级离散数学IA卷详细答案

北京化工大学试卷2004.6

离散数学（参考答案）

一、填空题（共10分，每小题2分）

1.∃xF(x)→∀yG(y,z)的前束范式是∀x∀y(F(x)→∀yG(y,z) ) 。

2.(p→q)∨p是（永真/永假/可满足）永真式。

3.设全集E={1,2,3,4,5,6}，其子集A={1,4},B={1,2,5}，则A∩~B= {4} 。

4.设集合M={a,b,c,d,e}，则M上一共有52个不同的等价关系。

5.设f：N×N→N，f () = x+y+1，令A={ | x,y∈N且f ()=3}，则A的列举法表示为A= {<1,1>,<2,0>,<0,2>} 。

二、判断题（共10分，每小题2分，正确的在题号前打√，错误的在题号前打×）( √) 1.设X={a,b,c,d}，Y={1,2,3}，f={,,}，则f 是从X 到Y 的二元关系，但不是从X 到Y 的函数。

( ×) 2.已知A和B为两个集合，且A⊆B，则A∉ B一定为假。

( √) 3.设p,q,r,s为命题公式，如果p ⇔q且r ⇒s，则p∧r ⇒ q∧s。

( ×) 4.一个谓词公式，如果量词均出现在全式的开头，则称该谓词公式为前束范式。

( √) 5.设R是A上的自反关系，且当∈R和∈R时，必有∈R，则R是A上的等价关系。

三、选择题（共10分，每小题2分）

1.设个体域为整数集，P(x,y)：x+y = 1，Q(x,y)：x×y > 0，下列命题为真的是（ A ）。

A、∀x∃ y P(x,y)

B、∃ x∀yP(x,y)

C、∀x∃ y Q(x,y)

D、∃ x∀yQ(x,y)

2.设R是集合A上的自反关系，则下列叙述中不成立的是（ C ）。

A、R︒R-1一定是A上的自反关系

B、R︒R-1一定是A上的对称关系

C、R︒R-1一定是A上的传递关系

D、仅有A和B是正确的

3.下列命题真值为真的是（ A ）。

A、2>3当且仅当5>7

B、2>3当且仅当5<7

C、2+2≠4与4+4=8互为充分必要条件

D、如果π无理数，则3也是无理数，反之亦然

4.下列每组两个集合中相等的一组集合是（ A ）。

A、A={3,1,1,5,5}，B={1,3,5}

B、A=∅，B={∅}

C、A=∅，B={x | x∈N且x是偶素数}

D、A={1,2,∅}，B={1,2,{∅}}

5.在谓词演算中，若谓词公式中含有自由变元，则不能被使用的规则是（ C ）。

A、US规则

B、UG规则

C、ES规则

D、EG规则

四、简答及计算题（共30分，每题10分）

1．采用真值表求命题公式(p∧q)∨(~p∧r)的主析取范式和主合取范式。

解：求解过程（4分）

主析取范式（3分）：(p∧q)∨(~p∧r)⇔m1∨m3∨m6∨m7⇔(~p∧~q∧r)∨(~p ∧q∧r)∨(p∧q∧~r)∨(p∧q∧r)

主合取范式（3分）：(p∧q)∨(~p∧r)⇔M0∨M2∨M4∨M5=(p∨q∨r)∧(p∨~q ∨r)∧(~p∨q∨r)∧(~p∨q∨~r)

2．设A={a,b,c,d,e,f }，R是A上的二元关系，其关系定义如下：

R={< a,b >,< b,c >,< c,a >,< e,f >,< f,e >} 求最小自然数s和t，使得s < t 且R s=R t。

解：求解过程（6分）

R={< a,b >,< b,c >,< c,a >,< e,f >,< f,e >}

R2={< a,c>,< b,a >,< c,b >,< e,e >,}

R3={< a,a>,< b,b >,< c,c >,< e,f >,< f,e>}

R4={< a,b>,< b,c >,< c,a >,< e,e >,< f,f >}

R5={< a,c>,< b,a >,< c,b >,< e,f >,< f,e >}

R6={< a,a>,< b,b >,< c,c >,< e,e >,< f,f >}

（4分）因此有：R6=I A= R0

即：s =0，t=6

3．如图为偏序集的哈斯图。

（1）给出X和≤的集合表示（6分）；

（2）求该偏序集的极大元、极小元、最大元和最小元（4

解：X ={a,b,c,d,e,f }

X ={,,,,,,,,}∪I X 极大元e,f，极小元a，最大元不存在，最小元a

五、证明题（共40分，每题10分）

1．采用形式证明推理证明下式：

已知：∀x(~P(x)→Q(x))，∀x(Q(x)→ ~R(x))，∃xR(x)

结论：∃xP(x)

解：

（1）∃xR(x) P

（2）R(c) ES（1）

（3）∀x(Q(x)→ ~R(x)) P

（4）Q(c)→ ~R(c) US（3）

（5）~Q(c) T（2）（4）f d

a e

（6）∀x(~P(x)→Q(x)) P

（7）~P(c)→Q(c) US（6）

（8）P(c) T（5）（7）

（9）∃xP(x) EG（8）

2．设A,B,C为集合，已知(A∩C)⊆(B∩C), (A∩~C)⊆(B∩~C),证明：A⊆B。解：

A= A∩(C∪~C)

=(A∩C)∪(A∩~C)

⊆(B∩C)∪(B∩~C)

= B∩(C∪~C)

=B

故：A⊆B

3．采用形式证明法证明下面的推理：

如果周强是上海人，则他是复旦大学或中山大学的学生；如果他不想离开上海，他就不是中山大学的学生；周强是上海人并且不想离开上海，所以他是复旦大学的学生。

解：

令：p：周强是上海人，q：周强是复旦大学的学生，r：周强是中山大学的学生，s：周强想离开上海。（3分）

前提：p→(q∨r)，~s→~r，p∧~s

结论：q（3分）

（4分）

（1）p∧~s P

（2）~s T（1）

（3）~s→~r P

（4）~r T（2）（3）

（5）p→(q∨r) P

（6）p T（1）