知识点223 欧拉公式(解答)
知识点223 欧拉公式(解答)
1、（2009•凉山州）观察下列多面体，并把下表补充完整．观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式．考点：欧拉公式。
专题：图表型。
分析：三棱柱的顶点数为：3×2=6，棱数为：3×3=9，面数为：2+3=5；四棱柱的顶点数为：4×2=8，棱数为：4×3=12，面数为：2+4=6；五棱柱的顶点数为：5×2=10，棱数为：5×3=15，面数为：2+5=7；六棱柱的顶点数为：6×2=12，棱数为：6×3=18，面数为：2+6=8．∴a+c﹣b=2．解答：解：规律为a+c﹣b=2．点评：可先由简单图形得到解决问题的方法．2、（2006•烟台）下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的（1）我们知道，图（a）的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图（b）、（c）、（d）、（e）中木块的顶点数、棱数、面数填入下表；（2）上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式．考点：欧拉公式。
专题：规律型。
分析：（1）小题，只要将图（b）、（c）、（d）、（e）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内；（2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可．点评：命题立意：考查平均数的求法，搜集信息的能力（读表），作图能力及用样本估计总体的统计思想．3、（1）图①是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图②、③、④、⑤的木块．我们知道，图①的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图②、③、④、⑤中木块的顶点数、棱数、面数填人下表：（2）观察此表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数虽关系是：顶点数+面数﹣棱数=2．（3）图⑥是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图②～⑤不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为8，棱数为6，面数为3．考点：欧拉公式。
欧拉公式原理
欧拉公式原理
复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。
拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于1640年由Descartes 首先给出证明，后来Euler(欧拉)于1752年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。
欧拉公式的证明
由此：，，然后采用两式相加减的方法得到：
，
.这两个也叫做欧拉公式。
将
中的x取作π就得到：
这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π；两个单位：虚数单位i和自然数的单位1；以及被称为人类伟大发现之一的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”。
欧拉公式的意义推论欧拉公式怎么用世界上最完美的公式
欧拉公式：V+FE=2 （简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F）（1）E=各面多边形边数和的一半，特别地，若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：；（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：。
欧拉公式又称为欧拉定理，也称为尤拉公式，是用在复分析领域的公式，欧拉公式将三角函数与复数指数函数相关联，之所以叫作欧拉公式，那是因为欧拉公式是由莱昂哈德·欧拉提出来的，所以用他的名字进行了命名。
尤拉公式提出，对任意实数 x，都存在其中 e是自然对数的底数， i是虚数单位，而 \cos和 \sin则是余弦、正弦对应的三角函数，参数 x则以弧度为单位。
这一复数指数函数有时还写作 {cis}(x)（英语：cosine plus i sine，余弦加i正弦）。
由于该公式在 x为复数时仍然成立，所以也有人将这一更通用的版本称为尤拉公式。
莱昂哈德·欧拉出生于1707年4月15日，死于公元1783年9月18日，莱昂哈德·欧拉是一位来自于瑞士的数学家和物理学家，是近代著名的数学家之一，此外，莱昂哈德·欧拉还有力学，光学和天文学上都作出了重大的贡献。
莱昂哈德·欧拉被认为是18世纪，世界上最杰出的数学家，也是史上最伟大的数学家之一，而且莱昂哈德·欧拉还有许多的著作，他的学术著作就多达6080册。
他对微分方程理论作出了重要贡献。
他还是欧拉近似法的创始人，这些计算法被用于计算力学中。
此中最有名的被称为欧拉方法。
在数论里他引入了欧拉函数。
自然数 n的欧拉函数被定义为小于n并且与 n互质的自然数的个数。
