（3－9）式可归纳为:
ij K I f ij r,
ij K I f 'ij r,
可见裂尖区各处 r, 的应力、应变、位移均与 K1 成正比，因而 KI 就能表明裂尖区的应力、应
同样，K Ic GIc E ' 是材料性能参数，叫做断 裂韧性或断裂韧度。于是裂纹发生脆性失稳扩展 的临界条件是： （3－11） 如果一般地包括 KⅡ 、 KⅢ 统而言之，则脆断 的线弹性断裂判据是
K I K Ic
K Kc
（3－11’）
三、裂纹尖端的塑性区 按（3—9）式，当 r 0 时，
这样，Ue就是定义为体系内能的减少量。GI的大小是应 力σ和裂纹长度a的函数，是使裂纹扩展的力。而
GIc
2a
U sp
2 c p
则同σ及a无关，是材料特性。这样，裂纹扩展的能量 判据就是，
U GIc GI 0 2a
即
GI GIc
U 2a 2 2 4 0 a E
（3－4a） （3－4b）
即

2 E a
2 E ' E / 1 在平面应变条件下， ，于是


2 E 1 2 a


实际上，由于金属不是绝对脆性物质，在断裂时 断口两面的金属都要发生程度不同的塑性变形。故体 以 c 表示单纯的表面能（表面张力），则 系所增加的能量（ U sp 以代表）还应包括塑性变形能 po
a 2 3a 4 4a 2 r 1 2 1 4 2 cos 2 2 r 2 r r a 2 3a 4 1 2 1 4 cos 2 2 r 2 r 3a 4 4a 2 r 1 4 2 sin 2 2 r r
KI ij f ij 2r
即出现了奇异性。当实际金属中应力超过屈服强 度后会发生屈服，出现一个屈服区。为分析屈服 区大小，先要研究裂尖区复杂应力状态下的屈服 条件。
按应变能密度理论，此时的屈服条件（ von Mises 屈服条件）是
2 2 1 2 2 3 3 1 s 2 2 2
第二节
裂纹扩展的能量理论
一个裂纹体的受力状态及裂纹的扩展方式可有图 3—4所示的三种典型情况，或者它们的组合。其中I 型叫张开型，II型叫做滑开型，III型叫做撕开型。 由于张开型是最危险的状态，因而最具代表性。我 们下面仅以I型受力状态来讨论。
在二十年代， Griffith 在研究玻璃、陶瓷 等的脆性断裂时，认为这些材料之所以易于开 裂是由于使裂纹扩展所需的能量小；他在考虑 该断裂过程的能量平衡时，把物体看成一个热 力学体系。在受到外力时，体系吸收了外力作 的功，转变成为体系的（物体的）弹性能。当 裂纹扩展时（或萌生时），裂纹体的弹性能释 放（即降低）部分；而产生出裂纹的两个新表 面，即增加了表面能。

（3－7）
我们现从裂纹扩展前的体系考虑，定义 U sp GIc 2 c p 2a
为扩展单位长度裂纹所需之能量，是裂纹扩展的阻力项； 同时定义
U e GI a 2 1 2 2 / E 2a


为裂纹扩展单位长度时，体系可释放的能量。
2a K t 1 b
（ 3－ 2 ）
2 b 以椭圆x轴端曲率半径 来表示，则 a
a m 1 2
，即
a Kt 1 2
（ 3－ 3 ）
在弹性范围之内，即 m＜ s 时，应力和应变成正 比。于是应力集中处也是应变集中处，且集中系数
2E
2a 2


a 2 2
E
所以体系的能量变化为
U U s U e 4a
a 2 2
E
（ 3－ 3 ）
随着裂纹长度 2a 的变化，各项能量的变化情况如图 3 － 6 所示。
不难看出，在σ一定时，当 a a * 时有 U max ,当
U 0 则裂纹会自动扩展。即裂纹自动扩展的条件是 a
也相等。当 m ＞
s之后，应变集中区将发生屈服，
而应力的增长较慢（若是理想塑性体，则
m ≡ s ）。在弹性载荷范围内（即 m ＞ s
＞ ），随外载增大，即 标称应力增高，屈 服区域会逐步扩大，应力逐步均匀化；一旦进入塑 性载荷，即塑性区伸展到整个截面时，叫做整体屈 服，此时 ＞ s 。
第一节
缺口的应力应变集中
在拉伸试验中，取σ（应力）＝ P （载荷） ÷A（试样截面积）。实际上这只是一种标称应 力，因为实际的应力并非任何时候都在整个截 面上均匀分布。 生产和生活实践均证明，缺口的存在会带来 更大的危险。这就是应力应变集中的结果。
若一块单向（y方向）受均匀拉应力口的大薄板 中心有一个半径为a的圆孔（图3－1），按弹性力 学可求得板中某点的径向应力、切向应力和剪应 力分别为：
（3－8）
在一般情况下，定义 G dU e （注意：裂纹长 d 2a 度为2a）。 显然，式（3—8）的含义同 b 发生断裂及
s 产生塑性变形之类的临界条件相似。即
G Ic 是材料的韧性指标之一；而 G 是体系具有的一 I 种势，是使裂纹扩展的“力”，所以叫裂纹扩展力。
KI y x 2r
故是最易发生正断之处。
二、脆断判据及GI与Kl之关系 由（ 3—9 ）式，同上节所述之 GI 相似， KI 是标称应力（远边界应力）和裂纹尺寸 a 的函
数．由 K1 a 和 GI a 2 /E' 可得
K I2 GI E' 平面应力, E ' E ; 平面应变，E ' E / 1 2
（平面应力）－－波桑比 ' / 1 （平面应变）
KI r 2 u cos 1 ' 1 'sin G 1 ' 2 2 2 KI r sin 2 1 ' cos G 1 ' 2 2 2
3 x cos 1 sin sin 2 2 2 2r KI 3 y cos 1 sin sin 2 2 2 2r


