小升初第5讲等差数列求和
小升初考试专题等差数列
等差数列一、知识要点若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项;数列中,项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
等差数列中包含两个很重要的公式：“通项公式”和“项数公式”通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差An=a1+（n-1）d项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1N=（an-a1）÷d+1二、精讲精练【例题1】有一个数列：4，10，16，22…，52.这个数列共有多少项？练习1：1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=2.这个等差数列共有多少项？2.有一个等差数列：2, 5，8，11…，101.这个等差数列共有多少项？【例题2】求等差数列1、4、7、10、13....的第20项和第80项？练习2：1、超市工作人员在商品上依次编号，分别为4、8、12、16.....请问第34个商品上标注的是什么数字？第58个呢？2、等差数列4、12、20....中，580是第几项？【例题3】有这样一个数列：1, 2, 3, 4，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
计算下面各题。
（1）1+2+3+…+49+50 （2）6+7+8+…+74+75（3）100+99+98+…+61+60三、课后作业1、张师傅做一批零件，第一天做了20个，以后每天都比前一天多做2个，做了30天刚好做完，则这批零件一共有多少个？2、在一次同学聚会中，一共到了45位同学和2位老师，每位同学或老师都要和其他所有人握一次手，那么一共握手了几次？3、新星幼儿园304个小朋友围成若干个圆圈（一圈套一圈）做游戏，已知最里面的圈有24人，最外面的圈有52人，如果相邻两圈相差的人数相等，那么相邻两圈相差多少人？。
奥数教程3年级第7版-第5讲-等差数列
第5讲-等差数列【知识导航】首先要先认识一下几个基本概念1、等差数列都是长什么样的？（1）自然数数列：公差是1，首项可以是1，也可以不是1；任意一个数都可以是第1项；（2）奇数数列：公差是2，每一项都是奇数（单），这是一个比较特殊的数列；（3）偶数数列：公差是2，每一项都是偶数（双），这是一个比较特殊的数列；（4）其他的数列：公差可以是3、4、5、6等等，这些数列就没有什么特别之处了，没有特殊性；2、公差--------相邻两个数之差，在一个等差数列中，任意相邻的两个数之差必然是相同的（相等的），，这有保持这个差始终相等，才能叫等差数列呢。
3、首项------顾名思义，就是数列的第1项；4、末项----顾名思义，就是数列的最后一项，一般情况下，数列的项数都是无限多，但是为什么会有最后一项呢？【答案】这里的限制，是人为的限制，我们要有结束的时候，我们可以任意选择结束的地方，这是在锻炼我们使用概念，使用公式的一种方法。
我们需要在有限的范围内研究一些事情。
这种限定，可以帮助我们很好的在一定范围内充分理解基本概念，然后我们再根据自己的理解去发挥想象，举一反三。
这就是：有限制，才有想象。
人的创造力，来源于限制。
5、项数-----顾名思义，就是这个数列的“个数”。
专业一点就叫做“项数”。
【为什么数学里面会有那么多的概念，名词，定理呢？】【答案】概念-----这个词可以给我们提供很多有用的东西，节约我们学习的时间，提高学习的效率。
假如，我们没有概念这个词，你每次要跟别人说一个东西的时候，都说很多的话，是不是很费劲？比如说俄罗斯人的名字就很长，那我们用一个代号称呼是不是更快，更清楚的认识一个人呢？这就是概念的作用，用最简短的词语表示了一个新事物，表达了一件事情。
这就体现了快捷，有效。
名词----也就是词语，是组成概念的主要单位。
没有名词，概念就失去了有力的武器，所以，概念离不开词语，词语并不是语文的特产。
定理---大家公认的一件事情，至少目前是没有人可以推翻的，也就是大家公认的一件事。
等差数列求和公式应用
等差数列求和公式应用等差数列在我们的数学学习中可是个“常客”，特别是等差数列求和公式，那更是用处多多。
先来说说什么是等差数列。
比如说，1，3，5，7，9 这样的数列，每一项与前一项的差值都相等，这个差值叫公差。
而等差数列求和公式就是用来计算这样一系列数相加的总和的。
那这个公式到底有啥用呢？我给您举个例子。
有一次，我去逛商场，正好碰到一家鞋店做促销活动。
他们规定，买第一双鞋 100 元，第二双鞋比第一双多 20 元，第三双鞋比第二双又多 20 元，以此类推。
我就想啊，如果我要买 5 双鞋，得花多少钱呢？这时候等差数列求和公式就派上用场啦。
首项是 100，公差是 20，项数是 5。
根据等差数列求和公式：Sn =n × (a1 + an) / 2 ，其中 n 是项数，a1 是首项，an 是末项。
先求出末项，an = a1 + (n - 1) × d ，这里的 d 就是公差。
所以 a5 = 100 + (5 - 1) × 20 = 180 。
然后再代入求和公式，S5 = 5 × (100 + 180) / 2 = 700 元。
这么一算，我心里就有底了，能清楚知道买 5 双鞋总共要花多少钱，从而决定要不要买。
在学校里，老师也经常会出一些等差数列求和的题目来考考我们。
比如说，计算 2，5，8，11，……一直到第 20 项的和。
这时候，我们就先求出第 20 项是多少，a20 = 2 + (20 - 1) × 3 = 59 。
然后再用求和公式，S20 = 20 × (2 + 59) / 2 = 610 。
再比如，一堆木头堆成梯形，最上面一层有 3 根，最下面一层有 10 根，每一层都比上一层多1 根。
这其实也是一个等差数列求和的问题。
我们可以把它看作是求 3，4，5，……，10 这个等差数列的和。
同样用公式就能算出这堆木头一共有多少根。
等差数列求和公式不仅在数学题里有用，在生活中也有不少实际应用呢。
小升初22次课程04-等差数列(教师版)
“数列”就是一列数，也就是一列数排成一列。
“等差”就是差相等，也就是相邻两数的差相等。
特别要注意的是，类似于1，2，3，2，1，2，3，2，1，...和1，0，1，0，1，0，...的数列，虽然相邻两个数的差都相等，但这样的数列不是等差数列，因为在同一个等差数列中，必须要么每一项都比前一项大，要么每一项都比前一项小，不能出现既有后一项比前一项大，又有后一项比前一项小的情况。
内1、概念及基本公式在等差数列中，称第1个数为第1项，第2个数为第2项，第3个数为第3项，......依此类推。
我们把等差数列第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中所有数的个数称为项数，等差数列知识结构模块一：等差数列初步知识精讲内容分析而相邻两项的差则被称为公差。
在等差数列中，首先要寻找这四个关键量（即首项、末项、项数和公差）之间的关系，请看下图：在上图中，你能看出第3项比第1项大几个公差吗？第5项比第2项大几个公差呢？第7项比第1项大几个公差呢？第17项比第9项大几个公差呢？更重要的是，首项其实就是第一项，末项就是第“项数”项，那么首项和末项之间相隔的公差个数就等于（项数-1）.由此，我们就知道末项减去首项等于（项数-1）个公差的和，因此由此可以得到等差数列的通项公式：同时我们还可以得到以下这些公式：【例1】⑴一个等差数列共有13项。
每一项都比它的前一项大2，并且首项为33，那么末项是多少？⑵一个等差数列共有13项。
每一项都比它的前一项小2，并且首项为33，那么末项是多少？【难度】★【答案】⑴57；⑵9【解析】分析：本题中的首项和末项相差了几个公差？是首项大还是末项大？⑴解：由题目已知，首项=33，公差=2，项数=13由公式可得：末项=首项+（项数-1）×公差=()21-1333⨯+=2433+=57⑵解：由题目已知，首项=33，公差=2，项数=13因为每一项都比它的前一项小2，所以首项最大由公式可得：末项=首项+（项数-1）×公差=()21-13-33⨯=24-33=9【总结】在运用公式时，审题要审清楚，不同的说法要相应的改变公式的加减。
小学六年级数学奥数等差数列求和讲解
等差数列求和小朋友们，对于一列有规律的数列我们怎么来求和呢？我们这一讲来介绍一种更快捷简单易懂的方法！我们先来认识什么是等差数列，如：1＋2＋3＋……＋49＋50；2＋4＋6＋……＋98＋100。
