第一次数学危机

从第三个量的倍数大于、等于或小
于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个 量的倍数的相应关系”。
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“两个量的比相等”的这一定义，是正确的、严
格的，部分地解决了危机，使几何的基础牢靠了，
几何从全部数学中脱颖而出。
欧几里得的几何《原本》中也采用了这一定
义，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是
全部严密数学的基础。 但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖于数 系的扩充和实数理论的建立。
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3. 无理数与数系的扩张——危机的解决 1）有理数的稠密性
定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在
数轴上，每一个不管处于什么位臵，也不论是多么
小的区间（ a, ）中都存在着这个数集中的点。 b 定理：有理数集在数轴上是稠密的。
2）反证法的依据和步骤
依据：逻辑里的“排中律”
（命题A 与 命题非A 中，必有一个是正确
的）。
步骤：
否定原命题 → 推导出矛盾 → 原命题成立。
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3）哈代对反证法的评论
“反证法是远比任何弃子术更为高超的一种策略。 棋手可以牺牲的只是几个棋子，而数学家可以牺牲整 个一盘棋。”
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2. 定理：设 m是大于1的自然数， m m p1n prn ， 写成不同素数方幂的乘积为 则 m 是有理数 n1 nr 全是偶数。
1 4 (3n 2)
“形数”体现了数与形的结合； 让我们从又一个侧面了解“万物皆数”。
毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说，
加强了数学中的理论化倾向。
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② 多个场合下的小整数比
ⅰ产生谐音的各个弦的长度成小整数比
绷得一样紧的两根弦，若其长度成小整数
比，就会发出谐音。例如，1︰2时短弦的音高 8度，2︰3时短弦音高5度，3︰4时短弦音高4 度；当三根弦的长度之比为3︰4︰6时，就得 到谐音。
三边形数
四边形数
五边形数
六边形数
3 6 10 15
4 9 16 25
5 12 22 35

