北京林业大学线性代数期末试题04-09
线性代数期末复习题及参考答案
线性代数期末复习题及参考答案复习题之判断题(√)1. 若行列式的每一行元素之和全为零，则行列式的值等于零. ( )2. 设A ，B 为n 阶矩阵，则22))((B A B A B A −=−+. (√)3. 方阵A 可逆的充要条件是A E ~.( )4. 若n 阶矩阵A 相似于对角矩阵，则A 必有n 个互不相同的特征值. (√)5. 二次型222123123(,,)4f x x x x x x =++是正定二次型. (√ )6. 若B A 、为n 阶方阵，则AB BA =. ( )7. 设A 为任意n 阶矩阵，则A —A T 为对称阵. ( )8. 若n 阶矩阵A 能对角化, 则A 必有n 个不同的特征值. (√)9. 实对称矩阵A 对应不同特征值的特征向量必正交. (√)10. 设AB=0，若A 为列满秩矩阵，则B=0.( )11. 对于任何矩阵Amxn ，不能经过有限次初等列变换把它变为列阶梯形矩阵和列最简形矩阵.( )12. 奇排列变成标准排列的对换次数为偶数.( )13. 在秩是r 的矩阵中，存在等于0的r-1阶子式，但是不存在等于0的r+1阶子式.复习题之填空题1．设向量()1,0,3,Tαλ=−，()4,2,0,1Tβ=−−，若α与β正交，则λ= - 4 ． 2. 当A 为任意的n 阶矩阵时，下列矩阵A A T +;T A A −;T AA ;A A T 中, 对称矩阵是T T T A A AA A A +，，，反对称矩阵是T A A −. 3. 设00B A C⎛⎫=⎪⎝⎭，B ，C 均为可逆矩阵，则1A −=1100C B−−⎛⎫⎪⎝⎭.4．设A 是n 阶矩阵（2n ≥），且A 的行列式det 2A =, 则它的伴随矩阵*A 的行列式*det A =12n −5．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−−=466353331A 的所有特征值之和等于0.6. 设,A B 为n 阶对称矩阵，则AB 是对称矩阵的充分必要条件AB=BA.7．设向量11,,0,132Tα⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，()3,2,1,1T β=−−，则α与β的内积为 1 ．8．设方阵A 满足2240A A E −+=，且A E +可逆，则1()A E −+＝37A E−−. 9. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为*A ，若0A =，则*A =0.10．设向量()1,2,0,1T α=−，()3,1,1,2Tβ=−−，则α与β的内积为 -1 ． 11．设方阵A 满足220A A E −−=，且A 可逆，则1A −＝2A E−.12．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−−=269643932A 的所有特征值之和等于0 ．13.2103111113423122−−−−的代数余子式之和31323334-2A A A A ++= -33 ___ .14. 设n 阶矩阵A 满足0322=+−E A A ，则()12−−E A=3A −15. 若4阶方阵A 的行列式A =3, *A 是A 的伴随矩阵，则*A = 27 ___ . 16 向量α=()1,1,1,5T−−−与()4,2,1,Tβλ=−−正交，则λ=-1.17. 二次型2221231231223(,,)4324f x x x x x x x x x x =−+−+−对应的对称矩阵是110142023A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭_________________．18.3023111110560122−−−−−的代数余子式之和31323334A A A A +++= 0 .19. 设n 阶矩阵A 满足02A 2=−−E A ，则1)3(A −−E =2A E +−.20. 设A 是4阶方阵，4A =−，则*A =-64.21. 向量(2,2,3),(3,3,)T T t αβ=−=−−与正交，则t = 0 .22. 二次型22123131223(,,)224f x x x x x x x x x =++−对应的对称矩阵是110102022A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．复习题之计算题1a ．设3111131111311113A ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 122212221B ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭．（1）计算矩阵A 的行列式．（2）求矩阵B 的逆． 1a.(1)解：=D 31111311113111136111631161316113=11111311611311113=11110200600200002==48.(2).解：()122100************A E ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭122100036210063201⎛⎫⎪→−−− ⎪ ⎪−−−⎝⎭122100036210009221⎛⎫ ⎪→−−− ⎪ ⎪−⎝⎭12211021012033221001999⎛⎫ ⎪⎪→− ⎪⎪ ⎪−⎝⎭122100999212010999221001999⎛⎫⎪ ⎪→− ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭ 从而有112212129221A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭。
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
属于 对应的特征向量为 ，单位化： ，
取 ，则有 。
八、（本题8分）证明：由
得 的特征值 ，
，
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间：100分钟
一、填空题（本题15分，每小题3分）
1、若n阶行列式零元素的个数超过n（n-1）个，则行列式为。
三、（本题8分）解：从第一行开始，每行乘 后逐次往下一行加，再按最后一行展开得：
原式= 。
四、（本题12分）解：由 ，得： ，
可逆，故 ；
由于 ， 。
五、（本题14分）解：（1）令 ， ，
则 线性无关，故 是向量组 的一个极大无关组；
（2）由于4个3维向量 线性相关，
若 线性无关，则 可由 线性表示，与题设矛盾；
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3，A是3×4矩阵，则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 ， 为 阶单位矩阵，则（ ）。
（A） （B）
（C） （D）无法比较 与 的大小
