第四讲 分式方程及应用

第四讲分式方程及应用

学习目标

1、学会解分式方程。

2、学会找等量关系，通过列方程解决实际问题。

一、知识回顾

知识点1、解分式方程的基本思想：

把分式方程转化为整式方程。

知识点2、解分式方程的一般步骤：

（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

（2）解这个整式方程；

（3）验根：把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的根是原方程的增根，必须舍去，但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

知识点3、列分式方程解应用题的步骤和注意事项

列分式方程解应用题的一般步骤为：

①设未知数：若把题目中要求的未知数直接用字母表示出来，则称为直接设未知数，否则称间接设未

知数；

②列代数式：用含未知数的代数式把题目中有关的量表示出来，必要时作出示意图或列成表格，帮助

理顺各个量之间的关系；

③列出方程：根据题目中明显的或者隐含的相等关系列出方程；

④解方程并检验；

⑤写出答案．

注意：由于列方程解应用题是对实际问题的解答，所以检验时除从数学方面进行检验外，还应考虑题

目中的实际情况，凡不符合条件的一律舍去．

课前热身：1.分式方程3

x

＋

6

1

x-

＝

2

7

x x

-

的解为x＝___________.

2.若方程

1

2

x-

＋3＝

1

2

x

x

-

-

有增根，则增根为x＝＿＿＿.

3.当x=( )时,

1

2

5

x x

x x

+

-

-

与互为相反数.

A.

65; B.56; C.32; D.23 4.解分式方程：

（1）2121x x x

+=+ （2） x x x -+--3132=1 答案：1.x ＝109

；2. x ＝2；3.B 4. （1）1x = （2）x=2 二、 例题辨析

例1、解下列方程

（1）

x

x x --=+-34231 （2） 2123442+-=-++-x x x x x （1）解：

经检验，可知x ＝1，是原方程的解. （2）解：

经检验，可知x ＝－1是原方程的根.

变式练习：1、方程

x

x x -=++-1315112的根是（ C ） A . x ＝1 B . x ＝－1 C . x ＝83 D . x ＝2 2、解方程解方程21124

x x x -=--（答案：x=－3/2）

例2、m 为何值时，关于x 的方程会产生增根？ 1146246214)3(2134231=--=--=-+-=-+--=+-x x x x x x x x x x 1

886423523654)2)(1()2)(3(4212344222-=-=--=++-=+++--=++++-=-++-x x x x x x x x x x x x x x x x x 2

3422+=-+-2x x mx x

解：去分母，方程两边都乘以经X 2

－4，得6342-=++x mx x

若产生增根，则使最简公分母X 2－4＝0，解得X =±2 代入上式得m ＝6或－4

说明：分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根

变式练习：若解分式方

程产生增根，则m 的值是（ ）

A -1或-2

B 1或-2

C 1或2

D 1或-2

例3.有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期内完成，若乙队单独做，则要超过规定日

期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是多少天？

解：设完成该工程的规定日期为x 天， 根据题意得，

13

2=++x x x ， 解得x ＝6，

经检验，6=x 是原分式方程的根.

答：规定日期是6天.

变式练习：在一次军事演习中，红方装甲部队按原计划从A 地向距离150km 的B 地的蓝方一支部队直接发起进攻，但为了迷惑蓝方，红方先向蓝方另一支部队所在的C 地前进，当蓝方在B 地的部队向 C 地增援后，红方在到达D 地后突然转向B 地进发.一举拿下了B 地，这样红方比原计划多行进了90km ，且实际进度每小时比原计划增加了10km ，正好是原计划所用时间的6

5达到B 地，试求红方装甲部队的实际行进速度.（由于实际地形条件的限制，速度不能超过每小时50km ）

解：设红方装甲部队的实际行进速度为每小时xkm ，由题意得 x

x 901506510150+⋅=- 解这个方程得40=x ，

经检验，40=x 是原方程的解，但实际条件限制4050=∴≤x ,x 符合题意.

例4、某超级市场销售一种计算器，每个售价48元．后来，计算器的进价降低了4%，但售价未变，从而使超市销售这种计算器的利润提高了5%．这种计算器原来每个进价是

多少元？（利润=售价-进价，利润率100%=⨯利润进价

） x

x x x m x x 1112+=++-+

解：设这种计算器原来每个的进价为x 元， 根据题意，得4848(14)1005100(14)x x x x

---⨯+=⨯-%%%%%． 解这个方程，得40x =．

经检验，40x =是原方程的根．

答：这种计算器原来每个的进价是40元．

变式练习：甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料.两次饲料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同，其中，甲每次购买1000千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料.

（1）甲、乙所购饲料的平均单价各是多少？

（2）谁的购货方式更合算？

（1）设两次购买的饲料单价分别为m 元/千克和n 元/千克（m ，n 是正数，且m ≠n ） 甲两次购买饲料的平均单价为

2100010001000⋅+n m ＝2

n m +（元/千克）， 乙两次购买饲料的平均单价为n m 8008002800+⨯＝n m mn +2（元/千克）. （2）甲、乙两种饲料的平均单价的差是2n m +－n m mn +2＝)(2)(2

n m m m ++－)

(24n m mn + ＝)(24222n m mn n mn m +-++＝)

(2)(2

n m n m +-， 由于m 、n 是正数，因为m ≠n 时，)

(2)(2

n m n m +-也是正数，即2n m +－n m mn +2＞0， 因此乙的购买方式更合算.

三、 归纳总结

归纳1. 分式化简的基本方法

①整体代入；②巧妙变形；③引进参数；④利用倒数等，不能一一枚举。

归纳2. 分式化简的基本思路：给已知条件变形是用代入法的前提，变形的目的是化简已

知条件，可以从两个角度上来化简：

消元的角度：方程变形、非负变形------减少字母数量，方便化简

化简

结构的角度：对应、倒数、归类变形---调整关系式结构，方便化简

代入的方法多种多样，在此不可能一一列举出来，对大部分题目，观察代数式，对已知条件适当变形再代入是最适用的方法，当然也有例外，可以先化简代数式再代用条件，事办功倍。

四、拓展延伸