2015届高三数学(文)第一轮总复习课件 第13讲 函数与方程

解得 x＝－3，或 x＝e2. 因此函数 f(x)共有两个零点．故选 B.
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(方法二)函数 f(x)的图象如图所示
可观察函数 f(x)共有两个零点．故选 B.
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【拓展演练 1】 (1)(改编)函数 f(x)＝log3x＋x－3 的零点一定在区间( C ) A．(0,1) C．(2,3) B．(1,2) D．(3,4)
2．若方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，则y＝f(x)的图 象是( D )
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解析：方程f(x)－2＝0在(－∞，0)内有解，即函数 y＝f(x)－2在(－∞，0)内有零点，即y＝f(x)的图象与y＝2 在(－∞，0)内有交点，观察图象易知D正确．
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3．若函数f(x)＝|6x－x2|－a的零点个数为3， 则a ＝
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一
函数零点的判断与求解
x2＋2x－3 x≤0 【例1】函数f(x)＝ 的零点个数为( －2＋ln x x>0
B )
A．3 C．7
B．2 D．0
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解析：(方法一)由 f(x)＝0 得
x≤0 x>0 2 或 ， －2＋ln x＝0 x ＋2x－3＝0
(2)实数 a，b，c 是图象连续不断的函数 y＝f(x)定义域中 的三个数， 且 a<b<c， 又 f(a)· f(b)<0， f(b)· f(c)<0， 则函数 y＝f(x) 在区间(a，c)上的零点的个数为( C ) A．2 C．不小于 2 的自然数 B．不小于 2 的偶数 D．不小于 2 的奇数
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解析：(1)(方法一)函数 f(x)＝log3x＋x－3 的定义域 为(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上递增连续， 又 f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，所以 函数 f(x)＝log3x＋x－3 Hale Waihona Puke Baidu唯一的零点且零点在区间(2,3)内．
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(方法二)方程log3x＋x－3＝0可化为log3x＝3－x，在同 一坐标系中作出y＝log3x和y＝3－x的图象如图所示，可观察 判断出两图象交点横坐标在区间(2,3)内．
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【拓展演练2】 已知a∈R，函数f(x)＝x2＋2ax＋1，如果函数y＝f(x)在区 间[－1,1]上有零点，求a的取值范围．
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解析：①Δ＝0⇒a＝± 1， 此时当 a＝1 时，x＝－1∈[－1,1]；当 a＝－1 时，x＝1∈ [－1,1]，合乎题意． ②f(x)在区间 [－ 1,1]上只有一个零点且不是 f(x)＝0 的重 根，此时有 f(－1)f(1)<0⇒a>1 或 a<－1. ③函数 f(x)在区间[－1,1]上有两个相异实根，
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第13讲
函数与方程
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4 1．函数f(x)＝x－ x的零点为( A．0 C．(2,0)、(－2,0)
B )
B．± 2 D．0,2，－2
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4 解析： 令 f(x)＝0， 即 x－x ＝0⇒x2－4＝0 且 x≠0， 所以 x＝± 2.
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1 13 6 2 (2)当 f(3)＝0 时，a＝－5，此时 f(x)＝x － 5 x－5. 13 6 2 令 f(x)＝0，即 x － 5 x－5＝0， 2 解之得 x＝－5或 x＝3. 1 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故 a≠－5. 1 综上所述，a＜－5或 a＞1.
Δ>0 f－1≥0 则有f1≥0 2a －1<－ 2 <1
⇒a∈∅.
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综上知，函数 f(x)＝x2＋2ax＋1 在[－1,1]上有零点，则 a 的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
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三.
二分法
【例3】(1)用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间[2,3]上的近 似解，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有解区间为_________； (2)用二分法求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点 (精确度为0.1)．
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5．用二分法研究函数 f(x)＝x3＋3x－1 的零点时 ，第一 次经计算 f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点 x0∈(0,0.5)， 第二次应计算 ，这时可判断 .
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解析：由二分法知 x0∈(0,0.5)，取 x1＝0.25，这时 f(0.25)＝ 0.253＋3×0.25－1＜0，故 x0∈(0.25,0.5)．
2)x＋a－1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？ 若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．
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82 8 解析：因为 Δ＝(3a－2) －4(a－1)＝9a －16a＋8＝9(a－9) ＋9＞0， 所以若实数 a 满足条件，则只需 f(－1)· f(3)≤0 即可． f(－1)· f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)· (9＋9a－6＋a－1) ＝4(1－a)(5a＋1)≤0. 1 所以 a≤－5或 a≥1. 检验：(1)当 f(－1)＝0 时，a＝1.所以 f(x)＝x2＋x. 令 f(x)＝0，即 x2＋x＝0，得 x＝0 或 x＝－1. 方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故 a≠1.
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(2)由 f(a)· f(b)<0 知，f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点； 由 f(b)· f(c)<0 知，f(x)在区间(b，c)内至少有一个零点， 所以在(a，c)上至少有 2 个零点，故选 C.
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二
函数零点性质的应用
【例2】是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－
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解析：作出函数y＝|6x－x2|与函数y＝9的图象，发 现它们恰有3个交点．
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4．已知函数f(x)＝x2＋x＋a在区间(0,1)上有零点，则实 数a的取值范围是 .
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解析：函数 f(x)＝x2＋x＋a 在(0,1)上递增．由已知条件，得 f(0)f(1)<0，即 a(a＋2)<0，解得－2<a<0.