5、设 ， ， ， ，其中 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（ ）。
（A） ( B) (C) (D)
三、（10分）计算 阶行列式 ， 的主对角线上的元素都为 ，其余位置元素都为 ，且 。
四、（10分）设3阶矩阵 、 满足关系： ，且 ，求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
线性代数期末试题含答案
线性代数期末试题含答案学院 系 姓名 学号 分数 22/12/2013一、填空题（本题共10个小题,每小题2分，满分20分。
答案写在答题纸上）。
(1)若=0λ是矩阵A 的特征值，则||A = 0 。
(2)若2λ=是可逆矩阵A 的一个特征值，则1312A -⎛⎫⎪⎝⎭必有一个特征值为 1/4 。
(3)若20000101A x ⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭与20000001B y ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭相似，则x y += 1 。
(4)若矩阵A 与矩阵130110002B ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 的特征值为 -2，2（二重） 。
(5)若A 为实对称矩阵，T (1,1,3)α=与T (4,5,)a β=是 A 的分别属于特征值3与4的特征向量，则a = -3 。
(6)设,αβ是实对称矩阵A 的分别属于特征值1和2的单位特征向量，则(2)A αβ+= 。
(7)若A 是正交矩阵，,αβ是长度分别为3,4的正交向量，则()A αβ+= 5 。
(8)二次型122331f x x x x x x =++的秩是 3 。
(9)二次型123123123(,,)()(2)=++++f x x x x x x x x x 的符号差为 0 。
(10)二次型3312311(,,)i ji jf x x x x x===∑∑的正惯性指数和秩的乘积是 1 。
二、选择题(本题共10个小题,每小题2分，满分20分。
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
答案写在答题纸上)。
(1)设A为n阶实对称矩阵，则[ B](A) ) 对于任意n维实向量有;Ax x= (B) A有n个互相正交的特征向量；(C) A的线性无关的两个特征向量一定正交；(D) A有n个互不相同的的实特征值；(2)下列矩阵中不是正交矩阵的是[ D ]cos sin001(A);(B)sin cos0;10001151111(C)51;(D)62114θθθθ︒⎛⎫-⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭⎛⎫⎛⎫+-⎪⎪--⎝⎭⎪⎝⎭(3) n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是[B ](A) A有n个互不相同的特征值； (B) A有n个线性无关的特征向量；(C) A有n个互不相同的特征向量； (D) A有n个两两正交的特征向量。
线性代数-期末测试题及其答案
线性代数期末考试题、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题5分，共25分）1 -3 11.若0 5 X =°，则；t = 。
-1 2 -2| f x2 . X3 = 02. ___________________________________________________________________ 若齐次线性方程组+^X2 +x3=0只有零解，则人应满足_____________________________________ 。
x1 +x2 +x3 = 03. 已知矩阵A, B, C =（q ）s n,满足AC二CB，则A与B分别是 _____________ 阶矩阵。
4•已知矩阵A为3 3的矩阵，且|A| = 3，则|2A| = ___________ 。
5. n阶方阵A满足A2 -3A - E = 0，则A A=。
二、选择题（每小题5分，共25分）6•已知二次型f • X；• 5x2 2tX i X2 -2^X3 - 4X2X3 ,当t取何值时，该二次型为正定？（）4 - 4 4 4 4 1A. —— <t W0B. ——<t < —C. 0<t< —D. —一c t< 一一5 5 5 5 5 2q 4 2''1 2 3"7.已知矩阵A =0 -3 4 B = 0X6 ，且A ~ B，求x的值（）<0 4<0 0 5」3」A.3B.-2C.5D.-58 •设A为n阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（）A. A^OB. A，HOC. r（A） = nD. A的行向量组线性相关9 •过点（0, 2, 4）且与两平面x 2z =1和y -3z =2的交线平行的直线方程为（）A.xy-2 z -4B.x y —2 z-4-2 _ 3-1 2_ 3 -2 C.xy 2 z 4 D.x y 2 z 4-2312 32.已知矩阵'3 1、 10 A =,其特征值为（)-1A.初=2,為 =4B.人二=_2,九2C.=4D. Z_1 :=2丄2 =-4 三、解答题（每小题10分，共50分）15.证明：若A 是n 阶方阵，且 从丁=|，A = —1,证明 A+I =0。
线性代数期末试题及参考答案
线性代数期末试题及参考答案一、单项选择题<每小题3分，共15分）1．下列矩阵中，< ）不是初等矩阵。
<A ）001010100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (B>100000010⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ (C> 100020001⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦(D> 100012001⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 2．设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是< ）。
<A ）122331,,αααααα--- <B ）1231,,αααα+ <C ）1212,,23αααα- <D ）2323,,2αααα+3．设A 为n 阶方阵，且250A A E +-=。
则1(2)A E -+=< ）(A> A E - (B> E A + (C> 1()3A E - (D> 1()3A E +4．设A 为n m ⨯矩阵，则有< ）。
<A ）若n m <，则b Ax =有无穷多解；<B ）若n m <，则0=Ax 有非零解，且基础解系含有m n -个线性无关解向量；<C ）若A 有n 阶子式不为零，则b Ax =有唯一解； <D ）若A 有n 阶子式不为零，则0=Ax 仅有零解。