在计算机领域中广泛使用的RSA公钥密码算法也正是以欧拉函数为基础的。
在分析领域，是欧拉综合了戈特弗里德·威廉·莱布尼茨的微分与艾萨克·牛顿的流数。
他在1735年由于解决了长期悬而未决的贝塞尔问题而获得名声：其中是黎曼函数。
欧拉公式和球(整理2019年11月)
二、球的概念和性质
（1）球的概念 定义：半圆以它的直径为旋转轴旋转所 成的曲面叫做球面，球面所围成的几何 体叫球体，简称球。
（2）球的元素
球心：球中形成球的半圆的圆心叫做球心， 一个球用表示它的球心的字母来表示，如球O，
O R
球的半径 ：
连接球心和球面上的任意一点的线段 叫做球的半径，如半径OA、OB等
球的直径：
连接球面上的两点并
A
且经过球心的线段叫
做球的直径。如直径
AB
B
球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，同时 还包括球面所包围的空间。
用一个平面去截一个球，截面是圆面， 球的截面有如下性质：
性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面。
离与球的半径R及 截面的半径，有如下关系式：
多面体欧拉公式、球
一、多面体欧拉公式
１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面 体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一 个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑 不变性。
V是顶点数，F是面数，E是棱数。
多面体和正多面体：
棱柱和棱锥都是一些平面多边形围成的几 何体，若干个平面多边形围成的几何体， 叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫 做多面体的面。两个面的公共边叫做多面 体的棱。若干个面的公共顶点叫做多面体 的顶点。
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。）
一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体就是一种正多面体。
欧拉公式的几种形式
欧拉公式的几种形式复变函数中，e^(ix)=(cos x+isin x)称为欧拉公式，e是自然对数的底，i是虚数单位。
拓扑学中，在任何一个规则球面地图上，用 R记区域个数，V记顶点个数，E记边界个数，则 R+ V- E= 2，这就是欧拉定理，它于一六四零年由 Descartes首先给出证明，后来Euler(欧拉 )于一七五二年又独立地给出证明，我们称其为欧拉定理，在国外也有人称其为Descartes定理。
欧拉公式的三种形式为：分式、复变函数论、三角形。
1、分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)，当r=0,1时式子的值为0，当r=2时值为1，当r=3时值为a+b+c。
2、复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx,然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2。
这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0。
这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
3、三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr。
欧拉公式PPT课件
物理学
ห้องสมุดไป่ตู้工程学
在物理学中，欧拉公式用于描写波动、振动和波动方程的解。
在电气工程、控制系统等领域，欧拉公式用于分析交流电和交流信号的特性。
03
02
01
03
CHAPTER
欧拉公式的证明
通过解析几何的方法，利用向量和复数的几何意义，推导欧拉公式。
解析几何法
利用三角函数的周期性和对称性，通过三角恒等式推导出欧拉公式。
在量子力学中，波函数是描写粒子状态的重要工具。通过波函数的模平方，可以计算出粒子在某个位置出现的概率。欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了重要的作用，它可以将复指数函数转化为三角函数，使得波函数的计算变得更加简单和准确。
总结词：欧拉公式在量子力学中的波函数计算中发挥了关键的作用，使得波函数的计算更加准确和高效。
05
CHAPTER
欧拉公式的应用实例
VS
傅里叶变换是信号处理和通讯领域中的重要工具，它可以将时间域的信号转换为频域的信号，从而更好地分析信号的特性和频率成分。欧拉公式在傅里叶变换中扮演着关键的角色，它提供了将复指数函数转化为三角函数的方法，使得傅里叶变换的计算变得简单和高效。
总结词：欧拉公式在傅里叶变换中的应用使得信号处理和通讯领域的研究更加便利和高效。
三角函数法
利用幂级数的性质和运算规则，通过幂级数展开式推导出欧拉公式。
幂级数法
通过代数运算和恒等变换，利用复数的代数情势和性质，推导欧拉公式。
代数法
利用微积分的基本定理和性质，通过微积分运算推导出欧拉公式。
微积分法
利用矩阵的运算规则和性质，通过矩阵变换推导出欧拉公式。
矩阵法
