习题及解答

第一章习题

1.

试证,若()x f 在区间[]1,0上有界可积并点1=x 连续,则泛函数序列

()()dx x x f n f I n n ⎰=1

收敛于()1f .

2.

第1题中的泛函数序列将收敛于()()x f f x lim 0

101-→=

-,如果函数()x f 在区间[]1,0上有界可积,并且函数在点x=1的左极限存在. 3.

试证,泛函数序列

()

()()()dx x x f n f I n

n

⎰=20112

ϕ#, 其中 ()⎩

⎨⎧≥-≤=121,

1x x x x x ϕ

收敛于()1f ,如果函数()x f 在点x=1连续且一致有界的话.

4.

试证,若函数()x f 在区间[]a ,0,0>a ,上连续,在a x =为右连续且实

轴上有界,则Baskacov 算子序列

()()()k

n k k n

k n x x C n k f x f B ---∞

=+-⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

∑1;0

, ()()()!

1...1k k n n n C k

n +-----=

-,

在这个区间上一致收敛于()x f . 5.

试证,Mirakyan 算子序列

()nx

k k

k n e x k n n k f x f M -∞

=∑⎪⎭⎫ ⎝⎛=!

;0

在区间[]a ,0上一致收敛于满足前题条件的函数()x f . 6. 试证,Bernstein 多项式及其有关收敛性定理可由上题得出. 7.

试证算子序列

,()()k

n k k n x x k n n k f x f L -∞

=-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑1;02

()10≤≤x 满足下列条件:

()

()k n k k s s n x x k n n k x t L -∞=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑1;02

()()

()2,1,0;10=→=-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭

⎫

⎝⎛=-=∑s x x t B x x k n n k s s n k n k n

k s

其中()

x t B s n ;为Bernstein 算子.依定理3,只要()x f 在区间[]1,0上连续,就有

()()x f x f L n →; (10≤≤x )

但是

()()∑=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎭⎬⎫⎩

⎨⎧=n

k k

n k n x x k n n k x t L 02

12;2 ()()x t B x x k n n k n n

k k n k ;4140=-⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=

∑=- =x x 24≠.

问错误何在?

8. 读者容易验证,对于线性算子序列

()()()()()()()

n

x x f x x f x x f x f L n 112121;222+--++--=

下列条件满足:

()11

1;1→+

=n x L n ; ()x n x x t L n →+=1

;

()

2221

;x n x x t L n →+=

若函数()x f 连续,依定理3,序列()x f L n ;在任何区间上一致收敛于()x f .可是,

x x n x x t L n 2sin 1;2sin ππ≠→+=⎪⎭

⎫

⎝⎛.问题何在?

9. 试作适当的线性变换,使得Bernstein 多项式序列能用来逼近区间[]1,1-上的连续函数.

10. 试将Bernstein 多项式推广到二元情形,并证明能用它来一直逼近二元连续函数()y x f , ()10,10≤≤≤≤y x

11. 试根据三角函数可展为幂函数的事实,验证Weierstrass 第一定理也可以从Weierstrass 第二定理推导出来.

12. 根据Weierstrass 逼近定理,[]b a C ,中的连续函数()x f 恒能表成一致收敛的多项式级数

()()∑∞

==1i i x q x f ,i q 为多项式.

试问能否将右端级数中的各个乘幂项重新排列使它变成一个幂级数? [提示]:采用反证法.

13. 设()x t K n ,(),...2,1=n 定义于方形区域b t a ≤≤,b t a ≤≤上,对于任一固定的x 值,它是t 的可积函数,且当b x a ≤≤≤≤βα时,恒有

(),1,1

−→−

⎰x t K n β

α ∞→n ()* (“−→−

1

”表示一致收敛),则()x t K n ,称为一个核.具有形式 ()()()dt t f x t K x b

a n n ,⎰=φ

的积分称为奇异积分,试证当()0,>x t K n ,并且()*对(a,b)内任意闭子区间

[]βα,上的一切x 一致成立时,则任一连续函数()x f ()b x a ≤≤的奇异积分()

x n φ必在[]βα,上一致收敛到()x f .

14. 试验证下列积分算子都是奇异积分算子: Weierstrass 积分