高中数学知识点题库 124解三角形
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点知识讲解
高中数学必修五第一章《解三角形》知识点收集于网络，如有侵权请联系管理员删除高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=- sincos ,cos sin ,tan cot 222222A B C A B C A B C +++=== 4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b c R C===A B ． 5、正弦定理的变形公式： ①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c C C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---8、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ， 2222cos c a b ab C =+-．9、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222cos 2a b c C ab+-=． 10、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
高考数学(理)总复习：解三角形(解析版)
高考数学（理）总复习：解三角形题型一 利用正、余弦定理解三角形 【题型要点解析】关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”，这是使问题获得解决的突破口．【例1】△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin(A ＋C )＝8sin 2B2，(1)求cos B ；(2)若a ＋c ＝6，△ABC 的面积为2，求b .【解析】 (1)由题设及A ＋B ＋C ＝π，sin B ＝8sin 2B2，故sin B ＝4(1－cos B )．上式两边平方，整理得17cos 2B －32cos B ＋15＝0， 解得cos B ＝1(舍去)，cos B ＝1517.(2)由cos B ＝1517得sin B ＝817，故S △ABC ＝12ac sin B ＝417ac .又S △ABC ＝2，则ac ＝172.由余弦定理及a ＋c ＝6得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )＝36－2×172×⎪⎭⎫ ⎝⎛+17151 ＝4.所以b ＝2.题组训练一 利用正、余弦定理解三角形1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b 的值为( )A.3B.322 C ．2 2D ．2 3【解析】 ∵在锐角△ABC 中，sin A ＝223，S △ABC ＝2，∴cos A ＝1－sin 2A ＝13，12bc sin A ＝12bc ·223＝2，∴bc ＝3①，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴(b ＋c )2＝a 2＋2bc (1＋cos A )＝4＋6×⎪⎭⎫⎝⎛+311＝12， ∴b ＋c ＝23②.由①②得b ＝c ＝3，故选A. 【答案】 A2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1.若C ＝2π3，则ab＝________.【解析】 ∵sin A sin B ＋sin B sin C ＋cos 2B ＝1，∴sin A sin B ＋sin B sin C ＝2sin 2B . 由正弦定理可得ab ＋bc ＝2b 2，即a ＋c ＝2b ，∴c ＝2b －a ，∵C ＝2π3，由余弦定理可得(2b －a )2＝a 2＋b 2－2ab cos 2π3，可得5a ＝3b ，∴a b ＝35. 【答案】 353．已知△ABC 是斜三角形，内角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c .若c sin A ＝3a cos C .(1)求角C ；(2)若c ＝21，且sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，求△ABC 的面积．【解析】 (1)根据a sin A ＝c sin C，可得c sin A ＝a sin C ， 又∵c sin A ＝3a cos C ，∴a sin C ＝3a cos C ， ∴sin C ＝3cos C ，∴tan C ＝sin Ccos C ＝3，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π3.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝5sin 2A ，sin C ＝sin (A ＋B )， ∴sin (A ＋B )＋sin (B －A )＝5sin 2A ， ∴2sin B cos A ＝2×5sin A cos A . ∵△ABC 为斜三角形， ∴cos A ≠0，∴sin B ＝5sin A . 由正弦定理可知b ＝5a ，① ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴21＝a 2＋b 2－2ab ×12＝a 2＋b 2－ab ，②由①②解得a ＝1，b ＝5，∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×1×5×32＝534.题型二 正、余弦定理的实际应用 【题型要点解析】应用解三角形知识解决实际问题一般分为下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．【例2】某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE .为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．【解析】 (1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos ∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－2π32＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt △BDE 中， BE ＝BD 2＋DE 2＝335(km)． 故道路BE 的长度为335km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α.在△ABE 中，易得AB sin ∠AEB ＝BE sin ∠BAE ＝335sinπ3＝65，∴AB ＝65sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32，AE ＝65sin α.∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎪⎭⎫⎝⎛-απ32·sin α ＝9325⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-4162sin 21πα≤9325⎪⎭⎫ ⎝⎛+4121 ＝273100(km 2)． ∵0<α<2π3，∴－π6<2α－π6<7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE面积的最大值为273100km 2题组训练二 正、余弦定理的实际应用1．如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.【解析】设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h ，在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°，∴由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°，可得1302＝3h 2＋h 23－2×3h ×h 3×⎪⎭⎫⎝⎛-21，解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m.【答案】 10392．如图，在第一条海防警戒线上的点A ，B ，C 处各有一个水声监测点，B ，C 两点到A 的距离分别为20千米和50千米，某时刻，B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8秒后A ，C 同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A 到P 的距离为x 千米，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值；(2)求P 到海防警戒线AC 的距离． 【解析】 (1)依题意，有P A ＝PC ＝x ， PB ＝x －1.5×8＝x －12. 在△P AB 中，AB ＝20， cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ，同理，在△P AC 中，AC ＝50，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝x 2＋502－x 22x ·50＝25x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝25x，解得x ＝31. (2）作PD ⊥AC 于点D ，在△ADP 中，由cos ∠P AD ＝2531，得sin ∠P AD ＝1－cos 2∠P AD ＝42131， ∴PD ＝P A sin ∠P AD ＝31×42131＝421.故静止目标P 到海防警戒线AC 的距离为421千米． 题型三 三角函数与解三角形问题 【题型要点】解三角形与三角函数的综合题，其中，解决与三角恒等变换有关的问题，优先考虑角与角之间的关系；解决与三角形有关的问题，优先考虑正弦、余弦定理．【例3】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin A －sin C b ＝sin A －sin Ba ＋c .(Ⅰ)求C ；(Ⅱ)若cos A ＝17，求cos(2A －C )的值．【解析】 (Ⅰ)由sin A －sin C b ＝sin A －sin B a ＋c 及正弦定理得a －c b ＝a －ba ＋c ，∴a 2－c 2＝ab －b 2，整理得a 2＋b 2－c 2＝ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，又0<C <π，所以C ＝π3.(Ⅱ)由cos A ＝17知A 为锐角，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以sin A ＝1－cos 2A ＝437，故cos2A＝2cos 2A －1＝－4749，sin2A ＝2sin A cos A ＝2×437×17＝8349，所以cos(2A －C )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-32πA ＝cos2A cos π3＋sin2A sin π3＝－4749×12＋8349×32＝－2398.题组训练三 三角函数与解三角形问题已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x . (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，已知f (A )＝32，a ＝2，B ＝π3，求△ABC 的面积．【解析】 (1)f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx ＋cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x＝32sin 2x ＋32cos 2x ＝3⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 2cos 232sin 21 ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx . 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π⇒－5π12＋k π≤x ＋π3≤π12＋k π，k ∈Z .f (x )的单调递增区间为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 12,125，k ∈Z .(2)由f (A )＝32，sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πA ＝12， 又0<A <2π3，π3<2A ＋π3<5π3，因为2A ＋π3＝5π6，解得：A ＝π4.由正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝6，又由A ＝π4，B ＝π3可得：sin C ＝6＋24.故S △ABC ＝12ab sin C ＝3＋32.题型四 转化与化归思想在解三角形中的应用 【题型要点】利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意图如下：【例4】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝32b .(1)求证：a ，b ，c 成等差数列；(2)若∠B ＝60°，b ＝4，求△ABC 的面积． 