这两列数都有共同的规律：每一列数从第二项开始，后一个数减去前一项的差都相等（相等差又叫公差）。
像这样的数列我们将它称之为等差数列。
我们再来掌握两个公式，对于等差数列，如果用字母S代表没一列数的和，字母a代表首项（即第1项），字母b代表末项，字母n 代表项数（加数的个数），那么S＝（a＋b）×n÷2。
如果n不容易直接看出，那么可用公式来计算出来：n＝（b－a）÷d＋1典型例题例【1】求1＋2＋3＋……＋1998＋1999的和。
分析首项a＝1，末项b＝1999，项数n＝1999。
解S＝（a＋b）×n÷2＝（1＋1999）×1999÷2＝2000×1999÷2＝1000×1999＝1999000例【2】求2＋4＋6＋……＋196＋198的和。
分析首项a＝2，末项b＝198，公差d＝2，项数n＝（198－2）÷2＋1＝98＋1＝99。
解S＝（a＋b）×n÷2＝（2＋198）×99÷2＝200×99÷2＝100×99＝9900例【3】求297＋294＋291＋……＋9＋6＋3的和。
分析297＋294＋291＋……＋9＋6＋3＝3＋6＋9＋……＋291＋294＋297，对于重新排列的这列数，首项a＝3，末项b＝297，公差d＝3，项数n＝（297－3）÷3＋1＝98＋1＝99。
解S＝（a＋b）×n÷2＝（3＋297）×99÷2＝300×99÷2＝150×99＝14850例【4】求5000－124－128－132－……－272－276的和。
小学初级奥数第5讲-等差数列的计算
例二 同学们，你知道每一行数列各有多少个数字吗？
3、4、5、6、……、76、77、78 2、4、6、8、……、96、98、100 1、3、5、7、……、87、89、91 4、7、10、13、……、40、43、46
例三
1，3，5，7，……是从1开始的奇数，其中第 2005个奇数是________。
课后作业
课后作业 <作业5>
1 3 4 6 7 9 10 12 13 ... 66 67 69 70
例九 用等差数列的求和公式计算下面各题。
3 4 5 6 ... 76 77 78
练一练 1 3 5 7 ... 87 99 4 7 10 13 ... 40 43 46
例十
5000 2 4 6 ... 98 100
练一练
4000 5 10 15 ... 95 100
课后作业
<作业1> 1966、1976、1986、1996、2006这五个数的总和是多少?
<作业2>
4 8 12 16 ... 32 36
课后作业
<作业3>
65 63 61 ... 5 3 1
课后作业
<作业4>
（1 3 5 ... 2009）（2 4 6 ... 2008）
想一想
1+2+3+4+5+6···+99+100=？
找一找
请观察下列数有什么特点？
1、2、3、4、……、98、99、100 1、3、5、7、……、95、97、99 5、10、15、20、……、40、45、50
找一找
请观察下列数有什么特、100 1、3、5、7、……、95、97、99 5、10、15、20、……、40、45、50
初中等差数列求和公式推导
初中等差数列求和公式推导好的，以下是为您生成的关于“初中等差数列求和公式推导”的文章：在初中数学的学习中，等差数列可是个相当重要的家伙！咱们今天就来好好唠唠等差数列求和公式是咋推导出来的。
先来说说啥是等差数列。
比如说，1，3，5，7，9 这组数，每相邻两个数的差值都一样，这就是等差数列啦。
咱们来举个具体的例子，有一个等差数列：2，5，8，11，14，17 。
现在咱们要算它的和。
一开始，咱可以老老实实地一个一个加起来，2 + 5 + 8 + 11 + 14 +17 ，但这也太费劲啦！这时候，咱们得动点小脑筋。
咱们把这个数列倒过来写一遍：17，14，11，8，5，2 。
然后把原来的数列和倒过来的数列相加，对应位置上的数相加：(2 + 17) + (5 + 14) + (8 + 11) + (11 + 8) + (14 + 5) + (17 + 2)你看，每个括号里的和都是 19 ，而且一共有 6 组。
那这两个数列相加的和就是 19×6 = 114 。
但这是原数列和倒过来的数列的和，所以原数列的和就是 114÷2 =57 。
咱们再仔细瞅瞅这个过程，就能发现规律啦。
假设这个等差数列的首项是 a₁，末项是 aₙ ，项数是 n 。
那么它的和 S = (a₁ + aₙ)×n÷2 ，这就是等差数列的求和公式！我还记得之前给学生们讲这个的时候，有个小调皮鬼怎么都理解不了。
我就跟他说：“你想想啊，你去跑步，从起点到终点，再从终点跑回起点，这一来一回的路程是不是一样的？这就跟咱们的数列相加是一个道理！” 这小家伙眼睛一下子亮了，“哦！老师我懂啦！” 看着他恍然大悟的样子，我心里那叫一个美。
在做题的时候，只要能确定首项、末项和项数，用这个公式就能轻松算出等差数列的和啦。
比如说，有个等差数列 3，7，11，15，…… ，一直到第 20 项，求它的和。
首项 a₁ = 3 ，末项 a₂₀呢，因为公差是 4 ，所以 a₂₀ = 3 + (20 - 1)×4 = 79 ，项数 n = 20 。
等差数列求和(共24张PPT)
求1+4+7+10+13的和，这是一个等差数列，公差为3，项数为5。根据等差数 列求和公式，可以得出结果为30。
04
等差数列求和的变种
04
等差数列求和的变种
倒序相加求和
总结词
倒序相加求和是一种特殊的等差数列求和方法，通过将数列倒序排列，再与原数列正序求和，最后除 以2得到结果。
详细描述
倒序相加求和的步骤包括将等差数列倒序排列，然后从第一个数开始与原数列对应项相加，直到最后 一个数。这种方法可以简化等差数列求和的计算过程，特别是对于较大的数列。
计算
使用通项公式，第5项$a_5=a_1+(5-1)d=1+(5-1)times1=5$。
03
等差数列求和公式
03
等差数列求和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将等差数列的 项进行分组求和，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的特性，将等差数列的 项进行倒序相加，再利用等差数列的 通项公式进行化简，最终得到等差数 列求和公式。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
公式应用
应用场景一
在数学、物理、工程等领域中，常常需要求解等差数列的和 ，如计算等差数列的各项之和、计算等差数列的和的极限等 。
应用场景二
在金融领域中，等差数列求和公式可以用于计算等额本息还 款法下的贷款总还款额、计算等额本金还款法下的贷款总还 款额等。
定义与特性
定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常 数，这个常数被称为公差。
小升初数学计算分类专题--简便运算
小升初数学计算分类专题--简便运算在小学计算题中，有许多新颖独特的题型和方法。
这些题型在升重点中学考试和进入中学分班考试中经常出现。
有些学生由于没有见过这种题型，常常得分很少或得零分。
其实，只要掌握一定的解题方法和规律，这些题型一点都不难。
下面是一些计算专题的介绍和解题技巧：计算专题1：小数分数运算律的运用这个专题主要是针对小数和分数的运算，包括加减乘除等。
掌握这些运算律可以帮助我们更快地解决相关的计算题。
在这个专题中，我们需要掌握一些例题，例如：例一：4.75+9.63+（8.25-1.37）例二：×79+790×例三：3×25+37.9×6例四：36×1.09+1.2×67.3例五：81.5×15.8+81.5×51.8+67.6×18.5通过这些例题的练，我们可以更好地掌握小数分数运算律的运用。
计算专题2：大数认识及运用在这个专题中，我们需要掌握对大数的认识和运用。
大数一般是指超过一定位数的数字，例如千位、万位、亿位等。
在解决这些计算题时，我们需要掌握一些技巧，例如竖式计算、进位借位等。
以下是一些例题：例一：1234+2341+3412+4123例二：2×23.4+11.1×57.6+6.54×28例三：（9+7）÷（4+5）例四：1993+1992×1994例五：有一串数1.4.9.16，25……它们是按照一定规律排列的，那么其中第2010个数与2011个数相差多少？通过这些例题的练，我们可以更好地掌握大数的认识和运用。
计算专题3：分数专题在这个专题中，我们需要掌握对分数的认识和运用。
分数是指一个数被另一个数除后所得到的结果，例如1/2、3/4等。
在解决这些计算题时，我们需要掌握一些技巧，例如通分、约分等。
以下是一些例题：例一：2/3+1/4例二：5/6-1/3例三：1/2×3/4例四：2/5÷1/4例五：3/4的三倍是多少？通过这些例题的练，我们可以更好地掌握分数的认识和运用。
