09-10高等代数(一)试卷B及答案

2) ⎞ ⎟ 0 ⎟ （4 分） λ − 1⎟ ⎠
当 λ = 1, λ = 3 时方程组有非零解 当 λ = 1 时基础解系： 原齐次方程组等价与
（6 分）
⎧ x1 + 7 x 2 + 2 x3 = 0 T 基础解系 ξ = (− 2 0 1) ⎨ ⎩ x2 = 0
⎛1⎞ ⎜ ⎟ 解：η1 + η 2 − (η 2 + η 3 ) = η1 − η 3 = ⎜ 3 ⎟ 是 Ax = 0 的解， ⎜ 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛0⎞ ⎜ ⎟ η1 + η 2 − (η1 + η 3 ) = η 2 − η 3 = ⎜ 2 ⎟ 是 Ax = 0 的解 ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠ ⎛1⎞ ⎛ 0⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟, ⎜ 2 ⎟ 线性无关，构成 Ax = 0 的基础解系 ⎜ 2⎟ ⎜ 4⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ η 2 + η 3 − (η1 + η 3 ) = η 2 − η1 = ⎜ − 1⎟ ⎜2⎟ ⎝ ⎠
三、 （共 1 题，8 分）
⎛ 1 1 2⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎞ ⎟ 1 1 1 ； 4 、2； 5 、 ⎜ ⎟。 B −1 ⎟ ⎠ ⎜ 2 1 0⎟ ⎝ ⎠
1 L 1 1 L 1 =0 M M M 1 L 1
a1 − b1 b1 − b2 L b1 − bn a1 − b1 a 2 − b1 b1 − b2 L b1 − bn a −b = (b1 − b2 )(b1 − b3 )L (b1 − bn ) 2 1 解： Dn = M M M M M a n − b1 b1 − b2 L b1 − bn a n − b1
（8 分）
七、 （共 1 题，10 分） 解：方程组的系数矩阵：
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− 2 ⎞ ⎛ 0 λ2 − 10λ + 13 − 2(λ − 1) ⎞ ⎛ 1 8−λ ⎛λ − 2 − 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ λ −8 A = ⎜ −1 λ − 8 − 2 ⎟ → ⎜−1 − 2 ⎟ → ⎜ 0 (λ − 3) 2 ⎜ ⎜ ⎜ 2 λ −1 ⎟ 14 λ + 3 ⎟ 2λ − 2 ⎠ ⎝0 ⎝ ⎠ ⎝ 0 2λ − 2
α 2 = 2α 4 , 则向量组的一个极大无关组为（
（1） α1 , α 2 , α 5 ； （2） α1 , α 2 , α 4 ；
） （3） α 2 , α 4 , α 5 ； （4） α1 , α 3 , α 5 。 ）
5、设 A, B都是n阶实对称矩阵，则A，B合同的充要条件是（ （1） A, B的秩相同； （2） A, B都合同与对角阵；
四、 （共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）
1、解： AX − X = B, ( A − E ) X = B, X = ( A − E ) −1 B
（2 分）
2 1 −1 ⎛ −1 1 ⎜ 0 4 2 3 =⎜ 1 ⎜ 2 −1 −1 4 1 ⎝
4 2 3 ⎞ ⎛1 0 4 2 3 ⎞ ⎞ ⎛1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6 3 2 ⎟ → ⎜ 0 1 6 3 2 ⎟ （6 分） ⎟ → ⎜0 1 ⎟ ⎜ 0 − 1 − 9 0 − 5 ⎟ ⎜ 0 0 − 3 3 − 3⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
（3） β 不能由 α1 , α 2 ,α 3 线性表出？ 六、 （共 1 题，8 分）已知 A 为 3 阶方阵，秩 ( A) = 1 ，非齐次线性方程组 Ax = b 的三个
⎛1⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解向量η1 ,η2 ,η3 满足η1 + η2 = ⎜ 2 ⎟ ,η 2 + η3 = ⎜ −1⎟ ,η1 + η3 = ⎜ 0 ⎟ ⎜ 3⎟ ⎜1⎟ ⎜ −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
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Hale Waihona Puke Baidu
