理论力学第7章答案

tan θ = 0.3 试用平面运动基点法求此瞬时
1 杆 CD 和杆 OA 的角速度 2 B 的加速度沿铅垂方向的分量 3 杆 OA 的角加速度
解
杆 做 瞬 时 平 动 ωAB = 0
vA = vB
ωOA = vA / OA = 0.5rad/s
aAn = ωO2 A OA = 10cm/s2
某点
aAn + aAτ = aBx + aBy + aAτ B
7.2 试证明 直杆 AB 搁置如图 a b 所示 杆 AB 运动时 杆上点 C 的速度沿杆 AB
其大小等于 vA cos θ
解
基点
vC = vA + vCA
a x′ vCx′ = vA sin θ − vCA = x&A sin θ + CAθ& = 0
y′ vCy′ = vA cos θ
证毕
b x′ vCx′ = vA sin θ + vCA = x&A sin θ + CAθ& = 0
杆 AB 长 l 其 B 端用铰链与圆盘边缘相连接 求在水平面上运动的 A 端的速度和加速度 以转角 ϕ 表示之
解 本机构自由度 f = 1 θ 和 ϕ 有约束方程
l sin θ = r(1− cos ϕ) (1)
矢量法 圆盘 的瞬心为 点
杆的瞬心为 点 因此
vB = (vO / r)BP = 2vO sin(ϕ / 2)
b 将 xA = r / sin θ 对时间求导 得 x&A = −r cos θθ& / sin 2 θ
因此有 θ& = − sin θtgθx&A / r &θ& = −(&x&A sin θtgθ + sin θθ& x&A + sin θsec2 θθ& x&A ) / r = − sin θtgθ[&x&A − x&A (1 + sec2 θ) sin θ / r] / r
y′ vCy′ = vA cos θ
证毕
7.3 滚压机构的滚子沿水平面作纯滚动如图示 曲柄 OA 长 r 连杆 AB 长 l 滚子半 径为 R 若曲柄以匀角速度 ω 绕固定轴 O 转动 试求任意时刻 ∠AOB = θ 连杆 AB
和滚子的角速度
解 本机构自由度 f = 3×3− 2×4 =1 除 θ 外 取多
αCD = aCτ / 2a = −4 7ω2 / 7
7.12 平面机构如图示 已知 CD//EG B 为杆 DG 的中点 O A B C D E G 均为铰链 CD = EG = 20cm DG = 50cm OA = 40cm 在图示位置 杆 CD 铅垂
OA//CD vA = 20cm/s 水平向左 B 的加速度沿水平方向的分量 aBx = 10cm/s2
(x&B − x&A )2 + (xB − xA )(&x&B − &x&A ) + ( y& B − y& A )2 + ( yB − yA )(&y&B − &y&A ) = 0 将 y&A = y& B = 0 &y&A = −rω2 &y&B = −x&B2 / 5r 及 &x&A = 0 等代入上二式得
解 矢量法 基点
aB = aAn + aBτ A + aBnA
y 0 = −aAn sin θ − aBτ A cos ϕ + aBnA sin ϕ
aBτA = (lϕ& 2 sin ϕ − rω2 sin θ) / cos ϕ = l(ϕ& 2 − ω2 )tgϕ
x′ aB cos ϕ = aAn cos(θ + ϕ) + aBnA
7.4 一放大机构中 ABCD 为一平行四边形 B 为 OC 的中点 D 为 CE 的中点 设图 示位置点 A 的速度如图示 求点 E 的速度
解 平 行 四 边 形 机 构 在 任 意 时 有 BC//AD AB//CD 因此 ωBC = ωAD = ω1 ωAB = ωCD = ω2
A 基点
v =v +v A B AB
ωAB = vB / CB = 2vO sin(ϕ / 2) cos(ϕ / 2) / l cos θ
= vO sin ϕ / l cos θ
vA
=
ω AB CA
=
(vO
sin ϕ / l cos θ)[l sin(θ +
ϕ / 2) / cos
ϕ ]
2
= (vO / cos θ)2sin(θ + ϕ / 2) sin(ϕ / 2)
