第5章二次型

第五章 1
二次型与对称矩阵
一、二次型及其矩阵
1 定义：含有n 个变量的二次齐次函数：
22
2
12111222(,,
)n nn n
f x x x a x a x a x =+++
12121313(1)1222n n n n a x x a x x a x x --+++
+
称为二次型。

为便于用矩阵讨论二次型，令ij ji a a =，则二次型为：
2
12111121211(,,
)n n n f x x x a x a x x a x x =++
+ 2
212122222n n a x x a x a x x ++++
+
2
1122n n n n nn n
a x x a x x a x ++++ ,1
n
ij i j i j a x x ==
∑
令1112
12122212
n n n n nn a a a a
a a A a a a ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥=⎢⎥
⎢
⎥⎣⎦， 12n x x x x ⎛⎫
⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，
则 12(,,
)T n f x x x x Ax =，且A 为对称矩阵。

由于对称矩阵A 与二次型f 是一一对应关系，故称对称矩阵A 为二次
型f 的矩阵，也称二次型f 为对称矩阵A 的二次型，()R A 也称为二次型
f 的秩。

第二章 2
二、线性变换
1 定义： 关系式111112212
211222
21122n n n n n n n nn n
x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=++
+⎩称为由变量12,,
n x x x 到变量
12,,
n y y y 的一个线性变量替换，简称线性变换。

矩阵111212122
212n n n n nn c c c c c
c C c c c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
称为线性变换的矩阵。

记 12
n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12n y y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则线性变换可用矩阵形式表示为：x Cy =
若0C ≠，称线性变换为非退化的，否则，称为退化的。

()()()T T T T T f x x Ax Cy A Cy y C ACy y By ====，其中T B C AC =，
而()T T T T B C AC C AC B ===
若线性变换是非退化的，便有：1y C x -=
2 标准形
定义：只含有平方项的二次型称为标准形。

显然：其矩阵为对角阵。

三、矩阵的合同
1定义：设A ，B 为n 阶方阵，如果存在n 阶非奇异矩阵C ，使得T C AC B =，
则称矩阵A 与B 合同，记为：A B 。

容易知道：二次型()T f x x Ax =的矩阵A 与经过非退化线性变换x Cy =得到的
矩阵T C AC 是合同的。

第二章 3
2 合同的性质
① 反身性：对任意方阵A 都有A A
② 对称性：如果A B ，则B A
③ 传递性：如果A B ，B C ，则A C
3 定理：任何一个实对称矩阵A 都合同于一个对角阵Λ（Λ是以A 的n 个特
征根为对角元的对角阵）。

即存在非奇异矩阵C ，使得T C AC =Λ。

四、用配方法化二次型为标准形
1 二次型中含有平方项
例 化二次型222
12312132323444x x x x x x x x x +-+--为标准形，并求出非
奇异线性变换。

解： 2
22123123234()4()4()x x x x x x x x +-+---222
223332(2)5x x x x x +-+- 222212323233(22)4()2()5x x x x x x x x =+---+-- 222123233(22)2()5x x x x x x =+----
令 11232233322y x x x y x x y x =+-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即112233122011001y x y x y x -⎛⎫⎛⎫
⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥=- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣
⎦⎝⎭⎝⎭ 令1122011001C --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则120011001C -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，于是作非奇异的线性变
换x Cy =，即112233120011001x y x y x y -⎛⎫⎛⎫
⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪
⎢⎥⎣
⎦⎝⎭⎝⎭， 则原实二次型T
x Ax 化为标准形： 222
12325y y y --
第二章 4
2 二次型中不含平方项
例 用配方法化二次型121323x x x x x x ++为标准形，并求出相应的满秩线性
变换。

解：令112
2123
3x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则原二次型化为：22
12132f y y y y =-+
再按前例的方法有：
2
2
12132f y y y y =-+
2
2
2
2
1133322y y y y y y =++-- 2
2
2
1323()y y y y =+--
令113223
3z y y z y z y =+⎧⎪=⎨⎪=⎩， 则原二次型化为：222
123f z z z =--
其中的满秩变换为两变换的合成，即：
由第一次变换11221233x y y x y y x y =+⎧⎪=-⎨⎪=⎩得： 112233*********x y x y x y ⎛⎫⎛⎫
⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥=- ⎪ ⎪
⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭
由第二次变换113223
3z y y z y z y =+⎧⎪
=⎨⎪=⎩得：
112233*********y z y z y z -⎛⎫⎛⎫
⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥= ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪
⎢⎥⎣
⎦⎝⎭⎝⎭ 所以有合成的满秩变换为：
第二章 5
111222333110110101110110010001001001x y z x y z x y z -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=- ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭
即 112233*********x z x z x z -⎛⎫⎛⎫
⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥=-- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪
⎢⎥⎣
⎦⎝⎭⎝⎭
第二章 6
化二次型为标准形
一、用矩阵的初等变换法化二次型为标准形
由于对任何方阵都存在非奇异矩阵C ，使T C AC 为对角阵；因而C 是
可逆，可表示一系列初等矩阵的乘积，设为12
s C P P P =，所以
21T T T T
s C P P P =，所以
2112
T T
T T
s s C AC P P P APP P = ①
12
12s s C PP P IPP P == ②
①式表示对实对称矩阵A 施行初等列变换就同时也施行相应的行变换，
将A 化为对角阵，②表示单位阵在相同的初等列变换下就化为C 例：用初等变换法化二次型121323x x x x x x ++为标准形，并求出相应的满
秩线性变换。