通过几何图形和空间向量的性质，利用几何图形变换和向量运算，推导欧拉公式。
欧拉公式8个数学公式
欧拉公式8个数学公式欧拉公式，也称为Euler’s Formula，是一个有关解决复杂数学问题的有用工具。
它涉及到拓扑学、数学和物理学的概念，是数学家们最深入的思考和最深刻的结果之一。
欧拉公式由拉丁数学家欧拉发现，它将拓扑学和复数分析的概念结合在一起，来解决在各种数学模型中发现的数学问题。
它的关键是将拓扑学中的度数概念与复数分析中的幅角概念结合在一起，换句话说，就是将“角度”与“比值”相结合，从而推导出一系列有用的数学公式。
欧拉公式有很多不同的形式，其最经典的形式是：e^(i*θ) = cos(θ) + i*sin(θ)其中，e是自然对数的底数，i是复数单位根，θ是一个幅角。
该公式表明了复杂数学问题的解决方案，并且可以用来推导一系列相关的数学公式。
例如，欧拉公式可以用来推导出下列数学公式：(1) cos(θ +) = cos(θ)*cos(φ) - sin(θ)*sin(φ)(2) sin(θ +) = sin(θ)*cos(φ) + cos(θ)*sin(φ)(3)量条件：|a+b|2=|a|2 +|b|2(4)量共轭：a*b = |a| |b| cos(θ)(5)向余弦：cos(θ) = a*b/(|a|*|b|)(6)量叉乘：a*b = |a|*|b| sin(θ)(7)向量：a * b * c = |a| * |b| * |c|(8)转矩阵：cos(θ) -sin(θ)sin(θ) cos(θ)在复数分析、拓扑学和物理学中，欧拉公式都很有用，并且在许多领域都得到了广泛应用。
它提供了连接拓扑学中角度概念和复数分析中比值概念的桥梁，为解决许多复杂的数学问题提供了可能。
欧拉公式的引入让拓扑学的应用更加广泛，在电路设计、机器学习和科学计算等领域中都得到了广泛的应用。
比如，欧拉公式可以用来解决电路设计的复杂的数学问题，根据欧拉公式可以计算出电路中的约束条件，从而更好地解决电路设计中的问题。
此外，由于欧拉公式可以解决科学计算中的复杂数学问题，它也被广泛应用于机器学习和人工智能等领域。
欧拉公式和球
连接球面上的两点并 且经过球心的线段叫 做球的直径。如直径 AB
A
B
球面仅仅指球的表面，而球体不仅包括球的表面，同时 还包括球面所包围的空间。
用一个平面去截一个球，截面是圆面， 球的截面有如下性质：
性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面。
O C B A
α
D
性质2：球心到截面的距离与球的半径R及 截面的半径，有如下关系式：
把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他 各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体．否则叫非凸多面体．
一个多面体至少有四个面，多面体依照 它的面数分别叫做四面体、五面体、六 面体。（三棱锥是四面体、三棱柱是五 面体，正方体是六面体。） 一般的，每个面都是有相同边数的正多 边形，且以每个顶点为其一端都有相同 数目的棱的凸多面体，叫正多面体。例 如，正方体就是一种正多面体。
4、 把地球当作半径为 R的球，地球上的两点 A、B 的纬度都是北纬 45 ，A、B两点间的球面距离为
0
3
R，A在东经20 处，求B点的位置。
0
5、 已知球O的半径为 1，A、B、C三点都在球面 上，且每两点间的球面 距离均为 ，则球心O到 2 平面ABC的距离为 （ B ）
1 A、 3
3 B、 3
r R d
2
2
①当d=0时，截面过球心，此时截面的面积最大， 此圆叫球的大圆，球面被经过球心的平面截得的圆 叫做大圆．
②当d=R时，平面与球相切． ③与球心距0<d<R平面与球面截得的圆， 叫小圆．
不过球心的截面截得的圆叫球的小圆．
球面的距离
在球面上，两点之间的最短连线的长度，就是 经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长 度，这个弧长叫做两点的球面距离．
欧拉公式的介绍及利用其求220V工频交流电有效值的详细步骤
超越数：自然对数的底 e，圆周率 π，两个单位：虚数单位 i 和自然数的单位 1，以及被称为人类伟大发现之一的 0。数学 家们评价它是“上帝创造的公式” 实例练习：推导出为什么幅值为 311V，频率为 50Hz 的工频交流电的有效值是 220V 有效值就是与直流电相当的电压能量，求解思路是让此交流电对电阻做功个周期内做功为 为 V2/R，工频 频交流电 u=311 1*sin(2*π*50* *t)，即：
把 sin2(2*π*50*t)用 用欧拉公式化为指数形式：
，对 对此式求积分
又因为
欧拉公式，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
e^( j*θ)=cosθ+j*sinθ e^(-j*θ)=cosθ-j*sinθ 由以上两式可以推导出： cosθ=(e^( j*θ)+e^(-j*θ))/2 以及 sinθ=(e^( j*θ)-e^(-j*θ))/(2*j) e^( j*π)=-1 e^( j*π/2)=j 这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个
，
所以，
所以 V=220V V
欧拉公式简介