Leabharlann Baidu3-9
式中
K1 a
E G 21 μ
G ——切变摸量， E——杨式模量
KI 1 3 x cos 1 ' 1 'sin cos 2G 1 ' 2r 2 2 KI 1 3 y cos 1 ' 1 'sin cos 2G 1 ' 2r 2 2 （平面应力） x y z E （平面应变） 0 K 1 3 I xy sin cos cos 2G 2r 2 2 2


（3－12）
以（3－12）式代入（3－11）式得到屈服条件为
（平面应力） （3－13） 2 KI 3 2 2 2 2 2 1 2 cos sin 2 （平面应变） s 2r 2 2 K I2 2 2 2 cos 1 3 sin s 2r 2 2
在考虑有塑性变形的断裂时，如同（3—3）式，应有能量平衡 式：
U U sp U e 4a c p
a 2 2 1 2
E
2 2
（3－6）
2 a 1 U U sp U e 4 c p a a a E
对脆断事故分析表明：①要求材料中不存在任 何缺陷，是不现实的；②工程中对塑性、韧性的要 求，几乎完全是经验性的，从理论上只能认为是一 种安全储备，是相当模糊的概念。
为此，人们开始着力研究带裂纹体的力学 状态，其表征参量及材料的相应性能指标。 进而在工程中能够从理论上计算出具体带裂 纹零件能安全地承受多大载荷；或者在确定 载荷条件下的缺陷容限；或者通过计算裂纹 的扩展速率而预计零件的安全寿命。
第三章 脆断的三个特点：
断裂力学基本概念
①结构的宏观应力一般均低于屈服强度，有时甚至 不到 s ； ②脆断往往从应力集中处（如冶金缺陷或工艺加工 缺陷……）特别是裂纹和深缺口处启裂； ③厚大件，在低温下或快速加载更易于发生脆断。
2
为防止脆断，对材料提出了更高的塑性和韧性 要求；并且要求加工制造工艺上保证消除各种缺陷， 特别是裂纹；在设计方面则是利用弹性力学的方法 将零件中的应力集中作充分的分析。
变场的强度，故叫做线弹性应力强度因子。
对于其它形状的裂纹，如单边缺口拉伸，三点
弯 曲 …… 等 情 况 ， 可 以 有 类 似 的 结
果 K a 。其中φ为裂纹组态、试样几何 I 的函数。在图3—7条件下， 。对于Ⅱ、Ⅲ 型裂纹的KⅡ、KⅢ 也有类似的结果。
由（3—9）式可知，属于 xy 0 的面θ=0处:
U sp c p c
于是发生裂纹扩展的条件（3－46）式变为

2 E c p
1 2 a

2 E c p
1 2 a
此式说明，当板中已有裂纹长度为2a时。一旦标称 应力达到(3—5)式所示水平，裂纹即会失稳扩展．或者 说：在应力为σ的条件下，允许板中心垂直于σ方向存 在的裂纹长度不得达到或超过2a，否则将发生裂纹的自 动扩展。
设如图 3—5 所示，一块两端刚性固定，承受 着均匀拉应力σ的大板，或者说有一块远边界应力
为σ的无限大板．若在此单位厚度板的中心产生出
一条垂直于应力σ的穿透裂纹，其长度为2a，则体
系增加了表面能
U s 4a
为单位表面能，即表面张力.
而根据弹性力学，此时体系释放出的弹性能为
Ue
2
第三节
应力强度因子KI和断裂韧性KIc
一、裂纹尖端附近应力应变场与应力强度因子KI 利用弹性力学可得到裂尖的应力应变场。对于 图3—7所示受力状态的I型穿透裂纹体大板，依据 应力应变间的线弹性原理推导得出裂纹尖端附近 各点 r , 的应力、应变、位移分量表达如下：
（平面应力状态） 0 z x y （平面应变状态） KI 3 xy sin cos cos 2 2 2 2r KI