(完整版)小升初五年级数学培优教材(第一期)共四期
目录第1讲加减法简便计算 (2)第2讲乘除法简便计算 (6)第3讲植树问题 (11)第4讲周期问题 (16)第5讲数列的认识 (21)第6讲等差数列 (26)第7讲等差数列求和 (31)第8讲还原问题 (36)第9讲相遇问题（一） (41)第10讲假设法鸡兔问题 (46)第11讲消去法解题 (51)第12讲图形的周长与面积 (56)第1讲加减法简便计算【知识要点】在加减运算中，我们常用改变运算顺序、互补两数凑整、借数凑整以及选择基准数等方法，把数学算式巧妙变形，从而使运算简便。
【例题精讲】例1、用简便方法计算下面各题。
1）1834 - (334 + 613) - 387 2）4256 + 175- 256+ 8253）7324 - 2998 4）1308-(308-149)例2、用简便方法计算下面各题。
1）0.9 + 9.9 + 99.9 + 999.9 + 9999.92）101 - 0.9 - 0.09 - 0.009 - 0.0009例3、计算：1）(4+7+…+25+28)-(2+5+…+23+26)2）1 – 2 + 3 – 4 + 5 – 6 + ┉+ 2001 – 2002 + 2003例4、用简便方法计算。
486+482+485+483+487例5、用简便方法计算。
1989+1988+1987-1986-1985-1984+1983+1982+1981-1980-1979-1978+…+9+8+7-6-5-4+3+2+1【基础夯实】1、巧算下面各题。
1）6234 - (234 + 187) 2）964 – 598 + 983）4976 - (976 - 249) + 251 4）5498 – 1928 – 387 – 1072 – 1613 2、计算下列各题。
1）19 + 199 + 1999 + 19999 + 1999992）8999999 + 799999 + 69999 + 5999 + 499 + 39 + 73、计算：2000 + 1999 - 1998 + 1997 – 1996 + ...... + 3 – 2 + 14、计算：276+285+291+280+277【能力提升】1、巧算下面各题。
第5讲 等差数列与等比数列
第5讲 等差数列与等比数列一．基础知识回顾 定义常数）为(}{1d a a P A a n n n =-⇔⋅+常数）为(}{1q a a P G a nn n =⇔⋅+通项公式 n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d=dn +1a -d k n k n n q a q a a --==11求和公式n d a n d d n n na a a n s n n )2(22)1(2)(1211-+=-+=+=⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na s n n n中项公式A=2ba + 推广：2n a =m n m n a a +-+ ab G =2。
推广：m n m n n a a a +-⨯=2性质1 若m+n=p+q 则 q p n m a a a a +=+ 若m+n=p+q ，则q p n m a a a a =。
2若}{n k 成A.P （其中N k n ∈）则}{n k a 也为A.P 。
若}{n k 成等比数列 （其中N k n ∈），则}{n k a 成等比数列。
3 ．n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。
n n n n n s s s s s 232,,--成等比数列。
4)(11n m nm a a n a a d nm n ≠--=--=11a a q n n =- ， mn mn a a q=- )(n m ≠ 二．典例精析探究点一：等差数列与等比数列的基本量运算例1：等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50， (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .变式迁移1：在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2·a n －1＝128，S n ＝126，求n 和q .探究点二：等差数列与等比数列性质的应用 例2 已知数列{a n }是等差数列．(1)前四项和为21，末四项和为67，且前n 项和为286，求n ； (2)若S n ＝20，S 2n ＝38，求S 3n ；(3)若项数为奇数，且奇数项和为44，偶数项和为33，求数列的中间项和项数．变式迁移2：(1)已知等比数列{a n }中，有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，求b 5＋b 9的值；(2)在等比数列{a n }中，若a 1a 2a 3a 4＝1，a 13a 14a 15a 16＝8，求a 41a 42a 43a 44.探究点三：等差数列与等比数列的判定例3：已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1 (n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大值和最小值，并说明理由．变式迁移3：已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，n ∈N *.(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列； (2)求{a n }的通项公式以及S n .探究点四：等差数列与等比数列的综合应用例4：已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝10，S 6＝72.若b n ＝12a n －30，求数列{b n }的前n 项和的最小值．变式迁移4：已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n .(1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．三．方法规律总结1．等差数列的判断方法有：(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)中项公式：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列．(4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }是等差数列．2．对于等差数列有关计算问题主要围绕着通项公式和前n 项和公式，在两个公式中共五个量a 1、d 、n 、a n 、S n ，已知其中三个量可求出剩余的量，而a 与d 是最基本的，它可以确定等差数列的通项公式和前n 项和公式．3．要注意等差数列通项公式和前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，S 2n －1＝(2n －1)a n 等．4．在遇到三个数成等差数列问题时，可设三个数为①a ，a ＋d ，a ＋2d ；②a －d ，a ，a ＋d ；③a －d ，a ＋d ，a ＋3d 等可视具体情况而定．5．等比数列的通项公式、前n 项公式分别为a n ＝a 1q n －1，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1， q ＝1，a 1(1－q n )1－q， q ≠1.6．等比数列的判定方法：(1)定义法：即证明a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *) (q 是与n 值无关的常数)．(2)中项法：证明一个数列满足a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (n ∈N *且a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0)． 7．等比数列的性质：(1)a n ＝a m ·q n －m (n ，m ∈N *)；(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ·a l ＝a m ·a n ；(3)设公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n .8．