解：二次型121323x x x x x x ++的矩阵011101110A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
12112122311
21
212
111112
1220
01011011011011021021020
21
001001
001101011011011001001001001C C C C r r C C A I -++-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎛⎫=→→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
121231121212
200000
021111001r r r r --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-→⎢
⎥--⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
，所以1
2
1
2111100
1C ⎡⎤--⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，令11121
222
331111001x y x y x y ⎡⎤--⎛⎫⎡⎤
⎢⎥ ⎪⎢⎥=-⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣
⎦⎣⎦
第二章 7
原二次型121323x x x x x x ++化为222
112
3
222y y y -+ 二、用正交化方法 定理：任给
,1
n
ij i j i j a x x =∑，总有正交变换x Cy =使
f 化为标准形：
22
2
1122n n
x x x λλλ++
+（其中12,,n λλλ是对称矩阵A 特征根）
例 求一正交变换x Cy =，化二次型121323x x x x x x ++为标准形。

解：二次型的矩阵为：1
12211221122000A ⎛⎫ ⎪
= ⎪
⎪⎝⎭
由0A I λ-=，求得A 的特征根为：11λ=，1232
λλ==-， 特征根11λ=对应的特征向量为：1111ξ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
； 特征根1232λλ==-对应的特征向量为：23111,001ξξ--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
显然1ξ与23,ξξ都正交，但23ξξ与不正交。

正交化：取2322
12
(,)1
132(,)221101101ξξξξβξξ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
第二章 8
再将12,,ξξβ单位化，得
123,,0e e ξ⎛⎛ === ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
于是正交线性变换为：
1122330
x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎥⎦
使原二次型化为： 2
2
2
11123
22y y y --
注意：二次型的标准形并不唯一，这与施行的正交线性变换有关。

三、二次型的规范形
虽然二次型的标准形不唯一，但是其规范形是唯一的。

在二次型的标准形中，将带正号的项与带负号的项相对集中，使标准
形为如下形式：22
22
2
112211p p p p r r
d x d x d x d x d x ++++
+--
-
再令线性变换：(1,2,,)
(1,2,,)
i i j j
x y i r x y j r r n ⎧==⎪⎨
==++⎪⎩，则原二次型化为：
22
22
2
121p p r
y y y y y ++++--- 定义：形如上式的标准形称为二次型的规范形。

注：规范形是由二次型所唯一决定的，与所作的非退化线性变换无关。

定义：称规范形中正项的个数p 称为二次型的正惯性指标，负项个数r p -
称为二次型的负惯性指标。

r 是二次型的秩。

定理：二次型都可以经非退化线性变换化为规范形；合同的对称矩阵有相
同的规范形，其正惯性指标和秩就相等。

第二章 9
二次型与对称矩阵的有定性
一、正(负)定二次型的概念
定义：若对任意不全为零的实数12,,n x x x ，总有()0(0)T
f x x Ax =><
则称实二次型为正(负)定二次型；其矩阵A 为正(负)定矩阵。

定义：若对任意不全为零的实数12,,
n x x x ，总有()0(0)T f x x Ax =≥≤
则称实二次型为半正(负)定二次型；其矩阵A 为半正(负)定矩阵。

二、判定方法
定理1：若A B 且A 为正定矩阵，则B 也为正定矩阵。

定理2：对角阵12
n d d D d ⎛⎫
⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝
⎭
正定的充要条件是： 0(1,2,
,)i d i n >=。

定理3：对称矩阵A 正定的充要条件是：存在非奇异矩阵C ，使得T A C C =。

推论：如果A 为正定，则0A >。

定理4：实二次型()T
f x x Ax =正定的充要条件是其矩阵的各阶顺序主子
式均为正。

例 判定实二次型2
2
2
11213223322266x x x x x x x x x +++++是否正定。

解： 111123136A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，因10>，11012>，11112310136A ==>
所以实二次型f 是正定的
第二章 10
例 当t 取何值时二次型222
12312132323224x x x tx x x x x x +++-+是正定的？
解：因二次型的矩阵为：1122123t A t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
，为使所给二次型正定，A 的各阶顺序主子式应大于零，从而有：110d =>，221202
t
d t t =
=->， 231
1
2
2(34)012
3
t d t
t t -==-+>-， 由2220340
t t t ⎧->⎪⎨+<⎪⎩ 得： 430t -<< 所以当43
0t -<<时，所给实二次型是正定的
定理5：实二次型()T
f x x Ax =正定的充要条件是其矩阵的特征根均大于零。

例 判定实二次型2
2
2
1231223x x x x x x x ++-+是否正定。

解： 因 1
21
122121
01
1A ⎡⎤-⎢
⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，
其特征根为：1231,
11λλλ==-=+
所以实二次型f 是正定的。