小升初奥数专题第六讲图形面积

第六讲图形面积

简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.

上面左图是边长为 4的正方形，它的面积是 4×4＝ 16（格）；右图是 3×5的长方形，它的面积是 3×5＝ 15（格）.

上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是 5×4÷2＝ 10（格）；右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2＝8（格）.这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.

上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是 5× 3＝ 15（格）；右图是一个梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面积是

（4+7）×4÷2＝22（格）.

上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米；如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.

6.1 三角形的面积

用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：

三角形面积= 底×高÷2.

这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.

例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢？

解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.

三角形ABD面积=4×高÷2.

三角形 ADC面积=2×高÷2.

因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.

例2 右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.

解： BC＝ 2＋ 4＋ 2＝ 8.

三角形 ABC面积= 8× 4÷2＝16.

我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.

三角形 DFE面积= 16÷4＝4.

例3 右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.

解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.

而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是

FE×BE÷2，

它恰好是长方形ABEF面积的一半.

同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形（阴影部分）面积之和是它的面积的一半.

因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是

20×12÷2＝120.

通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形（阴影部分）的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.

例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD（阴影部分）的面积是多少？

解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.

对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此

面积=4×10÷2＝ 20.

对三角形 ADC来说， DC是底边，高是 8，因此

面积=7×8÷2＝28.

四边形 ABCD面积= 20＋ 28＝ 48.

这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.

例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE＝3，DF＝2，求三角形BEF的面积.

解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积

三角形 ABE面积=3×6×2＝ 9.

三角形 BCF面积= 6×（6-2）÷2＝ 12.

三角形 DEF面积=2×（6-3）÷2＝ 3.

我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：

三角形 BEF面积=6×6-9-12-3＝12.

例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD（阴影部分）的面积.

解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE 与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD 的面积.

把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7×2÷2＝7.

因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7÷2＝3.5.

因为 BE＝ 8是 CE＝ 2的 4倍，三角形 MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE 面积是

3.5×4＝1

4.

长方形 ABCD面积=7×（8＋2）=70.

四边形 ABMD面积=70-7- 14＝ 49.

6.2 有关正方形的问题

先从等腰直角三角形讲起.

一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角（90度），还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.

两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图（a）.四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图（b）.

一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图（a）知，它的面积是

直角边长的平方÷2.

当知道它的斜边长，从图（b）知，它的面积是

斜边的平方÷4

例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.

解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2＝32.

这一个图形的面积是

32＋16＋ 8＋ 4 ＋ 2＋1＝ 63.