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．9．等差数列与等比数列的关系是：(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列； (2)若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列． 四．课后练习作业1．在等差数列{a n }中，a 1＋a 9＝10，则a 5的值为 ( )A ．5B ．6C ．8D ．102．如果等差数列{}a n 中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7＝ ( )A ．14B ．21C ．28D ．353．已知{a n }是等差数列，a 1＝－9，S 3＝S 7，那么使其前n 项和S n 最小的n 是 ( )A ．4B ．5C ．6D ．74.设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于 ( )A.152B.314C.334D.1725．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于 ( )A ．－11B ．－8C ．5D ．116．在各项都为正数的等比数列{a n }中，a 1＝3，前三项的和S 3＝21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．1897．等比数列{a n }前n 项的积为T n ，若a 3a 6a 18是一个确定的常数，那么数列T 10，T 13，T 17T 25中也是常数的项是 ( )A ．T 10B ．T 13C ．T 17D ．T 258．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________. 9．在数列{a n }中，若点(n ，a n )在经过点(5,3)的定直线l 上，则数列{a n }的前9项和S 9＝________. 10．在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前99项的和S 99＝30，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝________. 11.．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________.12．设{a n }是一个公差为d (d ≠0)的等差数列，它的前10项和S 10＝110，且a 22＝a 1a 4.(1)证明：a 1＝d ；(2)求公差d的值和数列{a n}的通项公式．13．已知等差数列{a n}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{a n}的前n项和为S n.(1)求a n及S n；(2)令b n＝1a2n－1(n∈N*)，求数列{b n}的前n项和T n.14．已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．(1)求数列{a n}的通项；(2)求数列{2n a}的前n项和S n.15．已知数列{log2(a n－1)}为等差数列，且a1＝3，a2＝5.(1)求证：数列{a n－1}是等比数列；(2)求1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1a n＋1－a n的值．。
等差数列求和公式
等差数列求和公式
等差数列是指数列中的相邻两项之差都相等的数列。
假设等差数列的首项为a, 公差为d，其中a表示数列的第一项，d表示数列中相邻两项之间的差值。
等差数列的通项公式为：an = a + (n-1)d，其中an表示等差数列的第n项。
如果已知等差数列的首项a和公差d，求前n项的和Sn，可以使用等差数列求和公式：
Sn = (a + an) * n / 2
其中an为等差数列的第n项。
等差数列求和公式可以通过以下步骤推导得出：
首先，假设Sn为等差数列的前n项和，将等差数列的每一项按i从1到n进行求和，得到：
Sn = a + (a + d) + (a + 2d) + ... + [a + (n-1)d]
然后，将等差数列的前后两项加和，可以得到：
Sn = (2a + (n-1)d) + (2a + (n-2)d) + ... + (a + ad)
将上述式子按照等差数列的性质进行重新排列，可以得到：
Sn = (n(a + an)) / 2
将等差数列的通项公式代入上述式子中，即得到等差数列求和公式：
Sn = (a + (a + (n-1)d)) * n / 2
这就是等差数列求和公式。
使用等差数列求和公式，可以快速计算等差数列的前n项和，帮助我们在数学问题中进行求解。
小升初数学方法总结
裂和
2.换元：当题目中出现大量相同或相似的数时，考虑换元，好
写也好算。
3.通项归纳：计算规律的终极武器。
（三）计算题目类型
1.定义新运算：照猫画虎，or 看透本质。
-2-
2．比较与估算：化小数，通分法，比倒数，设标准，糖水法， 放缩法等等。
二、计算专题综合性题目
【例 1】计算： 1 4.3 3 3 3.6 6.7 5 1.23 13 2 5 0.09
- 13 -
【例 3】一个两位数，数字和是质数。而且，这个两位数分别乘以 3，5，7 之后，得到的数的数字和都仍为质数。 满足条件的两位 数为 _____。
【例 4】对四位数 abcd ，若存在质数 p 和正整数 k，使 a×b×c ×d=pk，且 a+b+c+d=pp-5，求这样的四位数的最小值，并说明理由。
3
5
18
3
解：原式= 1 4.3 18 18 6.7 18 123 3 5 9
3 5 5
5 100 41 100
= 1 18 4.3 1 6.7 9 5 9
35
100 100
=12+5
=17
【巩固练习】要使等式15.6
2
2 3
1.625
□
1 1 10
4 15
【巩固练习】 有一串数：5，8，13，21，34，55，89，…，其中 第一个数是 5，第二个数是 8，从第三个数起，每个数 恰好是前 两个数的和。那么在这串数中，第 2011 个数被 3 除后所得余数 是几？
【例 7】有一个整数，用它去除 70，110，160 所得到的 3 个余数 之和是 50，那么这个整数是______。
数列求和ppt课件
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得前n项和．
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等
比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项
和即可用错位相减法求解．
如果一个数列{an}与首末两端等“距离”的
(4)倒序相加法：
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数
an，n 为奇数，
2．若数列{cn}的通项公式为 cn＝
其中数列{an}，{bn}
bn，n 为偶数，
是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前 n 项和．
聚焦必备知识
11
突破核心命题
限时规范训练
1．(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10
＝40.
(1)求{an}的通项公式；
列的前n项和即可用倒序相加法求解．
(3)错位相减法：
聚焦必备知识
4
常用结论
1．一些常见的数列的前 n 项和
n（n＋1）
(1)1＋2＋3＋…＋n＝
；
2
(2)2＋4＋6＋…＋2n＝n(n＋1)；
(3)1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2.
突破核心命题
限时规范训练
聚焦必备知识
5
突破核心命题
限时规范训练
裂项相消法:适用的通项公式如下
( + ) +
聚焦必备知识
16
突破核心命题
考 点 二 裂项相消法求和
1
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 an＝
，则 Sn=____
n（n＋1）
训练2
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn＝n2.