5．若n 阶矩阵A ，B 有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则< ）<A ）A 与B 相似 <B ）A B ≠，但|A-B|=0<C ）A=B <D ）A 与B 不一定相似，但|A|=|B|二、判断题(正确填T ，错误填F 。
每小题2分，共10分>1． A 是n 阶方阵，R ∈λ，则有A A λλ=。
< ）2． A ，B 是同阶方阵，且0≠AB ，则111)(---=A B AB 。
< ）3．如果A 与B 等价，则A 的行向量组与B 的行向量组等价。
北京林业大学线性代数期末试题
北京林业大学线性代数期末试题04-09(共23页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2北京林业大学2004--2005学年第一学期考试试卷解答一、 填空题(每空3分,共30分)1、设B A ,都是5阶矩阵,且2,31=-=-B A ,则=A B 332-2、__________44,,]0,2,2,1[],1,0,1,1[πβαβαβα>=<∈-=--=的夹角与则设向量R3、二次型322123222132123),,(x x x x x x x x x x f -+-+=对应的矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---32102111011. 4、若二次型32312123222132142244),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=λ正定，则λ的取值范围是12<<-λ.5、设(11)α=1αα=T A ，2αα=T A ，21001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦I ，222=+B A I ，12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A O A O A ，12⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A O B O B 则()r A = 2 ； ()*r B = 3 ； AB = 0 ；1-B =10210-33120-33⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦二、（8分）计算n 阶行列式x a a a a x a a Daa x a aaax =解：[(1)]D x n a =+-1111a a a x a a a x a aax3[(1)]x n a =+-1000a a a x ax a xa---=1[(1)]()n x n a x a -+--三、（8分）解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302313512343122321X 求?=X解:令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130231,3512,343122321C B A则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--2115.053,2153,1115.235.123111X B A四、（10分）求a,b 为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解或有无穷多解？在有解时，求其通解．1111010111012210122101320010132110001022311,,,,0111---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒----+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-+--+⎧⎫≠⎨⎬---⎩⎭解：唯一解，a b a b a a b a a b b a a a a1,1,=≠-a b 无解1,1==-a b ，无穷多解.12111122010001-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦通解x k k4五、（8分）求向量组T T T T ]7,6,5,4[,]6,5,4,3[,]5,4,3,2[,]4,3,2,1[4321====αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. 解：1231241212341012234501233456000045670000223αααααααα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+=-+极大无关组，，且， 六、（10分）分）下的坐标。
线代b期末考试题及答案
线代b期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)线性无关的充分必要条件是（）。
A. \(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)不共面B. 由\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)构成的矩阵的行列式不为零C. 由\(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\)构成的矩阵的秩为3D. 以上说法都不正确答案：C2. 若矩阵A可逆，则下列说法正确的是（）。
A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的转置矩阵不可逆D. A的逆矩阵不存在答案：B3. 对于矩阵A，下列说法不正确的是（）。
A. A的特征值是A的特征多项式的根B. A的特征向量是对应于特征值的特征向量C. A的秩等于A的非零特征值的个数D. A的行列式等于其特征值的乘积答案：C4. 线性方程组\(Ax=b\)有唯一解的充分必要条件是（）。
A. A是方阵且行列式不为0B. A是方阵且秩等于增广矩阵的秩C. A的秩等于未知数的个数D. 以上说法都正确答案：D5. 矩阵A和B相似的充分必要条件是（）。
A. A和B的行列式相等B. A和B的特征值相同C. A和B的迹相等D. A和B有相同的Jordan标准形答案：D6. 矩阵A的秩为2，下列说法正确的是（）。
A. A的零空间的维数为1B. A的零空间的维数为2C. A的列向量线性相关D. A的行向量线性无关答案：A7. 若矩阵A和B满足AB=0，则下列说法正确的是（）。
A. A和B至少有一个是零矩阵B. A和B的秩之和小于等于A的列数C. A和B的秩之和小于等于B的行数D. A和B的秩之和小于等于A的列数和B的行数之和答案：D8. 矩阵A的特征值是1，对应的特征向量是\(\begin{bmatrix}1 \\ 0\end{bmatrix}\)，则下列说法正确的是（）。
线性代数期末考试题库及答案
2、n2, 当 n 为偶数时为偶排列，当 n 为奇数时为奇排列. 4、29.
1、12.
2、 x2 y2 .
4
∑ 3、 x = 0 或 − ai . i =1
4、 λ = ±1, 2 .
