2017-2018年山东省临沂市罗庄区高一(上)期中数学试卷及参考答案
2017-2018学年山东省临沂市高三(上)期中数学试卷和答案(文科)
2017-2018学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，3，5}，则下列结论正确的是（）A．∁U A={1，5}B．A∩B=∅C．A∪B={1，2，4，5} D．A⊆B2．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，log2x=0 B．∀x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，cosx=1 D．∀x∈R，2x＞0 3．（5分）设函数f（x）=，若f（f（1））=1，则b=（）A．B．C．1 D．24．（5分）sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=（）A．B．C．﹣ D．﹣5．（5分）将余弦曲线y=cosx上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移单位长度，此时所得曲线对应的函数解析式为（）A．y=cos（2x+） B．y=﹣sin2x C．y=sin2x D．y=cos（x+）6．（5分）在△ABC中，点D是边BC上的一点，若=+λ，则实数λ的值为（）A．B．C．D．17．（5分）设实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣38．（5分）已知a=2，b=ln2，c=log52，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a9．（5分）我国古代数学著作《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（）A．3795000立方尺B．2024000立方尺C．632500立方尺D．1897500立方尺10．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax﹣b）（x﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣1，3）B．（1，3） C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）11．（5分）若函数f（x）的定义域为R，且函数f（x）+sinx是偶函数，函数f （x）+cosx是奇函数，则f（）=（）A．B．C．D．12．（5分）若函数f（x）=2x2+ax+在（1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，0）B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，0]D．（﹣3，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则x=．14．（5分）已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负重合，终边在y=2x上，则cos2θ=．15．（5分）设x＞0，y＞0，x+y=5，则+的最小值为．16．（5分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面相切，则该四棱锥P﹣ABCD的高是．三、解答题（本大题共6小题，共68分）17．（10分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且f（）=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．18．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a5=32，6a2，a4，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和T n．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面积．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M为CD的中点，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BD⊥PM；（Ⅱ）若AB=BD=PA=2，求三棱锥M﹣PBD的体积．21．（12分）某企业生产某种产品，生产每件产品的成本为6元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（10≤x≤13）时，一年的产量为（14﹣x）2万件；若该企业所生产的产品能全部销售，且为了保护环境，用于污染治理的费用h（万元）与出厂价x（元）之间满足函数关系式h（x）=k（14﹣x）2（k为常数，且1≤k≤3）．（Ⅰ）求该企业一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．22．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax2，g（x）=e x﹣1，a∈R．（Ⅰ）若∀x1，x2∈（0，1），当x1≠x2时，都有f（x1）≠f（x2），求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，证明：∃x0∈（0，1），使得y=f（x）和y=g（x）的图象分别在x=x0处的切线互相平行．2017-2018学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，3，5}，则下列结论正确的是（）A．∁U A={1，5}B．A∩B=∅C．A∪B={1，2，4，5} D．A⊆B【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，3，5}，∴∁U A={1，5}，A正确；A∩B={3}，B错误；A∪B={1，2，3，4，5}，C错误；A⊈B，D错误．故选：A．2．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，log2x=0 B．∀x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，cosx=1 D．∀x∈R，2x＞0【解答】解：对于A，令x=1，成立，对于B，x=0时，不成立，对于C，令x=0，成立，对于D，根据指数函数的性质，成立，故选：B．3．（5分）设函数f（x）=，若f（f（1））=1，则b=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵函数f（x）=，f（f（1））=1，∴f（1）=，f（f（1））=f（）=，解得b=．故选：B．4．（5分）sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：sin 110° cos40°﹣cos70°•sin40°=sin 70° cos40°﹣cos70°•sin40°=sin （70°﹣40°）=sin30°=．故选：A．5．（5分）将余弦曲线y=cosx上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移单位长度，此时所得曲线对应的函数解析式为（）A．y=cos（2x+） B．y=﹣sin2x C．y=sin2x D．y=cos（x+）【解答】解：余弦曲线y=cosx上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移单位长度，此时所得曲线对应的函数解析式为y=cos （2x﹣）=sin2x故选：C．6．（5分）在△ABC中，点D是边BC上的一点，若=+λ，则实数λ的值为（）A．B．C．D．1【解答】解：在△ABC中，点D是边BC上的一点，则：B、C、D三点共线，则设，整理得：，已知：=+λ，则：，解得：．故选：C．7．（5分）设实数x，y满足，则z=2x+y的最小值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，当直线z=2x+y过点A时，，可得A（﹣1，﹣1）直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣3．故选：D．8．（5分）已知a=2，b=ln2，c=log52，则下列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a【解答】解：∵a=2=，1＞b=ln2=，c=log 52=，∴c＜b＜a．故选：B．9．（5分）我国古代数学著作《九章算术》卷第五“商功”共收录28个题目，其中一个题目如下：今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺，问积几何？其译文可用三视图来解释：某几何体的三视图如图所示（其中侧视图为等腰梯形，长度单位为尺），则该几何体的体积为（）A．3795000立方尺B．2024000立方尺C．632500立方尺D．1897500立方尺【解答】解：根据三视图知，该几何体是底面为等腰梯形，高为1265的直四棱柱，计算该几何体的体积为V四棱柱=S底面积h=×（20+40）×50×1265=1897500（立方尺）．故选：D．10．（5分）若关于x的不等式ax+b＜0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax﹣b）（x﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣1，3）B．（1，3） C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣∞，1）∪（3，+∞）【解答】解：由题意关于x的不等式ax+b＜0的解集是（﹣∞，1）可得=﹣1，且a＜0，（ax﹣b）（x﹣3）＞0可变为（x﹣3）（x﹣）＜0，即得（x﹣3）（x+1）＜0，∴﹣1＜x＜3，不等式的解集是（﹣1，3）故选：A．11．（5分）若函数f（x）的定义域为R，且函数f（x）+sinx是偶函数，函数f （x）+cosx是奇函数，则f（）=（）A．B．C．D．【解答】解：由函数f（x）+sinx是偶函数，得f（﹣x）﹣sinx=f（x）+sinx，①由函数f（x）+cosx是奇函数，得f（﹣x）+cosx=﹣f（x）﹣cosx，②①﹣②得f（x）=﹣sinx﹣cosx．∴f（）==，故选：C．12．（5分）若函数f（x）=2x2+ax+在（1，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，0）B．[﹣3，+∞）C．[﹣3，0]D．（﹣3，+∞）【解答】解：f（x）=2x2+ax+在（1，+∞）上是增函数，∴f'（x）=4x+a﹣在（1，+∞）上是非负值，∵f'（x）=4x+a﹣在（1，+∞）上递增，∴f'（1）=4﹣1+a≥0，∴a≥﹣3．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）设x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，则x=2．【解答】解：x∈R，向量=（x，1），=（1，﹣2），且⊥，可得：x﹣2=0，解得x=2．故答案为：2．14．（5分）已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负重合，终边在y=2x上，则cos2θ=﹣．【解答】解：由于角θ的终边在直线y=2x上，若角θ的终边在第一象限，则在它的终边上任意取一点P（1，2），则由任意角的三角函数的定义可得sinθ===．可得：cos2θ=1﹣2sin2θ=﹣．若角θ的终边在第三象限，则在它的终边上任意取一点P（﹣1，﹣2），则由任意角的三角函数的定义可得sinθ===﹣，可得：cos2θ=1﹣2sin2θ=﹣．故答案为：﹣．15．（5分）设x＞0，y＞0，x+y=5，则+的最小值为．【解答】解：x＞0，y＞0，x+y=5，则x+y+1=6则+=（+）（x+y+1）=（1+4++）≥（5+2）=，当且仅当x=3，y=2时取等号，故答案为：16．（5分）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是边长为3的正方形，且PA=PB=PC=PD，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面相切，则该四棱锥P﹣ABCD的高是．【解答】解：由已知，四棱锥P﹣ABCD是正四棱锥，球的球心O在四棱锥的高PH上．过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：其中PE，PF是斜高，A为球面与侧面的切点．设PH=h，由几何体可知，RT△PAO∽RT△PHF，∴=，即=，解得h=．∴此四棱锥的高为．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共68分）17．（10分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，且f（）=．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是，∴=2•，∴ω=2．∵f（）=sin（2•+φ）=，∴φ=，故函数f（x）=sin（2x+）．（Ⅱ）当x∈[0，]时，2x+∈[，]，故当2x+=时，函数取得最小值为﹣；当2x+=时，函数取得最大值为1，故函数的值域为[﹣，1]．18．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a5=32，6a2，a4，a3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（I）∵6a2，a4，a3成等差数列，∴2a4=6a2+a3．可得：=6a2+a2q，化为：2q2﹣q﹣6=0，q＞1．解得q=2．又a5=32，可得：=32，解得a1=2．∴a n=2n．（II）a1a2•…•a n=2×22×…×2n=21+2+…+n=．b n=log2a1+log2a2+…+log2a n=log2（a1a2…a n）=．∴=．∴数列{}的前n项和T n=2+…+=2=．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足=．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若c=2，a+b=ab，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）=，即为（2a﹣b）cosC=ccosB，即2acosC=bcosC+ccosB，由正弦定理可得，2sinAcosC=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，由sinA＞0，可得cosC=，由C为三角形的内角，可得C=；（Ⅱ）若c=2，a+b=ab，①由余弦定理可得c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣2abcos，即为a2+b2﹣ab=4，②由①②可得ab=4，则△ABC的面积为absinC=×4×=．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M为CD的中点，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BD⊥PM；（Ⅱ）若AB=BD=PA=2，求三棱锥M﹣PBD的体积．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，BD，取AD中点O，连结AO、OM，∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，M为CD的中点，PA=PD，且平面PAD⊥平面ABCD．∴AC⊥BD，OM∥AC，PO⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，OM⊥BD，∵OM∩PO=O，∴BD⊥平面POM，∵PM⊂平面POM，∴BD⊥PM．解：（Ⅱ）∵AB=BD=PA=2，∴===，PO===，∴三棱锥M﹣PBD的体积：V M﹣PBD=V P﹣BDM===．21．（12分）某企业生产某种产品，生产每件产品的成本为6元，根据市场调查，预计每件产品的出厂价为x元（10≤x≤13）时，一年的产量为（14﹣x）2万件；若该企业所生产的产品能全部销售，且为了保护环境，用于污染治理的费用h（万元）与出厂价x（元）之间满足函数关系式h（x）=k（14﹣x）2（k为常数，且1≤k≤3）．（Ⅰ）求该企业一年的利润L（x）与出厂价x的函数关系式；（Ⅱ）当每件产品的出厂价定为多少元时，企业一年的利润最大，并求最大利润．【解答】解：（Ⅰ）依题意，L（x）=（x﹣6）（14﹣x）2﹣k（14﹣x）2=（x﹣6﹣k）（14﹣x）2，x∈[10，13]．（Ⅱ）∵L′（x）=（14﹣x）2﹣2（x﹣6﹣k）（14﹣x）=（14﹣x）（14﹣x﹣2x+12+2k）=（14﹣x ）（26+2k﹣3x）．由L′（x）=0，得x=14∉[10，13]或x=．∵1≤k≤3，∴≤≤．在x=的两侧L′（x）由正变负，故当≤≤10，即1≤k≤2时，L′（x）在[10，13]上恒为负，∴L（x）在[10，13]上为减函数．∴[L（x）]max=L（10）=16（4﹣k）．当10＜≤，即2＜k≤3时，[L（x）]max=L（）=（8﹣k）3，故1≤k≤2时，则当每件产品出厂价为10元时，年利润最大，为16（4﹣k）万元．当2＜k≤3时，则每件产品出厂价为元时，年利润最大，为（8﹣k）3万元．22．（12分）已知函数f（x）=2lnx﹣ax2，g（x）=e x﹣1，a∈R．（Ⅰ）若∀x1，x2∈（0，1），当x1≠x2时，都有f（x1）≠f（x2），求实数a的取值范围；（Ⅱ）当a=1时，证明：∃x0∈（0，1），使得y=f（x）和y=g（x）的图象分别在x=x0处的切线互相平行．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）=﹣2ax，x＞0，由题意得，函数f（x）在（0，1）单调，（1）当a＞0时，由f′（x）=0，解得：x=，x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，由题意得≥1，故0＜a≤1，（2）a≤0时，f′（x）＞0在（0，1）恒成立，f（x）在（0，1）递增，符合题意；综上，所求实数a的范围是（﹣∞，1]；（Ⅱ）a=1时，f（x）=2lnx﹣x2，f′（x）=﹣2x，g′（x）=e x，∃x0∈（0，1），使得y=f（x）和y=g（x）的图象在x=x0处的切线互相平行，即∃x0∈（0，1）使得f′（x0）=g′（x0），且f（x0）≠g（x0），令h（x）=f′（x）﹣g′（x）=﹣2x﹣e x，∵h（）=3﹣＞0，h（1）=﹣e＜0，∴∃x0∈（0，1）使得f′（x0）=g′（x0），由（Ⅰ）知，当a=1时，f（x）在（0，1）递增，故a=1时，f（x）＜f（1）=﹣1，又g（x）=e x﹣1＞﹣1恒成立，∴x0∈（0，1）时，对y=f（x）和y=g（x），都有f（x0）≠g（x0），∴当a=1时，∃x0∈（0，1），使得y=f（x）和y=g（x）的图象分别在x=x0处的切线互相平行．。
2017-2018年山东省临沂市罗庄区高一上学期数学期中试卷带答案
2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，M={x|x＞1}，则∁U M=（）A．{x|x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥0}D．{x|x≤0或x＞1}2．（5分）已知函数f（2x）=log3（8x2+7），那么f（1）等于（）A．2 B．log 339 C．1 D．log3153．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（e，3） D．（e，+∞）4．（5分）已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．5．（5分）已知，则a、b之间的大小关系是（）A．1＜b＜a B．1＜a＜b C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜16．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，B={n|n=2k﹣1，k∈A}，则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{1}D．{3}7．（5分）已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a8．（5分）若三个幂函数y=x a，y=x b，y=x c在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b9．（5分）若a2x=﹣1，则等于（）A．2﹣1 B．2﹣2C．2+1 D．+110．（5分）偶函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，则有（）A．f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（）B．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣π）C．f（﹣π）＞f（﹣1）＞f（）D．f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π）11．（5分）已知函数f（x）=，则f（）+f（）+…+f（）的值等于（）A．1006 B．1007 C．1008 D．100912．（5分）设函数f（x）=e|lnx|（e为自然对数的底数）．若x1≠x2且f（x1）=f （x2），则下列结论一定不成立的是（）A．x2f（x1）＞1 B．x2f（x1）=1 C．x2f（x1）＜1 D．x2f（x1）＜x1f（x2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=2的单调减区间是．14．（5分）已知集合A={1，3}，B={x|0＜x＜3且x∈N}，又P⊆（A∪B），则这样的集合P共有个．15．（5分）已知函数f（x）=x4+ax2+bx+c（c＜0），若函数是偶函数，且f（f（0））=c4+c，则函数f（x）的零点共有个．16．（5分）给出下列结论：①集合{x∈R|x2=1}的子集有3个；②函数y=lg（﹣x2﹣4x+6）的值域是（﹣∞，0]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（0，e）．其中正确的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）已知集合A{x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}．（1）若a=0，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=1+．（1）用定义证明函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；（2）求f（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值．19．（12分）家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q=Q0e，其中Q0是臭氧的初始量．（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（提示：ln2≈0.693，ln3≈1.099）20．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=．（1）证明：f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间；（2）分别计算f（4）﹣3f（3）g（2）和f（9）﹣3f（3）g（3），并概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不为0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．21．（12分）定义在R上函数f（x），且f（x）+f（﹣x）=0，当x＜0时，f（x）=（）x﹣8×（）x﹣1（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的最大值和最小值．22．（10分）已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|qx2+px+1=0}，同时满足①A∩B ≠∅，②A∩（∁R B）={﹣2}，p•q≠0．求p，q的值．2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，M={x|x＞1}，则∁U M=（）A．{x|x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥0}D．{x|x≤0或x＞1}【解答】解：∵全集U={x|x＞0}，集合M={x|x＞1}，∴∁U M={x|0＜x≤1}．故选：B．2．（5分）已知函数f（2x）=log3（8x2+7），那么f（1）等于（）A．2 B．log339 C．1 D．log315【解答】解：因为函数f（2x）=log3（8x2+7），所以f（1）=f（2×）=log3（8×（）2+7）=log39=2．所以f（1）=2．故选：A．3．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（e，3） D．（e，+∞）【解答】解：根据题意如图：当x=2时，ln2＜lne=1，当x=3时，ln3=ln＞=ln=，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B．4．（5分）已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【解答】解：．由N={x|x2+x=0}，得N={﹣1，0}．∵M={﹣1，0，1}，∴N⊂M，故选：B．5．（5分）已知，则a、b之间的大小关系是（）A．1＜b＜a B．1＜a＜b C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜1【解答】解：∵，且0＜＜1，∴0＜a＜1，0＜b＜1，在一个坐标系中画出函数y=log a x和y=log b x的图象，由对数函数的图象在第一象限内从左到右底数逐渐增大知，b＜a，∴0＜b＜a＜1，故选：D．6．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，B={n|n=2k﹣1，k∈A}，则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{1}D．{3}【解答】解：∵A={0，1，2，3}，∴B={n|n=2k﹣1，k∈A}={，1，2，4}，则A∩B={1，2}，故选：B．7．（5分）已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵a=∈（0，1），b=20.4 ＞20=1，c=0.40.2 ∈（0，1），故a、b、c中，b最大．由于函数y=0.4x在R上是减函数，故=0.40.5 ＜0.40.2 ＜0.40=1，∴1＞c＞a．故有b＞c＞a，故选：A．8．（5分）若三个幂函数y=x a，y=x b，y=x c在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b【解答】解：①y=x a，单调递增，且当x＞1时，在直线y=x的上方，∴a＞1，②y=x b，单调递增，且当x＞1时，在直线y=x的下方，∴0＜b＜1，③y=x c，单调递减，且当x＞1时，在直线y=x的下方，∴c＜0；∴a＞b＞c．故选：C．9．（5分）若a2x=﹣1，则等于（）A．2﹣1 B．2﹣2C．2+1 D．+1【解答】解：===故选：A．10．（5分）偶函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，则有（）A．f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（）B．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣π）C．f（﹣π）＞f（﹣1）＞f（）D．f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π）【解答】解：根据题意，y=f（x）为偶函数，则f（）=f（﹣），又由函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，且﹣π＜﹣＜﹣1，则有f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π），故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=，则f（）+f（）+…+f（）的值等于（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+==1，∴f（）+f（）+…+f（）=1008×1=1008．故选：C．12．（5分）设函数f（x）=e|lnx|（e为自然对数的底数）．若x1≠x2且f（x1）=f （x2），则下列结论一定不成立的是（）A．x2f（x1）＞1 B．x2f（x1）=1 C．x2f（x1）＜1 D．x2f（x1）＜x1f（x2）【解答】解：f（x）=，作出y=f（x）的图象，若0＜x1＜1＜x2，则f（x1）=＞1，f（x2）=x2＞1，则x2f（x1）＞1，则A可能成立；若0＜x2＜1＜x1，则f（x2）=＞1，f（x1）=x1＞1，则x2f（x1）=x2x1=1，则B可能成立；对于D．若0＜x1＜1＜x2，则x2f（x1）＞1，x1f（x2）=1，则D不成立；若0＜x2＜1＜x1，则x2f（x1）=1，x1f（x2）＞1，则D成立．故有C一定不成立．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=2的单调减区间是（0，+∞）．【解答】解：g（x）=2﹣3x2的减区间是：（0，+∞），∵函数g（x）=2﹣3x2的减区间，就是函数y=2的单调减区间．∴函数y=2的单调减区间（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）；14．（5分）已知集合A={1，3}，B={x|0＜x＜3且x∈N}，又P⊆（A∪B），则这样的集合P共有8个．【解答】解：∵集合A={1，3}，B={x|0＜x＜3且x∈N}={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，若P⊆（A∪B），则P为A∪B的子集，故这样的集合P共有8个，故答案为：815．（5分）已知函数f（x）=x4+ax2+bx+c（c＜0），若函数是偶函数，且f（f（0））=c4+c，则函数f（x）的零点共有2个．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴b=0，∵f（f（0））=f（c）=c4+ac2+c=c4+c，∴a=0，即f（x）=x4+c，由f（x）=（x2+）（x2﹣）=0，∴x=±，即函数f（x）有2个零点，故答案为：2．