小升初第5讲等差数列求和.docx
第 5 讲等差数列求和一、知要点若干个数排成一列称数列。
数列中的每一个数称一。
其中第一称首，最后一称末，数列中的个数称数。
从第二开始，后与其相的前之差都相等的数列称等差数列，后与前的差称公差。
在一章要用到两个非常重要的公式：“通公式”和“ 数公式” 。
通公式：第 n =首 +（数－ 1）×公差数公式：数 =（末－首）÷公差＋1二、精精【例 1】有一个数列：4，10，16，22.⋯，52.个数列共有多少？【思路航】容易看出是一个等差数列，公差 6，首是 4，末是 52. 要求数，可直接入数公式行算。
数 =（ 52－4）÷ 6＋ 1=9，即个数列共有 9 。
【例 2】有一等差数列：，，⋯⋯，个等差数列的第 100 是多少？【思路航】个等差数列的首是 3. 公差是 4，数是 100。
要求第 100 ，可根据“末=首 +公差×（数－ 1）” 行算。
第 100 =3+4×（ 100－1）=399.【例 3】有一个数列：，⋯，99，100。
求出个数列所有的和。
【思路航】如果我把，⋯， 99，100 与列 100， 99，⋯，相加，得到（ 1+100）+（2+99）+（3+98）+⋯+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是 101. 一共有 100 个 101 相加，所得的和就是所求数列的和的 2 倍，再除以 2. 就是所求数列的和。
1+2+3+⋯+99+100=（1+100）× 100÷2=5050 上面的数列是一个等差数列，研究，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列和=（首 +末）× 数÷ 2 个公式也叫做等差数列求和公式。
【例 4】求等差数列2，4，6，⋯，48，50的和。
【思路航】个数列是等差数列，我可以用公式算。
要求一数列的和，首先要求出数是多少：数=（末－首）÷公差+1=（50－2）÷ 2+1=25 首 =2. 末 =50，数 =25 等差数列的和 =（ 2+50）× 25÷2=650.【例 5】算（2+4+6+⋯+100）－（1+3+5+⋯+99）【思路航】容易，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分求出它各自的和，然后相减。
【小升初专项训练】05 多次相遇问题
第5讲多次相遇问题第一关求速度【知识点】多次相遇的基本公式和方法计算：距离、逢皮、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度X时间.星秋，知道其中的两个量，就可以求出第三个量.还可以发现：当计问柏同时，路程和速度成正比：当速度和同计,路程和时间成正比：当路程相同时，逢度和时间成,反比.也枕是说：设甲、乙两个人，所丈的路我分别为S甲、S乙：连度分别为V甲、V乙：所用时间分别为T甲、T乙时，ATS甲=V甲XTT1SC=VC×TC.有如下关系：(1)当时阿柏凡即T甲=T乙时.有S甲：S乙=V甲：V乙：(2)当it度相同即V甲=V乙时，有$甲：S乙=T甲：T乙：(3)当路况相同即S甲=S乙时，有V甲：V乙=T乙：T中.在多次相遇、迫及阿Ii中.用比例方法来解往往能收到很好的效果.IMU甲村、乙村相距6千米,小张与小王分别从甲、乙两村同时出发.在两村之间往返行走(到达另一村后马上返回).在出发后40分仲两人第一次相遇.小王到达甲村后返回，在离甲村2F米的地方两人第二次相遇.小张每小时走多少「米，小王姆小时走多少千米？【写发】5:4【例2】A、B两地相距300千米,甲乙两军分别从A、B两地同时出发相向而行，在两地之间往返行械，在出发后3小时两车第一次相遇，第：次相遇时足B地60I■•米，同甲、乙两车的速度各是年小时多少千米？【与案】甲车的速度是每小时4()千米,乙车的速度是每小时60千米1例3】甲乙两车同时分别以不同的速度从A,B两地相向而行，在距A地90千米处相遇，相遇后两车继续以原速前进，在各门到达对方车站后立即返回，途中又在距B地70千米处相遇.已知第一次相遇与第二次相遇恰好间隔4小时.那么，甲的速度是年小时多少千米.乙的速度是每小时多少千米？【各tJ45:55【例4】甲车以匀速从A地开往B地，乙车以匀速从B鹿开往A地，两车在足离A地60公里处第一次相遇，两车继埃以各自的匀速前进,到达目的地后各自休息10钟然后折返原出发地.两车在即肉B地40公里处第二次相遇.请问甲车与乙车之速度比为何？【各裳】6:5r例5】A、B两城相距280『米，某天上午8时，卬乙两车分别从两城出发，相向而行.甲车至达B城后立即返回,乙车到达A城后也立即返回.中午12时他们第二次相遇，此时,甲车比乙车多行了40千米.求甲车的时速是多少？[§-t]IIO千米，小时r例6】A,B两地间有一条公路，甲、乙两辆军分别从A、B两地同时相向出发，甲车的速度是60千米/时,经过1小时，两车第一次相遇.然后两车继续行驶,各自到达B、A两地后都立即返回.第二次相遇点与第一次相遇点的距离是2()千米.求乙车的速度.[»«]50千米/小时1例7] A、B两地间有条公路，卬乙两辆车分别从AB两地同时相向出发，甲车的速度是50「米/时.羟过I小时，两车第一次相遇.然后两车维续行驶，各自到达B、A两地后都立即返回,第二次机遇点与第一次相遇点的距离是2()千米.求：乙车的速度.【各箕】40千米/小时1例8】甲乙两车分别从A、B两地相向而行，两车在距A点10千米处相遇后，各自继续以原速前进，到达对方出发点后又立即返回，从B地返回的甲车在我!过A、B中点3千米处再次与从A地返回的乙车相遇,若甲每小时行驶60千米，则乙每小时行驶多少千米？【答案】48【例9】甲、乙、丙三人沿落湖边敌步，同时从湖边固定点出发，甲按顺时针方向行走，1 Ii乙和丙按逆时针方向行走.甲第一次遇到乙后4分钟遇到丙.再过4分钟第二次遇判2_乙，己知乙的速度是甲的3,湖的周长是900米，求丙的速慢.【答案】36米/分钟【例10】有人沿公路前进，对面来了一辆汽车，他问司机:“后面有自行车吗？“司机回答：“十分钟前我超过•辆自行车”•这人继续走了十分钟.遇到自行车.已知自行车速度是人步行速度的一:倍.向汽车的速改毡步行速度的多少信？【答案】7【例II】甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地去.甲、乙两车速度分别是6()千米/小时和48千米/小时,有一辆卡车网时从B地迎面开来,分别在他们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲乙丙车相遇.丙车的速度是多少？【答•发】39千米，小时51例12】甲、乙、丙：潮乍同时从A地出发驶向B地.依次在出发后5小时、512小时、1 62小时与迎面驶来的-•辆卡车相遇.已知甲、乙两车的速僮分别是8()千米/时和70千米/时，求丙车和卡车的速度.【写案】卡车的速度与丙车的速度用为每，卜时50千米【例13】两列火,车分别从AB两地相向而行.甲车从A地以每小时65公里的速发向B地行进，乙车从B地以每小时70公里的速度向A地行时•同时有一辆汽车从A向B沿马铁跖平行的公路行驶，若干小时后两列火车相遇，又过了段时间，乙车与汽车相遇，若前一段时间是后一段时间的5倍.那么汽车的速度是每小时行多少公里？【等£】42.5r例14】甲、乙同时从A地出发向B地前进,途中遇到迎面来的丙.甲、丙相遇后都返身而行，36分钟后平迎面泄到乙，此后甲又立刻返身迫丙，又用1.2小时，在B处追到丙，1.l知甲速度12千米川、时，乙速度3千米可、时.求：AB相距多少千米,丙速度为多少千米/小时？【各案】AB距再为19.2千米，内速度为44千米/时【例15】甲、乙两人在相距200米的直路上来回胞步，如果他们同时于6点05分分别在直路两战出发,当他们第Il次相遇时，时间是6点19分，已知甲每秒比乙每秒多跑1米,向甲、乙两人的速度是每杪多少米？