第二章 粘性流体

由对称性，显然有
在这种情况下，柱坐标中的纳维-斯托克斯方程给出 两个方程：
后一方程有
形式的解，将它代入方程得 处，
，所以 在
根据边界条件确定常数a和b：在 处 。求得速度分布为
对于
。
的情形，有
，即流体随柱 ，得
面刚性旋转。当不存在外柱面时
作用在柱面上的摩擦力矩表达式如下：
作用在外柱面上的力矩
显然是
设 是无穷远处流体的压力，则流体作用在球 上的压力是
ห้องสมุดไป่ตู้
利用上述公式，计算运动流体作用在球上的力 （或阻 力）， 的方向显然平行于速度 。
这个公式称为斯托克斯公式，它给出球在流体中缓慢运动时 所受的阻力。注意到，阻力与速度和物体线度的一次方成正 比。
阻力对速度和物体线度的这种依赖关系对其它形状物体 的缓慢运动也是适用的。作用在任意形状物体上阻力的方向
最后，提一下非定常流。要描述一个确定类型的非定 常流的特征，不仅要由量 ，而且还要有表示其流动 特征的某时间间隔 ，后者确定流动的变化率。例如，当 浸没在流体中的确定形状的固体，按一定的规律振动时， 就可以是振动的周期。由 这四个量，我们又可
以组成两个独立的无量纲量，这两个量可以是雷诺数以及 斯特鲁哈数
其中等式右边第一项是普通的流体压力，而第二项是由于 粘性引起的作用在固体表面上的摩擦力。式中 是单位 矢量，它沿流体界面的外法线，即沿固体表面的内法线。
在流体的自由面上，必须满足条件
下面给出柱坐标和球坐标中应力张量分量的表 达式和纳维-斯托克斯方程。在柱坐标 中 应力张量的分量是
纳维-斯托克斯方程的三个分量方程和连续方程为
经简单推导，我们最后得到不可压缩流体中的能量耗散 率为
耗散导致机械能的减少，即一定有 上式积分总是正的，因此我们断定粘性系数 的。
。但 总是正
第三节 管道中的流动
下面讨论不可压缩粘性流体运动的一些简单问题。 设流体介于两个平行平板之间，一个平板相对于另一 个平板以等速 运动。取其中一个平板为xz平面，x轴指 向 方向。显然，所有的量只依赖于 ，并且各处的流体速 度都指向x方向。对于常定流，由纳维-斯托克斯方程 可得
高等流体力学
同济大学机械工程学院 朱彤
第二章 粘性流体
主要内容： 1、粘性流体的运动方程 2、不可压缩流体中的能量耗散 3、管道中的流动 4、两个旋转圆柱面之间的流动 5、相似律 6、斯托克斯公式 7、层流尾迹 8、悬浮流体的粘性 9、粘性流体运动方程的精确解 10、粘性流体中的振动运动
第一节 粘性流体的运动方程
计算后得，
此外，经计算，作用在一块固定平板上的摩擦力为
最后来研究管道中的定常流，管道的横截面是任 意的，但沿管道全长上的横截面都相同。取管轴为x轴， 显然每一点的流体速度都指向x轴方向，且仅仅是y和z 的函数。连续性方程自然满足，而纳维-斯托克斯方程 的y和z分量又给出 ，即在管道的整个 横截面上，压力是常数。 而由方程 压力梯度可以写成 而 是它的长度。 得， ;所以 ，这里 是管道两端的压差，
这样，管内流动的速度分布由 程确定。这个方程必须在管道截面的周线上 条件下求解。 经推理得，
形式的二维方 的边界
所以横截面上的速度分布是抛物线的。
至于流量的确定，由于每秒通过截面上环形面元 的质量为 ，因而
所以，流量正比于管径的四次方（泊肃叶公式）。
第四节 两个旋转圆柱面之间的流动
现在研究两个无限长同轴圆柱面之间流体的运动， 柱面的半径分别为 绕其轴旋转。取柱坐标 ，并分别以角速度 其z轴沿着柱面的轴线，
在流体动力学方程组（纳维-斯托克斯方程组）里，就表
征流体本身特性的参数而言，只出现运动粘性系数 。还 有，求解这个方程组所必须确定的未知函数是速度 和 ， 这里 是压力 与不变密度 的比值。再者，流动依赖于在流 体中运动的物体的形状、尺寸以及它的速度。这些都作为边界 条件制约流动。由于物体形状假定是已知的，它的几何特性可 由一个线度加以确定，用 表示这个线度。设来流速度为 。 对于任何流动都是由 和 这三个参数确定的。这些量的量 纲如下：
与速度方向是不同的， 与
关系式的一般形式可写成
这里 张量
是与速度无关的二阶张量。要注意这个张量是对称 ；这个结果是在速度取线性近似的情况下才
保持正确，并且这个结果是作为有消散过程的缓慢运动所使 用的普遍规律的一个特殊情况。 另外要注意，刚才对球体绕流所得的解，在远离球体
的地方，即使是雷诺数很小时，也是不适用的。
。
第五节 相似律
在研究粘性流体运动时，通过对各种物理量的量纲
作简单分析，可以获得一些重要的结果。 在这种情况下，就说形状相同的物体是几何相似： 即这些物体之间可按同一比例改变其中一个物体的所有 线度而得到另一个。因此，假如物体的形状是给定的，
只要指出其中任何一个线度，就足以确定其全部尺寸。
