一元函数积分学部分综合练习及解答

一元函数积分学部分综合练习及解答

（一）单项选择题

1．下列函数中，（ ）是2cos x x 的原函数．

A ．21sin x 2

B ．2 sin x 2

C ．-2 sin x 2

D ．-2

1 sin x

2 答案：A 2．下列等式不成立的是（

）． A ．A ．x x x 1d d ln = B ．21d d 1x

x x -= C ．x x x sin d d cos = D ．x

x x 1d d 12= 答案：C

3. 设c x

x x x f +=⎰ln d )(，则)(x f =（ ）． A ．x ln ln B ．

x x ln C ．2ln 1x x - D ．x 2ln 答案：C

4. 若

c x x f x x +-=⎰11e

d

e )(，则

f (x ) =（ ）． A ．x 1 B ．-x 1 C ．21x D ．-21x 答案：C

5．下列定积分中积分值为0的是（ ）．

A ．x x

x d 2e e 1

1⎰--- B ．x x x d 2e e 11⎰--+ C ．x x x d )cos (3⎰-+ππ D ．x x x d )sin (2⎰-+ππ

答案：A 6．⎰+∞1-d e 2x x x =（ ）

． A ．e B ．

e 21 C ．e 21- D ．∞+ 答案：B

（二）填空题

1．若c x x x f ++=⎰2)1(d )(，则=)(x f .

填写：)1(2+x

2．若c x F x x f +=⎰)(d )(，则x f x x )d e (e --⎰= .

填写：c F x +--)e

( 3．=-⎰

-112d )2sin (x x x ． 填写：-4 4．

x x d e 02⎰∞- ．． 填写：2

1 5. 微分方程2e

+='-x y 的通解是 . 填写：c x y x ++-=-2e

（三）计算题

⒈ ⎰+x x x x

x )d ln sin ( 解 ⎰+x x x x

x )d ln sin (=⎰+4774)d(ln ln sin x x x c x x ++-=477

4ln cos 2．⎰

+x x x d 1)ln ( 解 ⎰+x x x d 1)l n (=⎰+-+x x

x x x d 1)(21ln 1)(2122 =c x x x x x +--+4

)ln 2(212

2 3．x x x

d )

e 1(e 1

02⎰+ 解 x x x

d )

e 1(e 1

02⎰+)e d(1)e 1(1102x x ++=⎰ e 1121)e 1(11

0+-=+-=x

4．x x x d 15

023

⎰+ 解 x x x d 15

023⎰+=x x x x x d 15023⎰+-+=x x x x x x x d 1d 1)1(5025022⎰⎰+-++ =

x x x x x d 1d 50250⎰⎰+- =502502)1(ln 2

121+-x x =21(25-ln26) 5．求微分方程12+=+'x y y 满足初始条件3)1(=y 的特解．

解 因为 1)(=x P ，1)(2+=x x Q

用公式 ]d 1)e ([e d 2d c x x y x x +⎰+⎰=⎰-]d 1)e ([e 2c x x x x ++=⎰

- =)e d e 2e (e 2c x x x x x x x ++-⎰

- =)e d e 2e 2e (e 2c x x x x x x x x +++-⎰

- =)e e 2e 2e (e 2c x x x x x x x +++--

=x c x x -++-e

322 由 3e

321)1(12=++-=-c y ， 得 e =c 所以，特解为 422+-=x x y

6．求微分方程x x y y x sin =+'满足 1==πx y 的特解. 解：因为x x P 1)(=

，x x Q sin )(=，由通解公式得 )d e sin (e d 1

d 1c x x y x x x x +⎰⎰=⎰-=)d

e sin (e ln ln c x x x x +⎰- =)d sin (1c x x x x +⎰=)sin cos (1c x x x x

++- 由 1)s i n c o s (1)(=++-=c y ππππ

π， 得 0=c 所以，特解为 x x

x y s i n 1c o s +-=

7．求微分方程y y x y ln tan ='的通解．

解 将原方程分离变量 x x y y y d c o t ln d =

两端积分得 lnln y = ln C sin x

通解为 y = e C sin x

8．求微分方程0e e 32

=--'y y y x x 的通解.

解 首先将方程等号左边的第2，3项移到等号右边，并进行变量分离 x y

y y

x d e )31(d 2=+ 两边积分得1e )31(ln 31c y

x +=+- 通解为 c y y x +=+-e 3)3ln(ln

（四）应用题

1．设生产某产品的总成本函数为 x x C +=3)((万元)，其中x 为产量，单位：百吨．销售x 百吨时的边际收入为x x R 215)(-='（万元/百吨），求：

(1) 利润最大时的产量；

(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1百吨，利润会发生什么变化？ （较难）（熟练掌握）

解 (1) 因为边际成本为 1)(='x C

边际利润)()()(x C x R x L '-'=' = 14 – 2x

令0)(='x L ，得x = 7

由该题实际意义可知，x = 7为利润函数L (x )的极大值点，也是最大值点. 因此，当产量为7百吨时利润最大.

(2) 当产量由7百吨增加至8百吨时，利润改变量为

8

7287)14(d )214(x x x x L -=-=∆⎰ =112 – 64 – 98 + 49 = - 1 （万元）

即利润将减少1万元.

2．设某种产品的固定成本为9800元，边际成本为36)(+='q q C ，其中q 为产量．求使平均成本最低的产量．