【容案】甲的速度为每秒3米，乙的速度为4秒2米(M16]ΛB两地相距100米，甲乙两名机器人同时从A胞出发，分别在Λ,B两地之间做往返运动，两机器人的速度一直不变，其中甲机器人的速度比乙机器人大，但是乂不超过乙机器人速度的1.5倍.当甲机器人第13次到达B地时.乙机器人刚好也到达B地,当甲机器人第18次到达B 地时,乙机器人刚好也到达C地，并向B地前进,其中AC=5AB,则甲乙两机器人的速度比为多少,当甲机器人第23次到达A地时，乙机器人距离A 地多少米？【容案】25：23:321例17]如图，AABC是边长为108Cm的等边三角形,虫子印和乙分别从A点和C点同时出发,沿AABC的边爬行,乙逆时针爬行.速度比是电5.相遇后.甲在相遇点休息10秒钟.然后继续以原来的速度沿原方向爬行：乙不休息，速度提而20%,仍沿便方向爬行，第：次恰好在BC的中点相遇.求开始时，虫子甲和乙的旭行速度.【例18】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行,6小时后相遇在C点,如果甲车速度不变,乙车每小时多行5千米,且两车还从A、B两地同时出发相向而行,则相遇地点距C点12千米.若乙速度不变，甲每小时多行5千米，则相遇地点距C点16千米.甲车原来姆小时行多少千米？【S■发】30第二关求时间【知识点】多次相遇的基本公式和方法计算：距禹、速度、时间这三个量之间的关系.可以用下面的公式来衣示：比博=速度X时间.2.⅛,知道其中的两个量，就可以求出第三个量.还可以发现：当叶间相同时，的代和速度成正比：当纯.度相同叶，路代和时间成正比；当珞椽相同计,速度和时间成反尼,也就比说：⅛r.乙两个人.所走的路程分别为S甲、Sj选民分别为V甲、V乙：所用时间分别为T甲、T乙时,由于S l P=V甲XTy,S乙=V乙XT乙.有如下美东：(I)当时冏相同即T甲=T乙计，有S甲：S乙=V甲：VC:(2)当遑度相向即V甲=V乙时.在S甲：S匕=T甲：T乙：(3)当路假相同即S甲=S乙时，有V甲：V乙=T乙：T甲.在多次相遇、迫及问题中,用比例方法汆却往往能收到很好的效果.KM19]甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行.相遇后，甲维续向前走,经过9分钟到达B地.乙维埃向前走,经过4分忡到达AJfe.问两人出发后多少分钟第二次相遇？【卷案】6【例20】甲乙两个码头相距3600米，A渡轮平均每分钟行185米,B渡轮平均短分钟行175米,这两艘渡轮同时分别从甲乙两个码头相向而行,就码头时乘客上船需停4分钟.第一次相遇后，又羟过几分件相遇？【卷案】24KM21]A,B两站相距17S0米,甲车的速度为1分钟190米，乙车的速度为每分钟160米,甲、乙两车分别从A、B两站相向开出,两车到站后都要停留15分钟.它们第一次相遇后要经过多少时间第二次相遇？【各案】25【例22】甲、乙丽人在理行胞道上粗步，如果雨佃人都按廊畤引方向跑，等12分獐相遇一次,如果闲人速度不燮.其中一人改箜按逆的斜•方向跑.即每聃4分建相遇一次•周甲、乙两人各跑一圈需要筵分缀？【容案】甲比一丹隽娈6小时，乙跑一周秀笑12小时【例23】甲、乙、丙三人在学校到公园的路上散步，甲毋分钟比乙多走12米，乙每分钟比丙多走9米,上午8点三人同时从学校出发.上午9点即到达公园后立即返回学校.在距公园420米处遇到乙.再过多长时间甲与丙相遇？【容案】IO分钟【例24】一天甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行.乙、丙相遇时丙走了4F米，若乙与丙相遇后立即返回,则再过12分钟与甲迎向相遇.实际上乙遇到丙后继续前进.到达B地后才立即返回.返回疗乂左广18分钟迎面遇到了甲.已知甲，丙相遇时内走了8『米.加么甲走完全程需要多少分钟？[§∙«]!20【例25】在一硼形跑道匕甲从A点,乙从B点同时出发反向而行,8分钟后两人相遇.再过6分钟甲到B点，又过IO分忡两人再次相遇甲环形•周需多少分仲?【名案】28【例26】有一路电车从甲站开往乙站，每5分忡发车一居,全程共需15分仲，小张从乙站的力行车沿电车蚣去甲站，出发时恰好有•辆电车到达乙站，在路上又遇到8辆迎面开来的电车，到达时恰好有一柄电车从甲站出发，他从乙站到甲站共用多少分钟？【写发】301例27】A、B两地相距130千米，已知人的步行速度是每小时5千米，俄托车的行验速度是年小时50千米，摩托车后座可带一人.何：有三人并配备一辆摩托车从A地到B地角少需要多少小时？【苔■案】6.2【例28】A,B两地分别在一条河的上下游.甲乙两条船同时从A地舟发.行到B地立即返回，如果卬乙两船在修水中速度分别为每小时21「米和每小时15「•米，水速为每小时3千米，两船从出发到第二次相遇，所用的时间是甲船从A到B所用时间的多少倍？[»«]4.25【例29】甲乙两辆汽车分别从相跑63千米处的矿山与堆料场运料同时相向开出,时速分别为40「米和50F米,如果不计装卸时间,那么,两车往返运料自出发到第三次相遇共经过多少小时？[»«]3.5【例30】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，口在A、B两地往返来网匀速行驶.若两军第一次相遇后，甲车继续行驶4小时到达B,而乙车只行驶了I小时就到达A∙则两车第15次（在A,B两地相遇次数不计）HU3∣⅛,它们行驶了多少小时？【3■发】86【例31】甲乙两地相距360千米.一辆卡4：.载行6箱筠品,从甲地驶往乙地,同时一辆摩托车从乙地出发，与卡车相向而行，卡车的速度是40千米/小时，松托车的速僮是80F米/小时.摩托车与卡车相遇后，从卡车上卸下2箱药品运回乙地，又珈即掠头…摩托车短次与卡车相遇，都从R车上卸下2箱药品运回乙地,那么将全部的6箱药品运到乙地,至少需要多K时间？这时,摩托车一共行驶了多长路程？（不考虑装卸药品的时间》2j_【容案】83；69331例32]如图,C、D为AB的三等分点.8点整时甲从A出发匀速向B行走.8点12分乙从B出发匀速向A行走，再过几分W1丙从B出发匀速向A行走：甲、乙在C点相遇时内恰好走到D点，甲、丙8：30相遇时乙恰好到A.加么，丙出发时是几点几分？AC5i【任案】8:16【例33】甲、乙两地相距60「米.小王骑车以饵小时行IO「米的速度上午8戊钟从甲地出发去乙地.过了一会儿,小李骑乍以每小时15千米的速度也从甲地去乙地，小李花途中M地追上小王,通知小王立即返回平地.小李维续骑车去乙培.各自分别到达甲、乙两地后都马上返网,两人再次见面时，恰好还在M地.问小李是什么时刻出发的？【答案】8点48分【例541A,B两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4加分、6米/分、5米，分,如果甲、乙从A地,丙从B地同时出发相向而行.那么,在多少分钟后.丙与乙的距肉是丙与甲的距惠的2倍？【答案】21或.29第三关求距离【知识点】多次相遇的基本公式和方法计算：距禹、逑度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距I¢=速度X时间.要次，知道其中的两个量，就可以求出的三个管.还可以发现：当时间相向时.哈租和速度成正比：当途度柏同计.珞租和时间成正比：当珞程相同升，建.反和时间我反比.也就是说：说中、乙两个人，所走的路底分别为S中、S乙：速度分别为V甲、VC;所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲=V甲XT甲,SC=V C×TC.在*下关系：(1)当时同栩同即T甲=T乙时.¾∙S甲：S乙=V甲：V乙：(2)当速度相同即V甲=V乙时，有S甲：S乙=T甲：T乙；(3)当路程相同即S甲二S乙时.有V甲：VC=TC:TΨ.在多次相遇、追及问题中.用比例方法来解往往能敢到很好的效果.tM35]甲、乙两车同时从A、B两地相向而行.