二项式定理高考题型归类及求解

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二项式定理高考题型归类及求解

二项式定理有关知识是每年高考必考内容之一。本文就近年来的高考试题中二项式

定理题型进行归纳总结，并对解法进行探讨，供参考。

一、求二项式展开式中指定项

在二项展开式中，有时存在一些特殊的项，如常数项、有理项、整式项、系数最大

的项等等，这些特殊项的求解主要是利用二项展开式的通项公式，然后依据条件先确定

r的值，进而求出指定的项。

1.求常数项

例1 （2006年山东卷）已知宀-的展开式中第三项与第五项的系数之比为

3_

,其中一，则展开式中常数项是（

A. —45i

B. 45i

C. —45

D. 45

解：第三项、第五项的系数分别为1，由题意有

整理得.1 ■ _…一一［一 _

解得n=10 设常数项为

\ 20-2r-I = O

则有-

得r=8

故常数项为-Jl' 1、，选D。

2.求有理项

的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式

中所有的有理项。

解：展开式的前三项的系数分别为

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该展开式中系数最大的项。

解：由只有第五项的二项式系数最大，可知展开式共有

代亠丄U =

c

i

则由题意可得

-

即.-I'- I J -

解得n=8 （n=1舍去）

是;7川'

4-三"2

\

若

为有理项，则

' ，且」U-,所以r=0，4, 8。

故展开式中所有的有理项为

玉 T 9=A X -

8

»

256

3.求幕指数为整数的项

()

A. 3项

B. 4项

C. 5项 （伍+

例3

（2006年湖北卷）在

D. 6项

的展开式中，x 的幕指数是整数的项共有

解： 」

所以r=0，6，12，18，24时，x 的幕指数为整数，故选 4.求系数最大的项

C

。

例4已知

n E K*

的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，求

设第r+1项的系数最大，则有

9项，故n=8

解得〕U

又'三■"，所以r=2或r=3

所以二项式的展开式中系数最大的项是

5 7 X

.剋・7品T4 -7K*

二、求三项式或多项的和或积的展开式中指定项\

有些三项式展开问题可以先通过变形转化为二项式展开问题加以解决，对于多项的和或积的二项式问题，可通过“搭配”解决，但要注意不重不漏。

（兰丄Q \例5 （2005年湖北卷）2瓷的展开式中整理后的常数项为________________ 。

梵1 厂,++ 2 5[（x + 72J3]5（x + J2"）10

（-4-4 冋'=（ ----------------------------- ）、------------------------- 解：-

对于二项式'''■''的展开式中

T询

要得到常数项需10—r=5，贝U r=5

\ * 一（州事近

'\所以常数项为尸2

例6 （2005年浙江卷）在W ' （•宀展开式中，含的

项的系数是（）

A. 74

B. 121

C. —74

D. —121

解：」叮亠"的展开式中，含▼的项为-：1 1

雳（-对行U；（7）睥4（-对一-12品，故选D。/

三、求展开式中某一项的二项式系数或系数

此类问题仍然是利用二项式的通项公式「■:来加以求解，但在解题中要注意某一项

的二项式系数与系数的区别。

例7 （2006年北京卷）在尺發的展开式中，以的系数是__________________________________

（用数字作答）

解：「一1 -：

f f \

令- ，得r=1

所以「的系数为| '■'：o

四、求展开式中的系数和\

在涉及到求展开式中所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题时，通常可

以根据题目的结构特征，选择“赋值法”来加以解决。

例8 （2004年天津卷）若I “ ：一：一…I「丄」…：：-,

则（W +召”（牝+ （牝*a3）+ ,lh+（召 + a ioo4）= ____________________ （用数字作答）。

解：取x=0,得

取x=1，得老I] 4…+畑4 ■ © - 2严&

(a t +a L)+(a0+ a.2) + (a0 +a3) + "- + (a0+ 2O03a o+ 伽 + » +■*俪)

=2003+仁2004

五、近似计算、证明整除及求余数问题

近似计算要首先注意精确度，然后选取展开式中前几项进行计算。用二项式定理证明整

除及求余数问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式来展开，常采用“配凑法”，

“消去法”，结合整除的有关知识来解决。

例9 （2002年全国卷）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“ 2001 年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长%”，如果“十•五”期间（2001年一2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为（）

A. 115000 亿元

B. 120000 亿元

C. 127000 亿元

D. 135000 亿元

解：设到“十•五”末我国国内年生产总值为A，由复利公式或等比数列通项公式，得A= ?5333（14 7.3%）4\ /

対55933（1 + 4x0.073 +（5 x lj：D732）/

fx 127000 \ /

故选C

例10 （1992年三南高考题）9®除以100的余数是_________________________ o