三、证明题
证明提示: 由于 f(x)是关于 x 的二次多项式，在[0，1]中可导，又可计算出 f (0) = f (1) = 0 ，
3、解方程 D4( x) =
a1 a1
a1 + x
a2 a2 a2 + x a2
a3 a3 + x
a3 a3
a4 + x a4 = 0 . a4 a4
4、已知下列齐次线性方程组有非零解，求参数λ的值。
（5
− λ）x1 −6 x1
−4 x2 +(7 − λ )x2
−7 x3 +11x3
=0 =0
6 x1
（B）若 AX=0有非零解，则 AX=b有无穷多解；
（C）若 AX=b有无穷多个解，则 AX=0仅有零解；
（D）若 AX=b有无穷多个解，则 AX=0有非零解。
（7）非齐次线性方程组 AX=b中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A的秩为 r，则
（）
（A）r=m时，方程组 AX=b有解； （B）r=n时，方程组 AX=b有唯一解；
《线性代数》补充练习二
一、选择题：
（1）设 n阶方阵 A的秩 r<n，则在 A的 n个行向量中（ ）
（A）必有 r个行向量线性无关； （B）任意 r个行向量均可构成极大无关组；
（C）任意 r个行向量均线性无关；（D）任一个行向量均可由其他 r个行向量线性表示
（2）若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则（ ）
北京林业大学数理统计期末考试历年真题及详细解答
北京林业大学 2007--2008学年第二学期考试试卷试卷名称： 数理统计II （B 卷） 课程所在院系： 理学院 考试班级： 学号： 姓名： 成绩：试卷说明：1. 本次考试为闭卷考试。
本试卷共4页，共八大部分，请勿漏答；2. 考试时间为120分钟，请掌握好答题时间；3. 答题之前，请将试卷上的考试班级、学号、姓名填写清楚；4. 所有试题答案写在试卷上；5. 答题完毕，请将试卷交回，不得带出考场；6. 考试中心提示：请你遵守考场纪律，参与公平竞争!答题中可能用到的数据：8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，(0.4243)0.6228Φ=，(1.414)0.9213Φ=， 0.025 1.96z =，,.)(.7764240250=t ,.)(.14311402502=χ20.025(5)12.833χ=一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，每小题３分，总计２１分） 1. 设A 、B 为任意两事件，且,()0,A B P B ⊂>则下列选择必然成立的是 (C) 。
()()()A P A P A B <; ()()()B P A P A B >;()()()C P A P A B ≤ ; ()()()D P A P A B ≥2. 对于事件A ，B ，下列命题正确的是 (D) （A ）若A ，B 互不相容，则A 与B 也互不相容。
（B ）若A ，B 相容，那么A 与B 也相容。
（C ）若A ，B 互不相容，且概率都大于零，则A ，B 也相互独立。
（D ）若A ，B 相互独立，那么A 与B 也相互独立。
３.设123,,X X X 相互独立同服从参数3λ=的泊松分布，令1231()3Y X X X =++，则2()E Y = (C) ．(A) 1. (B) 9. (C)10. (D ）6.４．每次试验结果相互独立，设每次试验成功的概率为p 。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若矩阵A是可逆的，则下列哪个选项是正确的？A. A的行列式为0B. A的行列式不为0C. A的逆矩阵不存在D. A的逆矩阵是其转置矩阵答案：B2. 线性方程组有唯一解的充分必要条件是：A. 系数矩阵的行列式为0B. 系数矩阵的行列式不为0C. 增广矩阵的秩等于系数矩阵的秩D. 增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩答案：B3. 设A是n阶方阵，若A的特征值均为1，则A可能是：A. 零矩阵B. 单位矩阵C. 任意对角矩阵D. 任意方阵答案：B4. 向量空间中，若两个向量组等价，则它们：A. 包含相同数量的向量B. 包含相同数量的线性无关向量C. 可以相互线性表出D. 具有相同的维数答案：D二、填空题（每题5分，共20分）1. 设矩阵A的秩为r，则矩阵A的行向量组和列向量组的最大线性无关组包含的向量数量均为______。
答案：r2. 若向量组α1, α2, ..., αn线性无关，则向量组α1+β,α2+β, ..., αn+β线性相关，其中β为非零向量，这说明向量组α1, α2, ..., αn的线性相关性与向量β的______有关。
答案：选择3. 设A是3×3矩阵，且A的行列式|A|=2，则矩阵A的逆矩阵的行列式|A^(-1)|等于______。
答案：1/24. 若线性方程组的系数矩阵A和增广矩阵B具有相同的秩，则该线性方程组的解集的维数为n-r，其中n是矩阵A的阶数，r是矩阵A的秩，则该线性方程组的解集的维数为______。
答案：n-r三、解答题（每题15分，共40分）1. 已知矩阵A=\[\begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\]，求矩阵A的特征值和特征向量。
答案：特征值λ1 = 5，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}-2 \\1\end{pmatrix}\]；特征值λ2 = 1，对应的特征向量为\[\begin{pmatrix}1 \\1.5\end{pmatrix}\]。
线性代数期末考试试题及答案
线性代数期末考试试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若矩阵A的秩为r(A)，则下列结论正确的是（）A. r(A) ≤ n，其中n是矩阵A的列数B. r(A) ≤ m，其中m是矩阵A的行数C. r(A) ≤ min(m, n)D. r(A) = max(m, n)答案：C2. 下列矩阵中，哪一个不是对称矩阵？（）A. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\)B. \(\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\)C. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 &5 \end{pmatrix}\)D. \(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 &9 \end{pmatrix}\)答案：D3. 若向量组α1, α2, α3线性无关，则向量组（）A. α1 + α2, α2 +α3, α3 + α1 线性无关B. α1 - α2, α2 - α3, α3 - α1 线性无关C. α1 + 2α2, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关D. α1 + α2 + α3, 2α2 + 3α3, 3α3 + α1 线性无关答案：B4. 设矩阵A是n阶可逆矩阵，则下列结论正确的是（）A. A的伴随矩阵A也是可逆矩阵B. A的逆矩阵A-1也是可逆矩阵C. A的转置矩阵AT也是可逆矩阵D. A的n次幂An也是可逆矩阵答案：D5. 若行列式D = |A|的值为0，则下列结论正确的是（）A. 方程组Ax = b有唯一解B. 方程组Ax = b无解C. 方程组Ax = 0有非零解D. 方程组Ax = b有无穷多解答案：C6. 若矩阵A是正交矩阵，则下列结论正确的是（）A. A的行列式值为1B. A的行列式值为-1C. A的转置矩阵AT等于A的逆矩阵A-1D. A的平方等于单位矩阵E答案：CD二、填空题（每题5分，共30分）7. 若矩阵A的行列式值为3，则矩阵A的伴随矩阵A的行列式值为________。
