北京林业大学线性代数期末试题04-09
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北京林业大学2004--2005学年第一学期考试试卷解答
一、 填空题(每空3分,共30分)
1、设B A ,都是5阶矩阵,且2,31
=-=-B A
,
则=A B 3
32-
2、__________
4
4
,,]0,2,2,1[],1,0,1,1[π
βαβαβα>=
<∈-=--=的夹角与则设向量R 3、二次型322
12
3222132123),,(x x x x x x x x x x f -+-+=对应的矩阵为 ⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎢⎣
⎡---32
1
02111011
. 4、若二次型3231212
3222132142244),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=λ正定，则λ的取值范围是
12<<-λ.
5、设22(11)α=+T a b ，1αα=T A ，2αα=T A ，21001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦I ，222=+B A I ，1
2⎡⎤
=⎢⎥⎣
⎦
A O A O A ，12⎡⎤⎢
⎥=⎢⎥⎣⎦A O B O B 则()r A = 2 ； ()*r B = 3 ； AB = 0 ；1-B =100210-33120-3
3⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥⎣
⎦
二、（8分）计算n 阶行列式
x a a a a x a
a D a
a x a a
a
a x =
解：[(1)]
D x n a =+-1
111
a a a x a
a a x a a
a x
[(1)]
x n a =+-1000a a a x a
x a x a
---
=1[(1)]()n x
n a x a -+--
三、（8分）解矩阵方程
⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302313512343122321X 求?=X
解:令⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130231,3512,343122321C B A
则⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--2115.053,2153,1115.235.12311
1X B A
四、（10分）求a,b 为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1
232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解或有无穷多解？在
有解时，求其通解．
11
1101011101221012210132001
0132
110001022311,,,,0111---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒----+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-+--+⎧⎫
≠⎨
⎬---⎩⎭
解：
唯一解，a b a b a a b a a b b a a a a
1,1,=≠-a b 无解
1,1==-a b ，无穷多解.12111122010001-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
通解x k k
五、（8分）求向量组T
T
T
T
]7,6,5,4[,]6,5,4,3[,]5,4,3,2[,]4,3,2,1[4321====αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.
解：
12312412
1234101223450
12334560
00045670000223αααααααα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
→⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦⎣⎦
=-+=-+极大无关组，，且，
六、（10分）
分）
下的坐标。（在基）求向量（分）；（的过渡矩阵为正交矩阵到基）证明基（分）
的一组标准正交基；（也是）证明（的一组标准正交基，且
是设3,,233,,,,24,,13
132
32
,323132,323231,,32132132132133213
213321232113321βββααααβββαααβββαααβαααβαααβααα-+=--=++=-+=R R
证明：1231ααα（）由于，，是3
R 的一个标准正交基，所以有：
00,),1,2,3,),1,2,311ααββ≠≠⎧⎧==⇒==⎨⎨
==⎩⎩（，（i j i j i j i j i j i j i j i j
(2)、过渡矩31223332
123332213
3
3⎡⎤⎢⎥
⎢⎥⎢
⎥=-=⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
--⎣⎦，A I 因为1
2
21223333332122123333332212213
3
33
3
3⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦
T A A 所以A 为正交矩阵
(3)、因为α在基123,,ααα下的坐标是[]1,2,1=-T
x ，所以123,,αβββ在基下的坐标是
11
112212273333
333112
1221222233333331122122113
3
33
3
33--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
==-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦⎢⎥⎢⎥
⎢⎥-----⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
T A A y A x