【解析】 (1)证明：a cos 2C 2＋c cos 2A2＝a ·1＋cos C 2＋c ·1＋cos A 2＝32b ，即a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b . ①由正弦定理得：sin A ＋sin A cos C ＋sin C ＋cos A sin C ＝3sin B ， ② 即sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sinB.由正弦定理得，a ＋c ＝2b ， ③ 故a ，b ，c 成等差数列．(2)由∠B ＝60°，b ＝4及余弦定理得： 42＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，∴(a ＋c )2－3ac ＝16， 又由(1)知a ＋c ＝2b ，代入上式得4b 2－3ac ＝16. 又b ＝4，所以ac ＝16， ④∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12ac sin 60°＝4 3.题组训练四 转化与化归思想在解三角形中的应用 如图，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.(1)求cos ∠CAD 的值；(2)若cos ∠BAD ＝－714，sin ∠CBA ＝216，求BC 的长．【解析】 (1)在△ADC 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝7＋1－427＝277. (2)设∠BAC ＝α，则α＝∠BAD －∠CAD . 因为cos ∠CAD ＝277，cos ∠BAD ＝－714，所以sin ∠CAD ＝1－cos 2∠CAD ＝217，sin ∠BAD ＝1－cos 2∠BAD ＝32114. 于是sin ∠BAC ＝sin (∠BAD －∠CAD )＝sin ∠BAD cos ∠CAD －cos ∠BAD ·sin ∠CAD ＝32114×277－⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1417×217＝32. 在△ABC 中，由正弦定理得，BC ＝AC ·sin ∠BACsin ∠CBA＝7×32216＝3. 【专题训练】 一、选择题1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且b 2＝a 2＋bc ，A ＝π6，则内角C 等于( )A.π6 B.π4 C.3π4D.π4或3π4【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，由已知，得a 2－b 2＝－bc ，则c 2－2bc cos π6＝－bc ，即c ＝(3－1)b ，由正弦定理，得sin C＝(3－1)sin B ＝(3－1)sin ⎪⎭⎫⎝⎛-C 65π， 化简，得sin C －cos C ＝0，解得C ＝π4，故选B.【答案】 B2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知b ＝2，c ＝22，且C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A.3＋1B.3－1 C ．4 D ．2【解析】 法一 由余弦定理可得(22)2＝22＋a 2－2×2×a cos π4，即a 2－22a －4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1.【答案】 A3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43C ．－43D ．－34【解析】 因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，则结合面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2C sin 2C ＋cos 2C ＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C.【答案】 C4．如图，在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝4，点D 在边AC 上，AD ＝DB ，DE ⊥AB ，E 为垂足．若DE ＝22，则cos A 等于( )A.223B.24 C.64D.63【解析】 依题意得：BD ＝AD ＝DE sin A ＝22sin A ，∠BDC ＝∠ABD ＋∠A ＝2∠A .在△BCD 中， BC sin ∠BDC ＝BD sin C ，则4sin 2A ＝22sin A ×23＝423sin A ，即42sin A cos A ＝423sin A，由此解得cos A ＝64，选C.【答案】 C5．如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋303) mB ．(30＋153) mC ．(15＋303) mD ．(15＋153) m【解析】 设建筑物高度为h ，则h tan 30°－h tan 45°＝60，即(3－1)h ＝60，所以建筑物的高度为h ＝(30＋303)m.【答案】 A6．在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则三角形ABC 中最小角的正弦值等于( )A.45B.34C.35D.74【解析】 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0， ∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0.∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴三角形ABC 中最小角为角A ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43×53a 2＝45，∴sin A ＝35，故选C. 【答案】 C 二、填空题7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________.【解析】 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sinC ＝32，由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．所以S △ABC ＝34. 【答案】348．已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝________. 【解析】 ∵sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理可得a ＋b ＝2c .∵S △ABC ＝316sin C ，∴12ab sin C ＝316sin C ，sin C ≠0，化为ab ＝38.由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－2ab－2ab cos C ，∴1＝(2)2－2×38(1＋cos C )，解得cos C ＝13.【答案】139．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )·sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．【解析】 由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc －4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3. 【答案】310．如图，△ABC 中，AB ＝4，BC ＝2，∠ABC ＝∠D ＝60°，若△ADC 是锐角三角形，则DA ＋DC 的取值范围是________．【解析】 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝12，即AC ＝2 3.设∠ACD ＝θ(30°<θ<90°)，则在△ADC 中，由正弦定理得23sin 60°＝DA sin θ＝DCsin (120°－θ)，则DA ＋DC ＝4[sin θ＋sin(120°－θ)]＝4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+θθcos 23sin 23＝43sin(θ＋30°)，而60°<θ＋30°<120°，43sin 60°<DA ＋DC ≤43sin 90°，即6<DA ＋DC ≤4 3.【答案】 (6,43] 三、解答题11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35. (1)求b 和sin A 的值；(2)求sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA 的值． 【解析】 (1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知及余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝13，所以b ＝13.由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin A ＝a sin B b ＝31313.所以b 的值为13，sin A 的值为31313.(2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin 2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎪⎭⎫⎝⎛+42πA ＝sin 2A cos π4＋cos 2A sin π4＝7226. 12．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC .(1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长．【解析】(1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理，得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DABBD＝2×327＝217.(2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠DBC，∴CD＝7×27732＝433.。
高考数学解三角形专题复习100题（含答案详解）
⾼考数学解三⾓形专题复习100题（含答案详解）2018年⾼考数学解三⾓形专题复习100题1.如图在△ABC中，D是边AC上的点，且AB=AD，，BC=2BD.（1）求的值；（2）求sinC的值.2.△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知 .求sinA和c的值.3.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2,b=2．（1）求c；（2）设D为BC边上⼀点，且AD AC,求△ABD的⾯积．4.在中，内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，．（1）若，求c的值；（2）若，求的⾯积．5.的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，．（1）求c；（2）设为边上⼀点，且，求的⾯积．6.在△ABC中， =60°，c= a.（Ⅰ）求sinC的值；（Ⅱ）若a=7，求△ABC的⾯积.7.△ABC的三个内⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos2A= a.(1)求；2228.△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为、、，且.（1）若，求的值；（2）若，求的值.9.的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c，其中，且，延长线段到点，使得.（Ⅰ）求证：是直⾓；（Ⅱ）求的值.10.在△ABC中，内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求⾓A的值；(2)若的⾯积为，△ABC的周长为，求边长a.11.为绘制海底地貌图，测量海底两点C,D间的距离，海底探测仪沿⽔平⽅向在A,B两点进⾏测量，A,B,C,D在同⼀个铅垂平⾯内. 海底探测仪测得同时测得海⾥。