欧拉公式e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”那么这个公式的证明就很简单了，利用上面的e^±ix=cosx±isinx。
那么这里的π就是x，那么e^iπ=cosπ+isinπ=-1那么e^iπ+1=0这个公式实际上是前面公式的一个应用[1]欧拉公式欧拉公式有4条（1）分式：a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复数由e^iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e^iθ-e^-iθ）/2icosθ=（e^iθ+e^-iθ）/2此函数将两种截然不同的函数---指数函数与三角函数联系起来，被誉为数学中的“天桥”。
知识点223 欧拉公式(选择)
1、一个直棱柱有12个顶点，那么它的面的个数是（）A、10个B、9个C、8个D、7个考点：欧拉公式。
分析：一个直棱柱有12个顶点，说明它的上下底面是两个六边形，从而可以确定它的面的个数．解答：解：直棱柱有12个顶点，一定是六棱柱，所以它的面的个数是8个．故选C．点评：n棱柱有2n个顶点，有（n+2）个面，有3n条棱．2、正多面体的面数、棱数、顶点数之间存在着一个奇妙的关系，若用F，E，V分别表示正多面体的面数、棱数、顶点数，则有F+V﹣E=2，现有一个正多面体共有12条棱，6个顶点，则它的面数F等于（）A、6B、8C、12D、20考点：欧拉公式。
专题：计算题。
分析：根据题意中的公式F+V﹣E=2，将E，V代入即解．解答：解：∵正多面体共有12条棱∴E=6∴F=2﹣V+E=2﹣6+12=8．故选B．点评：解决本题的关键是正确的审题，合理利用题目中给出的公式解答．3、正四面体的顶点数和棱数分别是（）A、3，4B、3，6C、4，4D、4，6考点：欧拉公式。
分析：正四面体也就是正三棱锥，根据三棱锥的侧面是三个三角形围成和底面是一个三角形的特征，可以判断它的顶点数和棱数．解答：解：正四面体的顶点数和棱数分别是4，6．故选D．点评：掌握三棱锥的侧面是三个三角形围成和底面是一个三角形的特征，即三棱锥共有4个面，三个侧面，一个底面．4、设长方体的顶点数为v，棱数为e，面数为f，则v+e+f等于（）A、26B、2C、14D、10考点：欧拉公式。
专题：计算题。
分析：根据长方体的概念和特性进行分析计算即解．解答：解：长方体的顶点数v=8，棱数e=12，面数f=6．故v+e+f=8+12+6=26．故选A．点评：解决本题的关键是明白长方体的构造特征为：长方体有6个面，8个顶点，12条棱．5、一个多面体的顶点数为v，棱数为e，面数为f，下列4种情况中肯定不会出现的情况是（）A、v，e，f都是奇数B、v，e，f都是偶数C、v，e，f中两奇一偶D、v，e，f中两偶一奇考点：欧拉公式。
欧拉公式相关知识点
欧拉公式1122001001232e cos sin ,)()........().....a,b,a ;()()()1..........2!3!!12!ix n n n n n n nix ix x i x ib ib ib a ab bib ix ix ix e ix n ix e ===++++++++==+=+++++=-+∑∑东风冷雪。
欧拉公式：来龙去脉。
由复数构成的复数项级数(a a a 假设(1)实部构成的级数收敛(2)虚部构成的级数收敛则复数项级数收敛2321......(1)....(......(1))(2)!3!(21)!cos sin ,cos sin cos ,sin 22n n n n ix ix ix ix ix ixx x x i x n n e x i x e x i xe e e e x x +----++-++-+=+=-+-==212x ()12()1()212112y'''040,,,(0),=e [cos sin ]=e [cos sin ],1y ()e cos 2i i xi x x i x x x py qy p q r i r i y e y e y e x i x y e x i x y y y y αβαβαβααβαααβαβββββββ+-+-++=-<=+=-≠===+=-=+= （）东风冷雪欧拉公式的运用。
在二阶微分方程中。
当特征方程由共轭复根。
现在欧拉公式就派上用场了。
之间共轭关系取212121y ()e sin 2y'''=0y e (sin cos )x x x y y x py qy c x c x ααβββ=-=+++ 说以特解为=()()12***12*1212*'''()'''()'''0,'''()'''()(),()[cos sin ],m ()cos sin iw x iwxk x m m m m y py qy f x y py qy f x y py qy y py qy f x y py qy f x f p x e f p x e y y y y x e R wx R wx R R f x A wx B wxy x λλλ+-++=++=++=++=++====+=+=+=的通解等于通解，加上特解。
欧拉公式
欧拉公式欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式之一。
其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式——将复数、指数函数与三角函数联系起来；拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。