线性代数期末考试试卷+答案合集
×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。
每小题2分，共10分）1. 若022150131=---x ，则=χ__________。
2．若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。
3．已知矩阵n s ij c C B A ⨯=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。
4．矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=323122211211a a a a a a A 的行向量组线性 。
5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A。
二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。
每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0〉D 。
（ ）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。
（ ）3. 向量组m a a a ，，，Λ21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，，Λ21线性相关。
（ ）4. ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0100100000010010A ，则A A =-1。
（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。
( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。
每小题2分，共10分)1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。
① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，，Λ21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。
① s ααα，，，Λ21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，，Λ21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，，Λ21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，，Λ21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。
大一线性代数期末试题及答案
大一线性代数期末试题及答案,考试作弊将带来严重后果！线性代数期末考试试卷及答案:1、 考前请将密封线内填写清楚;、 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上); 考试形式:开(闭)卷;单项选择题(每小题2分,共40分)。
设矩阵22, B 23, C 32A ⨯⨯⨯为矩阵为矩阵为矩阵,则下列矩阵运算无意义的就是【 】A 、 BACB 、 ABC C 、 BCAD 、 CAB、设n 阶方阵A 满足A 2＋E =0,其中E 就是n 阶单位矩阵,则必有 【 】A 、 矩阵A 不就是实矩阵B 、 A=-EC 、 A=ED 、 det(A)=1、设A 为n 阶方阵,且行列式det(A)=1 ,则det(-2A)= 【 】A 、 2－B 、 ()n2－ C 、 n2－ D 、 1、设A 为3阶方阵,且行列式det(A)=0,则在A 的行向量组中 【 】A 、必存在一个行向量为零向量B 、必存在两个行向量,其对应分量成比例C 、 存在一个行向量,它就是其它两个行向量的线性组合D 、 任意一个行向量都就是其它两个行向量的线性组合设向量组321,,a a a 线性无关,则下列向量组中线性无关的就是 【 】A.133221,,a a a a a a --- B 、 212132,,a a a a - C 、 32322,2,a a a a + D 、 1321,,a a a a －、向量组(I): )3(,,1≥m a a m Λ线性无关的充分必要条件就是 【 】A 、(I)中任意一个向量都不能由其余m-1个向量线性表出B 、(I)中存在一个向量,它不能由其余m-1个向量线性表出C 、(I)中任意两个向量线性无关D 、存在不全为零的常数0,,,111≠++m m m a k a k k k ΛΛ使7.设a 为n m ⨯矩阵,则n 元齐次线性方程组0=Ax 存在非零解的充分必要条件就是【 】A .A 的行向量组线性相关B 、 A 的列向量组线性相关C 、 A 的行向量组线性无关D 、 A 的列向量组线性无关 8、设i a 、i b 均为非零常数(i =1,2,3),且齐次线性方程组⎩⎨⎧=++=++00332211332211x b x b x b x a x a x a的基础解系含2个解向量,则必有 【 】 A 、03221= b b a a B 、02121≠ b b a a C 、 332211b a b ab a == D 、 02131= b b a a9、方程组12312312321 21 3 321x x x x x x x x x a ++=⎧⎪++=⎨⎪++=+⎩有解的充分必要的条件就是【 】A 、 a=-3B 、 a=-2C 、 a=3D 、 a=110、 设η1,η2,η3就是齐次线性方程组Ax = 0的一个基础解系,则下列向量组中也为该方程组的一个基础解系的就是 【 】A 、 可由η1,η2,η3线性表示的向量组B 、 与η1,η2,η3等秩的向量组C 、η1－η2,η2－η3,η3－η1D 、 η1,η1-η3,η1-η2-η3 11、 已知非齐次线性方程组的系数行列式为0,则【 】A 、 方程组有无穷多解B 、 方程组可能无解,也可能有无穷多解C 、 方程组有唯一解或无穷多解D 、 方程组无解12、n 阶方阵A 相似于对角矩阵的充分必要条件就是A 有n 个 【 】A 、互不相同的特征值B 、互不相同的特征向量C 、线性无关的特征向量D 、两两正交的特征向量13、 下列子集能作成向量空间R n 的子空间的就是 【 】A 、 }0|),,,{(2121=a a a a a n ΛB 、 }0|),,,{(121∑==ni in aa a a ΛC 、 },,2,1,|),,,{(21n i z a a a a i n ΛΛ=∈D 、 }1|),,,{(121∑==n i inaa a a Λ14、若2阶方阵A 相似于矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3- 201B ,E 为2阶单位矩阵,则方阵E –A 必相似于矩阵【 】A 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 10 1 B 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 1 0 1- C 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4 2-0 0 D 、 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡4- 2-0 1- 15、若矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=8020001 a a A 正定,则实数a 的取值范围就是 【 】 A.a < 8 B 、 a ＞4 C.a ＜-4 D.-4 ＜a ＜4 二、填空题(每小题2分,共20分)。