（1）求AD的长度;（2）求C，D之间的距离.12.在中，⾓A,B,C对边分别为a,b,c，⾓，且.（1）证明：；（2）若⾯积为1，求边c的长.（Ⅰ）求B0的值；（Ⅱ）当B=B0,a=1,c=3,D为AC的中点时，求BD的长．14.△ABC的内⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（Ⅰ）求⾓C；（Ⅱ）若c=，△ABC的⾯积为，求△ABC的周长．15.在中，⾓，，的对边分别是，，，已知，．(Ⅰ)求的值；(Ⅱ) 若⾓为锐⾓，求的值及的⾯积．16.在△ABC中，已知.（1）求的长；（2）求的值.17.△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，向量与平⾏.(I)求A；(II)若,求△ABC的⾯积.18.的内⾓A,B,C的对边分别为a,b,c,已知的⾯积为．（1）求；（2）若，，求的周长．20.在△ABC中，⾓的对边分别为a，b，c, ，c=，⼜△ABC的⾯积为，求：(1)⾓的⼤⼩；(2)的值．21.在△ABC中，⾓A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2﹣sinB?sinC=．（1）求A；（2）若a=4，求△ABC⾯积的最⼤值．22.在△ABC中，已知⾓A,B,C的对边分别是a,b,c,且.（I）求⾓C的⼤⼩；（II）如果，，求实数m的取值范围.23.已知向量=（2cosx，sinx），=（cosx，2cosx），函数f（x）=?﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）在锐⾓△ABC中，内⾓A．B、C的对边分别为a，b，c，tanB=，对任意满⾜条件的A，求fA．的取值范围．24.设△ABC的内⾓A,B,C的对边分别为，且．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若，求C．25.在△ABC中，a、b、c分别为内⾓A．B、C的对边，且2sinAcosC=2sinB﹣sinC．（1）求∠A的⼤⼩；（2）在锐⾓△ABC中，a=，求c+b的取值范围．26.在ABC中，（I）求的⼤⼩（II）求的最⼤值27.设函数，其中向量，，.（Ⅰ）求的最⼩正周期与单调递减区间；（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分别是⾓A．B、C的对边，已知fA．=2，b=1，△ABC的⾯积为，求的值.28.△ABC中，⾓A，B，C的对边分别是a，b，c，已知（2a+b）sinA+（2b+a）sinB=2csinC．（Ⅰ）求C的⼤⼩；（Ⅱ）若，求△ABC周长的最⼤值．29.已知A ．B 、C 是△ABC 的三内⾓，向量m=(－1，3)，n=(cosA ，sinA)，且m ·n=1.(1)求⾓A ；(2)若3)4tan(-=+B π，求tanC.30.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且C=（Ⅱ）若△ABC 的⾯积为3，求c 的值．31.在△ABC 中，a,b,c 分别为内⾓A,B,C 的对边，且（Ⅰ）求A 的⼤⼩；（Ⅱ）求的最⼤值.32.△ABC 的内⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）=c ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c=，△ABC 的⾯积为，求△ABC 的周长．33.在△ABC 中，⾓A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且。
高中数学 三角函数——解直角三角形
高中数学 三角函数——解直角三角形一、单选题1．在 ΔABC 中， ∠A =60∘,AB =2 且 ΔABC 的面积为 √32，则 AC 的长为（ ）A ．√32B ．1C ．√3D ．22．已知灯塔A 在海洋观察站C 的北偏东50°的方向上，灯塔B 在海洋观察站C 的南偏东70°的方向上，A ，C 两点间的距离为5海里，A ，B 两点间的距离为7海里，则B ，C 两点间的距离为（ ）海里． A ．3B ．4C ．6D ．83．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2−b 2=√3bc ，sinC =2√3sinB ，则A=（ ）. A ．30∘B ．60∘C ．120∘D ．150∘4．在 △ABC 中， a =3 ， b =2 ， A =60° ，那么 sinB 的值为（ ）A ．√33B ．−√23C ．√23D ．−√335．已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都等于2km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东25°，灯塔B在观测站C 的南偏东35°，则灯塔A 与之间B 的距离为（ ） A ．2kmB ．2√2kmC ．2√3kmD ．4km6．在直四棱柱 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，底面 ABCD 是边长为1的正方形， AA 1=2 ， M 、 N分别是 A 1B 1 、 A 1D 1 中点，则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为（ ） A ．1517B ．1617C ．513D ．12137．在△ABC 中，若∠A =600，∠B =450，BC =3√2， ， 则AC= （ ）A ．4√3B ．2√3C ．√3D ．√328．在△ABC 中，△A=120°，AB →•AC →=﹣2，则|BC →|的最小值是 （ ）A ．2B ．4C ．2√3D ．129．△ ABC 中，“△ ABC 是钝角三角形”是“ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |<|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．如图， E 、 F 分别是三棱锥 P −ABC 的棱 AP 、 BC 的中点， PC =10 ， AB =6 ，EF =7 ，则异面直线 AB 与 PC 所成的角为（ ）A ．30°B ．60°C ．0°D ．120°11．在 △ABC 中，角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ，若 (a 2−b 2+c 2)tanB =√3a ，则角 B 的值为（ ）A ．π6B ．π3C ．π6 或 5π6D ．π3 或 2π312．在 ΔABC 中， a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边，若 A =2π3,a =2√10 ，且 ΔABC 的面积 S =a 2+b 2−c 212，则 c = （ ） A ．2√3 B ．4√3C ．2√33D ．4√3313．ΔABC 中， ∠ABC =60∘ ， AB =4 ，若满足条件的 ΔABC 有两个，则边 AC 的取值范围为（ ） A ．[2√3,4)B ．[2,4)C ．(2√3,4)D ．(2,4)14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最大面的面积为（ ）A ．2√2B ．4√2C ．4D ．2√515．已知 F 1,F 2 是椭圆 C 1 和双曲线 C 2 的公共焦点，P 是它们的一个公共交点，且 ∠F 1PF 2=2π3，若椭圆 C 1 离心率记为 e 1 ，双曲线 C 2 离心率记为 e 2 ，则 27e 12+e 22的最小值为（ ） A ．25B ．100C ．9D ．3616．若 O 是 △ABC 垂心， ∠A =π6且 sinBcosCAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +sinCcosBAC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2msinBsinCAO ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 m = （ ）A ．12B ．√32C ．√33D ．√3617．在 △ABC 中，D 为三角形所在平面内一点，且 AD →=13AB →+12AC → ，则 S△BCD S △ACD = （ ）A ．16B ．12C ．13D ．23二、填空题18．在四边形 ABCD 中， AB =1 ， BC =√2 ， ∠ABC =3π4， ∠ADC =π4 ， AB ⊥AD ， CB ⊥CD ，则对角线 BD 的长为 ．19．已知 ΔABC 中， a ， b ， c 分别为角 A ， B ， C 的对边且 a =2 ， b =2√3 ， A =30ο ，则 B = .20．在 △ABC 中，若 C =60° ， AC =√6 ， AB =3 ，则角 A = .21．在 △ABC 中，三个内角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ，若 a =2 ， b =3 ，c =4 ，则 cosA = .22．在△ABC 中，已知AC ＝2，BC ＝3，B ＝ π6，那么sinA ＝ ．23．一艘海轮从A 地出发，沿固定航道匀速行驶，先沿北偏东75°方向航行√6小时后到达海岛B ，然后从海岛B 出发沿北偏东15°方向航行一段时间到达海岛C ，之后从海岛C 出发沿南偏西60°方向航行回到A 地，则从海岛C 回到A 地所需时间是 小时．24．在 △ABC 中， sinA:sinB:sinC =2:5:6 ，则 cosC 的值为 .25．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若sinC ＝2sinA ，b 2﹣a 2=12ac ，则sinB 等于 ．26．在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A=75°，B=45°，c=3 √2 ，则b= ．27．在△ABC 中，已知a=3，b=4，sinB= 23 ，则sinA= ．28．四边形 ABCD 中， ∠A =5π6 ， ∠B =∠C =5π12， ∠D =π3 ， BC =2 ，则 AC 的最小值是 .29．在 ΔABC 中，角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ， ΔABC 的面积为 S ，若bcosA +acosB =2√3b ，且 a 2sinA =b 2sinA +2√3S ，则 A = ．30．在 △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，且满足 a 2−(b −c)2=S ，b ＋c ＝2，则S 的最大值是31．在 ΔABC 中， A =3π4,AB =6,AC =3√2 ，点 D 在 BC 边上， AD =BD ，则 AD = ．32．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，a=2，△O 为△ABC 的外接圆，OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =mOB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +nOC ⃗⃗⃗⃗⃗ . （1）若m=n=1，则|OP⃗⃗⃗⃗⃗ |= . （2）若m ，n ∈[0，1]，则点P 的轨迹所对应图形的面积为 .33．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =2，6cosB =b(1−3cosA)，则△ABC 的面积的最大值为 .34．平面向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足|a |=|a −b ⃗ |=|c |=1，b 2⃗⃗⃗⃗ +a ⃗ ⋅c ⃗ +√22|b ⃗ −c ⃗ |=b ⃗ ⋅(a ⃗ +c ⃗ )，a ⃗⃗ ⋅b ⃗⃗+|b ⃗⃗|b ⃗⃗ ⋅c⃗ =|a⃗ +1|b ⃗⃗ |b ⃗ |，则(b ⃗ −c ⃗ )2= ． 三、解答题35．平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 {x =√3+2cosαy =1+2sinα ( α 为参数），在以坐标原点 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，点 P 在射线 l ：θ=π3 上，且点 P 到极点 O的距离为 4 .（1）求曲线 C 的普通方程与点 P 的直角坐标； （2）求 △OCP 的面积.36．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知c =2b ，a =3，D 是边BC 上一点.（1）求bcosC +2bcosB 的值；（2）若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ①求证：AD 平分∠BAC ；②求△ABC 面积的最大值及此时AD 的长.37．如图，在 △ABC 中， ∠ABC =π2 ， ∠ACB =π3， BC =2 ，P 是 △ABC 内一点，且∠BPC=π2.（1）若∠ABP=π6，求线段AP的长度；（2）若∠APB=2π3，设∠PBA=α，求sinα.38．如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，其两个出入口设置在点B及点C处，且园内有一条平行于AO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了8分钟，从D沿DB走到B用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米.（1）求△CDB的面积；（2）求该扇形的半径OA的长.39．在△ABC中，AC>AB，cosA=3132，AB=8.（1）若S△ABC=15√74，求BC；（2）若 cos(B −C)=18 ，求 S ΔABC .40．在四边形 ABCD 中， ∠BAD =2π3，∠BCD =π3，cosD =−17，AD =DC =2 .（1）求 cos∠DAC 及 AC 的长； （2）求 BC 的长．41．已知 △ABC 三边 a ， b ， c ， c 2+b 2−a 2=√3bc ， acosB =bsinA .证明：三角形的三个角满足， A 3+B 3+C 3≥11π336.42．如图，银川市拟在长为 8km 的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数 y =Asinωx(A >0,ω>0)x ∈[0,4] 的图象，且图象的最高点为S(3,2√3) ；赛道的后一部分为折线段 MNP ，为保证参赛运动员的安全，限定 ∠MNP =120° .