此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等。
中文名欧拉公式外文名Eulers formula应用数学发现人欧拉目录1简介2分式3复变函数4平面几何5拓扑学▪空间中的欧拉公式▪平面上的欧拉公式6初等数论7物理学1简介（Euler公式）在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年）发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。
[1]2分式当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c[2]3复变函数，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”。
的证明：因为…在的展开式中把x换成±ix.所以将公式里的x换成-x，得到：，然后采用两式相加减的方法得到：，.这两个也叫做欧拉公式。
将中的x取作π就得到：.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e[1] ，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”。
[2]4平面几何设△ABC的外心为O，内心为I，外接圆半径为R，内切圆半径为r，又记外心、内心的距离OI为d，则有（1）式称为欧拉公式.为了证明（1）式，我们现将它改成（2）式左边是点I对于⊙O的幂：过圆内任一点P的弦被P分成两个部分，这两个部分的乘积是一个定值，称为P关于⊙O的幂。
事实上，如图3.21，如果将OI延长交圆于E、F，那么因此，设AI交⊙O于M，则因此，只需证明或写成比例式为了证明（5）式，应当寻找两个相似的三角形。
欧拉公式的证明(整理)
欧拉公式的证明
着名的欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ是人们公认的优美公式。
原因是指数函数和三角函数在实数域中几乎没有什么联系，而在复数域中却发现了他们可以相互转化，并被一个非常简单的关系式联系在一起。
特别是当θ=π时，欧拉公式便写成了e^(iπ)+1=0,就这个等式将数中最富有特色的五个数0，1，i,e,π,绝妙地联系在一起
方法二：见复变函数第2章，在整个负数域内重新定义了sinzcosz而后根据关系推导出了欧拉公式。
着个才是根基。
由来缘于此。
方法一是不严格的。
来源：网络转载
再请看这2个积分
∫sqrt(x^2-1)dx=x*sqrt(x^2-1)/2-ln(2*sqrt(x^2-1)+2x)/2
∫sqrt(1-x^2)dx=arcsin(x)/2+x*sqrt(1-x^2)/2;
上式左边相当于下式左边乘以i
于是上式右边相当于下式右边乘以i
然后化简就得到欧拉公式
这个证明方法不太严密
但很有启发性
历史上先是有人用上述方法得到了对数函数和反三角函数的关系然后被欧拉看到了,才得到了欧拉公式
来源：网络转载。
知识点223 欧拉公式(填空)
知识点223 欧拉公式(填空)1、一个五棱柱有个7 面，15 条棱，10 个顶点．考点：欧拉公式。
分析：根据棱柱的特性：n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点．解答：解：故五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点．故答案为7，15，10．点评：本题主要考查n棱柱的构造特点：（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点．2、伟大的数学家欧拉发现并证明的关于一个多面体的顶点（V）、棱数（E）、面数（F）之间关系的公式为V+F﹣E=2 ．考点：欧拉公式。
分析：根据一个多面体的顶点、面数、棱数的关系：顶点+面数﹣棱数=2，列出公式即可．解答：解：伟大的数学家欧拉发现并证明的关于一个多面体的顶点（V）、棱数（E）、面数（F）之间关系的公式为V+F﹣E=2．点评：熟记一个多面体的顶点、面数、棱数的关系式：顶点+面数﹣棱数=2．3、正方体或长方体是一个立体图形，它是由 6 个面，12 条棱，8 个顶点组成的．考点：欧拉公式。
分析：正方体和长方体属于四棱柱．根据棱柱的特性即可解．n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点．解答：解：根据以上分析：正方体或长方体是由6个面，12条棱，8个顶点组成．故答案为6，12，8．点评：本题需注意正方体或长方体可看作四棱柱，按照棱柱的构造特点来做．4、长方体由 6 个面12 条棱8 个顶点．考点：欧拉公式。
分析：长方体属于四棱柱根据四棱柱的概念及特性即可解．解答：解：长方体属于四棱柱，四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点．故答案为6，12，8．点评：可把长方体看作四棱柱根据棱柱的构造特点来做．5、一个多面体有12条棱，6个顶点，则这个多面体是八面体．考点：欧拉公式。