解 利用速度投影定理
杆 vF cos 60o = v
vF = 2v
vE = vF = 2v 杆 v = v cos 60o = v
DE
因此 ω = vD AD = v 2l
7.6 画出图示机构中作平面运动的杆件在图示位置的速度瞬心
7.7 图示拱桥上受到 F1 和 F2 两力作用 若给出的三拱桥的支座 C 若突然坍塌 试求
= vO[1− cos(θ + ϕ) / cos θ]
基点
aB = aO + aBτ O + aBnO
aO = 0 aBτ O
基点
aA = aB + aAτ B + aAn B
x′
aA
cos
θ
=
aB
cos(
π 2
−
ϕ
−
θ)
+
a
n AB
∴ aA
=
vO2 r
sin(θ + ϕ) cos θ
+
vO2 l
sin 2 ϕ cos3 θ
连杆 已知 AB = BC = a CD = 2a 杆 AD 以匀角速度 ω 转动 求图示两位置杆 CD
的角速度和角加速度
解a
杆作瞬时平动 ωBC = 0 vC = vB
∴ ωCD = vC / 2a = ω / 2
基点
aCτ + aCn = aBn + aCτ B ∴ aCτ = 0 αCD = 0
b
杆速度瞬心在 点 vC = 0
∴ ωBC = vB / a = ω ωCD = 0
基点
aCτ = aBn + aCτ B + aCnB
x′ acτ cos θ = −aBn − aCnB
Q cos θ = sin ϕ = 7 / 4
aBn = ω2a
aCnB = ω2a
∴ aCτ = −8ω2a / 7
向
v A
垂直于
OA
杆
因此瞬心为 C
不难看出 C 点相对
AB 杆和定系的位置可分别以 (2r, ϕ) 和 (r,2ϕ) 表示 则动 定瞬心迹线分别是半径为 2r 和 r 的圆
7.9 图示反平行四边形机构中 AB = CD = 2a AC = BD = 2c a > c 求杆 BD
的动瞬心轨迹和定瞬心轨迹
αB = ω& B = rωcos(θ + ϕ)(ω + ϕ& ) / R cos ϕ + rωsin(θ + ϕ) sin ϕϕ& / R cos2 ϕ
= [rω2 cos(θ + ϕ) + lϕ& 2 ] / R cos ϕ
7.14 半径为 r 的圆盘在水平面上作直线纯滚子 如图示 其中心 O 的速度 vO 常量
aB = [rω2 cos(θ + ϕ) + lϕ& 2 ] / cos ϕ
∴ α AB
=
a
τ BA
/l
=
(ϕ& 2
− ω2 )tgϕ
α B = aB / R = [rω2 cos(θ + ϕ) + lϕ& 2 ] / R cos ϕ
分析法
αAB = ϕ&& = −rω2 sin θ / l cos ϕ + rωcos θsin ϕ / l cos2 ϕ = (ϕ& 2 − ω2 )tgϕ
余坐标 ϕ 两者间有约束方程
r sin θ = l sin ϕ
1
矢量法
基点
vB = vA + vBA
(vA = ωr)
vBA
=
vA
=
vB
sin(
π 2
−
θ)
sin(
π 2
−
ϕ)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
sin(θ + ϕ)
vBA = vA cos θ cos ϕ ωAB = vBA l = ωr cos θ l cos ϕ
vB = vA sin(θ + ϕ) cos ϕ ωB = vB R = ωr sin(θ + ϕ) R cos ϕ
15rω2 / 75
α B = aBτ / r = −4 15ω2 / 75 = −20.7rad/s 2
分析法 设
的坐标分别为 xA yA xB
yB 此 瞬 时 xA = 0 yA = r xB = 15r
yB = 0 则有
(xB − xA )2 + ( yB − yA )2 = (4r)2 将上式求导 得 (xB − xA )(x&B − x&A ) + ( yB − yA )( y& B − y& A ) = 0
基点
v =v +v E C EC
Q OC = 2OB CE = 2BA
∴ vC = ω1 × OC = 2ω1 × OB = 2vB