在距A地60千米处第一次相遇.各自到达对方出发地后立即返回，途中又在距A地4Q千米处相遇.A、B两地粗花多少干米？【各宴】IlO【例36】甲乙两人骑自行车分别从A,B两地同时相向而行，第•次两人在距离B地27千米处相遇，相遇后，两人继续行驶，到达目的地后又立即返回，在距岗A地12千米处又相遇了.A∙B 两地相距多少千米【卷箕】69【例37】甲、乙两船从A、B两港口同时出发相向而行.第一次在足A港90「米处相遇.相遇后两船绯续1»行，各自到达目的地后立即返回，在距A港IO千米处第二次相遇.A、B两港U和距多少千米？[§-t]1401例38】甲、乙两车同时从A、B两地出发相向而行，两车在离B地80『•米处笫次相遇.相遇后两车仍以原速继续行会,并且在到达对方出发点后，立即沿原路返回，途中两车在距A地4()千米处第二次相遇.A.B两地相距多少千米？【各箕】200【例39】两辆汽车I可时从ΛB两地相向而行，第次相遇在距A地180『•米的地方，相遇后继埃前进，各自到达BA两地后沿原路返回.，第二次相遇在距A地260千米的地方,AB两地相距多少千米？【各箕】4(M)【例40】一辆Sf托车和一辆卡车同时从A、B地相向而行.两车在途中距B地20千米的C处第一次相遇，然后两车继续前进.卡车到达A地，摩托车到达B地后都立即返回，两车在途中由A地15千米的D处第二次相遇.求A、B两地间的距肉.【卷箕】45r例41】甲蛤自行车，乙骑摩托车同时从张村出发去李庄，乙到李庄后，立即返I可，在离李庄20「米处与甲相遇，甲、乙相遇后，仍按原来速度前诳，甲到李庄，乙到张村后，都立即返回，在离李庄30千米处甲、乙第二次相遇，问张村与李村之间相距多少千米？【各箕】7()1例42】甲、乙两辆车从A、B两地出发,相向而行，第一次相遇距A地75千米•相遇后继续行进到达终点后又立即返回，在距B地75「米处第：次相遇，求A、B两地距离【各箕】150【例43】甲乙车同时从A、B两地相向而行，第诙相遇距离A地80「米，两车仍以原速行驶,分别到达B、A两地后立即返回，在小B地60千米处第二次相遇，A、B两地相距多少干.米？[§-t]180【例44】甲、乙.人分别从A,B两地出发相向而行，到达目的地后马上拉头回到出发地，他们第一次相遇距A地800米，第二次相遇距B地SOO米，A.B两地相柜多少米？[&«]19(K)【例45】已知甲车比乙车慢,甲、乙两车同时从A、B两地相对开出,在跑离中点60千米处，两车第I次相遇，然后两车继续前进，到达B、A两地后立即返回，在距离B地20千米处，两车第2次相遇,A、B两地相距多少千米？[$-«]400【例46】甲、乙两人从A地出发，前往B地,当甲走了100米时,乙走了50米,当甲到达B地时，乙距离B地还差100米.卬到达B地后立即调头返回，两人在距国B地60米处相遇，那么，A、B两地的距离多少米？【答案】250【例47】客车与货车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米.货车每小时行48千米，两车相遇后又以原来的速度继续前进,客车到乙站后立即返I可，货车到甲站后也立即返回，两车再相遇时，客车比货车多行216「米，加么甲、乙两站的路程是多少千米？[««]1224【例48】小明、小华分别从他们所在的学校同时出发去对方的学校参加交流活动.20分.钟后在距小明的学校800米处相遇.当他In参加完2小时的活动后(他们到达学校时活动恰好开始)，立即返回,在离小华学校400米处又一次相期,这两所学校间的距离是多少米？【容案】2000【例49】甲、乙、丙三人，甲每分走100米，乙集分走80米，丙⅛j分走75米，卬从东村,乙、丙从西村同时出发相向而行.途中甲与乙相遇后3分又与丙相遇.来东西两村的距离.【容案】2l∞【例50】甲'乙两车同时从AB两地相向而行，在矩A地70千米处相遇.相遇后两车维2_续以原速曲进,到达目地的后马上返【可.在距B地占AB两地路程的5处第二次相遇.A、B两地相距多少「米？【各发】150【例511A,B两地相距400千米，甲、乙两辆车同时从A地出发不停地往返于A.B两地之间.乙车比甲车快,若两辆车第一次相遇和第二次相遇都在途中P处.那么,到两军第一：次相遇为止，乙车共走了多少千米？【各发】1600【例52】甲、乙二人以均匀的速度分别从A,B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米.相遇后二人维续前进,走到对方出发点后立即返回，在距B地3I■•米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少「米？[§∙«]90【例53】甲、乙两人同时从A地出发，在A,B两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度,甲每次到达A地、B地或遇到乙都会调头往回走.除此以外,两人在AB之间行走方向不会改变，已知两人第：次相遇的地点距离B地1200米，第三次的相遇点距离B地800米，那么笫•次相遇的地点距离B胞多少米？【答•发】IsOO1例54】甲、乙二人分别从A.B两地同时出发,相向而行.甲乙速度之比为5：4.二人相遇后继续前进，甲到B地，乙到A地都立即返向.已知二人两次相遇的地点之间相距20「米,求A、B两地的距恩.[§∙«]901例55】甲,乙两人分别在小路两端A.B两处同时出发相向收步,第一次相遇在跑B处80米的地方.然后两人继续按原速度向演行走，分别到达B,A处后再立即返回，第：次相遇在距A处30米的地方.照这样的走法，两人第三次相遇将在距A处多少米的地方？【例§6】小明在河的东岸,小倒在河的西岸，他们分别向河对岸直线游去.两人第次在河中相遇时距西岸80米,相遇后各自维续向对岸游去，当游抵对岸后又立即返回.他俩在河中第二次相遇时距东岸60米，相遇后再继续往前游，到达对岸后又立即返回.当他俩在河中第三次相遇时,距东岸多少米,距西岸多少米？[^tJ140:40【例57】甲、乙两人从A,B出发，甲饵分60m,乙f⅛分84m,第一次相遇在C点，之后两人抱续前进，到终点后再放回，又在D点相期，己知CD是420m,求A,B之间的距离.A rn R【答案】1260【例58]如图，从A到C为上坡，从C到B为下坡.汽车上坡速度年小时30千米，F坡速度每小时40千米,甲、乙两辆相同型号汽车同时分别从A∙B出发,甲车从A开往B∙乙车从&开往A.它们到达后立即返回，来回行驶.两车第一次相遇于D点，第：次相遇TE点，若DE=20f∙米，求AC的长与BC的长之差是多少？2【例59】甲、乙两人分别从A.B两地同时出发相向而行,乙的速度是即的3,二人相遇后维续行迸,甲到B地、乙到A地后立即返何.已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100「•米，那么，A、B两地相距多少「米？【一生】125【例60】甲、乙两车分别从A、B两地同时出发.相向而行.甲车每小时行45千米,乙车小时行36千米.相遇以后继续•以原来的速度前进，各自到达目的地后即返回,这样不断地往返行驶，已知途中笫：次相遇地点与第三次相遇抱点相距40「米，A、B两地相距多远？【谷案】90【例61】甲乙两车分别从AB两地出发，在AB之间不断往返行驶.已知甲车的速度是每小时∣5r∙‰乙车的速度是每小时35I•味，并且甲乙两车第三次相遇(两车同时到达同-地点即称为相遇)的地点与笫四次相遇的地点恰好相距360千米，那么两地之间的距丙等于多少千米？【各案】15M)【例62】甲乙两车从AB两地同时出发，相向而行，并在AB两胞之间不断往返行驶.甲车的速度是悠小时IS公里，乙车的速度是年小时25公里，己知西年第三次相遇的地点与第四次相遇的地点相距K)O公里.那么・AB两地的距国是多少?800【容案】200*3【例63】有一辆沿公路不停地往返于M、N两地之间的汽车.