分析：根据常见几何体的结构特征进行判断．解答：解：一个多面体有12条棱，6个顶点，为8面体，每个面都是三角形．故答案为八面体．点评：本题考查四棱柱的结构特征，是一道简单的基础题．6、长方体有8 个顶点，12 条棱， 6 个面．考点：欧拉公式。
欧拉公式——精选推荐
在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler，公元1707-1783年）发现的，它们都叫做欧拉公式，它各个数学分支之中。
⑴分式里的欧拉公式：当时式子的值为；当时值为；当时值为。
⑵复变函数论里的欧拉公式：，是自然对数的底，是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位将公式里的换成，得到：，然后采用两式相加减的方法得到：，。
这两个也叫做欧拉公式。
将中的取作就得到：。
这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式。
它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底，圆周率；两个单位：虚数单位和自然数的单位，以及数学里常见的。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
⑶三角形中的欧拉公式：设为三角形外接圆半径，为内切圆半径，为外心到内心的距离，则：。
⑷拓扑学里的欧拉公式：，是多面体的顶点个数，是多面体的面数，是多面体的棱的条数，面体的欧拉示性数。
如果可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀成一个球面），那么；如果同胚于一个接有个环柄的球面，那么。
叫做的拓扑不变量，是拓扑学研究的范围。
⑸初等数论里的欧拉公式：欧拉函数：是所有小于的正整数里，和互素的整数的个数。
是一个正整数。
欧拉证明了下面这个式子：如果的标准素因子分解式是，其中众都是素数，而且两两不等。
则。
利用容斥原理可以证明它。
此外还有很多著名定理都以欧拉的名字命名。
欧拉公式和球
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多面体欧拉公式、球
一、多面体欧拉公式
１、欧拉公式V+F－E=2，是描述简单多面 体的顶点数、面数、棱数之间特有规律的一 个公式，这个规律是简单多面体的一种拓扑 不变性。
V是顶点数，F是面数，E是棱数。
多面体和正多面体：
最简单的欧拉公式
最简单的欧拉公式欧拉公式，又称为欧拉恒等式，是数学中一条非常重要的公式，被认为是数学史上最美丽的公式之一。
它由瑞士数学家欧拉在18世纪中叶提出，并被广泛应用于数学、物理和工程等领域。
欧拉公式的形式为e^ix = cos(x) + isin(x)，其中e是自然对数的底，i是虚数单位，x是一个实数。
这个公式将三个基本的数学常数e、i和π联系在一起，展示了它们之间的深刻关系。
欧拉公式的意义在于它建立了复数与三角函数之间的联系。
复数可以用实部和虚部来表示，而欧拉公式将复数的指数形式与三角函数的表达式相结合，使得复数的运算更加便捷。
欧拉公式的证明相对复杂，涉及到级数展开和复数运算等知识，这里我们不展开讨论。
欧拉公式在数学中的应用非常广泛。
首先，它用于解决各种数学问题，如微积分、线性代数和概率论等。
其次，它在物理学中有着重要的地位，特别是在量子力学中的波函数描述中起到了关键作用。
此外，欧拉公式还被应用于电路分析、信号处理、图像处理等工程领域。
除了欧拉公式的基本形式e^ix = cos(x) + isin(x)，还存在着一些等价的形式。
例如，e^ix = cos(x) + isin(x)可以写成e^(ix) - cos(x) - isin(x) = 0，这就是著名的欧拉方程。
欧拉方程是一个具有深刻含义的方程，它将自然对数、虚数、三角函数和常数e联系在一起，展示了数学的美妙之处。
总结一下，欧拉公式是数学中一条非常重要的公式，它将自然对数、虚数和三角函数紧密地联系在一起，展示了数学的深刻内涵。
欧拉公式不仅在数学中具有重要的地位，还被广泛应用于物理和工程等领域。
欧拉公式的美丽和优雅使得它成为数学史上的经典之作，也激发了人们对数学的探索和研究。
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1、（2009•凉山州）观察下列多面体，并把下表补充完整．观察上表中的结果，你能发现a、b、c之间有什么关系吗？请写出关系式．考点：欧拉公式。
专题：图表型。
分析：三棱柱的顶点数为：3×2=6，棱数为：3×3=9，面数为：2+3=5；四棱柱的顶点数为：4×2=8，棱数为：4×3=12，面数为：2+4=6；五棱柱的顶点数为：5×2=10，棱数为：5×3=15，面数为：2+5=7；六棱柱的顶点数为：6×2=12，棱数为：6×3=18，面数为：2+6=8．∴a+c﹣b=2．解答：解：规律为a+c﹣b=2．点评：可先由简单图形得到解决问题的方法．2、（2006•烟台）下列图形中，图（a）是正方体木块，把它切去一块，得到如图（b）（c）（d）（e）的（1）我们知道，图（a）的正方体木块有8个顶点、12条棱、6个面，请你将图（b）、（c）、（d）、（e）中木块的顶点数、棱数、面数填入下表；（2）上表，各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数量关系可以归纳出一定的规律，请你试写出顶点数x、棱数y、面数z之间的数量关系式．考点：欧拉公式。
专题：规律型。