a 1 ⎞ ⎛ −1 − 2 a 1 ⎞ ⎛ −1 − 2 a 1 ⎞ ⎛ −1 − 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A=⎜ 1 1 2 b ⎟ → ⎜ 0 −1 2 + a b +1 ⎟ → ⎜ 0 1 2 − 4b − 1⎟ （6 分） ⎜4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 5 10 − 1⎠ ⎝ 0 1 2 0 4+a − 1 − 4b ⎠ ⎝ 0 − 3b ⎠ ⎝
⎡ b1 2、设方阵 A = ⎢ ⎢b2 ⎢ ⎣ b3
则行列式 2 A + B =
x1 x2 x3
c1 ⎤ ⎡ b1 ⎥ c2 ⎥ ， B = ⎢ ⎢b2 ⎢ c3 ⎥ ⎦ ⎣ b3
。
y1 y2 y3
c1 ⎤ c2 ⎥ ⎥ ，且 A = −2, B = 3 ， c3 ⎥ ⎦
⎡A 0⎤ 3、设 A, B 都是可逆矩阵，则矩阵 ⎢ ⎥ 的逆矩阵为___________。 ⎣C B ⎦
= 2，则有 （ 2、设 A是n阶矩阵（n > 3)，秩（A）
）
=0 ； =1 ； = n ； （4） 秩（A*） = n − 1。 （1） 秩（A*） （2） 秩（A*） （3） 秩（A*）
3、设 A是m × n(m < n)矩阵，则有 （ ）
（1） det( AT A) ≠ 0 ； （2） det( AT A) = 0 ； （3） det( AT A) < 0 ； （4） det( AT A) > 0 。 4、设 n 维向量组 α1 , α 2 , α 3 , α 4 , α 5 的秩为 3，且满足 α1 + 2α 3 − 3α 5 = 0,
⎡1 0 2 ⎤ ⎥ 4、已知 A 是一个 3 × 4 矩阵，且秩 ( A) = 2 ，而 B = ⎢ ⎢0 2 0 ⎥ ，则秩 ( BA) = ⎢ ⎣1 0 3 ⎥ ⎦ ⎛ 1 0 3 ⎞⎛ x1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ 5、二次型 f ( x1 , x 2 , x3 ) = ( x1 , x 2 , x3 )⎜ 2 1 2 ⎟⎜ x 2 ⎟ 对应的矩阵是 _____ 。 ⎜ 1 0 0 ⎟⎜ x ⎟ ⎝ ⎠⎝ 3 ⎠
三、 （共 1 题，8 分）计算行列式
。
a1 − b1 a −b D= 2 1 M
an − b1
a1 − b2 L a1 − bn a2 − b2 L a2 − bn 。 M M an − b2 L an − bn
四、 （共 2 小题，每题 10 分，共 20 分）
⎡0 1 2⎤ ⎡1 −1⎤ ⎢ ⎥ ⎥ 1、已知 AX = B + X ,其中 A = ⎢1 1 4 ⎥ , B = ⎢ ⎢ 2 3 ⎥ ，求矩阵 X 。 ⎢ ⎢ ⎣ 2 −1 0 ⎥ ⎦ ⎣4 1 ⎥ ⎦
2、设 A, B 为 n 阶矩阵， A2 = A, B 2 = B, 证明： ( A + B ) 2 = A + B 当且仅当 AB = BA = 0 。 五、 （共 1 题，12 分）设向量组
α1 = ( −1 1 4 ) , α 2 = ( −2, 1, 5) , α 3 = ( a, 2, 10 ) , β = (1, b, −1) ,
（8 分）
⎛1 0 4 2 3⎞ ⎛1 0 0 6 −1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → ⎜ 0 1 6 3 2⎟ → ⎜0 1 0 9 − 4⎟ ⎜0 0 1 −1 1⎟ ⎜0 0 1 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ 6 −1⎞ ⎜ ⎟ X = ⎜ 9 − 4⎟ ⎜−1 1 ⎟ ⎝ ⎠
（10 分）
2、证明：若 AB = BA = 0 ( A + B) 2 = A 2 + BA + AB + B 2 = A + B
若 ( A + B) 2 = A + B 因 ( A + B) 2 = A 2 + BA + AB + B 2 = A + B 故 BA + AB = 0, ABA + A 2 B = 0, ABA = − AB, ABA = − BA （8 分） （4 分）
AB = BA = 0 （10 分） 五、 （共 1 题，12 分） 解：构造矩阵
八、 （共 1 题， 12 分） 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x12 + 2 x2 2 + 2 x32 − 2 x1 x2 − 2 x1 x3 − 2 x2 x3 ， （1）写出二次型所确定的矩阵； （2）求出可逆变换 C，利用 X = CY ，将二次型化为标准型； （3）求二次型的秩；并指出正惯性指数及负正惯性指数； （4）判断二次型的正定性。