现在，我们将考虑定常流。例如，若讨论绕固体的流动 （为确定起见，下面我们将讨论这种情况），则来流速度应 为常数。此外还假设流体是不可压缩的。
有效的；然而，欧拉方程需要修正。
粘性流体的运动方程可以在“理想”动量通量方程上 加上一项 求得，这一项给出流体中动量的不可逆 “粘性”传递。于是，粘性流体中动量通量密度张量写成，
其中张量
写成，
称为应力张量，而 称为粘性应力张量，它代表与运 动流体质量一起迁移的直接的动量传递无关的那部分动 量通量。
第七节 层流尾迹
在粘性流体绕固体的定常流动中，在物体后面较远地 方的流动具有某些特征，我们可以独立地研究这些特征， 而不涉及物体的具体形状。
用 表示来流的恒定速度，取 的方向为 轴，原 点取在物体内某处。任一点的实际流速可写成 ， 在无穷远出， 为零。
研究发现，在物体后面较远的地方，只有在 轴附 近相当窄的范围内，速度 才显著地异于零。这个区域 就称为层流尾迹，只有沿着十分靠近物体的流线运动的 流体质点才能进入这个区域。因而尾迹中的流动本质上
们的雷诺数相同，则速度 与比值 的函数关系是相同的。 凡只要改变坐标和速度的量度单位，就可从一个流动得到另
一个流动，我们就称这些流动是相似的。因而具有相同雷诺
数的同类流动是相似的。这就叫做相似律。
类似的，我们可以写出流体中的压力分布公式。为 此，我们必须由参数 和 作出某个量纲为压力除以密
度的量，比如，这个量可以是 。于是， 变量 和无量纲参数R的函数，所以
通常，
可写成如下形式，
常数 和
称为粘性系数，并且这两个数都是正的。
只要将
加到欧拉方程
的右边，即可得到粘性流体的运动方程。
因而，粘性流体运动方程最一般的形式是，
但在大多数情况下，流体中的粘性系数变化不大，可 当作常数，因而有，
但，
于是，粘性流体的运动方程可写成矢量形式，如下
若流体可看作是不可压缩流体，则上式可简化为，
经推导得，
因为对不可压缩流体有 可把右边的第一项写成散度的形式：
方括号中的式子就是流体中的能量通量密度。第 一项 第二项 是由于流体质量在实际上有传递而 是由于内摩擦过程引起的能量通量。因为 ；但是动量的传递总 引起的能量通量，并且与理想流体中的能量通量相同。 粘性的存在引起了动量通量 与速度的标积。
易得，由以上三个量只能构成一个无量纲量，即 个组合称为雷诺数，用R表示：
。这
任何其它的无量纲参数都可写成R的函数。 现在我们就用 和 来分别量度长度和速度，引进无量 纲变量 和 。因为唯一的无量纲参数是雷诺数，显
然解不可压缩流方程所得的速度分布由
形式的函数给出。
由上式可以看出，在同一类型的两个不同流动中，若它
是无量纲
最后，类似的考虑也可适用于这样一些量：它们描写 流动的特性，但不是坐标的函数。例如作用在物体上的阻
力F就是这样一个量。我们可以说，阻力F与用
组成的并具有力的量纲的某个量之比必定只是雷诺数的函 数。比如， 组合成力的量纲可以是 。因而
若重力对流动有重要作用，则流动不是由三个参数确 定，而是由 和重力加速度 这四个参数确定。由 这四个参数可构成两个独立的无量纲量，而不是一个。比 如，这两个量可以是雷诺数和弗劳德数，弗劳德数为
因此，
，
。对 和
和 。于是
（ 是面板间距
离），必须分别有
所以流速分布是线性的。平均流速可定义为
即
易得作用在每块平板上的力的垂直分量就是 用在 平板上的切向摩擦力是
；而作
作用在
平板上得切向摩擦力是
。
其次，讨论有压力梯度的情况下，在两个固定的平
行板之间的定常流。选择和前面一样的坐标系；x轴指向 流体运动方向。因为速度显然只依赖于y，所以纳维-斯托 克斯方程给出：
现在来研究流体运动期间发生的能量耗散对流体运动 本身的影响。这个过程是流体运动的热力学不可逆性的结
果。这种不可逆性在某种程度上总要发生，它是由内摩擦
（粘性）和导热引起的。
为了求得描述粘性流体运动的方程，必须在理想流体运 动方程中附加上某些项。关于连续方程，由其推导过程可以 看出，它对任何流体，无论是粘性还是非粘性流体都是同样
是包含着能量的传递，并且能量通量显然等于动量通量
若在某个体积V上对
积分，得到
右边第一项给出体积V中流体动能的变化率，，这个变化 率是由于通过体积V的界面的能量通量引起的。因此第二 项积分就是单位时间内耗散引起的动能减少。
若将积分扩展到流体的整个区域，则面积分为零（因 为在无穷远处速度为零），于是得到整个流体中单位时间 所耗散的能量是
此方程称为纳维-斯托克斯（Navier-Stokes）方程。
对于不可压缩流体，应力张量取下面的简单形式
我们看到，不可压缩流体的粘性只由一个系数确定。 因为大多数流体实际上都可当作是不可压缩的。所以这 个粘性系数 是有普遍重要性的。比值