线性代数a期末考试题及答案
线性代数a期末考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 向量组\(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\)线性无关的充分必要条件是（）。
A. 它们中任意一个向量不能由其余向量的线性组合表示B. 它们中任意两个向量不能由其余向量的线性组合表示C. 它们中任意三个向量不能由其余向量的线性组合表示D. 它们中任意四个向量不能由其余向量的线性组合表示答案：A2. 矩阵\(A\)的行列式为0，则矩阵\(A\)（）。
A. 可逆B. 不可逆C. 秩小于行数D. 秩等于行数答案：B3. 矩阵\(A\)和\(B\)满足\(AB = BA\)，则称\(A\)和\(B\)（）。
A. 可交换B. 可逆C. 相似D. 合同答案：A4. 矩阵\(A\)的秩等于其行秩，也等于其列秩，这是矩阵的（）。
A. 秩的性质B. 行列式的性质C. 特征值的性质D. 特征向量的性质答案：A5. 向量\(\beta\)是齐次线性方程组\(Ax = 0\)的解，则\(\beta\)（）。
A. 与矩阵\(A\)的列向量线性无关B. 与矩阵\(A\)的列向量线性相关C. 与矩阵\(A\)的行向量线性无关D. 与矩阵\(A\)的行向量线性相关答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 若矩阵\(A\)的行列式为1，则\(\det(A^{-1}) = ________\)。
答案：12. 矩阵\(A\)的特征值\(\lambda\)满足方程\(\det(A - \lambda I)= 0\)，其中\(I\)是单位矩阵，\(\lambda\)是矩阵\(A\)的______。
答案：特征值3. 若向量\(\alpha\)和\(\beta\)正交，则它们的点积\(\alpha\cdot \beta = ________\)。
答案：04. 矩阵\(A\)的迹是其主对角线上元素的和，记作\(\text{tr}(A)\)，若\(A\)是\(n \times n\)矩阵，则\(\text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii}\)，其中\(a_{ii}\)是矩阵\(A\)的第\(i\)行第\(i\)列的元素，\(\text{tr}(A)\)也等于矩阵\(A\)的______。
线性代数期末试卷及详细答案
（A ）A=E
（B ） A 相似于 E （ C） A2 E
（ D） A 合同于 E
8、若 1, 2, 3 , 4 是线性方程组 AX O 的基础解系，则 1 + 2 + 3 + 4 是 AX O 的
（A ）解向量
（ B）基础解系
（ C ）通解；
（ D） A 的行向量；
9、 1 , 2 都是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1 2 ，且 X 1 和 X 2 分别是对应于 1 和 2 的特征
准型，并求出正交变换。 四、证明题（ 7 分）
设 A 为 m× n 矩阵， B 为 n 阶矩阵，已知 R(A) n
证明：若 AB=O ，则 B=O
《线性代数》期末考试题 A 题参考答案与评分标准
填空题
1、 -10；
2、 81；
3、
4，
6，
12；
1
4、
A
3E ；
2
5、 5；
二、单项选择题 ( 每小题 2 分，共 20 分)
填空题 （将正确答案填在题中横线上。每小题 2 分，共 10 分）
345
1、设 D1 = 3 1
5 ， D2= 5
2
2
1 0
0 ，则 D = D1 O
0
O
= _____________。
D2
2、四阶方阵
A、B ，已知
1 A=
，且 B= 2A -1
16
1
2A ，则 B =_____________ 。
1b1
002
求 a,b 6、齐次线性方程组
2 x1 x2 3x3 0 x1 3x2 4 x3 0
x1 2 x2 ax 0
09-10第一学期期末试卷
北京林业大学2022--2022学年第一学期试卷 试卷名称： 线性代数〔56学时 A 卷〕 课程所在院系： 理学院一、填空题(每题3分, 共 30 分)1、行列式2323231(1)(1)2(2)(2)x x x x x x x x x +++=+++2(1)(2)x x x ++。
2、设A 为三阶方阵，3A =，那么1*6A A --= 9 。
3、方程11111111011211113xx x -=--的解为0,1,2x x x ===。
4、设三阶矩阵A 的三个特征值为1,2,3，那么2A A I -+= 21 。
5、设()3r A =，()5r B =，那么()r A B +≤ 8 ，()r AB ≤ 3 。
6、设矩阵1321111753k A k ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭的秩为2，那么常数k = 1 。
7、设001100123010110456100001789A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么A =189156123-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭。
8、向量组12221311a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，线性相关，那么a = 1 。
9、实向量空间3R 有两组基123(),,I ααα；11222333(),,II βααβααβα=+=+=，那么由基()I 到基()II 的过渡矩阵P =100110011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。
10、二次型22123123(,,)2()f x x x x x x =++ 不是 〔是、不是〕正定的。
二、单项选择题〔每题3分，共15分〕1、如果3101121a b c =，那么123524111a b c +++=〔 B 〕。
()0()6()1()3A B C D2、以下命题成立的是〔 B 〕。
()A 假设A O ≠，那么0A ≠； ()B 假设0A ≠，那么A O ≠；()C 假设AB AC =，那么B C =； ()D 假设AB O =，那么A O =或B O =。
07-08线性代数(II)试题A
一、填空题(每空3分,共计39分)
1、设 为3阶方阵,且 那么行列式 .