16．（5分）给出下列结论：①集合{x∈R|x2=1}的子集有3个；②函数y=lg（﹣x2﹣4x+6）的值域是（﹣∞，0]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（0，e）．其中正确的序号是③④⑤．【解答】解：①集合{x∈R|x2=1}={﹣1，1}的子集有4个，故错误；②函数y=lg（﹣x2﹣4x+6）的真数部分的取值范围为（0，10]，故函数的值域是（﹣∞，1]，故错误；③幂函数图象一定不过第四象限，故正确；④令x=﹣1，则f（x）=﹣1恒成立，即函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1），故正确；⑤若lna＜1=lne成立，则a的取值范围是（0，e），故正确．故答案为：③④⑤．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）已知集合A{x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}．（1）若a=0，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=0，则A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜3}，可得A∩B={x|0＜x＜1}；（2）若A⊆B，集合A{x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}，可得a﹣1≥0，且a+1≤3，即a≥1且a≤2，即1≤a≤2，则实数a的取值范围为[1，2]．18．（12分）已知函数f（x）=1+．（1）用定义证明函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；（2）求f（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值．【解答】解：（1）证明：设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=）=1+﹣1﹣=，∴＜，∴﹣＜0；又﹣1＜0，﹣1＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在定义域R上是减函数（2）由（1）可得函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；∴当x=﹣1时，f（x）min=f（﹣1）=﹣3．19．（12分）家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q=Q0e，其中Q0是臭氧的初始量．（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（提示：ln2≈0.693，ln3≈1.099）【解答】解：（1）∵Q0＞0，﹣＜0，e＞1，∴Q=Q0e为减函数，∴随时间的增加，臭氧的含量是减少．（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则Q=Q0=Q0，即=，取对数可得：﹣=ln，解得x=400ln2≈277.2．∴278年以后将会有一半的臭氧消失．20．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=．（1）证明：f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间；（2）分别计算f（4）﹣3f（3）g（2）和f（9）﹣3f（3）g（3），并概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不为0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数；由y=x和y=﹣x在（0，+∞）上是增函数，可得f（x）在（0，+∞）上是增函数．又f（x）是奇函数，则f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数．∴函数f（x）的增区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）．（2）f（4）﹣3f（2）g（2）=﹣3××=﹣=0；同理f（9）﹣3f（3）g（3）=（9﹣9）﹣3×（3﹣3）×（3+3）=（9﹣9）﹣（9﹣9）=0；猜想：f（x2）﹣3f（x）g（x）=0．证明：∵f（x2）﹣3f（x）g（x）=﹣3××=（x﹣x）﹣（x﹣x）=0，∴等式成立．21．（12分）定义在R上函数f（x），且f（x）+f（﹣x）=0，当x＜0时，f（x）=（）x﹣8×（）x﹣1（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）+f（﹣x）=0，则函数f（x）是奇函数，则f（0）=0，（2分）当x＞0时，﹣x＜0，则，所以，（5分）所以．（6分）（2）令t=2x，则t∈[2，8]，y=﹣t2+8t+1t∈[2，8]，（10分）对称轴为t=4∈[2，8]，当t=4，即x=2，f（x）max=﹣16+32+1=17；（11分）当t=8，即x=3，f（x）min=﹣64+64+1=1．（12分）22．（10分）已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|qx2+px+1=0}，同时满足①A∩B ≠∅，②A∩（∁R B）={﹣2}，p•q≠0．求p，q的值．【解答】解：设x0∈A，则，两端同时除以，得1+=0，则∈B，∴集合A，B的元素互为倒数，由A∩B≠∅，一定有x0∈A，使得∈B，且，解得x0=±1，又A∩（C R B）={﹣2}，则﹣2∈A，A={1，﹣2}，或A={﹣1，﹣2}，∴B={1，﹣}，或B={﹣1，﹣}，由根与系数的关系得或，解得p=1，q=﹣2或p=3，q=2．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型：图形特征：45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；xyB CAO2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
山东省临沂市罗庄区2017-2018学年高一上学期期末数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上1．已知U={2，3，4，5，6，7}，M={3，4，5，7}，N={2，4，5，6}，则（）A．M∩N={4，6} B．M∪N=U C．（∁U N）∪M=U D．（∁U M）∩N=N2．设a＜b，函数y=（x﹣a）2（x﹣b）的图象可能是（）A． B．C． D．D3．若x＞y＞1，0＜a＜1，则下列各式中正确的是（）A．B．a x＞a yC．x﹣a＞y﹣a D．x a＞y a4．一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO的面积是（）A．B．C．D．25．P，Q分别为直线3x+4y﹣12=0与6x+8y+6=0上任一点，则|PQ|的最小值为（）A．B．3 C．D．66．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x﹣y+1=0，则直线PB的方程是（）A．x+y﹣5=0 B．2x﹣y﹣1=0 C．2y﹣x﹣4=0 D．2x+y﹣7=07．一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（）A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm38．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（）A．B．C．D．9．如果直线（2a+5）x+（a﹣2）y+4=0与直线（2﹣a）x+（a+3）y﹣1=0互相垂直，则a=（）A．2 B．﹣2 C．2，﹣2 D．2，0，﹣210．已知平面α，β，直线l，若α⊥β，α∩β=l，则（）A．垂直于平面β的平面一定平行于平面αB．垂直于直线l的直线一定垂直于平面αC．垂直于平面β的平面一定平行于直线lD．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直11．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x），且x∈（﹣1，1]，f（x）=1﹣x2，函数g （x）=lgx，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）零点的个数为（）A．13 B．12 C．9 D．812．已知矩形ABCD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（）A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分13．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数的定义域是14．A、B两点到平面α的距离分别是3cm、5cm，点M是AB的中点，则M点到平面α的距离是．15．经过点C（2，﹣3），且与两点M（1，2）和N（﹣1，﹣5）距离相等的直线方程是．16．α、β、γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个：①若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ；②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；③若α∥β，l⊂α，则l∥β；④若α∩β=l，β∩γ=m，γ∩α=n，l∥γ，则m∥n．其中正确的序号是．三、解答题.：本大题共6个小题，共70分。
2023-2024学年山东省临沂市高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（ ）A ．{﹣1，4}B ．{1，2，4}C ．{1，4}D ．{﹣1，2，4}2．命题“∃x ∈R ，x +|x |＜0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x +|x |＜0 B ．∃x ∈R ，x +|x |≥0 C ．∀x ∈R ，x +|x |≥0D ．∃x ∈R ，x +|x |＞03．函数y =√x−2|x|−3的定义域是（ ） A ．{x |x ＞2}B ．{x |x ≥2且x ≠3}C ．{x |x ≠3}D ．{x |x ＞2且x ≠3}4．已知函数f （x ）＝4x 2﹣kx ﹣8在区间[5，20]上单调递增，则实数k 的取值范围是（ ） A ．{40} B ．[40，160] C ．（﹣∞，40]D ．[160，+∞）5．已知f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，则f （3）为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．26．已知函数f(x)=ax 3+bx −cx +2，若f （2023）＝6，则f （﹣2023）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣27．已知函数f （x +1）是偶函数，当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （1），c ＝f （2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c8．在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）•x +（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（“•”和“+”仍为通常的乘法和加法）（ ） A ．5B ．6C ．10D ．12二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）A．a∈[0，4）B．a∈（4，+∞）C．a∈（0，4）D．a∈{0}10．设a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则1a ＜1bD．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b211．设正实数a、b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．1a +1b≥4B．a2+b2≥12C．√ab≤14D．√a+√b≥√212．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则f （x）＝[x]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则下列命题正确的是（）A．∀x∈[﹣1，0]，f（x）＝﹣1B．∀x∈R，f（x+1）＝f（x）+1C．f（x+y）≥f（x）+f（y）D．2f2（x）﹣f（x）﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x＞﹣1，则2x+1x+1的最小值为．14．已知函数y=√x2的值域为{0，4}，则它的定义域可以是．（写出其中一个即可）15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2+2，则f（﹣1）＝．16．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（2，8），且满足f（mx2）+8f（4﹣3x）≥0恒成立，则实数m的取值范围为．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知集合A＝{x|3≤x≤a+5}，B＝{x|2＜x＜10}．（1）当a＝2时，求∁R（A∪B），（∁R A）∩B；（2）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．18．（12分）设函数f（x）＝x2﹣（a+1）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＜0；（2）当x∈（1，+∞）时，不等式f（x）≥﹣1恒成立，求a的取值范围．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x +y +3． （1）求x +y 的取值范围； （2）求xy 的取值范围． 20．（12分）已知函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=−13．（1）求a ，b 值；（2）用定义证明：f （x ）在（﹣2，2）上单调递减； （3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0．21．（12分）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x 千件时，需另投入成本C（x ）（万元）．C(x)={12x 2+10x +1100，0＜x ＜100，120x +4500x−90−5400，x ≥100每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？22．（12分）对于区间[a ，b ]，a ＜b ，若函数y ＝f （x ）同时满足：①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ）在x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间． （1）求函数y ＝2x 2的所有“保值”区间；（2）函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．2023-2024学年山东省临沂市高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，那么阴影部分表示的集合为（）A．{﹣1，4}B．{1，2，4}C．{1，4}D．{﹣1，2，4}解：由题意知阴影部分表示的集合为（∁U A）∩B，由集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{﹣1，1，2，4}，可得∁U A＝{x|x＜0或x＞2}，则（∁U A）∩B＝{﹣1，4}．故选：A．2．命题“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是（）A．∀x∈R，x+|x|＜0B．∃x∈R，x+|x|≥0C．∀x∈R，x+|x|≥0D．∃x∈R，x+|x|＞0解：“∃x∈R，x+|x|＜0”的否定是：∀x∈R，x+|x|≥0．故选：C．3．函数y=√x−2|x|−3的定义域是（）A．{x|x＞2}B．{x|x≥2且x≠3}C．{x|x≠3}D．{x|x＞2且x≠3}解：函数y=√x−2|x|−3的定义域满足{x−2≥0|x|−3≠0，解得x≥2且x≠3，故它的解集为{x|x≥2且x≠3}．故选：B．4．已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在区间[5，20]上单调递增，则实数k的取值范围是（）A．{40}B．[40，160]C．（﹣∞，40]D．[160，+∞）解：函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8在[5，20]上单调递增，对称轴x=k8≤5，解得：k≤40，所以k的取值范围为（﹣∞，40]，故选：C．5．已知f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，则f （3）为（ ）A ．3B ．4C ．1D ．2解：f （x ）={x −5，(x ≥6)f(x +1)，(x ＜6)，可得f （3）＝f （4）＝f （5）＝f （6）＝6﹣5＝1．故选：C ．6．已知函数f(x)=ax 3+bx −cx +2，若f （2023）＝6，则f （﹣2023）＝（ ） A ．﹣8B ．﹣6C ．﹣4D ．﹣2解：设g(x)=ax 3+bx −c x ，函数定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）， g(−x)=−ax 3−bx +cx =−g(x)，函数为奇函数， f （2023）＝g （2023）+2＝6，故g （2023）＝4，f （﹣2023）＝g （﹣2023）+2＝﹣g （2023）+2＝﹣4+2＝﹣2． 故选：D ．7．已知函数f （x +1）是偶函数，当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，设a =f(−12)，b ＝f （1），c ＝f （2），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．a ＜b ＜c解：因为函数f （x +1）为偶函数， 所以f （x +1）＝f （1﹣x ）， 所以f （x ）的图象关于x ＝1对称， 所以f(−12)=f(52) 又当1≤x 1＜x 2时，f(x 2)−f(x 1)x 2−x 1＞0恒成立，所以函数f （x ）在[1，+∞）上递增， 因为52＞2＞1，所以f(52)＞f(2)＞f(1)所以b ＜c ＜a ． 故选：B ．8．在实数的原有运算法则中，定义新运算“⊕”，规定当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f （x ）＝（1⊕x ）•x +（2⊕x ），x ∈[﹣2，2]的最大值等于（“•”和“+”仍为通常的乘法和加法）（ ）A．5B．6C．10D．12解：当1≤x≤2时，1⊕x＝x2，2⊕x＝2，故f（x）＝x3+2，函数单调递增，f（x）max＝f（2）＝10；当﹣2≤x＜1时，1⊕x＝1，2⊕x＝2，故f（x）＝x+2，函数单调递增，f（x）max＜f（1）＝3；综上所述：函数f（x）的最大值为10．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知命题p：∀x∈R，ax2﹣ax+1＞0，则命题p成立的一个充分不必要条件可以是（）A．a∈[0，4）B．a∈（4，+∞）C．a∈（0，4）D．a∈{0}解：ax2﹣ax+1＞0恒成立，当a＝0时，1＞0，成立；当a≠0时，{a＞0Δ=a2−4a＜0，解得0＜a＜4；综上所述：0≤a＜4，命题p成立的一个充分不必要条件是{a|0≤a＜4}的真子集，CD满足．故选：CD．10．设a，b，c∈R，则下列命题正确的是（）A．若ac2＞bc2，则a＞b B．若a＞b，则ac2＞bc2C．若a＞b，则1a ＜1bD．若a＞b＞0，则a2＞ab＞b2解：对A，由ac2＞bc2，显然c2＞0，两边除以c2可得a＞b．故A正确；对B，当c＝0时显然不成立．故B错误；对C，当a=2，b=−1，1a=12，1b=−1，1a＞1b，故C错误；对D，因为a＞b＞0，同时乘以a有a2＞ab，同时乘以b有ab＞b2，故a2＞ab＞b2．故D正确．故选：AD．11．设正实数a、b满足a+b＝1，则下列结论正确的是（）A．1a +1b≥4B．a2+b2≥12C ．√ab ≤14D ．√a +√b ≥√2解：对选项A ：1a+1b=(1a+1b)(a +b)=b a+a b+2≥2√b a ⋅ab+2=4，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；对选项B ：a 2+b 2=(a +b)2−2ab ≥1−(a+b)22=12，当且仅当a =b =12时等号成立，正确；对选项C ：取a =b =12，√ab =12，C 显然错误；对选项D ：取a =14，b =34，D 显然错误． 故选：AB ．12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则f （x ）＝[x ]称为高斯函数，例如：[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2，则下列命题正确的是（ ） A ．∀x ∈[﹣1，0]，f （x ）＝﹣1B ．∀x ∈R ，f （x +1）＝f （x ）+1C ．f （x +y ）≥f （x ）+f （y ）D ．2f 2（x ）﹣f （x ）﹣3≥0的解集为（﹣∞，0）∪[2，+∞） 解：对选项A ：f （0）＝0，故错误；对选项B ：x 的整数部分为a ，则x +1的整数部分为a +1，即f （x +1）＝f （x ）+1，故正确； 对选项C ：x 的整数部分为a ，y 的整数部分为b ，则x +y 的整数部分为a +b 或a +b +1，即f （x +y ）≥f （x ）+f （y ），故正确； 对选项D ：2f 2（x ）﹣f （x ）﹣3≥0，则f （x ）≤﹣1或f(x)≥32， 解得x ∈（﹣∞，0）∪[2，+∞），故正确． 故选：BCD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．若x ＞﹣1，则2x +1x+1的最小值为 2√2−2 ．解：若x ＞﹣1，则2x +1x+1=2（x +1）+1x+1−2≥2√2(x +1)⋅1x+1−2＝2√2−2， 当且仅当2（x +1）=1x+1，x =√22−1，取等号． 故答案为2√2−2．14．已知函数y =√x 2的值域为{0，4}，则它的定义域可以是 {0，4}（答案不唯一） ．（写出其中一个即可）解：y =√x 2=|x|，取|x |＝0，则x ＝0；取|x |＝4，则x ＝±4； 故定义域可以为：{0，4}或{0，﹣4}或{0，4，﹣4}． 故答案为：{0，4}（答案不唯一）．15．已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+2，则f （﹣1）＝ ﹣3 ． 解：根据题意，当x ＞0时，f （x ）＝x 2+2，则f （1）＝3， f （x ）是定义在R 上的奇函数，f （﹣1）＝﹣f （1）＝﹣3． 故答案为：﹣3．16．已知幂函数y ＝f （x ）的图象过点（2，8），且满足f （mx 2）+8f （4﹣3x ）≥0恒成立，则实数m 的取值范围为 [98，+∞) ．解：由题设f （x ）＝x α，其图象过点（2，8）可得2α＝8＝23，故α＝3，所以f （x ）＝x 3， 所以8f （x ）＝（2x ）3＝f （2x ）， 易知f （x ）为R 上的奇函数且为增函数，而f （mx 2）+8f （4﹣3x ）≥0等价于f （mx 2）≥﹣8f （4﹣3x ）＝f （6x ﹣8）， 所以mx 2≥6x ﹣8，所以mx 2﹣6x +8≥0恒成立，当m ＝0时，﹣6x +8≥0不恒成立，不合题意， 当m ≠0时，{Δ=36−4×m ×8≤0m ＞0，解得m ≥98． 所以实数m 的取值范围为[98，+∞)． 故答案为：[98，+∞)．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（10分）已知集合A ＝{x |3≤x ≤a +5}，B ＝{x |2＜x ＜10}． （1）当a ＝2时，求∁R （A ∪B ），（∁R A ）∩B ； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：（1）当a ＝2时，A ＝{x |3≤x ≤7}，所以A ∪B ＝{x |2＜x ＜10}， ∁R A ＝（﹣∞，3）∪（7，+∞），所以∁R （A ∪B ）＝（﹣∞，2]∪[10，∞），（∁R A ）∩B ＝（2，3）∪（7，10）； （2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ， 当A ＝∅时，3＞a +5，解得a ＜﹣2； 当A ≠∅时，{3≤a +5a +5＜10，解得﹣2≤a ＜5；综上所述：a 的取值范围为{a |a ＜5}．18．（12分）设函数f （x ）＝x 2﹣（a +1）x +a ，a ∈R ． （1）解关于x 的不等式f （x ）＜0；（2）当x ∈（1，+∞）时，不等式f （x ）≥﹣1恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）f （x ）＝x 2﹣（a +1）x +a ＝（x ﹣1）（x ﹣a ）＜0， 当a ＜1时，不等式f （x ）＜0的解集为（a ，1）； 当a ＝1时，不等式f （x ）＜0的解集为∅； 当a ＞1时，不等式f （x ）＜0的解集为（1，a ）． （2）当x ∈（1，+∞）时，不等式f （x ）≥﹣1恒成立， 则x −a ≥−1x−1，即a ≤x +1x−1恒成立． 因为x +1x−1=x −1+1x−1+1≥2√(x −1)⋅1x−1+1=3， 当且仅当x −1=1x−1，即x ＝2时，等号成立， 所以a ≤3，即a ∈（﹣∞，3]．19．（12分）已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x +y +3． （1）求x +y 的取值范围； （2）求xy 的取值范围．解：（1）因为x ＞0，y ＞0，所以xy =x +y +3≤(x+y2)2，令x +y ＝t ＞0，则t +3≤t 24，整理得（t ﹣6）（t +2）≥0，解得t ≥6，即x +y ≥6，当且仅当x ＝y ＝3时等号成立， 所以x +y 的取值范围为[6，+∞）．（2）因为x ＞0，y ＞0，所以xy =x +y +3≥2√xy +3，令√xy =m ＞0，则m 2≥2m +3，整理得（m ﹣3）（m +1）≥0，解得m ≥3，即xy ≥9， 当且仅当x ＝y ＝3时等号成立，所以xy 的取值范围为[9，+∞）． 20．（12分）已知函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，且f(1)=−13． （1）求a ，b 值；（2）用定义证明：f （x ）在（﹣2，2）上单调递减； （3）解关于t 的不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0． 解：（1）因为函数f(x)=ax−b x 2−4是定义在（﹣2，2）上的奇函数，f(0)=0=−b−4，所以b ＝0； 又f(1)=−13，a12−4=−13，解得a ＝1，所以a ＝1，b ＝0，f(x)=xx 2−4， 又f(−x)=−xx 2−4=−f(x)，故满足f （x ）是奇函数． （2）证明：∀x 1，x 2∈（﹣2，2），且x 1＜x 2，即﹣2＜x 1＜x 2＜2，则f(x 1)−f(x 2)=x 1x 12−4−x 2x 22−4=x 1(x 22−4)−x 2(x 12−4)(x 12−4)(x 22−4)=(x 2−x 1)(x 2x 1+4)(x 1−2)(x 1+2)(x 2−2)(x 2+2)， 因为x 2﹣x 1＞0，x 2x 1+4＞0，x 1﹣2＜0，x 1+2＞0，x 2﹣2＜0，x 2+2＞0， 故f （x 1）﹣f （x 2）＞0，即f （x 1）＞f （x 2）， 所以函数y ＝f （x ）在区间（﹣2，2）上单调递减．（3）函数y ＝f （x ）在（﹣2，2）上单调递减，且为奇函数，由f （t ﹣1）+f （t ）＜0得f （t ﹣1）＜﹣f （t ）＝f （﹣t ），所以{t −1＞−t −2＜t −1＜2−2＜t ＜2，解得12＜t ＜2．所以不等式f （t ﹣1）+f （t ）＜0的解集为(12，2)．21．（12分）某公司生产某种电子仪器的年固定成本为2000万元，当年产量为x 千件时，需另投入成本C（x ）（万元）．C(x)={12x 2+10x +1100，0＜x ＜100，120x +4500x−90−5400，x ≥100每千件产品售价100万元，为了简化运算我们假设该公司生产的产品能全部售完．（1）写出年利润L （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式； （2）当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？解：（1）当0＜x ＜100时，L =100x −12x 2−10x −1100−2000=−12x 2+90x −3100；当x ≥100时，L =100x −(120x +4500x−90−5400)−2000=−20x −4500x−90+3400． 所以L ={−12x 2+90x −3100，0＜x ＜100−20x −4500x−90+3400，x ≥100． （2）当0＜x ＜100时，L =−12x 2+90x −3100=−12(x −90)2+950，当x ＝90时，L 取得最大值，且最大值为950，当x ≥100时，L =−20x −4500x−90+3400=−20(x −90+225x−90)+1600≤−20(2√225)+1600=1000， 当且仅当x ＝105时，等号成立．因为1000＞950，所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元．22．（12分）对于区间[a ，b ]，a ＜b ，若函数y ＝f （x ）同时满足：①f （x ）在[a ，b ]上是单调函数；②函数y ＝f （x ）在x ∈[a ，b ]的值域是[a ，b ]，则称区间[a ，b ]为函数f （x ）的“保值”区间．（1）求函数y ＝2x 2的所有“保值”区间；（2）函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）是否存在“保值”区间？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，说明理由．解：（1）函数y ＝2x 2在R 上的值域是[0，+∞），且y ＝2x 2在[a ，b ]的值域是[a ，b ]，所以[a ，b ]∈[0+∞），所以a ≥0，而函数y ＝2x 2在区间[a ，b ]上单调递增，故有{2a 2=a 2b 2=b ，又a ＜b ，所以{a =0b =12， 所以函数y ＝2x 2的“保值”区间为[0，12]．（2）若函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）存在“保值”区间，①若a ＜b ≤1，此时函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）在区间[a ，b ]上单调递减，所以{a 2−2a +m =b b 2−2b +m =a ，消去m 得a 2﹣b 2＝a ﹣b ，整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣1）＝0． 因为a ＜b ，所以a +b ﹣1＝0，即a ＝﹣b +1．又{b ≤1−b +1＜b ，所以12＜b ≤1． 因为m =−b 2+2b +a =−b 2+b +1=−(b −12)2+54，12＜b ≤1，所以{m |1≤m ＜54}． ②若1≤a ＜b ，此时函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）在区间[a ，b ]上单调递增，所以{a 2−2a +m =a b 2−2b +m =b 消去m 得a 2﹣b 2＝3（a ﹣b ），整理得（a ﹣b ）（a +b ﹣3）＝0，因为a ＜b ，所以a +b ﹣3＝0，即b ＝﹣a +3，又{a ≥1−a +3＞a，所以1≤a ＜32． 因为m =−a 2+3a =−(a −32)2+94，1≤a ＜32，所以2≤m ＜94综合①、②得，函数y ＝x 2﹣2x +m （m ∈R ）存在“保值”区间， m 的取值范围是[1，54)∪[2，94)．。