（1）求 A 、ω 的值和 M 、P 两点间的距离； （2）应如何设计，才能使折线段赛道最长？43．已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，且a△b△c ＝7△5△3.（1）求cos A 的值；（2）若△ABC 的面积为45 √3 ，求△ABC 外接圆半径R 的大小．44．如图，直三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 中， CC 1=4 ， AB =2 ， AC =2√2 ， ∠BAC =450 ，点M 是棱 AA 1 上不同于 A,A 1 的动点.（1）证明：BC⊥B1M；（2）若M是AA1的中点，求四面体MB1BC的体积.45．在锐角ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a=√7，b=3，√7sinB+ sinA=2√3．（1）求角A的大小；（2）求ΔABC的面积．46．在ΔABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cosA+2a=2cosB−cosCc.（△）求角A的大小；（△）若AD，AE分别为BC边上的高和中线，a=4√3，b+c=2√14，求|AD⇀||AE⇀|的值.47．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量π⃗=（a，√3b）与n⃗=（cosA，sinB）平行．（△）求A；（△）若a= √7，b=2，求△ABC的面积．48．在①a=5，②cosC=17这两个条件中任选一个，补充到下面的横线中，并求解．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且√3acosB=bsinA，b=7，若____．（注：只需选一个作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答给分）求：（1）c的值；（2）△ABC的面积．49．如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，AB=AC=1，∠BAC=π2，高等于3，点M1，M2，N1，N2为所在线段的三等分点．（1）求此三棱柱的体积和三棱锥A1−AM1N2的体积；（2）求异面直线A1N2，AM1所成的角的大小．50．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知bcosC+ccosB=1.（1）求a的值；（2）若1≤c≤b≤√3，求A的最小值.答案解析部分1．【答案】B【知识点】三角形中的几何计算【解析】【解答】∵∠A=60∘,AB=2且ΔABC的面积为√32. ∴SΔABC=12AB·AC·sin∠A=12×2×AC×sin60∘=√32AC=√32.∴AC=1故答案为：B【分析】由三角形面积公式S=12bcsinA求解即可.2．【答案】D【知识点】余弦定理的应用【解析】【解答】由题意得∠ACB=180°−50°−70°=60°，AC=5，AB=7，由余弦定理得cos∠ACB=AC 2+BC2−AB2 2AC⋅BC，所以12=25+BC2−4910BC，解得BC=8或BC=−3（舍去）。
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333绵阳市开元中学高 2014 级高三一轮复习③ tan (A + B )= - tan C ；④sinA + BC = cos , ⑤cosA +B = sinC 《解三角形》知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名：7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角2 22 2 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）1. 正弦定理及其变形在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）asin A = b sin B = c sin C= 2R (R 为三角形外接圆半径） 变式：（1） a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C (边化角公式）（2）sin A = a ,sin B =2Rb , sin C =c 2R 2R (角化边公式） （2） 方位角（3）a : b : c = sin A : sin B : sin C(4) a = sin A , a = sin A , b =sin B b sin B c sin C c sin C2. 正弦定理适用情况： （1） 已知两角及任一边；（2） 已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3. 余弦定理及其推论从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
仰角与俯角是相对于水平线而言的， 而方位角是相对于正北方向而言的。
（3） 方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）如： ①北偏东 即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos Acos A =b 2 +c 2 - a 22bc②“东北方向”表示北偏东（或东偏北） 45︒ .（4） 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角 θ 为坡角）b 2 = a 2 +c 2 - 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos Ccos B =a 2 + c 2 -b 22ac a 2 + b 2 - c 2二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）4. 余弦定理适用情况：cos C =2ab1．在V ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝3 2，则 AC ＝ ()（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.5. 常用的三角形面积公式A.4B ．2C ．D ． 2 2．在V ABC 中， a 2 = b 2 + c 2 + 3bc ，则∠A 等于()A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°（1） S ∆ABC = 1 ⨯ 底⨯高；2 （2） 1 1 1 abcS = ab sin C = ac sin B = bc sin A = (R 为∆A 接BC 圆半径 )（两边夹一角）；2 2 2 4R6. 三角形中常用结论（1） a + b > c , b + c > a , a + c > b (即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2） 在∆A ，BC 即大边A 对> 大B ⇔角，a >大b 角⇔对s 大in 边A >）sin B ( （3） 在∆ABC 中， A + B + C = ，所以①sin (A + B )= sin C ；② cos (A + B )= -cos C ；3. 设V ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若b cos C + c cos B = a sin A , 则V ABC 的形状为( )A. 锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定4. 若△ABC 的三个内角满足sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7 ，则△ABC ()3考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用 考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状3 3 33 3 14 15 3 14 15考点四：利用正余弦定理求角2 考点三：利用正余弦定理求三角形的面积A. 一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.DBAB在△DAB 中，由正弦定理，得sin ∠DAB ＝sin ∠ADB ，cos A bAB ·sin ∠DAB 5(3＋\r(3))·sin 45°5. 在∆ABC 中，若cos B ＝a ，则△ABC 是()A. 等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6. 在∆ABC 中， AB =, AC = 1 , ∠A = 30︒ ，则∆ABC 面积为() ∴DB ＝sin ∠ADB ＝ sin 105°5(3＋\r(3))·sin 45°＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝2＝10 3(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝20 3(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理，得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBCA.B.C.或 D ．或 12424 2＝300＋1 200－2×10 3×20 3×2＝900， 7. 已知∆ABC 的三边长a = 3, b = 5, c = 6 ，则∆ABC 的面积为() ∴CD ＝30(海里)，A ．B ． 2C ．D ． 2 30∴需要的时间 t ＝30＝1(小时)．故救援船到达 D 点需要 1 小时．8. 在锐角中∆ABC ,角 A , B 所对的边长分别为a , b .若2a sin B = 3b ,则角等于 ()三、高考真题赏析A.B.C.D.1．（2016 年ft 东）在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知tan A tan B126 4 3 2(tan A + tan B ) = + cos B .cos A9．在△ABC 中，若 a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有 ( )（Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求 cos C 的最小值.A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定1【解析】(Ⅰ)由2(tanA + tanB) = tanA tanB+ 得10. 在∆ABC ,内角 A , B , C 所对的边长分别为a , b , c . a sin B cos C + c sin B cos A = ∠B = ()b , 且a > b ,则2 2 ⨯ sinC =sinA cosB+ sinB cosA， A.B.C. 2D. 5cosAcosB cosAcosB cosAcosB 2sin C = sin B + sin C a + b = 2c633 6所以，由正弦定理，得．a 2 +b 2 -c 2 (a + b )2 - 2ab - c32c 3c 23 1（Ⅱ）由cos C == = - 1 ≥ - 1 = - 1 = ．11. 如图：A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3 + 3 )海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东45︒ ，B 点2ab2ab2ab 2( a + b )2 2 2 2北偏西60︒ 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60︒ 且与 B 点相距20 船立即前往营救，其航行速度为每小时 30 海里，该救援船到达 D 点需要多长时间？解 由题意知 AB ＝5(3＋ 3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，1海里的 C 点的救援所以cos C 的最小值为 ．22．（2016 年四川）在△ABC 中，角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c ,且cos A + cos B = sin C. a b c3 3 5 3(\r(3)＋1)3＋1 考点五：正余弦定理实际应用问题（I）证明：sin A sin B sin C ；3 3 Ctan tan tan 5（II ）若b 2 + c 2 - a 2 = 6bc ，求tan B .5∆ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC ， ∆ABD 面积是∆ADC 面积的 2 倍．a =b =c (Ⅰ) 求sin ∠B ；(Ⅱ)若 AD = 1 ， DC =2 ，求 BD 和 AC 的长．【解析】（I ）证明：由正弦定理 sin A sin Bsin C 可知sin ∠C2cos A + cos B = sin C = 1原式可以化解为 sin A sin B sin C∵ A 和 B 为三角形s i 内n A 角sin , B ∴sin A sin B ≠ 0 则，两边同时乘以，可得sin B cos A + sin A cos B = sin A sin B 由和角公式可知， sin B cos A + sin A cos B = sin (A + B )= sin (- C )= sin C原式得证。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
