数学56《解斜三角形》教案(沪教版高一)

5.6 (3) 解斜三角形
上海市杨浦高级中学 杨玉珠
一、教学内容分析
本节课是高中数学第五章三角比中第三单元的第三节课，学生已在前两节学习了正弦定理和余弦定理，知道了任意三角形的边角满足的数量关系式，这节课是利用这两个定理来解决实际生活的相关问题.
本小节的重难点是如何利用正弦定理、余弦定理来解决斜三角形，能够正确审题，将实际问题数学化是关键.通过本节课的学习更加明确数学来源于生活，又服务于生活. 二、教学目标设计
加深理解正弦定理和余弦定理的内容：任意三角形的边角数量关系及其应用.体验正弦定理、余弦定理解决实际问题的过程； 深刻理解任意三角形的边角数量关系并灵活运用定理解三角形；通过实际问题的解决，感受数学与生活的密切关系，激发学习数学的热情，增强学习数学的动力.
三、教学重点及难点 教学重点
用正弦定理、余弦定理解斜三角形问题. 教学难点
用适当的方法解斜三角形及计算问题. 四、教学流程设计
12、正弦定理的两个应用：
（1）已知三角形中两角及一边，求其他元素；
（2）已知三角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素. 3、余弦定理及其变形：在ABC ∆中有：A bc c b a cos 22
2
2
-+=
B ac c a b cos 2222-+=
C ab b a c cos 2222-+=
.2cos ,2cos ,2cos 2
22222222ab
c b a C ac b a c B bc a c b A -+=-+=-+=
4、 余弦定理的两个应用：
（1）已知两边和它们的夹角，求其他的边和角；
（2）已知三边，求三个内角.
[说明]学生回答. 二、学习新课 1、例题解析
例1、已知∆ABC 中，∠A 0
60=，=3a ,求sin sin sin a b c
A B C ++++
解：设sin
sin a b A B =(>o)sin c
k k C ==
则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =
从而
++++==++++sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c k A k B k C
k A B C A B C
又sin a
A
=
03
2sin60k
==，所以
++=++2sin sin sin a b c
A B C
[说明]在∆ABC 中，等式sin sin a b A B =sin c
C == ()++=>++0sin sin sin a b c
k k A B C
恒成立.
这个k 是∆ABC 的外接圆直径,即k=2R.
例2、C B A b a c ABC ,,326,62,34，求中，在+===∆ 解：由已知，,b c a <<得B 最大，由余弦定理得
22
sin sin ,105,0426cos 0===∴<--
=b B c C B B 再由正弦定理得，
又0
0001054530,45,====∴>B C A C c b 于是
例3如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC 的长度（如图）．已知车厢的最大仰角为60°，油泵顶点B 与车厢支点A 之间的距离为1.95m ，AB 与水平线之间的夹角为6°20′，AC 长为1.40m ，计算BC 的长（保留三个有效数字）．
[说明] 最大仰角是车厢立起的最大角度．
解：已知△ABC 的两边AB ＝1.95m ，AC ＝1.40m ，夹角A ＝66°20′，
由余弦定理，得
C
A
B
60o
620'
o
答：顶杆 约长1.89m.
[说明] 由学生解答，教师巡视并对学生解答进行讲评小结．
例4、如下图是曲柄连杆机构的示意图，当曲柄CB 绕C 点旋转时，通过连杆AB 的传递，活塞作直线往复运动，当曲柄在CB 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A 在A 处，设连杆AB 长为340mm ，由柄CB 长为85mm ，曲柄自CB 按顺时针方向旋转80°，求活塞移动的距离（即连杆的端点A 移动的距离
）（精确到1mm ）
[说明]：B 与0B 重合时，A 与0A 重合，故C A 0＝AB ＋CB ＝425mm ，且A A 0＝ C A 0－AC ．
解：已知△ABC 中， BC ＝85nun ，AB ＝34mm ，∠C ＝80°，
在△ABC 中，由正弦定理可得：
因为BC ＜AB ，所以A 为锐角
A ＝14°15′
∴ B ＝180°－（A ＋C ）＝85°45′
又由正弦定理：
答：活塞移动的距离约为81mm ．
例5、如图：在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端C 对于山坡的斜度为15︒，向山顶前进100m 后，又从点B 测得斜度为45︒，假设建筑物高50m ，求此山对于地平面的斜度θ. 解：在△ABC 中，AB = 100m , ∠CAB = 15︒, ∠ACB = 45︒-15︒ = 30︒
由正弦定理：οο
15sin 30
sin 100BC
= ∴BC = 200sin15︒ 在△DBC 中，CD = 50m , ∠CBD = 45︒, ∠CDB = 90︒ + θ 由正弦定理：
)
90sin(15sin 20045sin 50θ+︒︒
=︒ ⇒cos θ =13- ∴θ = 42.94︒
例6、某船在距救生艇A 处10 海里的C 处遇险，测得该船的方位角为45︒，还测得该船正沿方位角105︒的方向以每小时9 海里的速度向一小岛靠近，救生艇以每小时21 海里的速度前往营救，试求出该救生艇的航向及与它们相遇所需时间. 解：设所需时间为t 小时， 在点B 处相遇（如图）
在△ABC 中，∠ACB = 120︒,
AC = 100, AB = 21t, BC = 9t
由余弦定理：(21t)2 = 102 + (9t)2 - 2×10×9t×cos120︒ 整理得：36t2 -9t - 10 = 0 解得：12
5,3221-==t t （舍去）
由正弦定理：1433322123)329(sin sin 120sin =⨯
⨯
⨯=
∠⇒∠=CAB CAB
BC AB ο
143
3arcsin
=∠∴CAB
例7、我舰在敌岛A 南偏西50°相距12海里的B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追
上敌舰？
[说明]已知三角形的两边和它们的夹角，求第三边及其余角
45︒
105︒
A
B
C A
D
C B θ
45︒ 15︒ 50
100
解：如图，在△ABC 中由余弦定理得：
∴我舰的追击速度为14海里/小时.
又在△ABC 中由正弦定理得：
故我舰行的方向为北偏东 )14
3
5arcsin
50(-︒ 三、课堂小结
解斜三角形应用题的一般步骤是：
1、分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
2、建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
3、求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
4、检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
即解斜三角的基本思路
五、课后作业略。