vEC = ω2 × CE = 2ω2 × BA = 2vAB
可导出 vE = 2vA
7.5 一自动卸货大卡车的升降机构如图示 图中 BE = BF AC = l 在此瞬时 活 塞在处于水平的液压缸中的速度为 v 求车厢转动的角速度
置轮 B 滚动的角速度和角加速度
解 矢量法
杆作瞬时平动 ωAB = 0 vB = vA = rω
ωB = vB / r = ω = 10rad/s r = 10cm
基点
aBτ + aBn = aAn + aBτ A
x′
a
τ B
cos
β
−
aBn
sin
β
=
−aAn
sin
α
∴
a
τ B
= −(ω2 r − r 2ω2 / 5r)tgβ = −4
7.1 直杆 AB 搁置如图 a b 所示 试分别以 A 端沿水平轴 x 向右运动时的速度和加速 度表示杆 AB 的角速度和角加速度
解
杆作平面运动 由于受
两处约束 f = 1 取 θ 为广义坐标
a 将 xA = hctgθ 对时间求导 得 x&A = −hcsc2θθ&
因此有 θ& = −x&A sin 2 θ / h &θ& = − sin 2 θ(&x&A − x&A2 sin 2θ / h) / h
= vO2 sin(θ + ϕ) + vO2 sin 2 ϕ
r cos θ
l cos3 θ
7.15 半径为 10cm 的轮 B 由曲柄 OA 和连杆 AB 带动在半径为 40cm 的固定轮上作纯
滚动 设 OA 长 10cm AB 长 40cm OA 匀角速转动 角速度 ω = 10rad/s 求在图示位
分析法 将式 1 对时间求导 得 θ& = vO sin ϕ / l cos θ
因为 xA = xO − r sin ϕ − l cos θ 对时间求导 得
vA = x&A = vO − vO cos ϕ + l sin θ(vO sin ϕ / l cos θ)
= vO[1 − cos(θ + ϕ) / cos θ] aA = v&A = vO sin(θ + ϕ)(θ& + ϕ& ) / cos θ − cos(θ + ϕ) sin θθ& / cos2 θ
x′
a
n A
sin
θ
−
aAτ
cos
θ
=
aBx
cos
θ
−
aBy
sin
θ
aAτ
=
−aBx
+
(a
n A
+ aBy )tgθ
=
−1cm/s 2
α OA
=
a
τ A
/ OA
=
−(1/ 40)rad/s2
7.13 滚压机构的滚子沿水平面作纯滚动如图示 曲柄 OA 长 r 连杆 AB 长 l 滚子 半径为 R 若曲柄以匀角速度 ω 绕固定轴 O 转动 计算连杆 AB 和滚子的角加速度
上二式中消去 ψ 得 (ρsin ϕ)2 + (2c − ρ cos ϕ)2 = (2a − ρ)2
可导出如下椭圆方程
ρ = [(a2 − c2 ) / a] [1− (c / a) cos ϕ]
因此动 定瞬心迹线均为椭圆
7.11 三根连杆 AB BC 和 CD 用铰链相连组成一四连杆机构 AD 可视作固定不动的
此瞬时 GBJ 和 ICJ 两部分的速度瞬心
解 GBI 构件 瞬心为 ICJ 构件 瞬心在无穷远
7.8 杆 AB 可在作定轴转动的套筒 O′ 内滑动如图示 其 A 端与曲柄 OA 铰接 已知 OA = OO′ = r 求杆的动瞬心轨迹和定瞬心轨迹
解 AB 杆作平面运动 杆上与 O 相重合之点速度 vO′ 沿杆方
分析法 将式 1 对时间求导 得
ϕ& = r cos θθ& l cos ϕ = rωcos θ l cos ϕ
对 xB = r cos θ + l cos ϕ 对时间求导 得 x&B = −r sin θθ& − l sin ϕϕ& = −rωsin(θ + ϕ) cos ϕ
因此 ωB = −x&B / R = rωsin(θ + ϕ) R cos ϕ
解 BD 杆的瞬心为 AB 与 CD 的交点 P 容易证明三角形 APC 和 DPB 全等 因此瞬心 P 点相对 BD 杆和定系的位置均可用
(ρ, ϕ) 表示 在三角形 APC 中 有 ρ = AP = DP ρsin ϕ − (2a − ρ) sin ψ = 0 ρ cos ϕ + (2a − ρ) cos ψ = 2c