（1） a ≠ −4 时， β 能由向量组 α 1 , α 2 , α 3 唯一线性表出（8 分） （2） a = −4, b = 0 时， β 能由向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性表出，且表法不唯一，
α 1 , α 2 , 是一个极大无关组， β = α1 − α 2 ,
（10 分）
（3） a = −4, b ≠ 0 时， β 不能由向量组 α 1 , α 2 , α 3 线性表出， （12 分） 六、 （共 1 题，8 分）
求该非齐次线性方程组 Ax = b 的通解。 七、 （共 1 题，10 分）
⎧ (λ − 2) x1 − 3 x 2 − 2 x3 = 0 ⎪ λ 取何值时，齐次线性方程组 ⎨ − x1 + (λ − 8) x 2 − 2 x3 = 0 有非零解？并求出一般解。 ⎪2 x + 14 x + (λ + 3) x = 0 2 3 ⎩ 1
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 0⎞ ⎜0⎟ ⎜ ⎟ 1 η1 + η 2 + (η 2 − η1 ) = 2η 2 = ⎜ 1 ⎟,η 2 = ⎜ ⎟ ⎜2⎟ ⎜ 5⎟ ⎜5⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
（3 分）
（4 分）
（6 分）
该非齐次线性方程组 Ax = b 的通解
⎛ ⎞ ⎜ ⎟ 1⎞ ⎛0⎞ ⎜0⎟ ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 η = ⎜ ⎟ + k ⎜ 3 ⎟ + l⎜ 2 ⎟ ⎜2⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠ ⎜ ⎟ ⎝2⎠
问 a, b 取何值时，有 （1） β 可由 α1 , α 2 ,α 3 线性表出，且表法唯一？ （2） β 可由 α1 , α 2 ,α 3 线性表出，但表法不唯一？此时，写出 α1 ,α 2 , α 3 的一个极大无 关组，并用它的一个组合表示 β ；
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（3） A, B的正惯性指数相同； （4） A, B的正负惯性指数相同。 二、填空题（共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 1、 f ( x ) 为多项式，用 x − 1 除时余式为 3，用 x − 3 除时余式为 5，
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则用 ( x − 1)( x − 3) 除时余式为________。
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2009 — 2010 学年第 一 学期 试卷类型 期终B 考试形式 闭 命 题 人 吴炳华 2009 年 12 月 27日 教研室主任 年 月 日 姓 名 班 级 课程名称 考试时间 使用班级 教学院长 学 号 高等代数 100 分钟 09 信计 1、2、3 年 月 日
题号 总分 得分
一 15
二 15
三 8
四 20
五 12
六 8
七 10
八 12
总分 100
一、单项选择题（共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）
1、已知 p ( x ) 是数域 P 上的不可约多项式， f ( x ), g ( x ) ∈ P[ x ]
则下列命题中错误的是（
）
(1)若 p ( x ) | f ( x ), 则 ( p ( x ), f ( x)) = 1 ；(2)若 ( p ( x ), f ( x)) = 1 则 p ( x ) | f ( x ) ； (3)若 p ( x) | f ( x ) g ( x ) 且 p ( x ) | f ( x ), 则 ( p ( x ), g ( x )) ≠ 1 ； (4)若 p ( x) | f ( x ) g ( x ) 则 ( p ( x ), f ( x)) = 1 。
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徐州工程学院试卷 B 答案
一、单项选择题（共 5 小题，每题 3 分，共 15 分） 1、(4); 2、 （1）; 3、(2); 4、(1);5、(4 ) 二、填空题（共 5 小题，每题 3 分，共 15 分）
⎛ A −1 ⎜ 1、 x + 2 ；2、-9；3、 ⎜ −1 −1 ⎝ − B CA