山东省临沂市罗庄区2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
山东省临沂市罗庄区2017-2018学年高一下学期期中数学试卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）cos570°=（）A．B．C．D．2．（5分）已知平面向量=（1，2），=（1，﹣1），则向量﹣=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）3．（5分）下列函数中，周期为π的是（）A．y=cos4x B．y=tan2x C．y=sin2x D．4．（5分）已知向量=21﹣32，=（1+n）1+n2，若∥，则n的值为（）A．B．﹣C．﹣2 D．﹣35．（5分）已知||=||=1，与的夹角为90°，且=2+3，=k﹣2，若⊥，则实数k的值为（）A．6B．﹣6 C．3D．﹣36．（5分）已知向量=（3，4），=（﹣3，1），与的夹角为θ，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣3 D．37．（5分）如果点M（sinθ，cosθ）位于第二象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限8．（5分）函数y=﹣cos（﹣）的单调递增区间是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）9．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只需要将函数y=cos（2x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位10．（5分）已知M、N是△ABC的边BC、CA上的点，且=，=，设=，=，若=r+s，则r﹣s的值是（）A．B．0C．﹣1 D．﹣3二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）计算sin（﹣）+cos+tan（﹣）=．12．（5分）已知||=3，||=5，•=6，则在上的投影为．13．（5分）设扇形的弧长为2cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．14．（5分）已知=（6，2），=（﹣4，），直线l过点A（3，﹣1），且与向量+2垂直，则直线l的一般方程是．15．（5分）给出下列：①函数是偶函数②x=是函数的一条对称轴方程③函数的图象关于点对称．其中正确的序号是．三．解答题：（本大题共6小题，共75分）16．（12分）若向量的始点为A（﹣2，4），终点为B（2，1）．求：（Ⅰ）向量的模．（Ⅱ）与平行的单位向量的坐标．17．（12分）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2），B（2，3），D（﹣2，﹣1）．（Ⅰ）求平行四边形ABCD两条对角线AC、BD的长；（Ⅱ）设实数m满足，求m的值．19．（12分）已知向量=（﹣1，2），=（1，1），t∈R．，向量与的夹角为θ．（Ⅰ）求cosθ；（Ⅱ）求|+t|的最小值及相应的t值．20．（13分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），若y=f（x）图象过点，且在区间上是增函数，求ω的值．21．（14分）设x∈R，函数的最小正周期为π，且．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在（﹣π，π）上的单调第减区间；（Ⅲ）若f（x）＞，求x的取值范围．山东省临沂市罗庄区2014-2015学年高一下学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）cos570°=（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：cos570°=cos（360°+210°）=cos210°=cos（180°+30°）=﹣cos30°=﹣，故选：A．点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．2．（5分）已知平面向量=（1，2），=（1，﹣1），则向量﹣=（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣1，0）D．（﹣1，2）考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：直接利用向量的坐标运算求解即可．解答：解：平面向量=（1，2），=（1，﹣1），则向量﹣=（1，2）（1，﹣1）=（﹣1，2）．故选：D．点评：本题考查平面向量的坐标运算．考查计算能力．3．（5分）下列函数中，周期为π的是（）A．y=cos4x B．y=tan2x C．y=sin2x D．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件根据y=Asin（ωx+）、y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，可得结论．解答：解：由于函数y=cos4x的周期为=，故排除A；由于函数y=tan2x的周期为，故排除B；由于函数y=sin2x的周期=π，满足条件；由于函数y=sin的周期为=4π，故排除D，故选：C．点评：本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y=Asin（ωx+）、y=Acos（ωx+φ）的周期等于T=，属于基础题．4．（5分）已知向量=21﹣32，=（1+n）1+n2，若∥，则n的值为（）A．B．﹣C．﹣2 D．﹣3考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：根据向量平行的性质定理得到，利用向量相等求n．解答：解：因为向量=21﹣32，=（1+n）1+n2，并且∥，所以存在λ，使，所以，解得n=；故选B．点评：本题考查了向量平行的性质；如果∥，那么存在唯一的常数λ，使．5．（5分）已知||=||=1，与的夹角为90°，且=2+3，=k﹣2，若⊥，则实数k的值为（）A．6B．﹣6 C．3D．﹣3考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由已知得到=0，利用⊥，得到关于k 的等式求之．解答：解：因为||=||=1，与的夹角为90°，所以=0，又⊥，所以•=0，即（2+3）•（k﹣2）=2k=0，所以2k﹣6=0，解得k=3；故选C．点评：本题考查了向量的数量积公式的运用；考查向量垂直，数量积为0的性质；属于基础题．6．（5分）已知向量=（3，4），=（﹣3，1），与的夹角为θ，则tanθ等于（）A．B．﹣C．﹣3 D．3考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：首先由向量的数量积公式求出夹角的余弦值，根据夹角范围求出正弦值，最后求正切．解答：解：由已知得到cosθ==，又θ∈，所以sinθ=，所以tanθ==﹣3；故选C．点评：本题考查了向量的数量积公式的运用求向量的夹角；属于基础题．7．（5分）如果点M（sinθ，cosθ）位于第二象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：三角函数值的符号．专题：三角函数的求值．分析：由第二象限点的坐标符号可得，再由三角函数的符号可得角θ所在的象限．解答：解：∵点M（sinθ，cosθ）位于第二象限，∴，∴角θ所在的象限是第四象限，故选：D．点评：本题考查三角函数值的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，属于基础题．8．（5分）函数y=﹣cos（﹣）的单调递增区间是（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）考点：余弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：由复合函数的单调性易得2kπ≤﹣≤2kπ+π，k∈Z，变形可得答案．解答：解：要求函数y=﹣cos（﹣）的单调递增区间，只需求函数y=cos（﹣）的单调递减区间，由题意可得2kπ≤﹣≤2kπ+π，k∈Z，解得4kπ+≤x≤4kπ+，∴原函数的单调递增区间为：，k∈Z，故选：D．点评：本题考查三角函数的单调性，属基础题．9．（5分）要得到函数y=sin2x的图象，只需要将函数y=cos（2x﹣）的图象（）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：利用y=sin2x=cos（2x﹣），利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换即可求得答案．解答：解：∵y=sin2x=cos（2x﹣），∴y=cos（2x﹣）向右平移个单位，得到y=cos=cos（2x﹣）=sin2x．故选A．点评：本题考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，利用诱导公式将y=sin2x转化为y=cos （2x﹣）是变换的关键，属于中档题．10．（5分）已知M、N是△ABC的边BC、CA上的点，且=，=，设=，=，若=r+s，则r﹣s的值是（）A．B．0C．﹣1 D．﹣3考点：平行向量与共线向量．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的三角形法则，将向量用，表示，求出r，s即可．解答：解：由题意，====，所以r=，s=，所以r﹣s=﹣1；故选C．点评：本题考查了向量的三角形法则的运用；关键是将向量分解为用，表示．二．填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）计算sin（﹣）+cos+tan（﹣）=．考点：运用诱导公式化简求值；三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：原式利用正弦、余弦函数的奇偶性及诱导公式化简，计算即可得到结果．解答：解：原式=﹣sin+cos（4π﹣）﹣tan（π+）=﹣++=．故答案为：点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．12．（5分）已知||=3，||=5，•=6，则在上的投影为2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据向量的数量积公式，在上的投影为：．解答：解：因为在上的投影为：==2；故答案为：2．点评：本题考查了在上的投影为：，而在上的投影为：．13．（5分）设扇形的弧长为2cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．考点：扇形面积公式．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用扇形的面积求出扇形的半径，然后求出扇形的圆心角．解答：解：因为扇形的弧长为2，面积为4，所以扇形的半径为：2×r=4，r=4，则扇形的圆心角的弧度数为．故答案为：．点评：本题考查扇形面积、扇形的弧长公式的应用，考查计算能力．14．（5分）已知=（6，2），=（﹣4，），直线l过点A（3，﹣1），且与向量+2垂直，则直线l的一般方程是2x﹣3y﹣9=0．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：由于，而，由于直线l过点A（3，﹣1）且与向量垂直，利用条件及质纤维的方程的定义即可．解答：解：∵由于，而，设P（x，y）为直线l上任意一点，由向量垂直与直线l，得直线l的一般方程是2x﹣3y﹣9=0．故答案为：2x﹣3y﹣9=0点评：此题考查了向量的坐标的加法运算律，直线的方程及方程的思想求解问题．15．（5分）给出下列：①函数是偶函数②x=是函数的一条对称轴方程③函数的图象关于点对称．其中正确的序号是①②．考点：的真假判断与应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用三角函数的奇偶性，函数的对称轴以及对称中心，判断结果即可．解答：解：对于①，函数=﹣cosx，是偶函数，所以①正确；对于②，x=，则函数=sin（）=﹣1，x=是函数的一条对称轴方程，所以②正确；对于③，x=时，函数=tan=，函数的图象关于点对称不正确，所以③不正确．故答案为：①②．点评：本题考查三角函数的图象与性质的应用，考查基本知识的应用．三．解答题：（本大题共6小题，共75分）16．（12分）若向量的始点为A（﹣2，4），终点为B（2，1）．求：（Ⅰ）向量的模．（Ⅱ）与平行的单位向量的坐标．考点：单位向量．专题：平面向量及应用．分析：（I）利用向量的坐标运算、模的计算公式即可得出；（Ⅱ）与平行的单位向量=，即可得出．解答：解：（Ⅰ）∵向量的始点为A（﹣2，4），终点为B（2，1），∴向量=（2，1）﹣（﹣2，4）=（4，﹣3），∴向量==5．（Ⅱ）与平行的单位向量==（4，﹣3）=（，﹣）．点评：本题考查了向量的坐标运算、模的计算公式、与平行的单位向量=，属于基础题．17．（12分）已知角α终边上一点P（﹣4，3），求的值．考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：先根据角α终边上一点P确定tanα的值，进而利用诱导公式对原式进行化简整理后，把tanα的值代入即可．解答：解：∵角α终边上一点P（﹣4，3），∴∴==tanα=点评：本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．要特别留意在三角函数转换过程中三角函数的正负号的判定．18．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2），B（2，3），D（﹣2，﹣1）．（Ⅰ）求平行四边形ABCD两条对角线AC、BD的长；（Ⅱ）设实数m满足，求m的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的平行四边形法则求出，的坐标，然后求向量的模；（Ⅱ）利用坐标表示向量，利用数量积为0，得到关于m的方程解之．解答：解：（Ⅰ）∵，…（2分）由，得，…（4分）由，得．…（6分）所以，平行四边形ABCD两条对角线AC、BD的长分别为．…（7分）（Ⅱ）∵，∴，，…（10分）∵，∴，…（11分）∴﹣11+5m=0，∴．…（12分）点评：本题考查了有向线段的坐标表示、向量的平行四边形法则以及求模、数量积的坐标运算；属于基础题．19．（12分）已知向量=（﹣1，2），=（1，1），t∈R．，向量与的夹角为θ．（Ⅰ）求cosθ；（Ⅱ）求|+t|的最小值及相应的t值．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标运算求cosθ；（Ⅱ）首先求出+t的坐标，然后用t表示其模，根据解析式是关于t的二次函数求最小值．解答：解：（I）∵=（﹣1，2），=（1，1），∴=（﹣1，2）•（1，1）=﹣1+2=1，||=，||=，…（2分）∴cosθ=；…（6分）（II）∵=（﹣1，2），=（1，1）∴+t=（﹣1+t，2+t），…（8分）∴|+t|==，…（10分）当t=﹣时，|+t|的最小值为．…（12分）点评：本题考查了向量数量积的坐标运算以及模的最值求法；属于基础题．20．（13分）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0），若y=f（x）图象过点，且在区间上是增函数，求ω的值．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数图象和性质易得，可得ω的范围，再由图象过点可得，k∈Z，取k值可得ω解答：解：当f（x）为增函数时，﹣+2kπ≤ωx≤+2kπ，k∈Z，∴﹣+≤x≤+，k∈Z，∵f（x）在上是增函数．∴，解得ω≤2，又∵ω＞0，∴0＜ω≤2，又∵y=f（x）的图象过点，∴，∴，k∈Z．解得，k∈Z，∴…（13分）点评：本题考查三角函数的图象和性质，属基础题．21．（14分）设x∈R，函数的最小正周期为π，且．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）求函数f（x）在（﹣π，π）上的单调第减区间；（Ⅲ）若f（x）＞，求x的取值范围．考点：正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）由周期可得ω=2，再由且和φ的范围可得φ值；（II）由（I）知，易得单调递减区间，取在（﹣π，π）的即可；（III）由正弦函数的图象结合可得，解不等式可得．解答：解：（I）周期，∴ω=2，∵，又∵，∴；（II）由（I）知，由可得，∴，∵x∈（﹣π，π），∴，，∴函数f（x）在（﹣π，π）上的单调第减区间为，；（III）∵，∴，∴，∴，∴点评：本题考查正弦函数的单调性和周期性，属中档题．。
2017-2018学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．集合A={1，2}的非空子集个数为（）A．4 B．2 C．1 D．32．设集合A={x|x＜3}，B={x|2x＞4}，则A∩B=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣4．周长为9，圆心角为1rad的扇形面积为（）A．B．C．πD．25．与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=（）2D．f（x）=6．下列函数既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=x2C．y=lgx D．y=x37．已知函数f（x）=的图象如图所示，则a+b+c=（）A．B．C．3 D．8．已知函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，若g（a）=1，则实数a的值为（）A．﹣e B．C．D．ex+x 的零点依次为a，b，c，则下9．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=log2列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b10．设函数f（x）定义在实数集R上，满足f（1+x）=f（1﹣x），当x≥1时，f（x）=2x，则下列结论正确的是（）A．f（）＜f（2）＜f（）B．f（）＜f（2）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（2）D．f（2）＜f（）＜f（）11．已知函数f（x）定义在实数集R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数aa）+f（log a）≤2f（﹣1），则a的取值范围是（）满足f（log2A．[2，+∞]∪（﹣∞，] B．（0，]∪[2，+∞）C．[，2] D．（0，]12．已知函数，则函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴的交点个数为（）A．3个B．2个C．0个D．4个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．f（x）=的定义域为．14．函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点．15．函数f（x）=lg（﹣x2+2x）的单调递减区间是．16．已知tanα=，，则sinα﹣cosα= ．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知全集U=R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|2≤x≤8}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．A）∩B；（1）求A∪B，（∁R（2）若A∩C=C，求a的取值范围．18．（12分）已知f（α）=+cos（2π﹣α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，求+的值．19．（12分）已知函数f（x）=log2（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（3m+1）＜f（m），求m的取值范围．20．（12分）已知函数g（x）=x2﹣（m﹣1）x+m﹣7．（1）若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，求实数m的取值范围；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，求实数m的取值范围．21．（12分）某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）22．（12分）已知f（x）=ln（e x+1）+ax是偶函数，g（x）=e x﹣be﹣x是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（3）若不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．2017-2018学年高一（上）期中试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求.1．集合A={1，2}的非空子集个数为（）A．4 B．2 C．1 D．3【考点】子集与真子集．【分析】若集合A中有n个元素，则集合A中有2n﹣1个真子集．【解答】解：集合{1，2}的子集的个数为22=4个，去掉空集，得到集合{1，2}的非空子集的个数为22﹣1=3个．故选：D．【点评】本题考查子集的概念和应用，解题时要熟记若集合A中有n个元素，则集合A中有2n个子集，有2n﹣1个真子集．2．设集合A={x|x＜3}，B={x|2x＞4}，则A∩B=（）A．∅B．{x|0＜x＜3} C．{x|1＜x＜3} D．{x|2＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】求解指数不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解【解答】解：∵B={x|2x＞4}={x|x＞2}，又A={x|x＜3}，∴A∩B={x|2＜x＜3}，故选：D【点评】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式及指数不等式的解法，是基础的计算题．3．已知角α的终边经过点P（﹣3，4），则sinα的值等于（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，由此求得sinα=的值．【解答】解：∵已知角α的终边经过点P（﹣3，4），由任意角的三角函数的定义可得x=﹣3，y=4，r=5，∴sinα==，故选C．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，4．周长为9，圆心角为1rad的扇形面积为（）A．B．C．πD．2【考点】扇形面积公式．【分析】根据扇形的面积公式进行求解，即可得出结论．【解答】解：设扇形的半径为r，弧长为l，则l+2r=9，∵圆心角为1rad的弧长l=r，∴3r=9，则r=3，l=3，则对应的扇形的面积S=lr=×3=，故选A．【点评】本题主要考查扇形的面积计算，根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键．5．与函数f（x）=|x|表示同一函数的是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=（）2D．f（x）=【考点】判断两个函数是否为同一函数．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，函数f（x）==|x|（x≠0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数；对于B，函数f（x）==|x|（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于C，函数f（x）==x（x≥0），与函数f（x）=|x|（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是同一函数；对于D，函数f（x）==x（x∈R），与函数f（x）=|x|（x∈R）的对应关系不同，所以不是同一函数．故选：B．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．6．下列函数既是奇函数，又在区间（0，+∞）上是增函数的是（）A．y=x﹣1B．y=x2C．y=lgx D．y=x3【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质分别进行判断即可．【解答】解：A．y=x﹣1为奇函数，在（0，+∞）上是减函数，不满足条件．B．y=x2是偶函数，当x＞0时，函数为增函数，不满足条件．C．y=lgx定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=x3是奇函数，在（﹣∞，+∞）上是增函数，满足条件．故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数奇偶性和单调性的性质．7．已知函数f（x）=的图象如图所示，则a+b+c=（）A．B．C．3 D．【考点】函数的图象．【分析】先由图象可求得直线的方程，又函数的图象过点（0，2），将其坐标代入可得c值，从而即可求得a+b+c的值．【解答】解：由图象可求得直线的方程为y=2x+2，（x+）的图象过点（0，2），又函数y=logc将其坐标代入可得c=，所以a+b+c=2+2+=．故选：B【点评】本题考查了函数图象的识别和应用，属于基础题．8．已知函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，若g（a）=1，则实数a的值为（）A．﹣e B．C．D．e【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据y=f（x）与y=e x的图象关于直线y=x对称，求出f（x），再根据y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，求出y=g（x），再列方程求a的值即可．【解答】解：函数y=f（x）与函数y=e x的图象关于直线y=x对称，∴f（x）=lnx，函数y=g（x）的图象与y=f（x）的图象关于x轴对称，∴y=﹣lnx，∴g（a）=﹣lna=1，a=．故选：C．【点评】本题考查了函数图象对称的应用问题，是基础题目．x+x 的零点依次为a，b，c，则下9．已知三个函数f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=log2列结论正确的是（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据零点存在定理，分别求三个函数的零点，判断零点的范围，再判断函数的单调性，确定函数的零点的唯一性，从而得到结果．【解答】解：函数f（x）=2x+x，f（﹣1）=﹣1=﹣＜0，f（0）=1＞0，可知函数的零点a ＜0；令g（x）=x﹣3=0得，b=3；函数h（x）=logx+x=0，h（）=﹣1+=﹣＜0，h（1）=1＞0，2∴函数的零点满足＜c＜1，∵f（x）=2x+x，g（x）=x﹣3，h（x）=logx+x在定义域上是增函数，2∴函数的零点是唯一的，则a＜c＜b，故选：B．【点评】本题考查的重点是函数的零点及个数的判断，基本初等函数的单调性的应用，解题的关键是利用零点存在定理，确定零点的值或范围．10．设函数f（x）定义在实数集R上，满足f（1+x）=f（1﹣x），当x≥1时，f（x）=2x，则下列结论正确的是（）A．f（）＜f（2）＜f（）B．f（）＜f（2）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（2）D．f（2）＜f（）＜f（）【考点】抽象函数及其应用．【分析】由已知得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，⇒函数f（x）在（1，+∞）上递增，在（﹣∞，1）上递减，⇒f（）＜f（）＜f（0），及f（）＜f（）＜f（2）．【解答】解：函数f（x）定义在实数集R上，且满足f（1+x）=f（1﹣x），∴函数f（x）的图象关于直线x=1对称，∴f（2）=f（0）．又∵当x≥1时，f（x）=2x，∴函数f（x）在（1，+∞）上递增，在（﹣∞，1）上递减，∴f （）＜f （）＜f （0），及f （）＜f （）＜f （2）．故选：C ．【点评】本题考查了函数的对称性及单调性，属于中档题．11．已知函数f （x ）定义在实数集R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递减，若实数a满足f （log 2a ）+f （log a ）≤2f （﹣1），则a 的取值范围是（ ）A ．[2，+∞]∪（﹣∞，]B ．（0，]∪[2，+∞）C ．[，2]D ．（0，]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由偶函数的性质将f （log 2a ）+f （log a ）≤2f （﹣1），化为：f （log 2a ）≤f （1），再由f （x ）的单调性列出不等式，根据对数函数的性质求出a 的取值范围．