1 3 (2n 1) n

2


n(3n 2) 2
6 15 28 45
1 5 (4n 3) 2n2 n
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n(n 1) 1 2 n 2
t ，使得 a 和 d ，这里 a ， mt d nt
都是
t
的整数倍，
， 是整数. m n
a
d
t
a mt
d nt
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由 d 2 2a 2 得 n2t 2 2m2t 2 ，从而，又可以类
似于上一个证明导出矛盾。
所以，不可能存在长度为 且
t 的线段，使得 a mt
d nt 。
(约前570年—前500年）
毕达哥拉斯是公元前500多年古希腊的哲学家、 数学家、天文学家。
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毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年)
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毕达哥拉斯学派是一个宗教式的组织， 也致力于哲学与数学的研究，促进了数学和 理性哲学的发展，并对柏拉图和亚里士多德 的思想产生很大影响。
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相传“哲学”（希腊原词 意为 “智力爱好”）和“数学”（希腊原 词 意为“可学到的知识”） 这两个词是毕达哥拉斯本人所创。
如果不然，有两个正整数 m 和
n
（不妨设
n2 平方得 2 2 ，即 m
n m
是既约分数即 (m, n) 1）。两端
。 2m2 n 2
n 使 c m
由此知
n 是偶数。由于偶数的平方是偶
2
数，奇数的平方是奇数，∴
n 是偶数。
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因 n “既约”， m 数。这样 n 2 2m 2
m
不能再是偶数，于是 m 的左端，因 m
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四、反证法与无理数
1. 反证法
1）反证法的威力
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例：有数学书、物理书、外语书共十本。
证明：在这三种书籍中，有一种书籍
至少有四本。 穷举法： 数学书 10 9 9 8 8 8 7 7 7 7 „ 物理书 外语书 反证法：
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0 „
0 0
0 0 1 0 1 2 0 1 2 3„
0 „ 10
0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 „ 10 „
于是，a 与 d 就是不可公度线段。
（严重：“可公度”涉及“成比例”，进一步还涉及“相似
形”）
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3）危机产生，封锁消息
希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。 一个正方形的对角线与其 一边的长度是不可公度的
希帕索斯 (Hippasus)
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4）无理数
像 c2 2 这样的数 ，和其它一些不能表成整 c
2
一、什么是数学危机
危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学 上来看，矛盾是无处不在的、不可避免的。 人类最早认识的是自然数。从引进零及负数就经
历过斗争：要么引进这些数，要么大量的数的减法就
行不通； 引进分数使乘法有了逆运算——除法。
接着又出现了这样的问题，是否所有的量都能用
有理数来表示?于是发现无理数就导致了第一次数学
即“直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股 定理。
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《周髀算经》中的 “勾股定理”
（约公元前700年）
《周髀算经》卷上记载西周开国时期 周公与大夫商高讨论勾股测量的对 话，商高答周公问时提到“勾广三 股修四 经隅五”，这是勾股定理 的特例。
卷上另一处叙述周公后人荣方与陈 子（约公元前6、7世纪）的对话 中，则包含了勾股定理的一般形式 ：“……以日下为勾，日高为股， 勾股各自乘，并而开方除之，得邪 至日。”
、“针插不进，水泼不进”。 连续性是一个很好的性质。但是对“数系的连续 性”的概念，给出严格的数学定义，就那么容易了 。
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数系扩张为实数系以后，第一次数学危机就
彻底解决了。
因为数的范围扩充以后，“万物皆数”的命
题就是正确的了；不能表成整数比的数，即 无理数，也是实数系中的数了。
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[思]：能说“任何两个有理数之间都有 无理数”吗？为什么？
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中国数学史上最先完成勾股定理证明：
公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周髀
算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦图，
相当于运用面积的“出入相补”方法（刘
徽），证明了勾股定理。如图
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西方文献中称此定理为毕达哥拉斯 定理。 曾经有人编书，收集了勾股定理的370
种证法。
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3. 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说
1）“万物皆数”学说
①数，是世界的法则
毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整
数，同时还包含它们的比，即正分数 ②任意两条线段 a、d 都是可公度的 “可公度的”，意即有公共的度量单位 t 。
a
d
t
n m
。
a mt
d nt
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2）实例
① 形数 三边形数、四边形数、五边形数、 六边形数；
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3 第一次数学危机
1
历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的
挫折叫做危机。危机意味着挑战，危机的解决就意
味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。
数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危
机，都是数学的基本部分受到质疑。实际上，也恰
恰是这三次危机，引发了数学上的三次思想解放，
大大推动了数学科学的发展。
如果正确地把两个整数之比叫做“比数”， 那么像 一类的数称为“非比数”，还是颇 2 有道理的。
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2. “两个量的比相等”的新定义
——部分地消除了危机
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a c 两个量的比相等，即 。 b d
约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契
塔的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第
三个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量
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2）数轴
① 古代观点：数轴↔有理数
② 现代观点：数轴↔实数
0
1
2
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3）数系的扩张——危机的解决
① 自然数系 ② 有理数系 ③ 实数系
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实数系具有连续性。有理数系具有稠密性,却不具
有连续性。
数系的连续性和稠密性是两个不同的概念。
数系的稠密性，通俗说成“到处都有”、“密密
麻麻”；数系的连续性，通俗说成“一个挨一个”
“比数”的名称才正确反应了这类数是两个整数
之比的内涵。人类在认识有理数之前，唯一知道
的是自然数。那时所谓的“数”，都是自然数。
n 把由自然数产生的数 叫做比数，其实才符合古人
的原意。
m
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在东方，最早把rational number 翻译过来的 是日本人。可能是那个日本人英文不好，数 学又不太懂，把它翻译成“有理数”。而日 本文字又和汉字形似，于是中国人把这三个 字照搬过来，沿用至今，形成习惯。
数比的数，称为无理数。 那样的一 2 类数叫做无理数，即没有道理的数，原来是翻 译出了问题。 称两个整数之比为有理数，而把
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rational number 是有理数的英文名称，而rational是
一个多义词，含有“比的”，“有理的”意思。
而词根ratio来自希腊文，完全是“比”的意思。对
“rational number”正确的翻译应该是“比数”。
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2. 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献 1）数学证明的起始
泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得 证明是要有假设的: 公设、公理及定义。 许多人推测，欧几里得几何《原本》前两 卷的大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。
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2）数学抽象的提出
从实物的数与形，抽象到数学上的数与 形，本身就把数学推向了科学。