速降线与短程线

t2 t1
欧拉方程
d d Fx Fx Fu 0, Fu 0 dt dt
泛函的条件极值
J (u(t )) F (t , x(t ), u(t ))dt
t1
t2
(t ) f (t , x(t ), u(t )) 求u(t)U (容许集合) 使J(u(t))在条件 x
下达到极值, 且x(t)X (容许集合)
泛函的条件极值 用拉格朗日乘子化为无条件极值
J (u(t )) F (t , x(t ), u(t ))dt
t1 t2 t1 t2
(t ) f (t , x(t ), u(t )) x
)]dt I ( x(t ), u(t )) [ F (t , x, u) (t )( f (t , x, u) x
ds 1 y2 z 2 dx
满足条件
f ( x, y( x), z( x)) 0
J ( y( x), z( x))
x1
x0
1 y2 z2 dx
自变量t，函数x(t), y(t)
函数、函数的微分和极值
1. 对于t在某域的任一个值, 有y的一个值与之对应, 称y是 t的函数，记作y=f(t) 2. t在t0的增量记作 t= t- t0, 微分dt= t
短 程 线 问 题
z
给定曲面上的两个点A, B, 求曲面上连接A, B的最短曲线. 建立坐标系 曲面方程f(x,y,z)=0 A(x0, y0, z0 ), B(x1, y1 , z1 )
o
.
A
f(x,y,z)=0
y =y(x) z =z(x)
.
B
y
x
曲面上连接A, B的曲线 y =y(x), z =z(x) 曲线的弧长 曲线的长度
2 dt
x
m~质点质量， g~重力加速度 质点沿曲线y(x) 从A到B的时间
y
1 y 2 dt dx 2 gy
满足条件
J ( y ( x))
x1
0
1 y 2 dx 2 gy
y (0) 0, y ( x1 ) y1
求y(x) 使 J(y(x)) 达到最小.
短程线简介
• 光线经过一个大质量天体附近时，受其引力作用 ( 或者说进入了该天体附
近的弯曲空间)， 路线会发生偏转，称为"短程线效应"。距离最短的曲线
在相对论中的专业术语是短程线，事实上，相应于速度小于C，等于C，大 于 C的三种测地线分别称为类时短程线，类光短程线和类空短程线。所以， 如果不受到引力以外其他力的作用，物体将在类时或类光短程线上运动 (因为没有物体的速度能超过光速)例如，地球这样的物体并非收到称作引 力的力的作用而沿着弯曲轨道运动 ;相反，他们之所以沿着弯曲轨道运动， 是因为在弯曲空间中，他们遵循着一条最接近直线的路径运动，这个路径 称作短程线。用专业术语来说，短程线的定义就是相邻两点之间最短 ( 或 最长) 的路径。
固定端点条件下的泛函
用欧拉方程解速降线问题
求y(x) 使
J ( y ( x))
x1 0
1 y 2 dx 2 gy
达到最小 , 且 y(0) 0, y( x1 ) y1
欧拉方程
1 y 2 F ( y, y ) y
y2 y (1 y )
2
Fx 0 Fx Ftx x Fxx x x
泛函、泛函的变分和极值
1.对于某函数集合的每一个函 数x(t), 有J的一个值与之对应, 称J是x(t)的泛函, 记作J(x(t)) 2. x(t)在x0(t)的增量记作 x(t)= x(t)-x0(t)，x(t)称x(t)的变分
3. y在t0的增量记作 f= f(t0+t) - f(t0)， f的线性主部是函数 的微分, 记作dy，dy = f (t0)dt
3. 泛函J(x(t))在x0(t)的增量记 作J = J(x0(t)+ x(t))- J(x0(t)), J的线性主部称泛函的变分, 记作 J(x0(t))
欧拉方程(最简泛函极值的必要条件)
最简泛函
(t ))dt J ( x(t )) F (t , x(t ), x
t1 t2
F具有二阶连续偏导数，x(t)为二阶可微函数 J(x(t))在x(t)达到极值的必要条件: x(t)满足二阶微分方程
d Fx Fx 0 dt
欧拉方程
Fx 0 Fx Ftx x Fxx x x
两个任意常数由 x(t1 ) x1, x(t2 ) x2 确定
Hamilton函数
H (t ) 0 x H 0 u
H (t ) x H 0 u f (t , x, u ) x
谢谢
请在此输入您的副标题
)dt (H x
t1 t2
H (t , x, u) F (t , x, u) (t ) f (t , x, u)
欧拉方程
d )x (H x ) x 0 (H x dt d )u ( H x )u 0 (H x dt
.
A
.
B
若沿直线段AB下滑, 路径虽短, 但速度增长慢;
若沿陡峭曲线下滑, 虽路径加长，但速度增长很快.
速 建立坐标系xOy, A(0,0), B(x1,y1), 曲线AB ~y=y(x) O. A 降 曲线弧长 ds 1 y2 dx 线 问 质点在曲线y(x)上的速度ds/dt y=y(x) 1 ds 2 题 能量守恒 m( ) mgy .B
Fy Fxy Fyy y Fyy y 0
d ( F y Fy ) 0 dx
1 y2 y
c
y(1 y2 ) 1/ c 2
F yFy c
x c1 (t sin t ) c2 y c1 (1 cos t )
•
x
x=(t)
x=(t)垂直于横轴 (t2固定)
Fx
t t 2
. A
o
x(t)
.B
t2
tห้องสมุดไป่ตู้
0
•
x=(t)平行于横轴
Fx [F x ] t t 2 0
包含多个未知函数泛函的欧拉方程
(t ), u(t ), u (t ))dt J ( x(t ), u(t )) F (t , x(t ), x
努利，雅各布· 伯努利牛顿、莱 布尼兹和罗毕达都给了自己的解法，但不 近相同 最后， 莱昂哈德·欧拉（约翰·伯努利的学生）在1744年最先给 了 这类问题的普遍解法，并产生了变分法这一新的数 学分支。
速降线与短程线
通过两个古典问题介绍变分法的基本概念, 给出主要结果.
速 降 线 问 题
给定竖直平面内不在一条垂直线上的两个点A, B, 求连接A, B的光滑曲线，使质 点在重力作用下沿该曲线以最 短时间从A滑到B (摩擦力不计).
圆滚线方程
c2=0, c1由y(x1)=y1确定.
横截条件(变动端点问题)
容许函数 x(t)的一个端点固定: x(t1)=x1，另一个端点 在给定曲线 x=(t) 上变动: x(t2)= (t2) (t2可变). 欧拉方程在变动端点的定解条件
x ) Fx [ F ( ] t t 2 0
速降线的历史背景
• 1630年，伽利略提出了数学史上最著名的最速降 线问题： “一个质点在重
力作用下，从一个给定点A到 不在它垂直下方的另一点B，如果不计摩擦 力，问沿着 什么曲线滑下所需时间最短。” 瑞士数学家约翰· 伯努 利在 1696年再次提出这个最速降线的问题，向全欧洲 数学家征求解答约翰伯