【解答】解：因为函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，所以f （log a ）=f （﹣log 2a ）=f （log 2a ），则f （log 2a ）+f （loga ）≤2f （﹣1），为：f （log 2a ）≤f （1）， 因为函数f （x ）在区间[0，+∞）上单调递减，所以|log 2a|≥1，解得0＜a ≤或a ≥2，则a 的取值范围是（0，]∪[2，+∞）故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的应用，以及对数函数的性质，属于中档题．12．已知函数，则函数y=f[f （x ）]﹣1的图象与x 轴的交点个数为（ ） A ．3个 B ．2个 C ．0个 D ．4个【考点】函数的图象．【分析】函数y=f[f （x ）]﹣1的图象与x 轴的交点个数即为f[f （x ）]﹣1=0的解得个数，根据函数解析式的特点解得即可，【解答】解：y=f[f （x ）]﹣1=0，即f[f （x ）]=1，当f（x）+1=1时，即f（x）=0时，此时log2x=0，解得x=1，或x+1=0，解得x=﹣1，当log2f（x）=1时，即f（x）=2时，此时x+1=2，解得x=1（舍去），或log2x=2，解得x=4，综上所述函数y=f[f（x）]﹣1的图象与x轴的交点个数为3个，故选：A．【点评】此题考查的是函数于函数图象交点个数的问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想．值得同学们体会反思．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸的横线上，填在试卷上的答案无效.13．f（x）=的定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出不等式组，求出解集即可．【解答】解：要使函数f（x）=有意义，应满足，即，解得x≥﹣1且x≠1；所以函数f（x）的定义域为[﹣1，1）∪（1，+∞）．故答案为：[﹣1，1）∪（1，+∞）．【点评】本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题目．14．函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点（1，﹣1）．【考点】指数函数的单调性与特殊点．【分析】根据指数函数的性质进行求解．【解答】解：令x﹣1=0得x=1，此时f（1）=1﹣2=﹣1．故函数f（x）=a x﹣1﹣2恒过定点（1，﹣1）．故答案为：（1，﹣1）．【点评】本题主要考查指数函数的图象和性质，利用指数函数过定点，是解决本题的关键．15．函数f（x）=lg（﹣x2+2x）的单调递减区间是[1，2）．【考点】复合函数的单调性．【分析】令t=﹣x2+2x＞0，求得函数的定义域，根据f（x）=g（t）=lgt，故本题即求函数t 的减区间．再利用二次函数的性质，得出结论．【解答】解：令t=﹣x2+2x＞0，求得0＜x＜2，故函数的定义域为（0，2），则f（x）=g（t）=lgt，故本题即求函数t的减区间．利用二次函数的性值可得令t=﹣x2+2x在定义域内的减区间为[1，2），故答案为：[1，2）．【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．16．已知tanα=，，则sinα﹣cosα= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】根据同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求得sinα、cosα的值，可得sinα﹣cosα的值．【解答】解：∵tanα==，，sin2α+cos2α=1，∴sinα=﹣，cosα=﹣，∴sinα﹣cosα=，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．三、解答题：共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）（2016秋•扶余县校级期中）已知全集U=R，集合A={x|1≤x＜5}，B={x|2≤x ≤8}，C={x|﹣a＜x≤a+3}．（1）求A∪B，（∁A）∩B；R（2）若A∩C=C，求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交、并、补集的混合运算．【分析】（1）直接利用并集、补集和交集的概念求解；（2）由C∩A=C，∴C⊆A，然后分C为空集和不是空集分类求解a的范围，最后取并集．【解答】解：（1）A∪B={x|1≤x≤8}，∁R A═{x|x≥5或x＜1}，（∁RA）∩B═{x|5≤x≤8}，（2）∵A∩C=C，∴C⊆A当C=∅时 a+3＜﹣a解得a≤﹣当C≠∅时解得：﹣综上所述：a≤﹣1【点评】本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合间的关系，解答的关键是端点值的取舍，是基础题．18．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知f（α）=+cos（2π﹣α）．（1）化简f（α）；（2）若f（α）=，求+的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）利用诱导公式即可化简求值得解．（2）将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式可求sinαcosα的值，即可化简所求计算得解．【解答】解：（1）f（α）=+cosα=sinα+cosα．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）∵f（α）=sinα+cosα=，∴1+2sinαcosα=，∴sinαcosα=﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴+==﹣．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知函数f（x）=log2（1）判断f（x）的奇偶性并证明；（2）若f（3m+1）＜f（m），求m的取值范围．【考点】复合函数的单调性；函数奇偶性的判断；对数函数的图象与性质．【分析】（1）f（x）为奇函数，结合对数的运算性质和奇偶性的定义，可得答案．（2）根据复合函数的单调性“同增异减”的原则，可得f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，则f（3m+1）＜f（m）可化为：﹣1＜m＜3m+1＜1，解得答案．【解答】解：（1）f（x）为奇函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）证明如下：因为，定义域为（﹣1，1）关于原点对称﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣f（﹣x）=，∴f（x）+f（﹣x）=0，即f（﹣x）=﹣f（x），故f（x）为奇函数﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）令u==﹣1为（﹣1，1）上的减函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）由复合函数的单调性可知f（x）在定义域（﹣1，1）上是减函数，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以f（3m+1）＜f（m）可化为：﹣1＜m＜3m+1＜1，解得：＜m＜0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，函数的奇偶性，对数函数的图象和性质，难度中档．20．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知函数g（x）=x2﹣（m﹣1）x+m﹣7．（1）若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，求实数m的取值范围；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，求实数m的取值范围．【考点】二次函数的性质；函数单调性的判断与证明．【分析】（1）求出函数的对称轴，根据二次函数的单调性求出m的范围即可；（2）问题转化为x2﹣（m+1）x+m+2＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，设h（x）=x2﹣（m+1）x+m+2，求出函数的对称轴，通过讨论对称轴的范围，求出m的范围即可．【解答】解：（1）对称轴x=，且图象开口向上．若函数g（x）在[2，4]上具有单调性，则满足≤2或≥4，解得：m≤5或m≥9；（2）若在区间[﹣1，1]上，函数y=g（x）的图象恒在y=2x﹣9图象上方，则只需：x2﹣（m﹣1）x+m﹣7＞2x﹣9在区间[﹣1，1]恒成立，即x2﹣（m+1）x+m+2＞0对任意x∈[﹣1，1]恒成立，设h（x）=x2﹣（m+1）x+m+2其图象的对称轴为直线x=，且图象开口向上①当≥1即m≥1时，h（x）在[﹣1，1]上是减函数，=h（1）=2＞0，所以h（x）min所以：m≥1；②当﹣1＜＜1，即﹣3＜m＜1，函数h（x）在顶点处取得最小值，=h（）=m+2﹣＞0，解得：1﹣2＜m＜1；即h（x）min③当≤﹣1即m≤﹣3时，h（x）在[﹣1，1]上是增函数，所以，h（x）min=h（﹣1）=2m+4＞0，解得：m＞﹣2，此时，m∈∅；综上所述：m＞1﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性以及分类讨论思想，是一道中档题．21．（12分）（2014秋•增城市期末）某化工厂生产的一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%．若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知：lg2=0.3010，lg3=0.4771）【考点】指数函数的实际应用．【分析】设出过滤次数，由题意列出基本不等式，然后通过求解指数不等式得n的取值．【解答】解：设过滤n次，则，即，∴n≥．又∵n∈N，∴n≥8．即至少要过滤8次才能达到市场要求．【点评】本题考查了等比数列，考查了等比数列的通项公式，训练了指数不等式的解法，是基础题．22．（12分）（2016秋•扶余县校级期中）已知f（x）=ln（e x+1）+ax是偶函数，g（x）=e x ﹣be﹣x是奇函数．（1）求a，b的值；（2）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（3）若不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断．【分析】（1）根据函数奇偶性的性质即可求a，b的值；（2）根据指数函数的单调性即可判断g（x）的单调性；（3）根据函数的单调性将不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，进行转化，即可求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=ln（e x+1）﹣ax是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）﹣f（x）=0，则ln（e﹣x+1）+ax﹣ln（e x+1）+ax=0，ln（e x+1）﹣x+2ax﹣ln（e x+1）=0，则（2a﹣1）x=0，即2a﹣1=0，解得a=．若g（x）=e x﹣be﹣x是奇函数．则g（0）=0，即1﹣b=0，解得b=1；（2）∵b=1，∴g（x）=e x﹣e﹣x，则g（x）单调递增；（3）由（II）知g（x）单调递增；则不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，等价为f（x）＞m﹣x在[1，+∞）上恒成立，即ln（e x+1）﹣x＞m﹣x在[1，+∞）上恒成立，则m＜ln（e x+1）+x，设m（x）=ln（e x+1）+x，则m（x）在[1，+∞）上单调递增。
山东省临沂市罗庄区2019-2020学年高一上期中数学试卷及答案
满足
f
(x1) f (x2 ) x1 x2
0 ，若 a,b R ，且 a b
0， ab
0 ，则
f
(a)
f
(b) 的值
A. 恒大于
B. 恒小于
C. 等于
D. 无法判断
10.李冶（
），真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗
人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问
C. [4, 0]
D. [16, 0]
4.设集合 A
x | x2 x
，
B
x
|
1
1
，则
x
A. (0, 1]
B. [0, 1]
C. (, 1]
D. (, 0) (0, 1]
5.下列函数中，既是偶函数，又在区间 (, 0) 上为减函数的为
A． y 1 x
B． y x2
C． y | x | D． y | x | 1
高一质量调研试题
数学
2019.11
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共 150 分，考试时间 120 分钟. 注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性 笔和 2B 铅笔分别涂写在答题卡上；
2. 将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.
线上.
14.已知集合 A x | x2 x 12 0 ， B x | 2m 1 x m 1，且 A B B ，则
实数 m 的取值范围是
.
15.若“ x R ，(a 2)x 1 0 ”是真命题，则实数 a 的取值集合是
．
16. 已 知 关 于 实 数 x 的 不 等 式 x2 5ax 2a2 0 (a 0) 的 解 集 为 (x1, x2 ) ， 则
2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高一（上）期中数学试卷一、选择题：（一）单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{0I =，1，2，3}，集合{0A =，1，2}，集合{2B =，3}，则I IA B 痧等于()A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，1，3}D ．{0，1，2，3}2．已知x R ∈，则“1x >”是“2x x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题“0x R ∃∈，2040x ax a +-<”为假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[16-，0] B ．(16,0)- C ．[4-，0] D ．(4,0)-4．设集合2{|}A x x x =…，1{|1}B x x=…，则(AB = )A ．(-∞，1]B ．[0，1]C ．(0，1]D ．(-∞，0)(0⋃，1]5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)-∞上为减函数的为( ) A ．1y x=B ．2y x =-C ．||y x =-D ．||1y x =+6．幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<7．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．当(2x ∈，3]时，函数()f x 的值域是( ) A ．1[4-，0]B ．1[2-，0]C ．[1-，0]D ．(-∞，0]8．设2:2310p x x -+…，22:(21)0q x a x a a -+++…，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，1]2B ．1(0,)2C ．(-∞，10][2，)+∞D ．(-∞，10)(2⋃，)+∞9．函数95241()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，0ab <，则f （a ）f +（b ）的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断10．李冶(11921279)-，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注:240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）( ) A ．10步、50步B ．20步、60步C ．30步、70步D ．40步、80步二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有两项或多项是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分. 11．给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④12．关于x 的方程2||0ax x a -+=有四个不同的实数解，则实数a 的值可能是( ) A ．12B ．13C ．14D ．1613．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是( ) A ．228a b +…B ．114ab … C2 D ．111a b+… 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题纸给定的横线上. 14．已知集合2{|120}A x x x =--…，{|211}B x m x m =-<<+，且A B B =，则实数m 的取值范围是 ．15．若“x R ∀∈，(2)10a x -+>”是真命题，则实数a 的取值集合是 ． 16．已知关于实数x 的不等式22520(0)x ax a a -+<>的解集为1(x ，2)x ，则1212ax x x x ++的最小值是 ．17．某辆汽车以/xkm h 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k L x-+，其中k 为常数．若汽车以120/km h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，则k = ，欲使每小时的油耗不超过9L ，则速度x 的取值范围为 ．三、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程 18．已知集合{|3M x x =<-，或5}x >，{|()(8)0}P x x a x =--…． （1）求{|58}MP x x =<…的充要条件；（2）求实数a 的一个值，使它成为{|58}MP x x =<…的一个充分但不必要条件．19．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．（1）当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围． 20．已知不等式250ax x b -+>的解是32x -<<，设2{|50}A x bx x a =-+>，3{|5}1B x x =+…． （1）求a ，b 的值； （2）求AB 和()U AB ð．21．已知函数22()2()f x x x a =+- （1）讨论()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若()2f x >对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若()f x 在[0，1]上有最大值9，求a 的值．22．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （元)表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）． （1）求函数()y f x =的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 23．设关于x 的方程2220x ax --=的两根分别为α、()βαβ<，函数24()1x af x x -=+ （1）证明()f x 在区间(,)αβ上是增函数；（2）当a为何值时，()f x在区间[α，]β上的最大值与最小值之差最小．2019-2020学年山东省临沂市罗庄区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（一）单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集{0I =，1，2，3}，集合{0A =，1，2}，集合{2B =，3}，则I IA B 痧等于()A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，1，3}D ．{0，1，2，3}【解答】解：全集{0I =，1，2，3}，集合{0A =，1，2}，集合{2B =，3}， {3}{0I I A B ∴==痧，1} {0I IAB ∴=痧，1，3}故选：C ．2．已知x R ∈，则“1x >”是“2x x >”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由2x x >得1x >或0x <， 则“1x >”是“2x x >”的充分不必要条件， 故选：A ．3．已知命题“0x R ∃∈，2040x ax a +-<”为假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[16-，0] B ．(16,0)- C ．[4-，0] D ．(4,0)-【解答】解：“0x R ∃∈，20040x ax a +-<”为假命题，等价于x R ∀∈，240x ax a +-…为真命题，∴△2160a a =+…，解得160a -剟， 故选：A ．4．设集合2{|}A x x x =…，1{|1}B x x=…，则(AB = )A ．(-∞，1]B ．[0，1]C ．(0，1]D ．(-∞，0)(0⋃，1]【解答】解：[0A =，1]，(0B =，1]； (0AB ∴=，1]．故选：C ．5．下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)-∞上为减函数的为( ) A ．1y x=B ．2y x =-C ．||y x =-D ．||1y x =+【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A ，1y x=，是反比例函数，是奇函数不是偶函数，不符合题意； 对于B ，2y x =-，是二次函数，是偶函数，在区间(,0)-∞上为增函数，不符合题意； 对于C ，,0||,0x x y x x x <⎧=-=⎨-⎩…，为偶函数，在区间(,0)-∞上为增函数，不符合题意；对于D ，1,0||11,0x x y x x x +⎧=+=⎨-+<⎩…，为偶函数，又在区间(,0)-∞上为减函数，符合题意；故选：D ．6．幂函数的图象经过点1(,2)2，若01a b <<<，则下列各式正确的是( )A ．11()()()()f a f b f f b a <<<B ．11()()()()f f f b f a a b <<<C ．11()()()()f a f b f f a b<<<D ．11()()()()f f a f f b a b<<<【解答】解：设幂函数解析式为：y x α= (α为常数）， 幂函数的图象经过点1(,2)2，∴1()22α=，解得1α=-， ∴幂函数解析式为：11y x x-==， ∴幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， 01a b <<<，1101a b b a∴<<<<<， 又幂函数1y x=在(0,)+∞上单调递减， f ∴（a ）f >（b ）11()()f f b a>>，故选：B ．7．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．当(2x ∈，3]时，函数()f x 的值域是( ) A ．1[4-，0]B ．1[2-，0]C ．[1-，0]D ．(-∞，0]【解答】解：当(2x ∈，3]时，2(0x ∴-∈，1]， 又当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-， (2)(2)(3)f x x x ∴-=--， (1)2()f x f x +=， 1()(1)2f x f x ∴=+， 1111(2)(1)()()2224f x f x f x f x ∴-=-==， ∴1()(2)(3)4f x x x =--， ()4(2)(3)f x x x ∴=--，((2,3])x ∈ ()f x ∴的值域为[1-，0]．故选：C ．8．设2:2310p x x -+…，22:(21)0q x a x a a -+++…，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，1]2B ．1(0,)2C ．(-∞，10][2，)+∞D ．(-∞，10)(2⋃，)+∞【解答】解：2:2310p x x ⌝-+>，22:(21)0q x a x a a ⌝-+++>； 解22310x x -+>得12x <，或1x >，解22(21)0x a x a a -+++>得x a <，或1x a >+； 若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件；∴1211a a ⎧⎪⎨⎪+⎩……，解得102a 剟，即实数a 的取值范围是1[0,]2． 故选：A ．9．函数95241()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，对任意1x ，2(0,)x ∈+∞，且12x x ≠，满足1212()()0f x f x x x ->-，若a ，b R ∈，且0a b +>，0ab <，则f （a ）f +（b ）的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【解答】解：根据题意，得 95241()(1)mm f x m m x --=--是幂函数，211m m ∴--=，解得2m =或1m =-； 又()f x 在第一象限是增函数，且当2m =时，指数95422120150⨯--=>，满足题意； 当1m =-时，指数954(1)(1)140⨯----=-<，不满足题意； ∴幂函数2015()f x x =是定义域R 上的奇函数，且是增函数；又a ，b R ∈，且0a b +>，a b ∴>-， 又0ab <，不妨设0b <，即0a b >->，f ∴（a ）()0f b >->， ()f b f -=-（b ）， f ∴（a ）f >-（b ），f ∴（a ）f +（b ）0>． 故选：A ．10．李冶(11921279)-，真定栾城（今属河北石家庄市）人，金元时期的数学家、诗人、晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径，正方形的边长等，其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是（注:240平方步为1亩，圆周率按3近似计算）( ) A ．10步、50步B ．20步、60步C ．30步、70步D ．40步、80步【解答】解：由题意，设圆池直径为m ，方田边长为40步m +． 方田面积减去水池面积为13.75亩， 22(40)()13.752402mm π∴+-=⨯．解得：20m =． 即圆池直径20步那么：方田边长为40步20+步60=步． 故选：B ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有两项或多项是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对得2分，错选得0分. 11．给出下列四个条件：①22xt yt >；②xt yt >；③22x y >；④110x y<<．其中能成为x y >的充分条件的是( ) A ．①B ．②C ．③D ．④【解答】解：①．由22xt yt >可知，20t >，故x y >．故①是．②．由xt yt >可知，0t ≠，当0t <时，有x y <；当0t >时，有x y >．故②不是． ③由22x y >，则||||x y >，推不出x y >，故③不是； ④．由110x y <<．由函数1y x=在区间(0,)+∞上单调递减，可得0x y >>，故④是． 故选：AD ．12．关于x 的方程2||0ax x a -+=有四个不同的实数解，则实数a 的值可能是( ) A ．12B ．13C ．14D ．16【解答】解：若12a =，则22||10x x -+=，方程由两个解：1±，不满足题意， 若13a =，则23||10x x -+=，△940=->，||x 有两个正数解，所以方程有4个不同的实数解，满足题意． 若14a =，则24||10x x -+=，△1640=->，||x 有两个正数解，所以方程有4个不同的实数解，满足题意． 若16a =，则2||6||10x x -+=，△3640=->，||x 有两个正数解，所以方程有4个不同的实数解，满足题意． 故选：BCD ．13．若0a >，0b >，且4a b +=，则下列不等式恒成立的是( )A ．228a b +…B ．114ab … C 2 D ．111a b+… 【解答】解：由题意，可知22216()2224a b a b ab ab ab ab =+=+++=…，4ab ∴…．则28ab …，221621688a b ab ∴+=--=…．故选项A 正确；4a b =+…，∴2，4ab …．0a >，0b >，0ab ∴>． ∴114ab …，故选项B 正确；2，故选项C 错误；对于选项1144:14a b D a b ab ab ++===…． 故选项D 错误． 故选：AB ．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题纸给定的横线上. 14．已知集合2{|120}A x x x =--…，{|211}B x m x m =-<<+，且A B B =，则实数m 的取值范围是 [1-，)+∞ ．【解答】解：{|34}A x x =-剟，{|211}B x m x m =-<<+， AB B =，B A ∴⊆，①B =∅时，211m m -+…，解得2m …； ②B ≠∅时，221314m m m <⎧⎪--⎨⎪+⎩……，解得12m -<…，∴实数m 的取值范围是[1-，)+∞．故答案为：[1-，)+∞．15．若“x R ∀∈，(2)10a x -+>”是真命题，则实数a 的取值集合是 {2} ． 【解答】解：若命题“对x R ∀∈，都有(2)10a x -+>”是真命题， 只要20a -=，即2a =， 故答案为：{2}．16．已知关于实数x 的不等式22520(0)x ax a a -+<>的解集为1(x ，2)x ，则1212ax x x x ++的【解答】解：由题意，根据根与系数的关系，有125x x a +=，2122x x a =．1221215510222a a x x a a a x x aa a∴++=+=+=+…． 当且仅当152a a=，即a =时，1212a x x x x +++． ．17．某辆汽车以/xkm h 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求60120)x 剟时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为14500()5x k L x-+，其中k 为常数．