直线的参数方程北师大选修

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则 MA MB (1 1 5 )2 (2 3 5 )2 (1 1 5 )2 (2 3 5 )2
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3 5 3 5 4 2
（1）如何写出直线l的参数方程？
①
（2）如何求出交点A，B所对应的参数t1，t2 ?
①
（3） AB、MA MB 与t1，t2有什么关系？
x y
3 t sin20（0 t为 t cos 200
参
数
）
的
倾
斜
角
是
（B
）
A.200 B.700 C .1100 D.1600
x 1
2t 2 （t为参数）
（2） 直 线x y 1 0的一 个参 数方 程是 y
2 t
2
。
思考: 由M0M te,你能得到直线l的参数方
程中参数t的几何意义吗？
(t是参数）
问题：已求这知条一直条线直的线方过程点.M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
解: 在直线上任取一点M(x,y),则
M0M （ x, y) (x0 y0 ) (x x0, y y0 ) 设e是直线l的单位方向向量，则 y
e (cos,sin )
M(x,y)
因为M0M // e,所以存在实数t R,
另一条直线的方程是x-y-2 3 0,则两直线的交点
与点（1，-5）间的距离是 4 3
课堂练习
四、课堂小结
1.直线参数方程
探究:直线的
x=x0
y
y0
t cos t sin
参数方程形
(t是参式数是）不是唯
一的
2.利用直线参数方程中参数t的几何意义,
简化求直线上两点当间的a2距 离b2. 1时，
三、例题讲解
解
：
由
x y
y x2
1
0
得：x2 x 1 0
(*)
由韦达定理得：x1 x2 1，x1 x2 1
AB 1 k2 ( x1 x2 )2 4x1 x2 2 5 10
由(*)解得：x1
1 2
5 ，x2
1 2
5
y1
3 2
5 ，y2
3 2
5
记直线与抛物线的交点坐标A( 1 5 , 3 5 )，B( 1 5 , 3 5 )
3、直线{x 2 t cos300 (t为参数)的倾斜角
y 3 t sin 600 等于( D )
A.300 B.600 C. 450 D.135 0
5.已知经过A(5,3)且倾斜角的余弦是 3的 5
直线与圆x2 y2 25交于B、C两点， (1)求BC中点坐标； (2)求过点A的切线方程及切点坐标。
(1)(44 , 6 )； 25 25
(2)过点A的切线为x 5，切点为（5，0）
和8x 15y 85 0,切点为（130， 27） 17 17
么它的方向应该是向上还是向下的？还
是有时向上有时向下呢？
uuuuuur
分析是:直线的倾斜角，当M0M0<此Muu时<u0uMu,时ur若的,t>方s0i向n,则向>上0 ;
又 sin表示e的纵坐标，若eu的 uutu纵 <uur0坐,则标都大于0
那么e的终点就会都在第一，M二0M象的限点，方e的 向方 向向下;
使M
(x
0M
x0 ,
te,即
y y0 )
t
(cos
,
sin
)
M0(x0,y0)
e
即所，以xxxx00
t
t
cos ,
cos ,
y
y
y0
y0
t sin
t sin
(cos , sin )
所以，该直线的参数方程为 O
x
x y
x0 y0
t t
cos（t为参数） sin
（1）
直
线
练习： 1、直线{x 2 2t (t为参数)上与点P(2,3)
y 3 2t 距离等于 2的点的坐标是 ( C )
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)
B(-3,4) D(-4,5)(0,1)
2、设直线的参数方程为{x 1 t (t为参数) y 2 4t
则点(3,6)到直线的距离是___2_0___1_7_______ 17
一、课题引入
我们学过的直线的普通方程都有哪些?
点斜式: y y0 k(x x0 )
两点式:
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
y kx b
x y 1 ab
一般式: Ax By C 0
k y2 y1 tan
x2 x1
二、新课讲授
问题：已知一条直线过点M0(x0 ,y0 )，倾斜角，
求这条直线的方程.
解: 直线的普通方程为y y0 tan(x x0)
把进它一x变步0数,y成要整,0 ty都注理才数，是意是y0得常:参：csysoinisny0(
令该比例式的比值为t,即
x x0 )
x x0
cos y y0
x x0
t
sin cos
整理，得到
x=x0
y
y0
t cos t sin
解: M0M te M0M te
又 e是单位向量， e 1
y M
t 这意就义是,要tM的牢0几M记何 t e
所以,直线参数方程中
参数t的绝对值等于直 线上动点M到定点M0的 距离. |t|=|M0M|
M0
e
O
x
我们是否可以根据t的值来确定向量 M0M
的方向呢?
我们知道e是直线l的单位方向向量，那
就总会向上。
若t=0,则M与点
M0重合.
三、例题讲解
例例11.已知直线l : x y 1 0与抛物线y x2交于
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B
两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解;
y
A
M(-1,2)
2.分别如何解. 3.点M是否在直线上
B
O
x
x y
x0 y0
at bt
(t为t才参具数有|此）t|几=|何M意0M义|
其它情况不能用。
3.注意向量工具的使用.
P41习题2.3 1、 3
在例3中，海滨城市O受台风侵袭大概持续多长 时间？如果台风侵袭的半径也发生变化(比如： 当前半径为250KM，并以10KM/h的速度不 断增大)，那么问题又该如何解决？
探究
直线与曲线y
f
(
x)交于M1
,
M
两点，对应的参数
2
分别为t1, t2.
(1)曲线的弦M1M
的长是多少？
2
（2）线段M1M 2的中点M 对应的参数t的值是多少？
(1) M1M 2 t1 t2 (2)t t1 t2
2
课堂练习
1.一条直线的参数方程是
x
1
1 2
t
(t为参数），
y
5
3t 2