高中数学解三角形必刷60题
高中数学解三角形必刷60题1. 在ABC ∆中，45,75,AB A C ===则BC =（ ）A．3- BC ．2 D．3 2. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c已知60,3,C b c ===则A = ．3. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,.a b c 且35cos ,cos ,3,513A C b ===则c = ．4. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，,A B 是锐角，且sin 510A B == （1） 求A B +的值； （2）若1a b -=，求,,a b c 的值.5. 在ABC ∆中，2cos ,4,3,3C AC BC ===则cos B =（ ） A ．19B ．13C ．12D ．236. 在ABC ∆中，2cos ,4,3,3C AC BC ===则tan B =（ ） AB． C． D．7. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．且60,3.A c b ==则ac= ．8. 已知的内角的对边分别为，且76,2,cos .9a cb B +===则a = ．c = ．ABC ∆,,A B C ,,a b c9. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若222()tan a c b B +-=，则角B 的值为（ ） A ．6π B ．3π C ．6π或56π D ．3π或23π10. 在ABC ∆中，120,7,5,B AC AB ===则ABC ∆的面积为_____.11. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C = A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π12. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c60B =，223a c ac +=，则b =_____.13. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 且,,a b c 成等差数列，30B =，ABC ∆的面积为3,2则b =（ ）A．12+ B．1C．22+D．214. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知2,,,64b B C ππ===则ABC∆的面积为（ ） A．2B1C．2D115. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是A ．B ．C ．2A B =D ．2B A =a b c 2a b =2b a =16. ABC ∆的内角A ,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，则B = .17. 设ABC ∆的内角的对边分别为，若cos cos sin A B Cabc+=，22265b c a bc +-=，则tan B =______.18. ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．已知sin sin 4sin ,a A b B c C -=1cos 4A =-，则bc=（ ）A ．6B ．5C ．4D ．319. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为，，．已知222,a c b -=且sin 4cos sin ,B A C =则b = ．20. 中，角所对应的边分别为，已知sin cos 0b A a B +=，则B = ．21. 在中，角所对应的边分别为，若sin cos ,c C c A =-则A ∠= ．22. 设ABC ∆的内角的对边分别为，且sinsin 2B Cb a B +=，sin 3sin C B =.（1） 求A ； （2） 计算sin sin sin AB C的值.23. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．设,,a b c 满足条件222b c bc a+-=和12c b =+求A 和tan B 的值.,,A B C ,,a b c a b c a b c ABC ∆C B A ,,c b a ,,ABC ∆C B A ,,c b a ,,,,A B C ,,a b c24. ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且8.a b c ++=（1）若52,,2a b ==求cos C 的值； （2）若22sin cos sin cos 2sin .22B A A B C +=且ABC ∆的面积9sin ,2S C =求a 和b的值.25. 设ABC ∆的内角的对边分别为，2C B =，则cb的范围是______.26. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c 已知85,2,b c C B ==则cos C =A ．725B ．725-C ．725±D ．±242527. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,.a b c满足cos3.2A AB AC =⋅=则ABC ∆的面积为________28. 设ABC ∆的内角的对边分别为，已知22,sin sin sin a b c A B C =+=，试判断ABC ∆的形状（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.正三角形29. 设ABC ∆的内角的对边分别为，若2cos22B a cc+=，则ABC ∆的形状 A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形30. 设ABC ∆的内角的对边为，2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形31. 如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60cm ，则河流的宽度BC 等于,,A B C ,,a b c ,,A B C ,,a b c ,,A B C ,,a b c ,,A B C ,,a b cA．1)m B．1)m C．1)m D．1)m32. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶600m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD = m ．33. 某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H (单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h =4m ，仰角∠ABE =α，∠ADE =β．（1）该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。
解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳1、三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-4、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 5、正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R=； ③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ． 6、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)7、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A 等，变形： 222cos 2b c a bc+-A =等，8、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。
②已知三边求角） 9、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=R abc 4=2)(c b a r ++=))()((c p b p a p p ---10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =；②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．11、三角形的四心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1） 外心——三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等） 内心——三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等） 12同角的三角函数之间的关系（１）平方关系：ｓｉｎ²α＋ｃｏｓ²α＝１ （２）倒数关系：ｔａｎα·ｃｏｔα＝１ （３）商的关系：ααααααsin cos cot ,cos sin tan ==特殊角的三角函数值三角函数值0 11１不存在三角函数诱导公式：“ （2k πα+）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限”，是指（2kπα+），k ∈Z 的三角函数值，当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦（正切，余切;正割、余割也同样）;当k 为偶数时，函数名不变。
解三角形-高中数学知识点讲解
解三角形1．解三角形【知识点的知识】1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c 边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c 边，要注意解可能有多种情况．4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE 是视线，是仰角，是俯角．7．关于三角形面积问题①S△ABC =12ah a =12bh b =12ch c（h a、h b、h c 分别表示a、b、c 上的高）；②S△ABC =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B；③S△ABC＝2R2sin A sin B sin C．（R 为外接圆半径）④S△ABC =푎푏푐4푅；⑤S△ABC =푠(푠―푎)(푠―푏)(푠―푐)，（s =12（a+b+c））；⑥S△ABC＝r•s，（r 为△ABC 内切圆的半径）1/ 2在解三角形时，常用定理及公式如下表：名称 公式 变形内角和定理A +B +C ＝π퐴 2 + 퐵 2 = 휋 2 ― 퐶，2A +2B ＝2π﹣2C2余弦定理a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos Acos A = 푏2 + 푐2 ― 푎22푏푐b 2＝a 2+c 2﹣2ac cos B c 2＝a 2+b 2﹣2ab cos Ccos B = 푎2 + 푐2 ― 푏22푎푐cos C = 푎2 + 푏2 ― 푐22푎푏正弦定理푎 푠푖푛퐴 =푏 푠푖푛퐵 = 푐푠푖푛퐶 = 2R a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin CR 为△ABC 的外接圆半径sin A = 푎 2푅，sin B = 푏 ，sin C = 2푅푐 2푅射影定理 a cos B +b cos A ＝c a cos C +c cos A ＝b b cos C +c cos B ＝a面积公式①S △ = 1 2ah a = 1 2bh b = 12ch csin A =2푆△푏푐②S △ = 1 2ab sin C = 1 2ac sin B = 12bc sin Asin B ＝③S △ =푎푏푐4푅2푆△푎푐④S △ = 푠(푠 ― 푎)(푠 ― 푏)(푠 ― 푐)，（s=12 sin C =2푆△ 푎푏（a +b +c ））；⑤S △ =12（a +b +c ）r（r 为△ABC 内切圆半径）2 / 2。
高中数学解三角形知识点
高中数学解三角形知识点
一、图形知识
1. 三角形的基本性质：三角形是由三条相交的直线组成的一种多边形，这三条直线将三角形的面分割成三个不同的三角形。
2. 内角和：三角形内角的和为180°。
3. 锐角：三角形中，一个角边大于90°，其内角叫做锐角。
4. 钝角：三角形中，一个角边小于90°，其内角叫做钝角。
5. 直角：三角形中，一个角边等于90°，其内角叫做直角。
6. 等腰三角形：两边长度相等的三角形。
7. 等边三角形：三边长度相等的三角形。
二、三角函数
1. 定义：三角函数是一类把一个角度大小转换成其对应的值的函数。
2. 基本函数：sin、cos、tan、cot等。
3. 余弦定理：一个三角形的两边长度加起来的平方等于其对边的平方和。
4. 正弦定理：一个角的正弦等于改角对相邻边的比例。
5. 余切定理：一个角的余切等于改角对相邻边的倒数比例。
6. 洛必达定理：一个三角形的两边长度乘积等于其对边的乘积和乘以
其余弦。
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)