若汽车以120/km h 的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L ，则k = 100 ，欲使每小时的油耗不超过9L ，则速度x 的取值范围为 ．【解答】解：记每小时的油耗为y ，则根据题意：14500()5y x k x=-+， 则当120x =时，14500(120)11.55120y k =-+=，解得100k =， 所以14500(100)5y x x=-+ 当9y …时，即14500(100)95x x-+…，解得45100x 剟， 又因为60120x 剟，则x 的取值范围为[60，100]， 故答案为100；[60，100]．三、解答题：本大题共6小题，共82分，解答应写出文字说明、证明过程18．已知集合{|3M x x =<-，或5}x >，{|()(8)0}P x x a x =--…．（1）求{|58}M P x x =<…的充要条件；（2）求实数a 的一个值，使它成为{|58}MP x x =<…的一个充分但不必要条件． 【解答】解：（1）集合{|3M x x =<-，或5}x >，{|()(8)0}P x x a x =--…．若8a …，则{|8}M P x x a =剟，不满足条件；若58a <<，则{|8}M P x a x =<…，不满足条件；若35a -剟，则{|58}M P x x =<…，满足条件；若3a <-，则{|3MP x a x =<<-，或58}x <…，不满足条件； 故{|58}M P x x =<…的充要条件为[3a ∈-，5]（2）任取[3a ∈-，5]，如0a =，则“0a =”时，{|58}MP x x =<…成立， 但“{|58}M P x x =<…”时，“0a =”不一定成立， 故0a =即为{|58}MP x x =<…的一个充分但不必要条件． （注：任取[3a ∈-，5]，均可）19．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠．（1）当1a =，2b =-时，求函数()f x 的不动点；（2）对任意的实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）当1a =，2b =-时，2()3f x x x =--，因为0x 为()f x 的不动点，所以20003x x x --=即200230x x --=解得01x =-，03x =，所以1-和3是2()3f x x x =--的不动点，（2）因为()f x 恒有两个相异的不动点即方程()f x x =恒有两个不同的解，即2()(1)1f x ax b x b x =+++-=，即210ax bx b ++-=有两个不相等的实根，所以24(1)0b a b -->恒成立，即对于任意b R ∈，2440b ab a -+>恒成立，所以22(4)4(4)00a a a a --<⇒-<，所以01a <<，即a 的取值范围为(0,1)．20．已知不等式250ax x b -+>的解是32x -<<，设2{|50}A x bx x a =-+>，3{|5}1B x x =+…． （1）求a ，b 的值；（2）求A B 和()U A B ð．【解答】解：（1）根据题意知，3x =-，2是方程250ax x b -+=的两实数根；∴由韦达定理得，53232a b a⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩； 解得5a =-，30b =；（2）由上面，5a =-，30b =；{}21130550{|,}32A x x x x x x ∴=--=-或，且2{|1}5B x x =-<-…； ∴2{|1}5AB x x =-<-…，21,5U B x x x ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭或…ð； ∴()12{|,}35U A B x x x =--或ð． 21．已知函数22()2()f x x x a =+-（1）讨论()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若()2f x >对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）若()f x 在[0，1]上有最大值9，求a 的值．【解答】解：（1）当0a =时，2()3f x x =，()()f x f x -=，为偶函数；当0a ≠时，22()32f x x ax a =-+，非奇非偶函数；（2）由22()2()2f x x x a =+->恒成立，可得223220x ax a -+->恒成立，∴△22412(2)0a a =--<，23a ∴>，解可得，a <a >（3）22()32f x x ax a =-+，对称轴为3a x =， ①当132a …，即32a …时，2()(1)239max f x f a a ==-+=，解得1a =-或1a =②当132a >，即32a >时，2()(0)9max f x f a ===，解得3a =或3a =-（舍去），综上：1a =-3a =．22．某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （元)表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）．（1）求函数()y f x =的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？【解答】解：（1）当6x …时，50115y x =-，令501150x ->，解得 2.3x >．*x N ∈，3x ∴…，36x ∴剟，*x N ∈， 当6x >时，[503(6)]115y x x =---．令[503(6)]1150x x --->，有23681150x x -+<，上述不等式的整数解为*220()x x N ∈剟， *620()x x N ∴<∈…．故*2*50115(36)368115(620)x x x N y x x x x N ⎧-∈=⎨-+-<∈⎩剟…， 定义域为{|320x x 剟，*}x N ∈．（2）对于*50115(36,)y x x x N =-∈剟． 显然当6x =时，185max y =（元)， 对于22*348113681153()(620,)33y x x x x x N =-+-=--+<∈…． 当11x =时，270max y =（元)．270185>，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多． 23．设关于x 的方程2220x ax --=的两根分别为α、()βαβ<，函数24()1x a f x x -=+ （1）证明()f x 在区间(,)αβ上是增函数；（2）当a 为何值时，()f x 在区间[α，]β上的最大值与最小值之差最小．【解答】解：（1）证明：设2()22x x ax Φ=--，则当x αβ<<时，()0x Φ<．2222224(1)2(4)2(22)()0(1)(1)x x x a x ax f x x x +----'==->++， ∴函数()f x 在(,)αβ上是增函数．（2）由关于x 的方程2220x ax --=的两根分别为α、()βαβ<，可得α，β=24()1a f ααα-==+，()f β= 即有2264()()4016f f a a αβ-==-<+-， 函数()f x 在[α，]β上最大值()0f β>，最小值()0f α<， ∴当且仅当()()2f f βα=-=时，()()|()||()|f f f f βαβα-=+取最小值4， 此时0a =，()2f β=．当0a =时，()f x 在区间[α，]β上的最大值与最小值之差最小．。
数学---山东省临沂市兰山区2017-2018学年高一(上)期中试卷(解析版)
山东省临沂市兰山区2017-2018学年高一（上）期中数学试卷一、选择题1．（3分）已知函数f（x）=log2（x+1），若f（α）=1，α=（）A．0 B．1 C．2 D．32．（3分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1} B．{1} C．{﹣1，1} D．{0，1}3．（3分）定义域为（0，+∞）的函数是（）A．B．C．D．4．（3分）下列各等式中，正确的是（）A．=±a B．=C．a0=1 D．=5．（3分）函数f（x）=x+ln x的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，e）6．（3分）某品牌的笔记本电脑成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电话，12年后的价格可降为（）A．2400元B．900元C．300元D．3600元7．（3分）已知a＞0，下列函数中，在区间（0，a）上一定是减函数的是（）A．f（x）=ax+b B．f（x）=x2﹣2ax+1 C．f（x）=a x D．f（x）=log a x 8．（3分）函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是7，则指数函数y=a x在[0，2]上的最大值与最小值的和为（）A．6 B．5 C．3 D．49．（3分）已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，2] C．[2，+∞） D．（2，+∞）10．（3分）函数f（x）=|x|+k有两个零点，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．0≤k＜1 D．k=011．（3分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，并且α，β是方程f（x）=0的两实根，则实数α，β，a，b的大小关系可能是（）A．α＜a＜b＜βB．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜βD．α＜a＜β＜b12．（3分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足下列三个条件①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．则下列结论中，正确的是（）A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）二、填空题13．（3分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于．14．（3分）为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0，各种方案的运煤总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是．（填写所有正确的编号）15．（3分）已知，则f（x）的值域为．16．（3分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是．三、解答题17．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．18．指数函数的图象如图所示．（1）在已知图象的基础上画出指数函数的图象；（2）求y=ax2+bx的顶点的横坐标的取值范围．19．已知函数f（x）=．（I）判断f（x）的奇偶性；（II）求证：f（x）+f（）为定值；（III）求+++f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．20．已知函数f（x）=1og a（a＞0，且a≠1）是奇函数．（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明．21．我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）．试求f（x）和g（x）；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？22．已知函数f（x）=a x﹣a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．（1）求实数a；（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式；（3）对于定义在（1，4]上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]2≤h（x2）+h（x）m+6恒成立，求m的取值范围．【参考答案】一、选择题1．B【解析】∵f（α）=log2（α+1）=1∴α+1=2，故α=1，故选B．2．B【解析】由集合B中的不等式变形得：20≤2x＜22，解得：0≤x＜2，∴B=[0，2），又A={﹣1，1}，则A∩B={1}．故选：B.3．D【解析】函数的定义域为[0，+∞）；函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）；函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；函数的定义域为（0，+∞）；故选：D．4．D【解析】∵，A错，，B错；a0=1中a≠0，C错；=，D正确．故选D.5．B【解析】令f（x）=x+ln x=0，可得ln x=﹣x，再令g（x）=ln x，h（x）=﹣x，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（0，1），从而函数f（x）的零点在（0，1），故选B．6．A【解析】12年后的价格可降为=8100×=2400元．故选：A．7．B【解析】∵a＞0，则函数f（x）=ax+b的斜率大于0，直线f（x）=ax+b的倾斜为锐角，函数f（x）=ax+b在定义域R上为增函数，不满足在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=x2﹣2ax+1，图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=a，所以该函数在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=a x，当0＜a＜1时，该函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；对于函数f（x）=log a x，当0＜a＜1时，函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；故满足a＞0，在区间（0，a）上一定是减函数的是f（x）=x2﹣2ax+1．故选B．8．B【解析】若a＞1，则指数函数y=a x在[0，2]上单调递增；函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是2a2﹣1=7，∴a2=4，又∵指数函数y=a x在[0，2]上的最大值与最小值的和为a0+a2=1+a2=5，若0＜a＜1，则指数函数y=a x在[0，2]上单调递减；则函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是2a0﹣1=7，不合，舍去．故选B．9．B【解析】∵函数f（x）=m+log2x2在[1，2]单调递增，∴函数f（x）的值域为[m，2+m]，∵f（x）≤4，∴2+m≤4，解得m≤2，∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．10．A【解析】由题意可得函数y=|x|的图象和直线y=﹣k有两个交点，数形结合可得﹣k＞0，即k＜0，故选：A11．A【解析】方法1：方程化为一般形式得：x2﹣（a+b）x+ab﹣2=0，∵α，β是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2=0的两根，∴α+β=a+bf（α）=0，f（β）=0，f（a）＜0，f（b）＜0又二次函数图象开口向上，所以必有α＜a＜b＜β；故选：A．方法2：令w=（x﹣a）（x﹣b），作出图象抛物线与x轴交于点a，b．则y=（x﹣a）（x﹣b）﹣2的图象是将w向下平移2个单位得到，如图则α、β是抛物线y与x轴的两个交点．在图上可以直接看到α＜a＜b＜β．故选：A．12．B【解析】定义在实数集R上的函数f（x）满足：①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．函数是周期函数，周期为4；②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．说明函数在x∈[0，2]，函数是增函数；③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．函数的对称轴x=2．则函数在x∈[2，4]，函数是增函数；f（7）=f（3）=f（1）；f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）；f（4.5）=f（0.5）；f（1.5）＞f（1）＞f（0.5）．可得f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）．故选：B．二、填空题13．﹣10【解析】∵f（﹣2）=﹣8a﹣2b﹣4=2∴8a+2b=﹣6∴f（2）=8a+2b﹣4=﹣10故答案为：﹣1014．②【解析】单位时间的运输量逐步提高时，运输量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，故函数的图象一直是下凹的，仅有②符合题意，故答案为：②．15．（0，+∞）【解析】知，当x＜0时，函数f（x）=2x单调递增，根据指数函数的性质可得：0＜f（x）＜1．当x≥0时，函数f（x）=x+1单调递增，根据指数函数的性质可得：f（x）≥1，综上可得函数f（x）的值域为（0，+∞）．故答案为（0，+∞）．16．①③④【解析】如图，①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③④．三、解答题17.解：（1）∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A={x|1≤x≤3}，∵log2x＞1，即log2x＞log22，∴x＞2，∴B={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x≤3}；C R B={x|x≤2}，∴C R B∪A={x|x≤3}；（2）由（1）知A={x|1≤x≤3}，当C⊆A，当C为空集时，a≤1；当C为非空集合时，可得1＜a≤3，综上所述a≤3．18．解：（1）由已知图象知，∴，∴的图象如图所示．（2）∵y=ax2+bx的顶点横坐标为，∴，∴y=ax2+bx的顶点横坐标的取值范围是．19．（I）解：∵函数f（x）=．∴函数f（x）=的定义域R，定义域关于原点对称．又，∴f（x）是偶函数．（Ⅱ）证明：∵，∴为定值．（Ⅲ）解：由（II）知，+++f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）==0+f（1）=0．20．解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）在其定义域内恒成立，即．∴1﹣m2x2=1﹣x2，得m=±1．当m=1时，，故m=1不合题意，舍去．∴m=﹣1．（2）当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．证明如下：由（1）得（a＞0，且a≠1），任取x1，x2∈（1，+∞），设x1＜x2，令，则，．∴．∵x1＞1，x2＞1，x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x2＞0，∴t（x1）＞t（x2）．∴当a＞1时，，函数f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．21．解：（1）f（x）=5x，（15≤x≤40），，（2）由f（x）=g（x）得或即x=18或x=10（舍）当15≤x＜18时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＜0，∴f（x）＜g（x）即选甲家当x=18时，f（x）=g（x）即选甲家也可以选乙家当18＜x≤30时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．当30＜x≤40时，f（x）﹣g（x）=5x﹣（2x+30）=3x﹣30＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．综上所述：当15≤x＜18时，选甲家；当x=18时，选甲家也可以选乙家；当18＜x≤40时，选乙家．22．解：（1）由已知a2﹣a+1=2，∴a=2．（2）∵f（x）=2x﹣2+1，∴g（x）=2x，∴h（x）=log2x（x＞0），（3）要使不等式有意义：则有1＜x≤4且1＜x2≤4，∴1＜x≤2，据题有在（1，2]恒成立，∴设t=log2x（1＜x≤2），∴0＜t≤1，∴（t+2）2≤2t+tm+6在（0，1]时恒成立．即：在[0，1]时恒成立，设，t∈（0，1]单调递增，∴t=1时，有y max=1，∴m≥1．。
2018-2019学年山东省临沂市罗庄区高一(上)期中数学试卷(含解析)
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 设全集������ = {������ ∈ ������|������ < 6}，集合������ = {������,3}，������ = {3,5}，则(∁������������) ∩ (∁������������) = ( )
������
1 2
1 1，得到������
> ������ > 1 > ������ > ������ > 0
1
设集合������ = {������|������ = ������������(������ + 2) + 1 ‒ ������}，������ = {������|������ ‒ ������ > 0}，若������ ⊆ ������，则实数 a 的取值范围是( )
【解析】解：根据指数函数和幂函数的性质，
1 1 2 2 对于选项：A、1.3 < 1.5 ，
故错误．
1 1 3 3 对于选项 B：3.14 < ������ ，
A. {2,4}
【答案】C
B. {2,4，6}Fra bibliotekC. {0,2，4}
D. {0,2，4，6}
故错误． 对于选项 C：( ‒ 0.5) 故错误， 故选：D． 直接利用指数函数和幂函数的性质求出结果． 本题考查的知识要点：指数函数和幂函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础 题型．
【答案】B
2 2 【解析】解：对于 A，������ = ������ = |������|(������ ∈ ������)，与������ = ( ������) = ������(������ ≥ 0)的定义域不同，对应关系也不同，不是
2017-2018学年山东省临沂市兰山区高一上学期期中数学试卷和解析
2017-2018学年山东省临沂市兰山区高一（上）期中数学试卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知函数f（x）=log2（x+1），若f（α）=1，α=（）A．0 B．1 C．2 D．32．（3分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1}B．{1}C．{﹣1，1}D．{0，1}3．（3分）定义域为（0，+∞）的函数是（）A．B．C．D．4．（3分）下列各等式中，正确的是（）A．=±a B．=C．a0=1 D．=5．（3分）函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（1，e）6．（3分）某品牌的笔记本电脑成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电话，12年后的价格可降为（）A．2400元B．900元C．300元D．3600元7．（3分）已知a＞0，下列函数中，在区间（0，a）上一定是减函数的是（）A．f（x）=ax+b B．f（x）=x2﹣2ax+1 C．f（x）=a x D．f（x）=log a x8．（3分）函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是7，则指数函数y=a x在[0，2]上的最大值与最小值的和为（）A．6 B．5 C．3 D．49．（3分）已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（2，+∞）10．（3分）函数f（x）=|x|+k有两个零点，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．0≤k＜1 D．k=011．（3分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，并且α，β是方程f（x）=0的两实根，则实数α，β，a，b的大小关系可能是（）A．α＜a＜b＜β B．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜βD．α＜a＜β＜b12．（3分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足下列三个条件①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．则下列结论中，正确的是（）A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）二、填空题（将答案填在题中的横线上）13．（3分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于．14．（3分）为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0，各种方案的运煤总量Q与时间t 的函数关系如图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是．（填写所有正确的编号）15．（3分）已知，则f（x）的值域为．16．（3分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．18．指数函数的图象如图所示．（1）在已知图象的基础上画出指数函数的图象；（2）求y=ax2+bx的顶点的横坐标的取值范围．19．已知函数f（x）=．（I）判断f（x）的奇偶性；（II）求证：f（x）+f（）为定值；（III）求+++f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．20．已知函数f（x）=1og a（a＞0，且a≠1）是奇函数．（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明．21．我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）．试求f（x）和g（x）；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？22．已知函数f（x）=a x﹣a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．（1）求实数a；（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a 个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式；（3）对于定义在（1，4]上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]2≤h（x2）+h（x）m+6恒成立，求m的取值范围．2017-2018学年山东省临沂市兰山区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）已知函数f（x）=log2（x+1），若f（α）=1，α=（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵f（α）=log2（α+1）=1∴α+1=2，故α=1，故选：B．2．（3分）已知集合A={﹣1，1}，B={x|1≤2x＜4}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1}B．{1}C．{﹣1，1}D．{0，1}【解答】解：由集合B中的不等式变形得：20≤2x＜22，解得：0≤x＜2，∴B=[0，2），又A={﹣1，1}，则A∩B={1}．故选：B．3．（3分）定义域为（0，+∞）的函数是（）A．B．C．D．【解答】解：函数的定义域为[0，+∞）；函数的定义域为（0，1）∪（1，+∞）；函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）；函数的定义域为（0，+∞）；故选：D．4．（3分）下列各等式中，正确的是（）A．=±a B．=C．a0=1 D．=【解答】解：∵，A错，，B错；a0=1中a≠0，C错；=，D正确．故选：D．5．（3分）函数f（x）=x+lnx的零点所在的区间为（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（1，e）【解答】解：令f（x）=x+lnx=0，可得lnx=﹣x，再令g（x）=lnx，h（x）=﹣x，在同一坐标系中画出g（x），h（x）的图象，可知g（x）与h（x）的交点在（0，1），从而函数f（x）的零点在（0，1），故选：B．6．（3分）某品牌的笔记本电脑成本不断降低，若每隔4年价格就降低，则现在价格为8100元的笔记本电话，12年后的价格可降为（）A．2400元B．900元C．300元D．3600元【解答】解：12年后的价格可降为=8100×=2400元．故选：A．7．（3分）已知a＞0，下列函数中，在区间（0，a）上一定是减函数的是（）A．f（x）=ax+b B．f（x）=x2﹣2ax+1 C．f（x）=a x D．f（x）=log a x【解答】解：∵a＞0，则函数f（x）=ax+b的斜率大于0，直线f（x）=ax+b的倾斜为锐角，函数f（x）=ax+b在定义域R上为增函数，不满足在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=x2﹣2ax+1，图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=a，所以该函数在区间（0，a）上一定是减函数；对于函数f（x）=a x，当0＜a＜1时，该函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；对于函数f（x）=log a x，当0＜a＜1时，函数在R上为减函数，当a＞1时，函数在R上为增函数；故满足a＞0，在区间（0，a）上一定是减函数的是f（x）=x2﹣2ax+1．故选：B．8．（3分）函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是7，则指数函数y=a x在[0，2]上的最大值与最小值的和为（）A．6 B．5 C．3 D．4【解答】解：若a＞1，则指数函数y=a x在[0，2]上单调递增；函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是2a2﹣1=7，∴a2=4，又∵指数函数y=a x在[0，2]上的最大值与最小值的和为a0+a2=1+a2=5，若0＜a＜1，则指数函数y=a x在[0，2]上单调递减；则函数y=2a x﹣1在[0，2]上的最大值是2a0﹣1=7，不合，舍去．