分析：（1）小题，只要将图（b）、（c）、（d）、（e）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内；（2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可．点评：命题立意：考查平均数的求法，搜集信息的能力（读表），作图能力及用样本估计总体的统计思想．3、（1）图①是正方体木块，把它切去一块，可能得到形如图②、③、④、⑤的木块．我们知道，图①的正方体木块有8个顶点，12条棱，6个面，请你将图②、③、④、⑤中木块的顶点数、棱数、面数填人下表：（2）观察此表，请你归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数虽关系是：顶点数+面数﹣棱数=2．（3）图⑥是用虚线画出的正方体木块，请你想象一种与图②～⑤不同的切法，把切去一块后得到的那一块的每条棱都改画成实线，则该木块的顶点数为8，棱数为6，面数为3．考点：欧拉公式。
专题：规律型。
分析：（1）只要将图（b）、（c）、（d）、（e）各个木块的顶点数、棱数、面数数一下就行；数的时候要注意：图中不能直接看到的那一部分不要遗漏，也不要重复，可通过想象计数，正确填入表内；（2）通过观察找出每个图中“顶点数、棱数、面数”之间隐藏着的数量关系，这个数量关系用公式表示出来即可．（3）按要求做出图形，注意是与图②～⑤不同的切法，然后数出该木块的顶点数，棱数和面数即可．解答：解：（1）见表：（2）观察上表，即可归纳上述各种木块的顶点数、棱数、面数之间的数的关系是：顶点数+面数﹣棱数=2．（3）如切过之后为一长方体，所画图形如下所示：则该木块的顶点数为8，棱数为6，面数为3．故答案为：顶点数+面数﹣棱数=2；8，6，3．点评：本题考查了欧拉公式的知识，同时考查了平均数的求法，搜集信息的能力（读表），作图能力及用样本估计总体的统计思想．4、如图，左面的几何体叫三棱柱，它有五个面，9条棱，6个顶点，中间和右边的几何体分别是四棱柱和五棱柱．（1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；（2）五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；（3）你能由此猜出，六棱柱、七棱柱各有几个顶点，几条棱，几个面吗？（4）n棱柱有几个顶点，几条棱，几个面吗？考点：欧拉公式。
专题：规律型。
分析：结合已知三棱柱、四棱柱和五棱柱的特点，可知n棱柱一定有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱．解答：解：（1）四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面；（2）五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面；（3）六棱柱有12个顶点，18条棱，8个面；七棱柱有14个顶点，21条棱，9个面；（4）n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱．点评：熟记常见棱柱的特征，可以总结一般规律：n棱柱有（n+2）个面，2n个顶点和3n条棱．5、是否存在一个有10个面、24条棱和18个顶点构成的棱柱？若存在，请指出是几棱柱；如果不存在，请说明理由．考点：欧拉公式。
分析：一个直棱柱有18个顶点，说明它的上下底面是两个九边形，从而可以确定它的面的个数．解答：解：由棱柱的特性可知：不存在一个有10个面、24条棱和18个顶点构成的棱柱．因为有18个顶点构成的棱柱是九棱柱，它有9+2=11个面、3×9=27条棱．点评：本题主要考查n棱柱的构造特点：（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点．6、每四年一次的世界杯足球赛吸引了众多的球迷，实际上国际足联规定的足球是由一块块正五边形、正六边形的皮缝制而成的．若将之视作一个多面体，则它的面数f、棱数e、顶点v之间存在着一个关系式f+v﹣e=2，若已知棱数为48，顶点数为24，则面数必为多少？考点：欧拉公式。
分析：把e=48，v=24直接代入所给关系式即可．解答：解：∵f+v﹣e=2且v=24，e=48，∴f=2+e﹣v=2+48﹣24=26，故面数必为26面．点评：本题考查几何体面数，顶点数，棱数之间的关系．7、已知一个多面体的各个面都是五边形，你能运用欧拉公式证明这个多面体的顶点数V，棱数E，面数F之间有2V=3F+4的关系吗？试试看吧!考点：欧拉公式。
专题：探究型。
分析：根据各个面都是五边形的多面体的构造特点及欧拉公式V+F﹣E=2可证．解答：解：一个多面体的各个面都是五边形，这个多面体E=F+F=F，∵V+F﹣E=2，∴V+F﹣F=2，∴2V=3F+4．点评：本题考查几何体面数，顶点数，棱数之间的关系．8、“每四年一次的世界杯足球赛吸引了众多的球迷，今年的世界杯西班牙队夺冠，不仅仅成就了西班牙足球的全新高度，也是足球世界的大事．自1998年以来，12年里，世界足坛再没有迎来新的霸主．此前，夺取过世界杯冠军的球队只有7支：巴西五次加冕（1958年、1962年、1970年、1994年、2002年）、意大利四次称雄（1934年、1938年、1982年、2006年）、德国三次登顶（1954年、1974年、1990年），阿根廷两次抡元（1978年、1986年），乌拉圭两次夺冠（1930年、1950年），法国（1998年）、英格兰（1966年）各自夺冠一次．如今，西班牙光荣的成为历史上第八支世界杯冠军球队．这意味着，世界杯的历史已被突破！”实际上国际足联规定的足球是由一块块正五边形、正六边形的皮缝制而成的．若将之视作一个多面体，则它的面数f、棱数e、顶点v之间存在着一个关系式f+v﹣e=2，若已知棱数为48，顶点数为24，则面数必为多少？考点：欧拉公式。