2、设 均为四维列向量,且矩阵 , ,
,如果 ，那么行列式 .
3、矩阵 的列向量线性相关，那么 .
4、假设 ,那么齐次线性方程组 根底解系中解向量的个数为_______.
化为标准形,并写出正交矩阵 .
七、〔5分〕设 是 阶实满秩矩阵,试证明: 是正定矩阵.
的条件.
二、〔10分〕计算n阶行列式 .
三、〔10分〕解矩阵方程
求矩阵 .
四、〔12分〕方程组 ，当 为何值时方程组无解？当 为何值时方程组有解？并求解．
五、〔10分〕向量组
试证明向量组 线性相关；求向量组 的一个极大线性无关组；
并将其余向量表示成此极大线性无关组的线性组合.
六、〔14分〕求正交变换 ,将二次型
5、设 是 矩阵，那么非齐次线性方程组 有唯一解的充分必要条件是,
有无穷多解的充分必要条件是.
6、设 ，那么 的全部根为.
7、实对称矩阵 的特征值都是数.
8、设向量 与向量 都正交,那么 ， .
9、3阶矩阵 的特征值是 ,那么 的三个特征值为.
10、假设二次型 是正定的，
那么 的取值范围.
11、存在m阶等价(相抵)
北京林业大学2007-2022学年第一学期考试试卷A
试卷名称：线性代数II课程所在院系：
考试班级学号姓名成绩
题号
一
二
三
四
五
六
七
总分
得分
阅卷人
试卷说明：
1.考试时间为120分钟，请掌握好答题时间；
2.答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
北京林业大学2004--2005学年第一学期考试试卷解答一、 填空题(每空3分,共30分)1、设B A ,都是5阶矩阵,且2,31=-=-B A,则=A B 332-2、__________44,,]0,2,2,1[],1,0,1,1[πβαβαβα>=<∈-=--=的夹角与则设向量R 3、二次型322123222132123),,(x x x x x x x x x x f -+-+=对应的矩阵为 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---32102111011. 4、若二次型32312123222132142244),,(x x x x x x x x x x x x f +-+++=λ正定，则λ的取值范围是12<<-λ.5、设22(11)α=+T a b ，1αα=T A ，2αα=T A ，21001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦I ，222=+B A I ，12⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A O A O A ，12⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦A O B O B 则()r A = 2 ； ()*r B = 3 ； AB = 0 ；1-B =100210-33120-33⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦二、（8分）计算n 阶行列式x a a a a x aa D aa x a aaa x =解：[(1)]D x n a =+-1111a a a x aa a x a aa x[(1)]x n a =+-1000a a a x ax a x a---=1[(1)]()n xn a x a -+--三、（8分）解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1302313512343122321X 求?=X解:令⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=130231,3512,343122321C B A则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=--2115.053,2153,1115.235.123111X B A四、（10分）求a,b 为何值时，方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+++=--+-=++=+++1232)3(122043214324324321ax x x x b x x a x x x x x x x x 有唯一解、无解或有无穷多解？在有解时，求其通解．1111010111012210122101320010132110001022311,,,,0111---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒----+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦-+--+⎧⎫≠⎨⎬---⎩⎭解：唯一解，a b a b a a b a a b b a a a a1,1,=≠-a b 无解1,1==-a b ，无穷多解.12111122010001-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦通解x k k五、（8分）求向量组TTTT]7,6,5,4[,]6,5,4,3[,]5,4,3,2[,]4,3,2,1[4321====αααα的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示.解：1231241212341012234501233456000045670000223αααααααα--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=-+=-+极大无关组，，且，六、（10分）分）下的坐标。
（在基）求向量（分）；（的过渡矩阵为正交矩阵到基）证明基（分）的一组标准正交基；（也是）证明（的一组标准正交基，且是设3,,233,,,,24,,1313232,323132,323231,,32132132132133213213321232113321βββααααβββαααβββαααβαααβαααβααα-+=--=++=-+=R R证明：1231ααα（）由于，，是3R 的一个标准正交基，所以有：00,),1,2,3,),1,2,311ααββ≠≠⎧⎧==⇒==⎨⎨==⎩⎩（，（i j i j i j i j i j i j i j i j(2)、过渡矩3122333212333221333⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，A I 因为122122333333212212333333221221333333⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦T A A 所以A 为正交矩阵(3)、因为α在基123,,ααα下的坐标是[]1,2,1=-Tx ，所以123,,αβββ在基下的坐标是111122122733333331121221222233333331122122113333333--=-⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦T A A y A x七、（12分）设实对称矩阵1111111111111111A ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦，问A 是否能与对角阵相似？若能与对角阵相似，求对角阵Λ及可逆阵P ，使得1P AP -=Λ，并求kA （k 为正整数）. 解：3(2)(2)I A λλλ-=+-A 的特征值为122,2λλ==-。
12λ=对应的特征向量为123[1,1,0,0],[1,0,1,0],[1,0,0,1]T T ξξξ=-=-=-22λ=-对应的特征向量为4[1,1,1,1]T ξ=因为A 有四个线性无关的特征向量，所以A 可以对角化。