故选：B．9．（3分）已知函数f（x）=m+log2x2的定义域是[1，2]，且f（x）≤4，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．（﹣∞，2]C．[2，+∞）D．（2，+∞）【解答】解：∵函数f（x）=m+log2x2在[1，2]单调递增，∴函数f（x）的值域为[m，2+m]，∵f（x）≤4，∴2+m≤4，解得m≤2，∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．10．（3分）函数f（x）=|x|+k有两个零点，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．0≤k＜1 D．k=0【解答】解：由题意可得函数y=|x|的图象和直线y=﹣k有两个交点，数形结合可得﹣k＞0，即k＜0，故选：A．11．（3分）已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）﹣2，并且α，β是方程f（x）=0的两实根，则实数α，β，a，b的大小关系可能是（）A．α＜a＜b＜β B．a＜α＜β＜b C．a＜α＜b＜βD．α＜a＜β＜b【解答】解：方法1：方程化为一般形式得：x2﹣（a+b）x+ab﹣2=0，∵α，β是方程（x﹣a）（x﹣b）﹣2=0的两根，∴α+β=a+bf（α）=0，f（β）=0，f（a）＜0，f（b）＜0又二次函数图象开口向上，所以必有α＜a＜b＜β；故选：A．方法2：令w=（x﹣a）（x﹣b），作出图象抛物线与x轴交于点a，b．则y=（x ﹣a）（x﹣b）﹣2的图象是将w向下平移2个单位得到，如图则α、β是抛物线y与x轴的两个交点．在图上可以直接看到α＜a＜b＜β．故选：A．12．（3分）已知定义在实数集R上的函数f（x）满足下列三个条件①对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x）．②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．则下列结论中，正确的是（）A．f（4.5）＜f（6.5）＜f（7）B．f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）C．f（7）＜f（6.5）＜f（4.5）D．f（7）＜f（4.5）＜f（6.5）【解答】解：定义在实数集R上的函数f（x）满足：①对任意的x∈R，都有f （x+4）=f（x）．函数是周期函数，周期为4；②对于任意的x1，x2∈[0，2]，x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）．说明函数在x∈[0，2]，函数是增函数；③函数f（x+2）的图象关于y轴对称．函数的对称轴x=2．则函数在x∈[2，4]，函数是增函数；f（7）=f（3）=f（1）；f（6.5）=f（2.5）=f（1.5）；f（4.5）=f（0.5）；f（1.5）＞f（1）＞f（0.5）．可得f（4.5）＜f（7）＜f（6.5）．故选：B．二、填空题（将答案填在题中的横线上）13．（3分）已知f（x）=ax3+bx﹣4，其中a，b为常数，若f（﹣2）=2，则f（2）的值等于﹣10．【解答】解：∵f（﹣2）=﹣8a﹣2b﹣4=2∴8a+2b=﹣6∴f（2）=8a+2b﹣4=﹣10故答案为：﹣1014．（3分）为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案，据预测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0，各种方案的运煤总量Q与时间t 的函数关系如图所示．在这五种方案中，运煤效率（单位时间的运煤量）逐步提高的是②．（填写所有正确的编号）【解答】解：单位时间的运输量逐步提高时，运输量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，故函数的图象一直是下凹的，仅有②符合题意，故答案为：②．15．（3分）已知，则f（x）的值域为（0，+∞）．【解答】解：知，当x＜0时，函数f（x）=2x单调递增，根据指数函数的性质可得：0＜f（x）＜1．当x≥0时，函数f（x）=x+1单调递增，根据指数函数的性质可得：f（x）≥1，综上可得函数f（x）的值域为（0，+∞）．故答案为（0，+∞）．16．（3分）已知函数（a是常数且a＞0）．对于下列命题：①函数f（x）的最小值是﹣1；②函数f（x）在R上是单调函数；③若f（x）＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；④对任意x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有．其中正确命题的序号是①③④．【解答】解：①由图只需说明在点x=0处函数f（x）的最小值是﹣1；故正确；②由图象说明函函数f（x）在R上不是单调函数；故错；③只需说明f（x）＞0在上恒成立，则当x=时，函数取得最小值，求得a的取值范围是a＞1；故正确；④已知函数函数在（﹣∝，0）上的图象在[0，+∞）上是下凹的，所以任取两点连线应在图象的上方，即f（）＜，故正确．故答案为：①③④．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x＞1}．（1）分别求A∩B，（∁R B）∪A；（2）已知集合C={x|1＜x＜a}，若C⊆A，求实数a的取值范围．【解答】（1）∵3≤3x≤27，即31≤3x≤33，∴1≤x≤3，∴A={x|1≤x≤3}，∵log2x＞1，即log2x＞log22，∴x＞2，∴B={x|x＞2}，∴A∩B={x|2＜x≤3}；C R B={x|x≤2}，∴C R B∪A={x|x≤3}；（2）由（1）知A={x|1≤x≤3}，当C⊆A，当C为空集时，a≤1；当C为非空集合时，可得1＜a≤3，综上所述a≤3．18．指数函数的图象如图所示．（1）在已知图象的基础上画出指数函数的图象；（2）求y=ax2+bx的顶点的横坐标的取值范围．【解答】解：（1）由已知图象知，∴，∴的图象如图所示．（2）∵y=ax2+bx的顶点横坐标为，∴，∴y=ax2+bx的顶点横坐标的取值范围是．19．已知函数f（x）=．（I）判断f（x）的奇偶性；（II）求证：f（x）+f（）为定值；（III）求+++f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）的值．【解答】解：（I）∵函数f（x）=．∴函数f（x）=的定义域R，定义域关于原点对称．又，∴f（x）是偶函数．证明：（Ⅱ）∵，∴为定值．解：（Ⅲ）由（II）知，+++f（1）+f（2015）+f（2016）+f（2017）==0+f（1）=0．20．已知函数f（x）=1og a（a＞0，且a≠1）是奇函数．（1）求m的值；（2）判断f（x）在区间（1，+∞）上的单调性，并用单调性的定义加以证明．【解答】解：（1）∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x）在其定义域内恒成立，即．∴1﹣m2x2=1﹣x2，得m=±1．当m=1时，，故m=1不合题意，舍去．∴m=﹣1．（2）当a＞1时，f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，f（x）在（1，+∞）上是增函数．证明如下：由（1）得（a＞0，且a≠1），任取x1，x2∈（1，+∞），设x1＜x2，令，则，．∴．∵x1＞1，x2＞1，x1＜x2，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x2﹣x2＞0，∴t（x1）＞t（x2）．∴当a＞1时，，函数f（x）在（1，+∞）上是减函数；当0＜a＜1时，，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．21．我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）．试求f（x）和g（x）；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？【解答】解：（1）f（x）=5x，（15≤x≤40）（3分）（6分）（2）由f（x）=g（x）得或即x=18或x=10（舍）当15≤x＜18时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＜0，∴f（x）＜g（x）即选甲家当x=18时，f（x）=g（x）即选甲家也可以选乙家当18＜x≤30时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．（8分）当30＜x≤40时，f（x）﹣g（x）=5x﹣（2x+30）=3x﹣30＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．（10分）综上所述：当15≤x＜18时，选甲家；当x=18时，选甲家也可以选乙家；当18＜x≤40时，选乙家．（12分）22．已知函数f（x）=a x﹣a+1，（a＞0且a≠1）恒过定点（2，2）．（1）求实数a；（2）在（1）的条件下，将函数f（x）的图象向下平移1个单位，再向左平移a 个单位后得到函数g（x），设函数g（x）的反函数为h（x），求h（x）的解析式；（3）对于定义在（1，4]上的函数y=h（x），若在其定义域内，不等式[h（x）+2]2≤h（x2）+h（x）m+6恒成立，求m的取值范围．【解答】解：（1）由已知a2﹣a+1=2，∴a=2．（2）∵f（x）=2x﹣2+1，∴g（x）=2x，∴h（x）=log2x（x＞0），（3）要使不等式有意义：则有1＜x≤4且1＜x2≤4，∴1＜x≤2，据题有在（1，2]恒成立，∴设t=log2x（1＜x≤2），∴0＜t≤1，∴（t+2）2≤2t+tm+6在（0，1]时恒成立．即：在[0，1]时恒成立，设，t∈（0，1]单调递增，∴t=1时，有y max=1，∴m≥1．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
2017-2018学年山东省临沂市高三(上)期中数学试卷和答案(理科)
2017-2018学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|≤2x＜}，B={x|lnx≤0}，则A∩B=（）A． B．[﹣1，0）C． D．[﹣1，1]2．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，log2x=0 B．∀x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，cosx=1 D．∀x∈R，2x＞0 3．（5分）设函数f（x）=，若f（f（1））=1，则b=（）A．B．C．1 D．24．（5分）cos20°sin50°﹣sin200°cos130°的值是（）A．B．C．D．05．（5分）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的第三层和第五层共有（）A．48盏灯B．60盏灯C．64盏灯D．72盏灯6．（5分）下列四个结论：①“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；②∃m∈R，使是幂函数，且在（﹣∞，0）上单调递减；③若x＞0，则x2＞sinx恒成立；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．（5分）已知定义在R上的函数=的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）≥0，则x的取值范围是（）A．[1，3]B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣∞，﹣1]∪（1，3]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，3]9．（5分）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C210．（5分）已知函数f（x）=处的切线方程为y=x﹣，则a=（）A．2 B．﹣2 C．D．11．（5分）在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积是（）A．B．C．D．12．（5分）函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B规定ϕ（A，B）=叫做曲线在点A与点曰之间的“弯曲度”．设曲线y=2e x上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t•ϕ（A，B）＜恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．C．D．（﹣∞，2）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在答题卡给定的横线上．13．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（x，1），若与﹣共线，则x的值等于．14．（5分）在等差数列{a n}中，已知前12项的和等于前6项的和，若a m+a13=0，则m的值等于．15．（5分）已知=．16．（5分）已知函数的图象过点上单调，且将f（x）的图象向左平移π个单位长度之后得到的函数图象与原函数f（x）的图象关于x轴对称，当=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=log8x，g（x）=．（I）求函数g（x）的解析式；（II）求函数g（x）的值域．18．（12分）S n为递增等差数列{a n}的前n项和，已知，S5=30，a1+1，a3，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}的通项公式为，求数列{a n b n}的前n项和T n．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB=b．（I）求角A：（II）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．20．（12分）已知点，O为坐标原点，函数f（x）=，若函数f（x）的图象与x轴的两个相邻交点的距离为．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，f（A）=2．a=，且向量m=（3，sinB）与n=（sinC，﹣2）垂直，求b和c．21．（12分）一家公司计划生产某种当地政府控量的特殊产品，月固定成本为1万元，设该公司一个月内生产该特殊产品x万件并全部销售完（根据当地政府要求1≤x≤3，每生产x万件需要再投入2x万元，每1万件的销售收入为万元，直每生产1万件产品政府给予补助万元．（I）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式；（II）求该公司在生产这种特殊产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）．22．（12分）已知函数f（x）=alnx+x2﹣（a+2）x，其中a为常数，且a≠0．（I）当a＞0时，若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求实数a的值；（II）若a＜0，且函数f（x）有两个不相等的零点x1，x2，证明：x1+x2＞2．2017-2018学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A={x|≤2x＜}，B={x|lnx≤0}，则A∩B=（）A． B．[﹣1，0）C． D．[﹣1，1]【解答】解：集合A={x|≤2x＜}={x|﹣1≤x＜}B={x|lnx≤0}={x|0＜x≤1}，则A∩B={x|0＜x＜}=（0，）．故选：A．2．（5分）下列命题中的假命题是（）A．∃x∈R，log2x=0 B．∀x∈R，x2＞0 C．∃x∈R，cosx=1 D．∀x∈R，2x＞0【解答】解：对于A，令x=1，成立，对于B，x=0时，不成立，对于C，令x=0，成立，对于D，根据指数函数的性质，成立，故选：B．3．（5分）设函数f（x）=，若f（f（1））=1，则b=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：∵函数f（x）=，f（f（1））=1，∴f（1）=，f（f（1））=f（）=，解得b=．故选：B．4．（5分）cos20°sin50°﹣sin200°cos130°的值是（）A．B．C．D．0【解答】解：cos20°sin50°﹣sin200°cos130°=cos20°sin50°﹣sin20°cos50°=sin30°=．故选：B．5．（5分）在我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）．根据此诗，可以得出塔的第三层和第五层共有（）A．48盏灯B．60盏灯C．64盏灯D．72盏灯【解答】解：设第一层有a1盏灯，则{a n}是以a1为首项，2为公比的等比数列，由题意：=381，解得a1=3，∴塔的第三层和第五层共有：a3+a5=3×22+3×24=60盏灯．故选：B．6．（5分）下列四个结论：①“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件；②∃m∈R，使是幂函数，且在（﹣∞，0）上单调递减；③若x＞0，则x2＞sinx恒成立；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2﹣3x+2≠0”．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①“命题p∧q为真”⇔“命题p，q全为真”；“命题p∨q为真”⇔“命题p，q存在真命题”故①“命题p∧q为真”是“命题p∨q为真”的充分不必要条件正确；②若是幂函数，则m=2，此时f（x）=x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减，故正确；③令f（x）=x2﹣sinx，则f（0）=0，f′（x）=2x﹣cosx，故存在a＞0，使f′（a）=0，当x∈（0，a）时，f（x）＜0，即x2＜sinx，故错误；④命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1或x=2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x2﹣3x+2≠0”，故错误；．故选：B．7．（5分）已知定义在R上的函数=的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a【解答】解：∵0.90.9∈（0，1），ln（lg9）＜0，＞1，函数f（x）=在R上单调递减，∴c＜a＜b．故选：C．8．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）≥0，则x的取值范围是（）A．[1，3]B．（﹣∞，﹣1]C．（﹣∞，﹣1]∪（1，3]D．（﹣∞，﹣1]∪[1，3]【解答】解：根据题意，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（2）=0，则当x∈（0，2）时，f（x）＞0，当x∈（2，+∞），f（x）＜0，又由函数f（x）为定义在R上的奇函数，则f（0）=0，且当x∈（﹣2，0）时，f（x）＜0，当x∈（﹣∞，﹣2）时，f（x）＞0，则f（x）≥0的解集为[0，2]∪（﹣∞，﹣2]；若f（x﹣1）≥0，则有0≤x﹣1≤2，或x﹣1≤﹣2，解可得x∈[1，3]∪（﹣∞，﹣1]；故选：D．9．（5分）已知曲线，则下列说法正确的是（）A．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2C．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2D．把曲线C1向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线C2【解答】解：曲线，由C1到C2，则：只有在A、B中选择．把C1上各点横坐标伸长为原来的2倍，得到y=sin x，纵标不变，再把得到的曲线向右平移个单位得到：y=sin[]=cos（）．故选：A．10．（5分）已知函数f（x）=处的切线方程为y=x﹣，则a=（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：f′（x）=，故f′（）==1，解得：a=﹣2，故选：B．11．（5分）在四边形ABCD中，，则四边形ABCD的面积是（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴四边形ABCD是平行四边形，在AB上取点M，在AD上取点N，在AC上取点P，使得AM=AN=AP=1，则=，=，=，∴，∴四边形AMPN是边长为1的菱形，又AP=1，∴∠PAM=60°，∴△APM∽△ABC，∴△ABC是边长为的等边三角形，∴S▱ABCD=2S△ABC=2×××=．故选：D．12．（5分）函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是k A，k B规定ϕ（A，B）=叫做曲线在点A与点曰之间的“弯曲度”．设曲线y=2e x上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t•ϕ（A，B）＜恒成立，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，3]B．C．D．（﹣∞，2）【解答】解：由y=2e x上不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），则y′=2e x，可得：k A=2，k B=，y1=2，y2=那么：t•ϕ（A，B）=t•∵x1﹣x2=1，（y1﹣y2）2=4（）2∴t•ϕ（A，B）＜恒成立，即t•当t≤0时，不等式恒成立．当t＞0时，则4t2•（）2＜3[1+4（）2]令=m，m∈R，可得：4m2t2＜3+12m2那么：t2＜=3+．∴0＜t．综上可得：t．故选：C．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在答题卡给定的横线上．13．（5分）已知向量=（2，﹣1），=（x，1），若与﹣共线，则x的值等于﹣2．【解答】解：∵向量=（2，﹣1），=（x，1），∴=（2﹣x，﹣2），∵与﹣共线，∴，解得x=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）在等差数列{a n}中，已知前12项的和等于前6项的和，若a m+a13=0，则m的值等于6．【解答】解：由题意可得：S12=S6，∴=，化为：2a1+17d=0，∴a9+a10=a13+a6=0，∴m=6．故答案为：6．15．（5分）已知=．【解答】解：∵cosα=﹣＜0，且0＜α＜π，∴＜α＜π∴sinα==，又∵f（x）=sin（x+），∴f（α+）=sin（α++）=sin（α+）=（sinα+cosα）=（﹣）=．故答案是：．16．（5分）已知函数的图象过点上单调，且将f（x）的图象向左平移π个单位长度之后得到的函数图象与原函数f（x）的图象关于x轴对称，当=﹣．【解答】解：∵函数的图象过点（0，），∴2sinφ=，sinφ=，∴φ=，f（x）=2sin（ωx+）．在（，）上单调，∴•≥﹣，∴ω≤4．∵将f（x）的图象向左平移π个单位长度之后得到的函数图象对应的解析式为g （x）=2sin（ωx+ωπ+），根据所得图象与原函数f（x）的图象关于x轴对称，可得ωπ=（2k+1）π，k∈Z，∴ω=1，或ω=3．①若ω=1，f（x）=2sin（x+），当x∈（﹣，﹣）时，x+∈（﹣，），故当x1，x2∈（﹣，﹣）、且当x1≠x2时，等式f（x1）=f（x2）不成立．②若ω=3，f（x）=2sin（3x+），当x∈（﹣，﹣）时，3x+∈（﹣，0），故当x1，x2∈（﹣，﹣）、且当x1≠x2∈时，等式f（x1）=f（x2）能成立，此时，x1和x2关于直线x=﹣对称，即x1+x2=﹣π，故有f（x1+x2）=f（﹣π）=2sin（﹣3π+）=2sin（﹣π+）=﹣2sin=﹣2•=﹣，故答案为：﹣．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数f（x）=log8x，g（x）=．（I）求函数g（x）的解析式；（II）求函数g（x）的值域．【解答】解：由题意函数f（x）=log8x，g（x）=．即log82+=0，可得：+=0，整理得：a2=4∵a＞0，∴a=2．那么函数g（x）的解析式为：g（x）=，由（I）可得g（x）=，∴g（x）==﹣1+，∴2x＞0，则2+2x＞2，∴0＜＜2则﹣1＜g（x）＜1．即函数g（x）的值域为（﹣1，1）．18．（12分）S n为递增等差数列{a n}的前n项和，已知，S5=30，a1+1，a3，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（II）若数列{b n}的通项公式为，求数列{a n b n}的前n项和T n．【解答】解：（I）由题意可得公差d＞0，由S5=30，a1+1，a3，a6成等比数列，可得5a1+×5×4d=30，①a32=（a1+1）a6，即（a1+2d）2=（a1+1）（a1+5d）②由①②解得a1=d=2，（d=﹣舍去），数列{a n}的通项公式为a n=2+2（n﹣1）=2n；（II），a n b n=n•2n，前n项和T n=1•2+2•22+…+n•2n，2T n=1•22+2•23+…+n•2n+1，上面两式相减可得，﹣T n=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1，化简可得，T n=2+（n﹣1）•2n+1．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acosB=b．（I）求角A：（II）若△ABC的面积为，且c2+abcosC+a2=4，求a．【解答】解：（I）acosB=b，由余弦定理可得：c﹣a•=b，化为：==cosA，A∈（0，π），解得A=．（II）由题意可得：，可得：bc=．∵c2+abcosC+a2=4，∴c2+ab+a2=4，化为：b2+c2=8﹣3a2．由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc．联立解得a=．20．（12分）已知点，O为坐标原点，函数f（x）=，若函数f（x）的图象与x轴的两个相邻交点的距离为．（I）求函数f（x）的单调递增区间；（II）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，f（A）=2．a=，且向量m=（3，sinB）与n=（sinC，﹣2）垂直，求b和c．【解答】解：（I）函数f（x）==﹣2cos2ωx+1=sin2ωx ﹣cos2ωx=2sin，∵函数f（x）的图象与x轴的两个相邻交点的距离为．∴T=π=，解得ω=1．∴f（x）=2sin．由≤2x﹣≤+2kπ，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间为：[+kπ，+kπ]，k∈Z．（II）由f（A）=2．可得：2sin=2，即sin=1，又2A﹣∈．∴2A﹣=，解得A=．由余弦定理可得：=b2+c2﹣2bc，化为：（b+c）2﹣3bc=．向量=（3，sinB）与=（sinC，﹣2）垂直，∴3sinC﹣2sinB=0，可得：3c=2b．联立解得b=，c=1．21．（12分）一家公司计划生产某种当地政府控量的特殊产品，月固定成本为1万元，设该公司一个月内生产该特殊产品x万件并全部销售完（根据当地政府要求1≤x≤3，每生产x万件需要再投入2x万元，每1万件的销售收入为万元，直每生产1万件产品政府给予补助万元．（I）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式；（II）求该公司在生产这种特殊产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生产量（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）．【解答】解：（Ⅰ）由月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，可得f（x）=x[（4﹣x2）+（1+）﹣2]﹣1=4x﹣x3+x+2lnx﹣2x﹣1=﹣x3+3x+2lnx ﹣1，故月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式为f（x）=﹣x3+3x+2lnx﹣1，（1≤x≤3），（Ⅱ）f（x）=﹣x3+3x+2lnx﹣1，（1≤x≤3），∴f′（x）=﹣x2+3+=﹣，（1≤x≤3）∴当x∈[1，2）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈[2，3]时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，∴f（x）max=f（2）=﹣+6+2ln2﹣1=+2ln2，该公司在生产这种特殊产品中所获得的月利润最大值为（+2ln2）万元，此时此时的月生产量2万件22．（12分）已知函数f（x）=alnx+x2﹣（a+2）x，其中a为常数，且a≠0．（I）当a＞0时，若f（x）在（0，e]上的最大值为1，求实数a的值；（II）若a＜0，且函数f（x）有两个不相等的零点x1，x2，证明：x1+x2＞2．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=alnx+x2﹣（a+2）x的定义域为（0，+∞），f′（x）=+2x﹣（a+2）==①当，函数f（x）在（0，e]上单调递增，其最大值为f（e）=2+e2﹣4e≠1，不符合题意；②当，即2＜a＜2e时，函数f（x）在（0，1]，（上单调递增，在（1，）单调递减，f（1）=﹣a﹣1≠1，f（e）=a+e2﹣（a+2）e=1，⇒a=∉（2，2e），不符合题意；③当，即a≥2e时，函数f（x）在（0，1]，在（1，e]单调递减，其最大值为f（1）=﹣a﹣1≠1，不符合题意；④当0＜＜1，即0＜a＜2时，函数f（x）在（0，]，（1，+∞）上单调递增，在（，1）单调递减，f（）=aln﹣＜0，f（e）=a+e2﹣（a+2）e=1，⇒a=∈（0，2），符合题意；综上所述，实数a的值为．（Ⅱ）证明：∵f′（x）=+2x﹣（a+2）==，令f′（x）=0，得，当a＜0时，函数f（x）在（0，1]递减，在（1，+∞）单调递增，函数f（x）有两个不相等的零点x1，x2 ，（不妨设x1＜x2），则x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）构造函数g（x）=f（x）﹣f（2﹣x），x∈（0，1），则g（1）=0，g（x）=alnx+x2﹣（a+2）x﹣[aln（2﹣x）+（2﹣x）2﹣（a+2）（2﹣x）]=a[lnx﹣ln（2﹣x）﹣2x+2]，∴g（x）在（0，1）单调递减，g（x）＞g（1）=0，∴f（x）＞f（2﹣x），x∈（0，1）恒成立．∵x1∈（0，1），∴f（x1）＞f（2﹣x1）恒成立．即f（x1）=f（x2）＞f（2﹣x1），∵x2，2﹣x1∈（1，+∞），且函数f（x）在（1，+∞）单调递增，∴x2＞2﹣x1，∴x1+x2＞2．。
【最新经典文档】2017- 山东省临沂市兰山区高一上学期数学期中试卷带答案
