几何画板在圆锥曲线中的应用举例

几何画板在《圆锥曲线》中的应用举例

高二数学组刘中维

在《圆锥曲线方程》这一章中，一些曲线的图像、性质都比较抽象，学生难以理解和接受，如双曲线的渐进线、圆锥曲线的离心率与开都的关系、一些数形结合的题目等，只凭学生的想象力是很难理解掌握有关图像的性质和图像之间的相互关系的，若我们只借助尺规作图的方法画图，一般难以达到满意的效果，还容易把图像画错。但若我们能利用《几何画板》精确的画图功能、动画功能加以演示，将能引起学生的学习兴趣，帮助学生的理解，提高学生对平面图形的想象思维能力，起到事半功倍的作用。下面举几个用几何画板解决圆锥曲线问题的例子。

一、在“几何画板”中作直线与圆锥曲线的交点

在“几何画板”中可以直接作出直线与直线的交点，直线与圆的交点以及圆与圆的交点．但不能直接作出直线与圆锥曲线的交点．本文介绍直线与圆锥曲线的交点制作、制作原理，该制作过程适合三种圆锥曲线．首先是三个工具的制作：工具一已知直线AP，A在圆锥曲线上，求作直线AP与圆锥曲线的另一个交点B．(以椭圆为例)

、、、，作DE与PA交于点L，作AF 作图过程在椭圆上任取4个点C D E F

与CD交于点M，作LM与EF的交点N，作NC与直线PA的交点B，则点就是直线PA与椭圆的交点（如图1）．

图1 图2

制作成工具（命名为工具一）就可以直接使用，先决条件是圆锥曲线、点A、点P，不需要其它的，适合椭圆、双曲线、抛物线．

制作原理 任意圆锥曲线的内接六边形的三组对边的交点P 、Q 、R 共线（以

椭圆为例，如图2）．（帕斯卡定理）

工具二 过圆锥曲线外一点作两条切线．

作图过程

2.1 若P 为椭圆外任意一点，以

1F 为圆心，2a 为半径作辅助圆，以P 为圆心，2PF 为半径作圆与辅助圆交于点Q R 、，分别取2QF 、2RF 的中点

A B 、，则PA PB 、为所求的切线，1QF 与PA 的交点、1RF 与PB 的交点为对应切点（如图4）．

作图过程2.2 若P 为双曲线外任意一点，以

1F 为圆心，2a 为半径作辅助圆，以P 为圆心，2PF 为半径作圆与辅助圆交于点Q R 、，分别取2QF 、2RF 的中点

A B 、，PA PB 、为所求的切线． 1QF 与PA 的交点、1RF 与PB 的交点为对应切点（如图5）．

作图过程2.3 若P 为抛物线外任意一点，以P 为圆心，PF 为半径作圆与准线交于点Q R 、，分别取QF RF 、的中点A B 、，PA PB 、为所求的切线．过点Q 作准线的垂线与PA 的交点、过点R 作准线的垂线与PB 的交点为对应切点（如图6）．

把过圆锥曲线外一点作两条切线的过程制作成工具，需要说明的是要分成两个工具：（1）对于椭圆双曲线，工具先决条件是两个焦点

1F 、2F 、长度2a 的线段、点P ；（2）对于抛物线，工具的先决条件是焦点

1F ，准线，点P ；为了叙述

方便，统一称之为工具二． 图4 图5 图6

工具三 已知点P 不在圆锥曲线上，求作点P 的极线．(有关极点、极线问题在《高等几何》中有详细地说明，此处利用的是它们的性质)

作图过程 在圆锥曲线上任取两点A D 、，利用工具一作直线PA PD 、与圆锥曲线的另一个交点B C 、，连结AC BD 、交于E ，AD BC 、交于F ，就得到了点P 的极线EF （如图7）；如果点P 在圆锥曲线内也按此法，因为圆锥曲线内接四边形ABCD 中，点P 的极线是EF ，点E 的极线是PF ，点F 的极线是PE ．制作成工具(命名为工具三) ，先决条件是圆锥曲线、点P ．

作图问题 已知两点P Q 、不在圆锥曲线上，求作PQ 与圆锥曲线的交点

A B 、．

（1）利用工具三作出点P 的极线，（如图8、图9两种情况）；

（2）同理利用工具三作出点Q 的极线，两条极线相交于点R ；

图10 图11

（3）利用工具二，过点R 作圆锥曲线的两条切线（如图10、图11）； 图7 图9

图8

、即为所求交点．

（4）两切线与直线PQ相交得到交点A B

以上过程亦可制作成工具．

、，只要能预先作制作原理要想得到直线PQ与圆锥曲线相交的交点A B

、为切点的两条切线就可以了，设两切线相交于点R，而过点R作出以交点A B

圆锥曲线的切线问题已经由作图问题二解决；这个点R其实是直线ABPQ的极点，根据极线和极点的“点U在点V的极线上移动时，点U的极线也绕点V而

、两点的极线的交点来确定．

转动”这一性质，我们知道点R也是由P Q

二、和两圆都相切的圆心的轨迹

（一）、制作结果

如图：单击“动画”按钮，D点在圆周上运动，从而圆（C，D）的大小和位置不断发生改变，但始终和圆C1和圆C2相切，圆心C的轨迹是双曲线。圆C1和圆C2的圆心和半径都能改变，轨迹也会改变，甚至不是双曲线，您想试试？

（二）、思路分析

如果按尺规作图的思路，和已知两圆相切要分为同时外切、内切、一内一外。几何画板号称动态几何，其构造的思路会复杂吗？我们先来看其中一种情况：已知两圆和圆C2上任一点D，求作一圆和两已知圆都外切。看看下图，是如何确定圆心C的？分析作图步骤：

（三）、操作步骤

1、构造两已知圆的半径画一条水平直线AB，在直线上画三点C、D、E；隐藏点A、B。→画线段（D，C）(D，E),并把线段DC和线段DE的标签分别改为R、r（想一想为什么在直线上画点，而不直接画线段）

2、构造圆心画一条水平直线FG，隐藏点F、G→在直线上画点H、I（这两点就是已知圆的圆心）

3、构造已知圆画圆（H，线段R）画圆（I，线段r）

4、构造辅助圆画直线（I，J），其中J为圆I上任一点J→画圆（J，线段R）→画圆J和直线IJ的交点为L。

5、构造所求圆作线段（H，L）→作线段HL的中垂线→作直线IJ和中垂线的交点K→作圆（K，J）

6、作轨迹（K，J）

7、作J点的动画

8、隐藏辅助线，修饰课件。