老王从M地沿这条公跖步行向N 地，速度为每小时3.6千米，中途迎面遇到从N地驶来的这辆汽车,经20分钟又遇到这辆汽车从后而折回•再过50分钟又迎面遇到这辆汽车.再过40分神乂遇到这辆车再折回.M、N两地的路程有多少「米？[§∙«]18.9CM M I一个圆，两只蚂蚊分别从直径的两端A与C同时出发，绕圆周相向而行，它们第一次相遇在内A点8理;米处的B点,第二次相遇在离C点6电米处的D点.这个困周长是多少J里米？【容案】36【例65】A、B是圆直径的两端,小张在A点.小王在B点,同时出发反向而行，他的花C点第一次相遇,C点禺A点100米,在D点第二次相遇.D点肉A点有60米.求这个例的周氏.【容案】360米攻240米【例66]如图，A、B是BI的食径的两端，甲在A点出发逆时针行走，同时乙在B点同时出发顺时针行走.两人在C点第次相遇.在D点第二次相遇.已知C禹A为120米.DgSA为60米，求这个网的冏长.【与案】420【例67】一网形道路的直径两端分别为A.C两点,甲从A点出发、按顺时针方向绕网形道路散步,乙从C点出发、按逆时针方向境困形道路散步.两人问时出发后，第一次在离A点80米的B 戊相遇，第二次在离C点40米的D戊相遇.那么，他们第四次相遇时，乙比甲多行了多少米？【S∙案】280【例68】∆ABC是一个等边三角形跑道,D在A、B之间,且有AD：BD=2:3.某H甲、乙、丙三人从A、B,C同时出发（如图所示），甲、乙按联时钟方向地步，丙按逆时针奥步，当甲、丙第一次相遇时，乙正好走到B；当乙、丙第：次相遇是在D时，甲走了2012米.那么，AABC的周长是多少米？【例69】甲、乙两个小电动玩具在Ifll形轨道上同时出发，反向行驶，已知甲的速度是好秒40cm.乙的速度是每杪60cm∙在2分钟内,它们相遇40次,则轨道长为多少的米?【§∙«J3001例70】甲、乙两人在环形跑道上练长跑，两人从同一地点同时同向出发，已知甲每秒也6米，乙俅杪胞4米，经过20分钟两人共相遇6次，问这个环形胞道有名长？【行•案】4<)0【例71】有甲、乙、丙三人同时同地出发,绕一个花懈行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行.中年分钟走40米，乙集分钟走38米，丙降分钟走36米.出发后，甲和乙相遇后3分钟和内相遇.这花周的周长是多少米？[&«]8JW2【例72]如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两湘点同时出发，以匀速按相反的方向圾此阴形路跳运动.当乙走了100米以后，他们第一次相遇；在甲走完，周前60米处又笫二次相遇,这个圆形场地一周的长度是多少米？1例73]如图，小明和小华两人分别从一正方形地的对角两端同时匀速反向沿正方形的边行走.当小华走了120米以后，他们第一次相遇；在小明出发前72米处他们∙又第：次相遇.这个正方形地的周长多少米？【答案】5761例74】甲从A出发，匀速向B行走：乙、丙从B出发，匀速向A行走，三人同时出发.乙的速度是丙的2倍,甲、乙相遇时，内距B地30千米：甲、丙相遇时，乙距B地80千米.那么，AB 两地相矩多少千米？【答案】120【例75]如图，有A、B、C三个村庄，它们到O地的距离都是10Γ*∙由于路况不同,汽车在OA、OB、OC三段路上的速衣可能行所不同,但是在同一段路上速度保持不变.甲、乙、丙：.辆汽车同时从A、B、C出发.甲去往C村后立即返13,乙去往A村后立即返回，丙去往B村后立即返回.如果甲、乙两车的两次相遇都在同一个地点.且离。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第5讲等差数列求和
一、知识要点
若干个数排成一列称为数列。
数列中的每一个数称为一项。
其中第一项称为首项，最后一项称为末项，数列中项的个数称为项数。
从第二项开始，后项与其相邻的前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项的差称为公差。
在这一章要用到两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
二、精讲精练
【例题1】有一个数列：4，10，16，22.…，52.这个数列共有多少项
【思路导航】
容易看出这是一个等差数列，公差为6，首项是4，末项是52.要求项数，可直接带入项数公式进行计算。
项数=（52－4）÷6＋1=9，即这个数列共有9项。
【例题2】有一等差数列：，，……，这个等差数列的第100项是多少
【思路导航】
这个等差数列的首项是3.公差是4，项数是100。
要求第100项，可根据“末项=首项+公差×（项数－1）”进行计算。
第100项=3+4×（100－1）=399.
【例题3】有这样一个数列：，…，99，100。
请求出这个数列所有项的和。
【思路导航】
如果我们把，…，99，100与列100，99，…，相加，则得到（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（99+2）+（100+1），其中每个小括号内的两个数的和都是101.一共有100个101相加，所得的和就是所求数列的和的2倍，再除以2.就是所求数列的和。
1+2+3+…+99+100=（1+100）×100÷2=5050上面的数列是一个等
差数列，经研究发现，所有的等差数列都可以用下面的公式求和：等差数列总和=（首项+末项）×项数÷2这个公式也叫做等差数列求和公式。
【例题4】求等差数列2，4，6，…，48，50的和。
【思路导航】
这个数列是等差数列，我们可以用公式计算。
要求这一数列的和，首先要求出项数是多少：项数=（末项－首项）÷公差+1=（50－2）÷2+1=25首项=2.末项=50，项数=25等差数列的和=（2+50）×25÷2=650.
【例题5】计算（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)
【思路导航】
容易发现，被减数与减数都是等差数列的和，因此，可以先分别求出它们各自的和，然后相减。
进一步分析还可以发现，这两个数列其实是把1 ～ 100这100个数分成了奇数与偶数两个等差数列，每个数列都有50个项。
因此，我们也可以把这两个数列中的每一项分别对应相减，可得到50个差，再求出所有差的和。
（2+4+6+...+100）－（1+3+5+ (99)
=（2－1）+（4－3）+（6－5）+…+（100－99）
=1+1+1+…+1
=50
总结：（1）了解等差数列、首项、末项、公差、项数的定义。
（2）熟记两个非常重要的公式：“通项公式”和“项数公式”。
通项公式：第n项=首项+（项数－1）×公差
项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1
课后练习
【练习1】
1.等差数列中，首项=1.末项=39，公差=
2.这个等差数列共有多少项
2.有一个等差数列：，8，11.…，101.这个等差数列共有多少项
3.已知等差数列，，…，1001.这个等差数列共有多少项
【练习2】
1.一等差数列，首项=3.公差=
2.项数=10，它的末项是多少
2.求，7，10……这个等差数列的第30项。
3.求等差数列，10，14……的第100项。
【练习3】
（1）1+2+3+…+49+50
（2）6+7+8+…+74+75
（3）100+99+98+…+61+60
【练习4】
（1）2+6+10+14+18+22+26+30+34+38+42+46+50
（2）5+10+15+20+…+195+200
（3）9+18+27+36+…+261+270
【练习5】
（1）（2001+1999+1997+1995）－（2000+1998+1996+1994）（2）（2+4+6+...+2000）－（1+3+5+ (1999)
（3）（1+3+5+...+1999）－（2+4+6+ (1998)。