令1111100101010011P ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，则12222P AP -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦=Λ，412, 2 kk k I k A A k -⎧=⎨⎩为偶数，为奇数八、（10分）用非退化线性变换将二次型323121232221321444),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=化为标准型.解：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122212221A ，)5()1(2-+=-λλλA I ，∴5,1321=-==λλλ.0)(=--X A I 有基础解系T X ]0,1,1[1-=，T X ]1,0,1[2-=，正交化、单位化得T ]0,1,1[211-=ξ,T ]2,1,1[612--=ξ； 0)5(=-X A I 有基础解系T X ]1,1,1[3=，取T ]1,1,1[313=ξ。
令],,[321ξξξ=T ，X=TY ，则2322213215),,(y y y AX X x x x f T +--==. 九、（6分）设实对称矩阵A 和B 是相似矩阵，证明：存在正交矩阵T ，使得1T AT B -=.证：设12,,,n λλλ 为A 的特征值，因为~A B ，所以A 和B 有相同的特征值，因此B 的特征值也是12,,,n λλλ ，又因为,A B 为实对称矩阵，故存在正交矩阵12,T T ，使得11112(,,,),nT A T d i a g λλλ-= 12212(,,,),n T BT diag λλλ-=令112T TT -=，则T 为正交矩阵，且1T AT B -=。
附：各章试题分值所占比例Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 Ch5 Ch6 16分 18分 18分 16分 16分 16分北京林业大学 2006 –2007 学年第2学期试卷(A)解答试卷名称： 线性代数Ⅱ 课程所在院系： 理学院考试班级： 学号： 姓名： 成绩：一、填空题(将正确答案填在题中横线上)（每空3分，共计30分） 1、(1,2,3),(5,1,), 1 k k αβαβ=--==则时，向量与正交2．设α＝(2，-1，5)，β＝(-1,1,1)，则α＋β＝(1 0 6)，，，3α－2β＝( 8 -5 13)，， 3、如果一个向量组线性无关， 那么它的任意一个部分组线性__无_关。
4、设三阶可逆矩阵A 的特征值是1、13、2， 则A -1的特征值为1、3、12，且1A -=325、设 A 是3阶方阵，且5A =，则A *= 256、设 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300042032A , 则 A -1等 于 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--31000110232 7、设三阶方阵()()1212,,,,2,3A B αγγβγγ==- , 其 中αβγγ,,,12 均是三维列向量1,33A B =-=, 则5A B +=8、设矩阵 100211212P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 122220212A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ , 222200311Q -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦, B PAQ =， 则B 的秩等于__3_____。
二、计算行列式 1111111111111111-=--D (本大题8分)41312111110200:800200002r r r r r r D ----==---解三、解答题(本大题6分)a 取何值时，矩阵23653014114589A a --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭的秩是2.236532365323653:01411014110141145890141600007A a a a ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-→-→- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭解7,2a A ⇒=时矩阵的秩为四、解答题(本大题10分)12341234(2,1,3,1),(1,1,3,1),(4,5,3,1),(1,5,3,1),,,,,αααααααα=-=--=-=-设求向量组的一个极大线性无关组并将其余的向量用它线性表示.214111551155103211550369012301233333061218000000001111024600000000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-解: ---12312412,,32,23αααααααα∴=+=+是一个极大线性无关组五、解答题(本题8分 )求齐次线性方程组123451234512351234522023203503230x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=⎧⎪++-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++-+=⎩的一个基础解系.解：对系数矩阵作初等变换：1221112211108572311201534015343510101534000001132301534000A -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-----⎪ ⎪⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭得同解方程组13452345857534x x x x x x x x =-+-⎧⎨=-+⎩, 取3451000,1,0001x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得一个基础解系：123(8,5,1,0,0),(5,3,0,1,0),(7,4,0,0,1)a a a =-=-=-六、解答题(本题10分)当 k 取何值时, 方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++156453423321321321x x x k x x x x x x 有解, 并求出此时的通解.解：3243111111(,)1113243011335461554615000122k k A b k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴ 当 k =6 时, 方程组有解且有无穷多解此时 11161029(,)324301115546150000A b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=∴01591121k X七、证明题(本题6分 )()()12240,,.A A I A n I n A I A I ---=++若其中是阶方阵,是阶单位矩阵,证明可逆并求21::240,()(3),(),()(3)A A I A I A I I A I A I A I ---=⇒+-=⇒++=- 证明可逆且八、证明题( 本题8分 ).00000321323132231211312=------= nn nn nn a a a a a a a a a a a a D n 列式为奇数，证明反对称行设. 证明： 根据 ij ji a a =- 得111211121n12122212222n n n.121n2n nn(1)n n n n n nna a a a a a a a a a a a D D a a a a a a ------===----所以当 n 为奇数时D D n n =- 得D n =0.九 、解答题(本题14分)设 210120003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，（1）求A 的特征值和特征向量（2）求正交矩阵T ， 使T AT '为对角阵， 并写出对角阵。