高中数学必修五三角函数知识点+练习题含答案解析(很详细)第一部分必修五三角函数知识点整理第一章解三角形1、三角形的性质：①.A+B+C=π,? 222A B C π+=-?sin cos 22A B C += ②.在ABC ?中, a b +＞c , a b -＜c ; A ＞B ?sin A ＞sinB ...........................A ＞B ?cosA ＜cosB, a ＞b ? A ＞B③.若ABC ?为锐角?，则A B +＞2π,B+C ＞2π,A+C ＞2π; 22a b +＞2c ，22b c +＞2a ，2a ＋2c ＞2b2、正弦定理与余弦定理：①.(2R 为ABC ?外接圆的直径)2s i n a R A =、2sin b R B =、2sin c R C =sin 2a A R =、 sin 2b B R =、 sin 2c C R= 面积公式：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ?=== ②.余弦定理：2222cos a b c bc A =+-、2222cos b a c ac B =+-、2222cos c a b ab C =+-222cos 2b c a A bc +-=、222cos 2a c b B ac +-=、222cos 2a b c C ab+-= 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式：⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ --=+ ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=- ? （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin1ααααααα±=±+=±?⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-升幂公式2sin 2cos 1,2cos 2cos 122αααα=-=+ ?落幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2αα-=．第二部分必修五练习题含答案解析第一章解三角形1.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形解析：最大边AC 所对角为B ，则cosB ＝52＋62－822×5×6＝－320B>CB ．B>A>C C ．C>B>AD ．C>A>B解析由正弦定理a sinA ＝b sinB ，∴sinB ＝bsinA a ＝32.∵B 为锐角，∴B ＝60°，则C ＝90°，故C>B>A. 答案 C3．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解:由A ＋B ＋C ＝180°，可求得A ＝45°，由正弦定理，得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°＝8×3222＝4 6. 答案 C4．在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝7，AC ＝8，则BA →·BC → 的值为( )A ．5B ．－5C ．15D ．－15解析在△ABC 中，由余弦定理得：cosB ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝25＋49－642×5×7＝17. ∴BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|cosB ＝5×7×17＝5. 答案 A5．若三角形三边长之比是1：3：2，则其所对角之比是( )A ．1：2：3B ．1：3：2C ．1：2： 3 D.2：3：2解析设三边长分不为a ，3a,2a ，设最大角为A ，则cosA ＝a 2＋3a 2－2a 22·a ·3a ＝0，∴A ＝90°.设最小角为B ，则cosB ＝2a 2＋3a 2－a 22·2a ·3a ＝32，∴B ＝30°，∴C ＝60°. 所以三角之比为1：2：3. 答案 A6．在△ABC 中，若a ＝6，b ＝9，A ＝45°，则此三角形有( )A ．无解B ．一解C ．两解D ．解的个数别确定解析由b sinB ＝a sinA ，得sinB ＝bsinA a ＝9×226＝3 24>1.∴此三角形无解．答案 A7．已知△ABC 的外接圆半径为R ，且2R(sin 2A －sin 2C)＝(2a －b)sinB(其中a ，b 分不为A ，B 的对边)，这么角C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析依照正弦定理，原式可化为2R ? ??a 24R 2－c 24R 2＝(2a －b)·b 2R ，∴a 2－c 2＝(2a －b)b ，∴a 2＋b 2－c 2＝2ab ，∴cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝22，∴C ＝45°. 答案 B8．在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，且满脚ab ＝4，则该三角形的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 3解析由a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R ，又sin 2A ＋sin 2B －sinAsinB ＝sin 2C ，可得a 2＋b 2－ab ＝c 2.∴c osC ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝60°，sinC ＝32. ∴S △ABC ＝12absinC ＝ 3. 答案 D9．在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sinB sinC 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.35解析由余弦定理，得 cosA ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC，解得AC ＝3. 由正弦定理sinB sinC ＝AC AB ＝35. 答案 D10.在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为( )A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析由余弦定理，得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝52＋32－722×5×3＝－12，∴∠BAC ＝2π3. 答案 A11．有一长为1 km 的歪坡，它的倾歪角为20°，现要将倾歪角改为10°，则坡底要加长( )A ．0.5 kmB ．1 kmC ．1.5 km D.32km 解析如图，AC ＝AB ·sin20°＝sin20°，BC ＝AB ·cos20°＝cos20°，DC ＝AC tan10°＝2cos 210°，∴DB ＝DC －BC ＝2cos 210°－cos20°＝1.答案 B12．已知△ABC 中，A ，B ，C 的对边分不为a ，b ，c.若a ＝c ＝6＋2，且A ＝75°，则b 为( )A ．2B ．4＋2 3C ．4－2 3 D.6－ 2解析在△ABC 中，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bccosA ，∵a ＝c ，∴0＝b 2－2bccosA ＝b 2－2b(6＋2)cos75°，而cos75°＝cos(30°＋45°)＝cos30°cos45°－sin30°sin45°＝22? ????32－12＝14(6－2)，∴b 2－2b(6＋2)cos75°＝b 2－2b(6＋2)·14(6－2)＝b 2－2b ＝0，解得b ＝2，或b ＝0(舍去)．故选A. 答案 A 13．在△ABC 中，A ＝60°，C ＝45°，b ＝4，则此三角形的最小边是____________．解析由A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝75°，∴c 为最小边，由正弦定理，知c ＝bsinC sinB ＝4sin45°sin75°＝4(3－1)．答案 4(3－1)14．在△ABC 中，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝________.解析由B ＝A ＋60°，得 sinB ＝sin(A ＋60°)＝12sinA ＋32cosA. 又由b ＝2a ，知sinB ＝2sinA.∴2sinA ＝12sinA ＋32cosA. 即32sinA ＝32cosA.∵cosA ≠0，∴tanA ＝33.∵0°<A<180°，∴A ＝30°. 答案30° 15．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，BC ＝5，且△ABC 的面积为103，则B ＝_______，AB ＝_______.解析由A ＋C ＝2B 及A ＋B ＋C ＝180°，得B ＝60°.又S ＝12AB ·BC ·sinB ，∴10 3＝12AB ×5×sin60°，∴AB ＝8. 答案60° 816．在△ABC 中，已知(b ＋c)：(c ＋a)：(a ＋b)＝8：9：10，则sinA ：sinB ：sinC ＝________.解析设b ＋c ＝8k ，c ＋a ＝9k ，a ＋b ＝10k ，可得a ：b ：c ＝11：9：7.∴sinA ：sinB ：sinC ＝11：9：7.答案 11：9：717．在非等腰△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分不为a ，b ，c ，且a 2＝b(b ＋c)．(1)求证：A ＝2B ；(2)若a ＝XXX ，试推断△ABC 的形状．解 (1)证明：在△ABC 中，∵a 2＝b ·(b ＋c)＝b 2＋bc ，由余弦定理，得cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝bc ＋c 22ac ＝b ＋c 2a ＝a 2b ＝sinA 2sinB ，∴sinA ＝2sinBcosB ＝sin2B.则A ＝2B 或A ＋2B ＝π.若A ＋2B ＝π，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝C.这与已知相矛盾，故A ＝2B.(2)∵a ＝XXX ，由a 2＝b(b ＋c)，得XXX 2＝b 2＋bc ，∴c ＝2b.又a 2＋b 2＝4b 2＝c 2.故△ABC 为直角三角形．18．锐角三角形ABC 中，边a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，角A ，B 满脚2sin(A ＋B)－3＝0.求：(1)角C 的度数；(2)边c 的长度及△ABC 的面积．解 (1)由2sin(A ＋B)－3＝0，得sin(A ＋B)＝32. ∵△ABC 为锐角三角形，∴A ＋B ＝120°，∴∠C ＝60°.(2)∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两个根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴c 2＝a 2＋b 2－2abcosC ＝(a ＋b)2－3ab ＝12－6＝6.∴c ＝ 6.S △ABC ＝12absinC ＝12×2×32＝32. 19.已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分不是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sinB ，sinA)，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解 (1)证明：∵m ∥n ，∴asinA ＝bsinB.由正弦定得知，sinA ＝a 2R ，sinB ＝b 2R (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，代入上式，得a ·a 2R ＝b ·b 2R，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形．(2)∵m ⊥p ，∴m ·p ＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0. 解得ab＝4，ab＝－1(舍去)．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×4×sinπ3＝ 3.。
高中数学解三角形精选题目(附答案)