∵ α， β是方程（ x﹣a）（x﹣b）﹣ 2=0 的两根，∴ α+β=+ab
f（α）=0，f（β）=0，f（ a）＜ 0，f（ b）＜ 0
又二次函数图象开口向上，所以必有 α＜ a＜ b＜ β；
故选： A．
方法 2：令 w=（x﹣a）（ x﹣b），作出图象抛物线与 x 轴交于点 a， b．则 y=（x
故选： B．
9．（3 分）已知函数 f （x） =m+log2x2 的定义域是 [ 1， 2] ，且 f（ x）≤ 4，则实数
m 的取值范围是（
）
A．（﹣∞，﹣ 2] B．（﹣∞， 2] C．[ 2， +∞） D．（2，+∞） 【解答】 解：∵函数 f （x）=m+log2x2 在[ 1， 2] 单调递增，
③函数 f（x+2）的图象关于 y 轴对称．则下列结论中，正确的是（
）
A．f （4.5）＜ f （6.5）＜ f（7） B． f（4.5）＜ f（7）＜ f（6.5） C．（f 7）＜（f 6.5）
＜ f（4.5） D．f （7）＜ f（4.5）＜ f （6.5）
二、填空题（将答案填在题中的横线上） 13．（ 3 分）已知 f（ x）=ax3+bx﹣4，其中 a，b 为常数，若 f（﹣ 2）=2，则 f（2）
8．（3 分）函数 y=2ax﹣1 在 [ 0，2] 上的最大值是 7，则指数函数 y=ax 在 [ 0，2]
上的最大值与最小值的和为（
）
A．6 B．5 C．3 D．4 9．（3 分）已知函数 f （x） =m+log2x2 的定义域是 [ 1， 2] ，且 f（ x）≤ 4，则实数
m 的取值范围是（
其中正确命题的序号是
山东省临沂市2017届高三上学期期中数学理试卷 Word版含解析
2016-2017学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，集合M真子集的个数为（）A．32 B．31 C．16 D．152．若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B．C．D．3．已知f（x）=sin2（x+），若a=f（lg5），b=f（lg），则（）A．a+b=0 B．a﹣b=0 C．a+b=1 D．a﹣b=14．下列说法正确的是（）A．命题“若a≥b，则a2≥b2”的逆否命题为“若a2≤b2，则a≤b”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p： x0∈R，x02+x0+1≤05．已知等差数列{a n}中，a5+a7=sinxdx，则a4+2a6+a8的值为（）A．8 B．6 C．4 D．26．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使=2，则•的值为（）A．B．C．D．7．函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．48．已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x19．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，若f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．B．C．D．10．已知函数．若存在实数k使得函数f（x）的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（）A．B．C．[1，3]D．[2，3]二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上．11．已知向量=（m，m﹣1），=（2，1），且⊥，则||=．12．已知，则cos（30°﹣2α）的值为．13．函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，满足f（x+1）+f（x）=0，且当0＜x＜1时，f（x）=2x，则f（﹣）+f（4）=．14．在等差数列{a n}中，a4=5，a7=11，设b n=（﹣1）n a n，则数列{b n}的前101项之和S101=．15．若f'（x）是f（x）的导函数，f'（x）＞2f（x）（x∈R），f（）=e，则f（lnx）＜x2的解集为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程．16．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（I）若点B（﹣，），求tan（﹣θ）的值；（II）若+=，•=，求cos（+θ）的值．17．（12分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为，当x∈[0，]时，f（x）的最大值为1．（I）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）图象，若g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0，]上恒成立，求实数m的取值范围．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=6，a n+1=4S n+1，n∈N*．（I）求通项a n；（Ⅱ）设b n=a n﹣n﹣4，求数列{|b n|}的前n项和T n．19．（12分）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax．（I）若函数f（x）在x=3处取得极值，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a＞，函数y=f（x）在[0，2a]上的最小值是﹣a2，求a的值．20．（13分）如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=3km．（I）求道路BE的长度；（Ⅱ）求道路AB，AE长度之和的最大值．21．（14分）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，a∈R．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，f（x﹣1）≤恒成立，求a的取值范围．2016-2017学年山东省临沂市高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的．1．（2016秋•临沂期中）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，集合M真子集的个数为（）A．32 B．31 C．16 D．15【考点】子集与真子集．【专题】定义法；集合．【分析】由题意，a∈A，b∈B，可以把a，b的组合列出来，然后就算a+b的值，根据互异性可得集合M，集合中有n个元素，有（2n﹣1）个真子集可得答案．【解答】解：由题意集合A={1，2，3}，B={4，5}，a∈A，b∈B，那么：a、b的组合有：（1、4），（1、5），（2、4），（2、5），（3、4），（3、5），∵M={x|x=a+b}，∴M={5，6，7，8}，集合M中有4个元素，有24﹣1=15个真子集．故选：D．【点评】本题考查了集合的运算及集合的子集个数，若一个集合中有n个元素，则它有2n 个子集，有（2n﹣1）个真子集，属于基础题．2．（2016秋•临沂期中）若点（sin，cos）在角α的终边上，则sinα的值为（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；演绎法；三角函数的求值．【分析】由任意角的三角函数定义知先求得该点到原点的距离，再由定义求得．【解答】解：由题意，x=sin=，y=cos=﹣，r=1，∴sinα==﹣．故选：A．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，比较基础．3．（2012•江西）已知f（x）=sin2（x+），若a=f（lg5），b=f（lg），则（）A．a+b=0 B．a﹣b=0 C．a+b=1 D．a﹣b=1【考点】二倍角的余弦；对数的运算性质；余弦函数的定义域和值域．【专题】计算题；压轴题．【分析】由题意，可先将函数f（x）=sin2（x+）化为f（x）=，再解出a=f（lg5），b=f（lg）两个的值，对照四个选项，验证即可得到答案【解答】解：f（x）=sin2（x+）==又a=f（lg5），b=f（lg）=f（﹣lg5），∴a+b=+=1，a﹣b=﹣=sin2lg5故C选项正确故选C【点评】本题考查二倍角的余弦及对数的运算性质，解题的关键是对函数的解析式进行化简，数学形式的化简对解题很重要4．（2016秋•临沂期中）下列说法正确的是（）A．命题“若a≥b，则a2≥b2”的逆否命题为“若a2≤b2，则a≤b”B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的必要不充分条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则￢p： x0∈R，x02+x0+1≤0【考点】命题的真假判断与应用．【专题】集合思想；定义法；简易逻辑．【分析】根据逆否命题的定义可知A错误；由x2﹣3x+2=0解得x=1，或x=2，则“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故B错误；根据真值表可知，若p∧q为假命题，则p真q 假，p假q真，或者p，q均为假命题，故C错误；根据命题的否定的定义可知，D正确．【解答】解：对于选项A：原命题的逆否命题为“若a2＜b2，则a＜b”，故A错误；对于选项B：由x2﹣3x+2=0解得x=1，或x=2，从集合的角度考虑，由于{1}⊊{1，2}，则“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，故B错误；对于选项C：若p∧q为假命题，则p真q假，p假q真，或者p，q均为假命题，故C错误；对于选项D：根据命题的否定的定义，全称命题改为特称命题，再否定结论，故D正确．故选：D【点评】本题只要考查了简易逻辑里的四种命题，充要条件，真值表以及命题的否定等知识点，需熟练掌握概念，能从集合的角度考虑充分必要性．5．（2016秋•临沂期中）已知等差数列{a n}中，a5+a7=sinxdx，则a4+2a6+a8的值为（）A．8 B．6 C．4 D．2【考点】等差数列的通项公式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用微积分基本定理、等差数列的性质即可得出．【解答】解：a5+a7=sinxdx==2=2a6，解得a6=1．利用等差数列的性质可得：a4+2a6+a8=4a6=4．故选：C．【点评】本题考查了微积分基本定理、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．（2016秋•临沂期中）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC 的中点，连接DE并延长到点F，使=2，则•的值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】可画出图形，并连接AE，从而有AE⊥BC，这便得出，并由条件得出，而，代入，进行数量积的运算即可求出该数量积的值．【解答】解：如图，连接AE，则：AE⊥BC；；∴；∴====．故选A．【点评】本题考查向量垂直的充要条件，向量加法的几何意义，向量的数乘运算，以及向量数量积的运算及计算公式．7．（2016•河南校级二模）函数y=（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[0，1]，则log a+log a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数定义域和值域的关系，判断函数的单调性，结合对数的运算法则进行求解即可．【解答】解：当x=1时，y=0，则函数为减函数，故a＞1，则当x=0时，y=1，即y==1，即a﹣1=1，则a=2，则log a+log a=log a（•）=log28=3，故选：C．【点评】本题主要考查对数的基本运算以及函数定义域和值域的应用，比较基础．8．（2015•信阳模拟）已知函数f（x）=x﹣﹣1，g（x）=x+2x，h（x）=x+lnx，零点分别为x1，x2，x3，则（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x3＜x1＜x2D．x2＜x3＜x1【考点】函数的零点与方程根的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】分别确定函数零点的大致范围，即可得到结论．【解答】解：∵f（x）=x﹣﹣1的零点为＞1，g（x）=x+2x的零点必定小于零，h（x）=x+lnx的零点必位于（0，1）内，∴x2＜x3＜x1．故选D．【点评】本题考查函数零点的定义，利用估算方法比较出各函数零点的大致位置是解题的关键．9．（2016秋•临沂期中）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，若f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得函数的周期为=π，求得ω=2．再根据当x∈（﹣，）时，sin（2x+φ）＞0恒成立，2kπ＜2•（﹣）+φ＜2•+φ＜2kπ+π，由此求得φ的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，故函数的周期为=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+φ）+1．若f（x）＞1对∀x∈（﹣，）恒成立，即当x∈（﹣，）时，sin（2x+φ）＞0恒成立，故有2kπ＜2•（﹣）+φ＜2•+φ＜2kπ+π，求得2kπ+φ＜2kπ+，k∈Z，结合所给的选项，故选：D．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、值域，函数的恒成立问题，属于中档题．10．（2016•成都模拟）已知函数．若存在实数k使得函数f（x）的值域为[﹣1，1]，则实数a的取值范围是（）A．B．C．[1，3]D．[2，3]【考点】函数的值域．【专题】计算题；分类讨论；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】由分段函数知要分类讨论，由y=log2（2﹣x）知≤k≤2，从而求导y′=3x2﹣6x=3x（x﹣2），从而可得a≥2且f（a）=a3﹣3a2+3≤1，从而解得．【解答】解：∵y=log2（2﹣x）的定义域为（﹣∞，2），∴0＜k≤2，当x∈[0，k）时，log2（2﹣k）＜log2（2﹣x）≤1；又∵log2（2﹣k）≥﹣1，∴0＜k≤，∵y=x3﹣3x2+3的导数y′=3x2﹣6x=3x（x﹣2），且y|x=2=﹣1，∴a≥2且f（a）=a3﹣3a2+3≤1，解得，2≤a≤1+；故选B．【点评】本题考查了分段函数的应用及导数的综合应用，同时考查了分类讨论的思想应用．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分.把正确答案填写在答题卡给定的横线上．11．（2016秋•临沂期中）已知向量=（m，m﹣1），=（2，1），且⊥，则||=．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；转化思想；向量法；平面向量及应用．【分析】根据便可得出，从而可求出m的值，进而得出的坐标，从而可得出的值．【解答】解：∵；∴；∴；∴；∴．故答案为：．【点评】考查向量垂直的充要条件，向量数量积的坐标运算，以及能根据向量坐标求向量长度．12．（2016•泰安一模）已知，则cos（30°﹣2α）的值为．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】利用诱导公式求得sin（15°﹣α）=，再利用二倍角的余弦公式可得cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α），运算求得结果．【解答】解：∵已知，∴sin（15°﹣α）=，则cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=，故答案为．【点评】本题主要考查诱导公式，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．13．（2016秋•临沂期中）函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，满足f（x+1）+f（x）=0，且当0＜x＜1时，f（x）=2x，则f（﹣）+f（4）=﹣．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用． 【分析】根据条件判断函数的周期性，利用函数奇偶性和周期性的关系将条件进行转化进行求解即可．【解答】解：∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，对任意的x ∈R ，满足f （x +1）+f （x ）=0， ∴f （x +1）=﹣f （x ），则f （x +2）=﹣f （x +1）=f （x ），则函数f （x ）是周期为2的周期函数， 则f （4）=f （0）=0，∵当0＜x ＜1时，f （x ）=2x， ∴f （﹣）=f （﹣+2）=f （﹣）=﹣f （）=﹣=﹣，则f （﹣）+f （4）=﹣+0=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件判断函数的周期性，利用是周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．14．（2016秋•临沂期中）在等差数列{a n }中，a 4=5，a 7=11，设b n =（﹣1）na n ，则数列{b n }的前101项之和S 101= ﹣99 ． 【考点】等差数列的前n 项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 4=5，a 7=11，可得，解得a 1，d ．可得a n ．可得b 2n ﹣1+b 2n =﹣a 2n ﹣1+a 2n ．即可得出数列{b n }的前101项之和S 101． 【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 4=5，a 7=11，∴，解得a 1=﹣1，d=2．∴a n =﹣1+2（n ﹣1）=2n ﹣3． ∴b 2n ﹣1+b 2n =﹣a 2n ﹣1+a 2n =2．则数列{b n }的前101项之和S 101=2×50﹣a 101=100﹣（2×100﹣1）=﹣99． 故答案为：﹣99．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和关系、分组求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（2016秋•临沂期中）若f'（x ）是f （x ）的导函数，f'（x ）＞2f （x ）（x ∈R ），f （）=e ，则f （lnx ）＜x 2的解集为 （0，] ． 【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】常规题型；转化思想；构造法；导数的概念及应用．【分析】由题意可构造新函数g（x）=，判断g（x）的单调性为R上增函数，所求不等式可转化＜1．【解答】解：令g（x）=，g'（x）=＞0；∴g（x）在R上是增函数，又e2lnx=x2；∴g（）=1；所求不等式⇔＜1⇔g（lnx）＜g（），lnx＜；故可解得：x∈（0，]．故答案为：（0，]【点评】本题主要考查了构造新函数，判断函数的单调性以及转化思想应用，属中等题．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明，证明过程．16．（12分）（2016秋•临沂期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），点B在单位圆上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．（I）若点B（﹣，），求tan（﹣θ）的值；（II）若+=，•=，求cos（+θ）的值．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；数形结合；向量法；综合法；平面向量及应用．【分析】（Ⅰ）B点坐标为时，可画出图形，从而可得出sinθ，cosθ的值，进而得出tanθ的值，这样根据两角差的正切公式便可求出的值；（Ⅱ）根据条件可得到，从而可表示出的坐标，进行数量积的坐标运算便可由得出cosθ的值，进而求出sinθ的值，从而便可求出的值．【解答】解：（Ⅰ）若，如图：则：；∴；∴；（Ⅱ）；∴；∴=；∴；又θ∈（0，π）；∴；∴==．【点评】考查单位圆的概念，以及三角函数的定义，弦化切公式，两角差的正切公式，两角和的余弦公式，以及根据点的坐标求向量坐标，向量坐标的加法和数量积运算．17．（12分）（2016秋•临沂期中）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为，当x∈[0，]时，f（x）的最大值为1．（I）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数g（x）图象，若g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0，]上恒成立，求实数m的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（I）由题意可求T=π，利用周期公式可求ω的值，可得解析式f（x）=sin（2x ﹣）+b，结合范围2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的有界性解得b的值，从而可求函数f（x）的解析式．（Ⅱ）利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换可求g（x）=sin（2x﹣）﹣，结合范围2x﹣∈[﹣，]，可求范围g（x）=sin（2x﹣）﹣∈[﹣2，1]，结合已知可求m的取值范围．【解答】解：（I）∵函数f（x）=sin（ωx﹣）+b（ω＞0），且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为，∴=，可得：T=π，由=π，可得：ω=2，∴f（x）=sin（2x﹣）+b，∵当x∈[0，]时，2x﹣∈[﹣，]，∴由于y=sinx在[﹣，]上单调递增，可得当2x﹣=，即x=时，函数f（x）取得最大值f（）=sin+b，∴sin+b=1，解得b=﹣，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣…6分（Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度得到函数解析式为：g（x）=sin[2（x﹣）﹣]﹣=sin（2x﹣）﹣，∵当x∈[0，]时，可得：2x﹣∈[﹣，]，g（x）=sin（2x﹣）﹣∈[﹣2，1]，∴g（x）﹣3∈[﹣5，﹣2]，g（x）+3∈[1，4]，∵g（x）﹣3≤m≤g（x）+3在x∈[0，]上恒成立，∴m∈[﹣5，4]．【点评】本题主要考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想和数形结合思想的应用，属于中档题．18．（12分）（2016秋•临沂期中）设数列{a n}的前n项和为S n，已知S2=6，a n+1=4S n+1，n ∈N*．（I）求通项a n；（Ⅱ）设b n=a n﹣n﹣4，求数列{|b n|}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】计算题；转化思想；定义法；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用已知条件和变形等式a n=4S n﹣1+1推知数列{a n}是等边数列，根据等比数列的通项公式进行解答；（Ⅱ）利用（I）中的通项公式推知{|b n|}的通项公式．然后由分组求和法来求数列{|b n|}的前n项和T n．【解答】解：（I）∵a n+1=4S n+1，①∴当n≥2时，a n=4S n﹣1+1，②由①﹣②，得a n+1﹣a n=4（S n﹣S n﹣1）=4a n（n≥2），∴当n≥2时，a n+1=5a n（n≥2），∴=5．∵S2=6，a n+1=4S n+1，n∈N*．∴，解得，∴=5，∴数列{a n}是首项a1=1，公比为5的等边数列，∴a n=5n﹣1；（Ⅱ）由题意知|b n|=|5n﹣1﹣n﹣4|，n∈N*．易知，当n≤2时，5n﹣1＜n+4；当n≥3时，5n﹣1＞n+4．∴当n≤2时，|b n|=n+4﹣5n﹣1；当n≥3时，|b n|=5n﹣1﹣（n+4），∴T1=b1=4，T2=b1+b2=5．当n≥3时，T n=T2+b2+b3+…+b n=5+[52﹣（3+4）+[52﹣（4+4）]+…+[5n﹣1﹣（n+4）]=5+（52+53+…+5n﹣1）﹣[（3+4）+（4+4）+…+（n+4）]=5+﹣=．又∵T1=4不满足上式，T2=5满足上式，∴T n=．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等比数列的定义的灵活运用．19．（12分）（2016秋•临沂期中）已知a∈R，函数f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax．（I）若函数f（x）在x=3处取得极值，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）若a＞，函数y=f（x）在[0，2a]上的最小值是﹣a2，求a的值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据3是函数y=f（x）的极值点，得到关于a的方程，解出a，求出f（x）的解析式，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到函数f（x）的最小值，求出对应的a的值即可．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=2x3﹣3（a+1）x2+6ax，∴f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a，∵3是函数y=f（x）的极值点，∴f′（3）=0，即6×32﹣6（a+1）×3+6a=0，解得：a=3，∴f（x）=2x3﹣12x2+18x，f′（x）=6x2﹣24x+18，则f（0）=0，f′（0）=18，∴y=f（x）在（0，f（0））处的切线方程是：y=18x；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f′（x）=6x2﹣6（a+1）x+6a，∴f′（x）=6（x﹣1）（x﹣a），①a=1时，f′（x）=6（x﹣1）2≥0，∴f（x）min=f（0）=0≠﹣a2，故a=1不合题意；②a＞1时，令f′（x）＞0，则x＞a或x＜1，令f′（x）＜0，则1＜x＜a，∴f（x）在[0，1]递增，在[1，a]递减，在[a，2a]递增，∴f（x）在[0，2a]上的最小值是f（0）或f（a），∵f（0）=0≠﹣a2，由f（a）=2a3﹣3（a+1）a2+6a2=﹣a2，解得：a=4；③＜a＜1时，令f′（x）＞0，则有x＞1或x＜a，令f′（x）＜0，则a＜x＜1，∴f（x）在[0，a]递增，在[a，1]递减，在[1，2a]递增，∴f（x）min=f（1）=2﹣3（a+1）+6a=﹣a2，解得：a=与＜a＜1矛盾，综上，符合题意的a的值是4．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的意义以及分类讨论思想，是一道中档题．20．（13分）（2016秋•临沂期中）如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=3km．（I）求道路BE的长度；（Ⅱ）求道路AB，AE长度之和的最大值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】应用题；转化思想；综合法；三角函数的图像与性质；解三角形．【分析】（I）连接BD，由余弦定理可得BD，由已知可求∠CDB=∠CBD=30°，∠CDE=120°，可得∠BDE=90°，利用勾股定理即可得解BE的值．（Ⅱ）设∠ABE=α，由正弦定理，可得AB=4sin（120°﹣α），AE=4sinα，利用三角函数恒等变换的应用化简可得AB+AE=4sin（α+30°），结合范围30°＜α+30°＜150°，利用正弦函数的性质可求AB+AE的最大值，从而得解．【解答】（本题满分为13分）解：（I）如图，连接BD，在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=BD2+CD2﹣2BC•CDcos∠BCD=1+1﹣2×1×1×（﹣）=3，∴BD=，∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD==30°，又∵∠CDE=120°，∴∠BDE=90°，∴在Rt△BDE中，BE===2．…5分（Ⅱ）设∠ABE=α，∵∠BAE=60°，∴∠AEB=120°﹣α，在△ABE中，由正弦定理，可得：，∵=4，∴AB=4sin（120°﹣α），AE=4sinα，∴AB+AE=4sin（120°﹣α）+4sinα=4（）+4sinα=2cosα+6sinα=4sin（α+30°），∵0°＜α＜120°，∴30°＜α+30°＜150°，∴当α+30°=90°，即α=60°时，AB+AE取得最大值4km，即道路AB，AE长度之和的最大值为4km．…13分【点评】本题考查余弦定理，考查正弦定理，考查三角函数的化简，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．21．（14分）（2016秋•临沂期中）已知函数f（x）=ln（x+1）﹣ax，a∈R．（I）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x＞1时，f（x﹣1）≤恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【专题】常规题型；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（I）首先对f（x）求导，分类讨论a判断函数的单调性即可；（II）由题意知：f（x﹣1）﹣=，令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），x≥1，g'（x）=lnx+1﹣2ax，令h（x）=lnx+1﹣2ax，h'（x）=﹣2a=；利用导数判断函数的单调性从而求出a的取值范围．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（﹣1，+∞），f'（x）==；①若a≤0，则f'（x）＞0，∴f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；②若a＞0，则f'（x）=0得x=，当x∈（﹣1，）时，f'（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0；∴f（x）在（﹣1，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．综上，当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣1，+∞）；当a＞0时，f（x）的单调增区间为（﹣1，），单调减区间为（）；（II）f（x﹣1）﹣=；令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），x≥1，g'（x）=lnx+1﹣2ax；令h（x）=lnx+1﹣2ax，h'（x）=﹣2a=；①若a≤0，h'（x）＞0，g'（x）在[1，+∞）递增，g'（x）≥g'（1）=1﹣2a≥0；∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0；从而f（x﹣1）﹣≥0，不符合题意．②若0＜a＜，当x∈（1，）时，h'（x）＞0，g'（x）在（1，）上递增，从而g'（x）＞g'（1）=1﹣2a＞0；所以，g（x）在[1，+∞）递增，g（x）≥g（1）=0；从而f（x﹣1）﹣≥0，不符合题意．③若a≥，h'（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，所以g'（x）在[1，+∞）上递减，g'（x）≤g'（1）=1﹣2a≤0；从而g（x）在[1，+∞）递减，所以g（x）≤g（1）=0；∴f（x﹣1）﹣0；综上所以，a的取值范围是[，+∞）．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及分类讨论思想的应用，属中等题．。
