求曲线方程的常用方法

求曲线方程的常用方法 曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考

点. 背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，

才能简捷明快地解决问题.下面对其求法 进行探究.

1定义法

求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，

则可根据题设条件和图形的特点， 恰当

运用平面几何的知识去寻求其数量关系， 再由曲线定义直接写出方程,

例1如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心 C 的定点，动点M 在圆周

上，将纸片折起，使点 M 与点A 重合，设折痕 m 交线段CM 于点N 现 . . . . 2 2 2 将圆形纸片放在平面直角坐标系 xOy 中，设圆C ： (X + 1) + y = 4a (a >1) , A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线 E

(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a = 2时该椭圆的标准方程;

(2)设直线I 过点C 和椭圆E 的上顶点B,点A 关于直线I 的对称点为点

Q 若椭圆E 的离心

•••I NC + I NA = I NC + I NM = I CM = 2a >2, • N 的轨迹是以C 、A 为焦

点，长轴长为 2a ,焦距为2的椭圆.

当a = 2时，长轴长为 2a = 4,焦距为2c = 2,

2 2

•椭圆的标准方程为X

4+ 3 =1- 2 2

X y

⑵设椭圆的标准方程为 a + b = 1 ( a >b >0).

•••离心率 e € 1，字，••• !e 2

<4,

2 2 由(1)知：a — b = 1.又 q — 1,0),耳0 , b ),

•••直线I 的方程为二1+ b = 1，即卩bx —y + b = 0.

设Qx , y ) ,•••点Q 与点A (1,0)关于直线I 对称,

占 b =- 1, 4b 消去X 得y =乔T

求曲线方程时，应根据曲线的不同 率e € 1

，字，求点Q 的纵坐标的取值范围.

2'

解(1)依题意，直线 m 为线段AM 的垂直平分线,

这种方法叫做定义法.

又当 b =y 3时，y =(3；当 b =¥时，y =Q 3.

y <2.

转化成含有动点坐标 3 .待定系数法 若已知曲线（轨迹）的形

3 x , y 的方程即

•••点Q 的纵坐标的取值范围

是 h/3, 2] • 2.直接法 若题设条件有明显的等量关系, 或者可运用平面几何的知识推导出等量关系， 则可通过“建 系、设点、列式、化简、检验” 五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为 直接法. 例2 已知直线l 1： 2x — 3y + 2= 0, l 2： 3x — 2y + 3= 0.有一动圆M 圆心和半径都在变动）与 l i , 12都相交，并且I i , |2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值 26,24.求圆心 M 的轨迹 方程.

解 如图，设Mx , y )，圆半径为r , M 到|1, |2的距离分别是d 1, 则 d 1 + 132= r 2, d 2+ 122= r 2, •- d 2— d 1= 25,

3x — 2y + 3 2 2x — 3y + 2 2

即 一2— 品 2 = 25，化简得圆心M 的轨迹方程是 2 2

1) — y = 65. 点评若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，

则常用直接法求解, 即将这些关系直接

b +b

b = 1时取等号.

可.

状，求曲线（轨迹）的方程时，可由待定系数法求解.

例3已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的

长轴长是6,且cos/ OFA= I，求椭圆的方程.

解椭圆的长轴长为6, cos/ OFA= 3, 所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点, 所以 |OF = c, |AF| = p|OA2+ I OF2= p b2+ C2

=a= 3, 3= |,所以c= 2, b2= 32— 22= 5,

2 2 2 2

故椭圆的方程为X +春=1或Xi+^9=1.

4.相关点法（或代入法）

如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知， 又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系， 借助 于点P 的运动轨迹便可得到点 Q 的运动轨迹.

例4如图所示，从双曲线X 2 — y 2= 1上一点Q 引直线

分析设P （X , y ），因为P 是QN 的中点，为此需用

解 设P 点坐标为（X , y ），双曲线上点 Q 的坐标为（X 0, y o ）,

•••点P 是线段QN 的中点, ••• N 点的坐标为(2x — X o,2y — y o ).

又点N 在直线X + y = 2上，.寫X — x o + 2y — y o = 2, 即 X o + y o = 2X + 2y — 2.①

又 QNL I , • k QN = 了 = 1,

2x — 2x o

即 X o — y o = X — y .②

由①②，得 X o = 2(3 X + y — 2) , y o = 2( X + 3y — 2).

又•••点Q 在双曲线上, ••• 4(3 X + y — 2)2—》X + 3y — 2) 2= 1.

1 2 1 2 1 化简，得 X — 2 2— y —22= 2.

•••线段QN 勺中点P 的轨迹方程为

1 2 1 2 1 x — 2 — y —2 = 2.

Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解.

5.参数法

（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点的 坐标（X , y ）中的X , y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可

以设这个变量为参数，建立 轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法.

例5已知点P 在直线X = 2上移动，直线I 通过原点且与 OP 垂直，通过点 A （1,o ）及点P

的直线m 和直线I 交于点Q 求点Q 的轨迹方程.

垂足为N,求线段QN 勺中点P 的轨迹方程.

的坐标，然后代入双曲线方程即可.

点评 本题中动点P 与点Q 相关，而

Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出 P 、

有时求动点满足的几何条件不易得出,

也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）

这个动点的运动常常受到另一个变量