高中数学解三角形精选题目（附答案）一、解三角解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A＋B＋C＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B＋C＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边．1.设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且有a＝2b sin A.(1)求B的大小；(2)若a＝33，c＝5，求b.1.解：(1)由a＝2b sin A，根据正弦定理得sin A＝2sin B sin A，所以sin B＝1 2，由于△ABC是锐角三角形，所以B＝π6.(2)根据余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝27＋25－45＝7，所以b＝7.注：利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：选A 由正弦定理可知c ＝23b ，则cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc ＋c 22bc ＝－3bc ＋23bc 2bc ＝32，所以A ＝30°，故选A.3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A ．3B.932C.332 D ．33解析：选C ∵c 2＝(a －b )2＋6，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6.①∵C ＝π3，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab .②由①②得－ab ＋6＝0，即ab ＝6. ∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B ＝________.解析：依题意得，由正弦定理知：1sin π6＝3sin B ，sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π35．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B .∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )．(2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立．∴cos B 的最小值为12.二、三角形的形状判定三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C 2. (2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．6.在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sin A cos B .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sin B ＝2sin 2B sin A cos B ， 即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac ，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0.∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．注：根据所给条件判断三角形的形状的途径(1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形解析：选D ∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ，∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ，∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．8．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：选C ∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC 的形状为等边三角形．9．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc .由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴bc ＝－2bc cos A ，cos A ＝－12. 又0<A <π，∴A ＝2π3.(2)由(1)知sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ，∴sin 2A ＝(sin B ＋sin C )2－sin B sin C .又sin B ＋sin C ＝1，且sin A ＝32，∴sin B sin C ＝14，因此sin B ＝sin C ＝12.又B ，C ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，故B ＝C . 所以△ABC 是等腰的钝角三角形.三、实际应用(1)仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的．(2)利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．10.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．[解] (1)依题意，∠BAC ＝120°，AB ＝12海里，AC ＝10×2＝20(海里)，∠BCA ＝α.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC ＝28海里．∴渔船甲的速度为BC 2＝14(海里/小时)．(2)在△ABC 中，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，BC ＝28海里，∠BCA ＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°.即sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.故sin α的值为33 14.注：应用解三角形知识解决实际问题的步骤(1)读题．分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等；(2)图解．根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)建模．将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解；(4)验证．检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案．11.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，如图，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40 m，则电视塔的高度为()A．10 2 m B．20 mC．20 3 m D．40 m解析：选D设电视塔的高度为x m，则BC＝x，BD＝3x.在△BCD中，根据余弦定理得3x2＝x2＋402－2×40x×cos 120°，即x2－20x－800＝0，解得x ＝40或x＝－20(舍去)．故电视塔的高度为40 m.12．北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m，则旗杆的高度为________m.解析：设旗杆高为h m，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则BC＝hsin 60°＝233h.在△ABC中，AB＝106，∠CAB＝45°，∠ABC＝105°，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得106sin 30°＝233hsin 45°，故h＝30(m)．答案：3013.某高速公路旁边B处有一栋楼房，某人在距地面100米的32楼阳台A处，用望远镜观测路上的车辆，上午11时测得一客车位于楼房北偏东15°方向上，且俯角为30°的C处，10秒后测得该客车位于楼房北偏西75°方向上，且俯角为45°的D处．(假设客车匀速行驶)(1)如果此高速路段限速80千米/小时，试问该客车是否超速？(2)又经过一段时间后，客车到达楼房的正西方向E处，问此时客车距离楼房多远？解：(1)在Rt△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝100米，则BC＝1003米．在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AB＝100米，则BD＝100米．在△BCD中，∠DBC＝75°＋15°＝90°，则DC＝BD2＋BC2＝200米，所以客车的速度v＝CD10＝20米/秒＝72千米/小时，所以该客车没有超速．(2)在Rt△BCD中，∠BCD＝30°，又因为∠DBE＝15°，所以∠CBE＝105°，所以∠CEB＝45°.在△BCE中，由正弦定理可知EBsin 30°＝BCsin 45°，所以EB＝BC sin 30°sin 45°＝506米，即此时客车距楼房506米．巩固练习：1．在△ABC中，若a＝7，b＝3，c＝8，则其面积等于()A．12 B.21 2C．28D．63解析：选D由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝32＋82－722×3×8＝12，所以sin A＝32，则S△ABC＝12bc sin A＝12×3×8×32＝6 3.2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为()A.19 B.13C．1 D.7 2解析：选D由正弦定理可得2sin2B－sin2Asin2A＝2b2－a2a2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫32a2－a2a2＝72.3．在△ABC中，已知AB＝2，BC＝5，△ABC的面积为4，若∠ABC＝θ，则cos θ等于()A.35B．－35C．±35D．±45解析：选C∵S△ABC ＝12AB·BC sin∠ABC＝12×2×5×sin θ＝4.∴sin θ＝45.又θ∈(0，π)，∴cos θ＝±1－sin2θ＝±3 5.4．某人从出发点A向正东走x m后到B，向左转150°再向前走3 m到C，测得△ABC的面积为334m2，则此人这时离开出发点的距离为()A．3 m B. 2 mC．2 3 m D. 3 m解析：选D在△ABC中，S＝12AB×BC sin B，∴334＝12×x×3×sin 30°，∴x＝ 3.由余弦定理，得AC＝AB2＋BC2－2AB×BC×cos B＝3＋9－9＝3(m)．5．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝32，则边BC的边长为()A.3B．3C.7D．7解析：选A∵S△ABC ＝12AB·AC sin A＝32，∴AC＝1，由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A＝4＋1－2×2×1×cos 60°＝3，即BC＝ 3.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B ＝a sin A，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B∵b cos C＋c cos B＝b·b2＋a2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝b2＋a2－c2＋c2＋a2－b22a＝2a22a＝a＝a sin A，∴sin A＝1.∵A∈(0，π)，∴A＝π2，即△ABC是直角三角形．7．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为____________．解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，即ac＝a2＋c2－ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵B＝60°，∴△ABC为等边三角形．答案：等边三角形8．在△ABC中，a＝b＋2，b＝c＋2，又知最大角的正弦等于32，则三边长为________．解析：由题意知a边最大，sin A＝32，∴A＝120°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos A.∴a2＝(a－2)2＋(a－4)2＋(a－2)(a－4)．∴a2－9a＋14＝0，解得a＝2(舍去)或a＝7.∴b＝a－2＝5，c＝b－2＝3.答案：a＝7，b＝5，c＝39．已知三角形ABC的三边为a，b，c和面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝________.解析：由已知得S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc＝－2bc cos A＋2bc.又S＝12bc sin A，∴12bc sin A＝2bc－2bc cos A.∴4－4cos A＝sin A，平方得17cos2A－32cos A＋15＝0.∴(17cos A－15)(cos A－1)＝0.∴cos A＝1(舍去)或cos A＝15 17.答案：15 1710．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝23，sin B＝5cos C.(1)求tan C的值；(2)若a＝2，求△ABC的面积．解：(1)因为0<A<π，cos A＝2 3，所以sin A＝1－cos2A＝5 3，又5cos C＝sin B＝sin(A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C＝53cos C＋23sin C，所以253cos C＝23sin C，tan C＝ 5.(2)由tan C＝5得sin C＝56，cos C＝16，于是sin B ＝5cos C ＝56. 由a ＝2及正弦定理a sin A ＝c sin C 得c ＝3，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ac sinB ＝12×2×3×56＝52. 11.如图，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ；(2)求BD ，AC 的长．解：(1)在△ADC 中，因为cos ∠ADC ＝17，所以sin ∠ADC ＝437.所以sin ∠BAD ＝sin(∠ADC －∠B )＝sin ∠ADC cos B －cos ∠ADC sin B＝437×12－17×32＝3314.(2)在△ABD 中，由正弦定理得BD ＝AB ·sin ∠BAD sin ∠ADB ＝8×3314437＝3. 在△ABC 中，由余弦定理得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B＝82＋52－2×8×5×12＝49. 所以AC ＝7.12．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，c ＝2，C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m∥n，∴a sin A＝b sin B，∴a·a＝b·b，即a2＝b2，a＝b，∴△ABC为等腰三角形．(2)由m⊥p，得m·p＝0，∴a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cos C，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，即(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)，∴S△ABC ＝12ab sin C＝12×4×sinπ3＝ 3.。