山东省临沂市罗庄区高一数学上学期期中质量调研试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟. 注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号、考试科目及试卷类型用中性笔和2B 铅笔分别涂写在答题卡上；2.将所有试题答案及解答过程一律填写在答题卡上.试题不交，只交答题卡.第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}N|6U x x =∈<，集合{}1,3A =，{}3,5B =，则 u u A B I （）（）=饀饀 A. {}2,4B. {}2,46，C. {}0,2,4D. {}0,2,4,62.下列四组函数中，表示同一函数的是A.2y y == B. ||,y x y ==C. 21,11x y y x x -==+- D. 2,x y x y x== 3.下列选项正确的是A. 11221.3 1.5> B. 11333.14π>C. 11(0.5)(0.6)--->- D. 330.70.6>4.已知()f x 是一次函数，且[()]2f f x x =+，则()f x = A. 1x +B. 21x -C. 1x -+D. 1x +或1x --5.幂函数的图象经过点(4,2)，若01a b <<<，则下列各式正确的是 A. 11()()()()f a f b f f b a <<< B. 11()()()()f f f b f a a b<<< C. 11()()()()f a f b f f a b <<< D. 11()()()()f f a f f b ab<<<6.若221(12)(0)x f x x x --=≠，则1()2f = A. 1 B.3 C. 15 D. 30 7.函数21()ln f x x x=+ 的零点所在的大致区间为A.(1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (1,2)与 (2,3)8.设集合{}|lg(2)1A x y x x ==++-，{}|0B x x a =->，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是A. (,1)-∞-B. (,1]-∞-C. (,2)-∞-D. (,2]-∞-9.用{}min ,,a b c 表示三个数中的最小值，设{}()min 2,2,10(0)xf x x x x =+-≥，则()f x 的最大值为A. 7B.6C.5D.410.已知函数2()log f x x =的值域是[0,4]，则函数2()(2)()x f x f x ϕ=+的定义域为 A. [1,4] B. [1,8] C. [1,16] D. 1[,8]211.函数|ln |e|1|x y x =--的图象大致是A.B.C.D.12.设函数()y f x =对任意R x ∈均有(2)(2)f x f x +=-，且()0f x =的所有实根之和为 14，则方程()0f x =共有实根A. 4 个B. 6C. 7个D. 8 个第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题纸给定的横线上.13. 函数1()ln f x x=的定义域是 ． 14. 已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，且1()2()1f x f x=，则()f x = ．15. 已知函数2,1()1,12x a x f x x a x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，其中R a ∈．如果函数()f x 恰有两个零点，那么实数a 的取值范围是 ．16.已知函数()f x 是R 上的奇函数，函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，(5)0f -=，则不等式(3)()0x f x ->的解集 .三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程 17. （本小题满分10分）已知集合{}|11A x a x a =-<<+，{}|03B x x =<<． （1）若0a =，求A B I ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围． 18.（本小题满分12分） 已知函数1()3x f x a+=-（0a >且1a ≠），若函数()y f x =的图象过点(2,24).（1）求a 的值及函数()y f x =的零点； （2）求()6f x ≥的解集.19. （本小题满分12分）若函数2lg(34)y x x =-+的定义域为M . 当x M ∈时，求2()234x x f x +=-⨯的最值及相应的x 的值．20.（本小题满分12分）函数()log (2)a f x x =+，g()log (2)a x x =-（0a >且1a ≠），()()()h x f x g x =-. （1）求()h x 的定义域，判断()h x 奇偶性； （2）若(1)1f =，求使得()0h x >成立的x 的集合.21.（本小题满分12分）为了预防甲型流感，某学校对教室用药薰消毒法进行消毒，已知在药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为1()16t ay -=（a 为常数），其函数关系图象如下图所示． （1）写出从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少经过多少小时后学生才能回教室?22.（本小题满分12分）已知函数(1)()()x x a f x x++=为奇函数．（1）求实数a 的值；（2）记集合{(),{1,1,2}}A y y f x x ==∈-，21lg 2lg 2lg5lg52t =+⋅++，判断t 与集合A 的关系；（3）当x ∈]1,1[nm ()0,0>>n m 时，若函数()f x 的值域为[33,33]m n --，求nm ,的值.高一质量调研试题数学试题参考答案 2018. 11一、 选择题： CBDAA CBDBA DC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.(0,1)(1,)+∞U 13 15. 1[2,)2-- 16. (5,0)(3,5)-U 三、解答题：本大题共6小题，共70分.17. 解：（1） 若0a =，集合{}{}|11|11A x a x a x x =-<<+=-<<，…2分{}|03B x x =<<．则A B =I {}|11x x -<<{}|03x x <<I{}|01x x =<<； …………5分（2） 若A B ⊆，则10,13,a a -≥⎧⎨+≤⎩………………………………………8分即12a ≤≤，所以实数a 的取值范围是12a ≤≤． ………………………………………10分18.解：（1）因为函数1()3x f x a +=-图象过点(2,24)，所以21243a+=-，327,3a a ==. …………………………3分函数1()330x f x +=-=，得10,1x x +==-. ………………………5分所以函数的零点是1-.………………………………………………………………6分 （2）由()6f x ≥得1336x +-≥，即1233x +≥， …………………………………9分所以1x ≥. ……………………11分()6f x ≥的解集为[1,)+∞. ………………………………………………………12分19.解： 由2lg(34)y x x =-+，∴2340x x -+>，解得1x <或3x <，∴{}|1,3Mx x x =<>或， …………………………4分22()234423(2)x x x x f x +=-⨯=⨯-⨯.令2xt =，∵13x x <>或，∴802t t ><<或. ………………………………………6分 ∴2224433()33y t t t =-=--+(802t t ><<或)． ……………………7分 由二次函数性质可知：当8t >时，()f t ∈∞（-,-160）， …………………………………8分当02t <<时，403y ∈（,）， ………………………………………10分当223xt ==，即22log 3x =时，max 4()3f x =. ………………………11分 综上可知：当22log 3x =时，()f x 取到最大值为43，无最小值．………12分20.解：（1）因为()()()log (2)log (2)a a h x f x g x x x =-=+--， 由对数函数的定义20,20x x +>⎧⎨->⎩，22x ⇒-<<. ……………………………2分所以函数()h x 的定义域为(2,2)-.………………………………………………3分 由()log (2)log (2)a a h x x x =+--得()log (2)log (2)(log (2)log (2))()a a a a h x x x x x h x -=--+=-+--=-，所以()h x 是奇函数. …………………………………………………………6分 （2）因为(1)log (21)log 31a a f =+==，所以3a =. ………………………8分33()log (2)log (2)h x x x =+--，由()0h x >，所以33log (2)log (2)x x +>-，由3log y x =的函数是增函数，所以22x x +<-，即0x <，………………10分 又22x -<<，所以20x -<<. ………………………………………………11分 所以()0h x >成立的x 的集合{}|20x x -<<. …………………………12分 21. 解：（1） 药物释放过程的函数关系式可设为y kt =， ……………1分 由于其图象过点(0.1,1)，代入得10k =，所以110(0)10y t t =<≤． ………3分 由于函数1()16t ay -= 的图象也过点(0.1,1)，代入得 0.1a =， ……………4分 所以11011()()1610t y t -=>． …………………………………………5分 所以110,0t 1011(),1610t a t y t -⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩ . ……………………………………………6分（2） 由题意可知1101()0.2516t -<，……………………………………………8分整理得12()1011()44t -<，………………………………………………………………10分 由函数1()4xy =是减函数，得2(0.1)1t ->，所以0.6t >．……………………11分答：至少经过0.6小时后，学生才能回教室. ……………………………………12分 22．解: （1）∵()f x 为奇函数，∴ ()()f x f x -=-，即(1)()(1)()x x a x x a x x-+-+++=--即：2(1)0,a x +=∈x R 且0≠x ,∴1a =- . …………………………………4分（2）由（1）可知：21()x f x x-=，当1x =±时，()0f x =；当2x =时，3()2f x =∴302A ,⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， ……………………………………………………………………6分 而21lg 2lg 2lg5lg52t =+⋅++=213lg 2lg 2(1lg 2)1lg 222+-+-+=， ∴t A ∈.………………………………………………………………………………8分(3) ∵21111(),[,]x f x x x x x m n -==-∈， ∴()f x 在11[,]m n上单调递增. ……………………………………………………9分∴1()33,1()33f m m f n n⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴133,133m m m n n n ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，即222310,2310m m n n ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，∴m ,n 是方程22310x x -+=的两个根， ………………………………………11分又由题意可知11m n <，且0,0m n >>，∴m n > ∴11,2m n ==. …………………………………………………………12分。
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2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，M={x|x＞1}，则∁U M=（）A．{x|x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥0}D．{x|x≤0或x＞1}2．（5分）已知函数f（2x）=log3（8x2+7），那么f（1）等于（）A．2 B．log339 C．1 D．log3153．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（e，3） D．（e，+∞）4．（5分）已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．5．（5分）已知，则a、b之间的大小关系是（）A．1＜b＜a B．1＜a＜b C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜16．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，B={n|n=2k﹣1，k∈A}，则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{1}D．{3}7．（5分）已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a8．（5分）若三个幂函数y=x a，y=x b，y=x c在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b9．（5分）若a2x=﹣1，则等于（）A．2﹣1 B．2﹣2C．2+1 D．+110．（5分）偶函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，则有（）A．f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（）B．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣π）C．f（﹣π）＞f（﹣1）＞f（）D．f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π）11．（5分）已知函数f（x）=，则f（）+f（）+…+f（）的值等于（）A．1006 B．1007 C．1008 D．100912．（5分）设函数f（x）=e|lnx|（e为自然对数的底数）．若x1≠x2且f（x1）=f （x2），则下列结论一定不成立的是（）A．x2f（x1）＞1 B．x2f（x1）=1 C．x2f（x1）＜1 D．x2f（x1）＜x1f（x2）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=2的单调减区间是．14．（5分）已知集合A={1，3}，B={x|0＜x＜3且x∈N}，又P⊆（A∪B），则这样的集合P共有个．15．（5分）已知函数f（x）=x4+ax2+bx+c（c＜0），若函数是偶函数，且f（f（0））=c4+c，则函数f（x）的零点共有个．16．（5分）给出下列结论：①集合{x∈R|x2=1}的子集有3个；②函数y=lg（﹣x2﹣4x+6）的值域是（﹣∞，0]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（0，e）．其中正确的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）已知集合A{x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}．（1）若a=0，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）=1+．（1）用定义证明函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；（2）求f（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值．19．（12分）家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q=Q 0e，其中Q0是臭氧的初始量．（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（提示：ln2≈0.693，ln3≈1.099）20．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=．（1）证明：f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间；（2）分别计算f（4）﹣3f（3）g（2）和f（9）﹣3f（3）g（3），并概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不为0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．21．（12分）定义在R上函数f（x），且f（x）+f（﹣x）=0，当x＜0时，f（x）=（）x﹣8×（）x﹣1（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的最大值和最小值．22．（10分）已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|qx2+px+1=0}，同时满足①A∩B ≠∅，②A∩（∁R B）={﹣2}，p•q≠0．求p，q的值．2017-2018学年山东省临沂市罗庄区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知全集U={x|x＞0}，M={x|x＞1}，则∁U M=（）A．{x|x≤1}B．{x|0＜x≤1}C．{x|x≥0}D．{x|x≤0或x＞1}【解答】解：∵全集U={x|x＞0}，集合M={x|x＞1}，∴∁U M={x|0＜x≤1}．故选：B．2．（5分）已知函数f（2x）=log 3（8x2+7），那么f（1）等于（）A．2 B．log339 C．1 D．log315【解答】解：因为函数f（2x）=log3（8x2+7），所以f（1）=f（2×）=log3（8×（）2+7）=log39=2．所以f（1）=2．故选：A．3．（5分）函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（）A．（1，2） B．（2，3） C．（e，3） D．（e，+∞）【解答】解：根据题意如图：当x=2时，ln2＜lne=1，当x=3时，ln3=ln＞=ln=，∴函数f（x）=lnx﹣的零点所在的大致区间是（2，3），故选：B．4．（5分）已知全集U=R，则正确表示集合M={﹣1，0，1}和N={x|x2+x=0}关系的韦恩（Venn）图是（）A．B．C．D．【解答】解：．由N={x|x2+x=0}，得N={﹣1，0}．∵M={﹣1，0，1}，∴N⊂M，故选：B．5．（5分）已知，则a、b之间的大小关系是（）A．1＜b＜a B．1＜a＜b C．0＜a＜b＜1 D．0＜b＜a＜1【解答】解：∵，且0＜＜1，∴0＜a＜1，0＜b＜1，在一个坐标系中画出函数y=log a x和y=log b x的图象，由对数函数的图象在第一象限内从左到右底数逐渐增大知，b＜a，∴0＜b＜a＜1，故选：D．6．（5分）已知集合A={0，1，2，3}，B={n|n=2k﹣1，k∈A}，则A∩B=（）A．{1，2，3}B．{1，2}C．{1}D．{3}【解答】解：∵A={0，1，2，3}，∴B={n|n=2k﹣1，k∈A}={，1，2，4}，则A∩B={1，2}，故选：B．7．（5分）已知a=，b=20.4，c=0.40.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞b＞a【解答】解：∵a=∈（0，1），b=20.4 ＞20=1，c=0.40.2 ∈（0，1），故a、b、c中，b最大．由于函数y=0.4x在R上是减函数，故=0.40.5 ＜0.40.2 ＜0.40=1，∴1＞c＞a．故有b＞c＞a，故选：A．8．（5分）若三个幂函数y=x a，y=x b，y=x c在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c的大小关系是（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b【解答】解：①y=x a，单调递增，且当x＞1时，在直线y=x的上方，∴a＞1，②y=x b，单调递增，且当x＞1时，在直线y=x的下方，∴0＜b＜1，③y=x c，单调递减，且当x＞1时，在直线y=x的下方，∴c＜0；∴a＞b＞c．故选：C．9．（5分）若a2x=﹣1，则等于（）A．2﹣1 B．2﹣2C．2+1 D．+1【解答】解：===故选：A．10．（5分）偶函数y=f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，则有（）A．f（﹣1）＞f（﹣π）＞f（）B．f（）＞f（﹣1）＞f（﹣π）C．f（﹣π）＞f（﹣1）＞f（）D．f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π）【解答】解：根据题意，y=f（x）为偶函数，则f（）=f（﹣），又由函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，且﹣π＜﹣＜﹣1，则有f（﹣1）＞f（）＞f（﹣π），故选：D．11．（5分）已知函数f（x）=，则f（）+f（）+…+f（）的值等于（）A．1006 B．1007 C．1008 D．1009【解答】解：∵函数f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+==1，∴f（）+f（）+…+f（）=1008×1=1008．故选：C．12．（5分）设函数f（x）=e|lnx|（e为自然对数的底数）．若x1≠x2且f（x1）=f （x2），则下列结论一定不成立的是（）A．x2f（x1）＞1 B．x2f（x1）=1 C．x2f（x1）＜1 D．x2f（x1）＜x1f（x2）【解答】解：f（x）=，作出y=f（x）的图象，若0＜x1＜1＜x2，则f（x1）=＞1，f（x2）=x2＞1，则x2f（x1）＞1，则A可能成立；若0＜x2＜1＜x1，则f（x2）=＞1，f（x1）=x1＞1，则x2f（x1）=x2x1=1，则B可能成立；对于D．若0＜x1＜1＜x2，则x2f（x1）＞1，x1f（x2）=1，则D不成立；若0＜x2＜1＜x1，则x2f（x1）=1，x1f（x2）＞1，则D成立．故有C一定不成立．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数y=2的单调减区间是（0，+∞）．【解答】解：g（x）=2﹣3x2的减区间是：（0，+∞），∵函数g（x）=2﹣3x2的减区间，就是函数y=2的单调减区间．∴函数y=2的单调减区间（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）；14．（5分）已知集合A={1，3}，B={x|0＜x＜3且x∈N}，又P⊆（A∪B），则这样的集合P共有8个．【解答】解：∵集合A={1，3}，B={x|0＜x＜3且x∈N}={1，2}，∴A∪B={1，2，3}，若P⊆（A∪B），则P为A∪B的子集，故这样的集合P共有8个，故答案为：815．（5分）已知函数f（x）=x4+ax2+bx+c（c＜0），若函数是偶函数，且f（f（0））=c4+c，则函数f（x）的零点共有2个．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴b=0，∵f（f（0））=f（c）=c4+ac2+c=c4+c，∴a=0，即f（x）=x4+c，由f（x）=（x2+）（x2﹣）=0，∴x=±，即函数f（x）有2个零点，故答案为：2．16．（5分）给出下列结论：①集合{x∈R|x2=1}的子集有3个；②函数y=lg（﹣x2﹣4x+6）的值域是（﹣∞，0]；③幂函数图象一定不过第四象限；④函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1）；⑤若lna＜1成立，则a的取值范围是（0，e）．其中正确的序号是③④⑤．【解答】解：①集合{x∈R|x2=1}={﹣1，1}的子集有4个，故错误；②函数y=lg（﹣x2﹣4x+6）的真数部分的取值范围为（0，10]，故函数的值域是（﹣∞，1]，故错误；③幂函数图象一定不过第四象限，故正确；④令x=﹣1，则f（x）=﹣1恒成立，即函数f（x）=a x+1﹣2（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，﹣1），故正确；⑤若lna＜1=lne成立，则a的取值范围是（0，e），故正确．故答案为：③④⑤．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（12分）已知集合A{x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}．（1）若a=0，求A∩B；（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）若a=0，则A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜3}，可得A∩B={x|0＜x＜1}；（2）若A⊆B，集合A{x|a﹣1＜x＜a+1}，B={x|0＜x＜3}，可得a﹣1≥0，且a+1≤3，即a≥1且a≤2，即1≤a≤2，则实数a的取值范围为[1，2]．18．（12分）已知函数f（x）=1+．（1）用定义证明函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；（2）求f（x）在（﹣∞，﹣1]上的最小值．【解答】解：（1）证明：设x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=）=1+﹣1﹣=，∴＜，∴﹣＜0；又﹣1＜0，﹣1＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）；∴f（x）在定义域R上是减函数（2）由（1）可得函数f（x）在（﹣∞，0）上为减函数；∴当x=﹣1时，f（x）min=f（﹣1）=﹣3．19．（12分）家用冰箱制冷使用的氟化物，释放后破坏了大气上层的臭氧层．臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式Q=Q0e，其中Q0是臭氧的初始量．（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？（提示：ln2≈0.693，ln3≈1.099）【解答】解：（1）∵Q0＞0，﹣＜0，e＞1，∴Q=Q0e为减函数，∴随时间的增加，臭氧的含量是减少．（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则Q=Q0=Q0，即=，取对数可得：﹣=ln，解得x=400ln2≈277.2．∴278年以后将会有一半的臭氧消失．20．（12分）已知函数f（x）=，g（x）=．（1）证明：f（x）为奇函数，并求f（x）的单调区间；（2）分别计算f（4）﹣3f（3）g（2）和f（9）﹣3f（3）g（3），并概括出涉及函数f（x）和g（x）对所有不为0的实数x都成立的一个等式，并加以证明．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，∵f（﹣x）==﹣=﹣f（x），∴f（x）是奇函数；由y=x和y=﹣x在（0，+∞）上是增函数，可得f（x）在（0，+∞）上是增函数．又f（x）是奇函数，则f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数．∴函数f（x）的增区间是（﹣∞，0）和（0，+∞）．（2）f（4）﹣3f（2）g（2）=﹣3××=﹣=0；同理f（9）﹣3f（3）g（3）=（9﹣9）﹣3×（3﹣3）×（3+3）=（9﹣9）﹣（9﹣9）=0；猜想：f（x2）﹣3f（x）g（x）=0．证明：∵f（x2）﹣3f（x）g（x）=﹣3××=（x﹣x）﹣（x﹣x）=0，∴等式成立．21．（12分）定义在R上函数f（x），且f（x）+f（﹣x）=0，当x＜0时，f（x）=（）x﹣8×（）x﹣1（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈[1，3]时，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）f（x）+f（﹣x）=0，则函数f（x）是奇函数，则f（0）=0，（2分）当x＞0时，﹣x＜0，则，所以，（5分）所以．（6分）（2）令t=2x，则t∈[2，8]，y=﹣t2+8t+1t∈[2，8]，（10分）对称轴为t=4∈[2，8]，当t=4，即x=2，f（x）max=﹣16+32+1=17；（11分）当t=8，即x=3，f（x）min=﹣64+64+1=1．（12分）22．（10分）已知集合A={x|x2+px+q=0}，B={x|qx2+px+1=0}，同时满足①A∩B ≠∅，②A∩（∁R B）={﹣2}，p•q≠0．求p，q的值．【解答】解：设x0∈A，则，两端同时除以，得1+=0，则∈B，∴集合A，B的元素互为倒数，由A∩B≠∅，一定有x0∈A，使得∈B，且，解得x0=±1，又A∩（C R B）={﹣2}，则﹣2∈A，A={1，﹣2}，或A={﹣1，﹣2}，∴B={1，﹣}，或B={﹣1，﹣}，由根与系数的关系得或，解得p=1，q=﹣2或p=3，q=2．。