分析：把e=48，v=24直接代入所给关系式即可．解答：解：∵f+v﹣e=2且v=24，e=48，∴f=2+e﹣v=2+48﹣24=26，故面数必为26面．点评：本题考查用待定系数法求未知字母的解．对于任一凸多面体均满足f+v﹣e=2这一关系式．9、仔细观察下面的正四面体、正六面体、正八面体，解决下列问题：（1）填空：①正四面体的顶点数V=4，面数F=4，棱数E=6．②正六面体的顶点数V=8，面数F=6，棱数E=12．③正八面体的顶点数V=6，面数F=8，棱数E=12．（2）若将多面体的顶点数用V表示，面数用F表示，棱数用E表示，则V、F、E之间的数量关系可用一个公式来表示，这就是著名的欧拉公式，请写出欧拉公式：V+F﹣E=2．（3）如果一个多面体的棱数为30，顶点数为20，那么它有多少个面？考点：欧拉公式。
专题：规律型。
分析：（1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可．（2）根据（1）中，多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得V、F、E之间的数量关系式．（3）根据（2）中，顶点数，面数和棱数之间的关系式，代入求解即可．解答：解：（1）①4，4，6；②8，6，12；③6，8，12；（2）V、F、E之间的数量关系是：V+F﹣E=2；（3）解：设面数为F，则20+F﹣30=2解得F=12答：它有12个面．点评：本题考查的是多面体的定义，关键点在于：多面体指四个或四个以上多边形所围成的立体．10、（1）三棱锥有6条棱，4个面，四棱锥有8条棱，5个面；（2）十五棱锥有30条棱；（3）有没有一个多棱锥，其棱数是2006，若有求出有多少个面；若没有，说明理由．考点：欧拉公式。
专题：几何图形问题。
分析：（1）四棱锥侧面有4条棱，底面有4条棱，共有8条棱；侧面有4个面，底面有1个面，共有5个面；（2）共有30条棱，那么底面有15条棱，是十五棱锥；（3）棱数是2006，只能分为侧面为1003条棱，底面为1003条棱，这个几何体共有1004个面．解答：解：（1）四棱锥有8条棱，5个面；（2）十五棱锥有30条棱；（3）一个多棱锥的棱数是2006，则这个多面体的面数是2006÷2+1=1004．故有1004个面．故答案为：8，5；十五．点评：本题考查有规律的寻找多面体的棱及面的特点．熟记棱锥图形的特征是解决此类问题的关键．11、根据多面体顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的关系（V+F﹣E=2），判断是否存在满足以下条件的多面体．（1）4个顶点，4个面，8条棱；（2）14个顶点，9个面，21个棱．考点：欧拉公式。
专题：计算题。
分析：根据多面体顶点数（V）、面数（F）和棱数（E）之间的关系（V+F﹣E=2），即可得出答案．解答：解：（1）V+F﹣E=4+4﹣8=0≠2，所以不存在满足条件（1）的多面体．（2）V+F﹣E=14+9﹣21=2，所以存在满足条件（2）的多面体．点评：本题考查了欧拉公式的知识，属于基础题，注意对欧拉公式的熟练掌握．12、多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）四面体 4 4 6长方体8 612正八面体68 12正十二面体20 12 30…V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格，你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是V+F﹣E=2．（2）一个多面体的面数与顶点数相等，有12条棱，这个多面体是七面体考点：欧拉公式。
专题：规律型。
分析：（1）观察图形，结合多面体的顶点、面和棱的定义进行填空即可．根据多面体的顶点数，面数和棱数，总结规律可得V、F、E之间的数量关系式．（2）根据（1）中，顶点数，面数和棱数之间的关系式，代入求解即可．解答：解：（1）四面体的棱数为6；长方体的面数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V+F﹣E=2；（2）由题意得：F+F﹣12=2，解得F=7．．故答案为：V+F﹣E=2；7．点评：本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．13、新年晚会，是我们最欢乐的时候．会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．多面体顶点数（V）面数（F）棱数（E）正四面体 4 4 6正方体正八面体正十二面体正二十面体12 20 30（3）伟大的数学家欧拉（Euler 1707﹣1783）证明了这一令人惊叹的关系式，即欧拉公式．若已知一个多面体的顶点数V=196，棱的条数E=294．请你用欧拉公式求这个多面体的面数．考点：欧拉公式。