高中数学解三角形知识点总结
高中数学解三角形知识点总结
1、三角形的性质：（1）任意两边之和大于第三边；（2）任意两边之积小于第三边的平方；（3）两边的夹角的余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bc·cosA
2、三角形的解法：（1）求解三角形的内角：根据余弦定理求出所有的内角；（2）求解三角形的边长：根据其它已知条件，使用勾股定理或余弦定理求出所有的边长；（3）求解三角形的面积：可以用海伦公式求解三角形的面积。
3、三角函数：（1）正弦函数：sinA=a/c；（2）余弦函数：cosA=b/c；（3）正切函数：tanA=a/b。
4、三角形函数的应用：（1）在多边形的重心中，可以使用三角函数来求出重心的坐标；（2）可以使用三角函数来求出一个三角形的内角；（3）可以使用三角函数来求出一个三角形的外接圆半径。
高考数学-解三角形知识点
高考数学-解三角形1、（1）正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C===（R 为三角形外接圆半径） （2）正弦定理变形：①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= ③::sin :sin :sin a b c A B C =； ④sin sin sin sin sin sin a b c a b c A B C A B C++===++ （3）正弦定理主要用来解决两类问题：A 、已知两边和其中一边所对的角，求其余的量。
B 、已知两角和一边，求其余的量。
2、三角形的面积：22221111sin sin sin 2sin sin sin 22224sin sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin a abc S a h ab C bc A ac B R A B C Ra B Cb A Cc A B pr A B C =⋅==========V (其中)(21c b a p ++=，r 为三角形内切圆半径) 3、（1）余弦定理：2222cos a b c bc A =+- bca cb A 2cos 222-+= 2222cos b a c ac B =+- 222cos 2a c b B ac +-= 2222cos c a b ab C =+- 222cos 2a b c C ab +-= （2）余弦定理主要解决的问题：A 、已知两边和夹角，求其余的量。
B 、已知三边求角。
4、如何判断三角形的形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =o ； ②若222a b c +>，则90C <o ； ③若222a b c +<，则90C >o 。
5、附：三角形的五个“心”：（旁心：旁切圆的圆心）重心：三角形三条中线交点； 垂心：三角形三边上的高相交于一点。
高中数学-解三角形知识点汇总及典型例题
解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备:1.直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C =9０°，AB =c ，AC ＝b ，BC ＝a 。
(1）三边之间的关系:a ２+ｂ２＝c 2。
（勾股定理） (２)锐角之间的关系：A ＋Ｂ=90°； （３)边角之间的关系:（锐角三角函数定义) s ｉｎA ＝ｃos B =c a ，cos A =sin B =c b ，ｔａn Ａ＝ba。
2.斜三角形中各元素间的关系:在△ABC 中,A 、B 、Ｃ为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、Ｃ的对边。
(１）三角形内角和：Ａ＋B +C =π。
(２)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等R CcB b A a 2sin sin sin ===(R 为外接圆半径） （3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍ａ2=b 2+c 2-2ｂｃcos Ａ； b ２＝ｃ2+a 2-2c ａcos B ; c 2＝a ２＋ｂ２-2ａb c ｏｓC 。
3．三角形的面积公式:(1）∆S =21ah ａ=21bh b ＝21ch c (ｈａ、h b 、h c 分别表示ａ、b 、c 上的高）； （2）∆S =21ab s ｉｎC =21ｂc ｓi ｎA ＝21ac s ｉｎＢ;４．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角)中的三个元素(其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形.广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等.主要类型： （1）两类正弦定理解三角形的问题：第1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. 第2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (2）两类余弦定理解三角形的问题:第1、已知三边求三角.②当0116≈B 时，180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ,0sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A 点评:应用正弦定理时(1）应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形;（2）对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2:三角形面积例2．在∆ABC 中，sin cos A A +=22,AC =2,3=AB ，求A tan 的值和∆ABC 的面积。
(完整版)高中数学--解三角形知识点归纳和分类习题测试
必修五：解三角形知识点一：正弦定理和余弦定理abc2R1．正弦定理 : sin Asin B sinCsin A :sin B :sin C .或变形： a : b : ccos Ab 2c 2 a 22bca 2b 2c 22bccos A cosBa 2c 2 b 22acb 2 a 2c 2 2ac cosB2a 2c 2c 22 a 22ba cosCcosCb2．余弦定理：b2ab.或3．（ 1）两类正弦定理解三角形的问题：1、已知两角和随意一边，求其余的两边及一角.2、已知两角和此中一边的对角，求其余边角.（2）两类余弦定理解三角形的问题：1、已知三边求三角 .2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其余两角.4．判断三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转变，一致成边的形式或角的形式 .5．解题中利用ABC 中 AB C，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如： sin( A B)sin C , cos( A B)cosC , tan( AB) tan C ,A BC ,cosA BC A B Csin2cos2sin, tancot2222 . 、已知条件定 理 应 一般解法用一边和两角正 弦 定 由 A+B+C=180˙，求角 A ，由正弦定理求出b 与c ，在有解时（如 a 、 B 、 C ）理有一解。
两边和夹角余 弦 定 由余弦定理求第三边c ，由正弦定理求出小边所对的角，再( 如 a 、b 、 c)理由 A+B+C=180˙求出另一角，在有解时有一解。
三边余 弦 定 由余弦定理求出角 A 、 B ，再利用 A+B+C=180˙，求出角 C( 如 a 、b 、 c) 理在有解时只有一解。
1. 若ABC 的三个内角知足 sin A :sin B :sin C5:11:13，则ABC 是（）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 可能是锐角三角形， 也可能是钝角三角形.2.在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别为a ，b，c，若a 2 ，b=2，sinB+cosB= 2 ，则角 A 的大小为（） A．B．C4D．2363.在△ ABC 中，a7,b 4 3, c13 ，则最小角为A、B、C、D、364124.已知ABC 中，AB4, AC3,BAC60，则BC()A.13B. 13C.5D.105.在锐角ABC 中，若 C2B ，则c的范围（）bA．2, 3B．3, 2C． 0,2D．2, 26.在ABC中，A、B、C 所对的边分别是 a 、b、c，已知a2b2c22ab ，则 C ()23A. 2B.4C.3D.47.在△ABC 中，A60o, b16,面积 S220 3 ，则 cA、10 6B、 75C、 55D、 498.在△ABC 中，( a c)( a c)b(b c) ，则AA、30oB、 60oC、 120oD、 150o9.已知ABC 中，AB4,BAC45，AC 3 2，则ABC的面积为 _______cos B b10. 在ABC中,a, b, c 分别是角A, B,C的对边 , 且cosC2a c ,则角 B 的大小为_______11. 已知锐角三角形的边长分别是2,3, x ，则 x 的取值范围是A、1 x 5B、5x13C、0 x 5D、 13 x 512 ．ABC 中，AB1, BC 2 则角C的取值范围是__________．知识点二：判断三角形的形状问题1.在 ABC 中，若cos A cos B sin 2C，则ABC是（）2A．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D．直角三角形2.在△ABC中，有一边是另一边的 2 倍，而且有一个角是30o，那么这个三角形A 、必定是直角三角形B 、必定是钝角三角形C、可能是锐角三角形 D 、必定不是锐角三角形tan A a23. 已知在△ABC中，tan Bb2，判断△ABC的形状。
解三角形(总结+题+解析)
解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。
高中数学——解三角形
解三角形一.小题回顾1. 在△ABC 中，若，︒===30,7,8B b a 则=A sin .2. 在△ABC 中，若，︒===120,32,34A c b 则=a .3. 在△ABC 中，若，，△3,160==︒=ABC S b A 则=a .4. 在△ABC 中，若，bc a c b 3222=-+则=A .5. 在△ABC 中，若，A b B a cos cos =则△ABC 的形状是 .二.知识梳理1. 正弦定理：=Aa sin = = ． 2. 余弦定理：=2a ；=2b ；=2c . =A cos ；=B cos ；=C cos .3. 推论：正余弦定理的边角互换功能．① 2sin a R A =；=b ；=c . ②sin 2a A R =；=B sin ；=C sin . ③ sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b c A B C++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =4. 三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos ,B C A B C A +=+=-sincos ,cos sin 2222B C A B C A ++== 三.例题精析例1. (1)在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则ABC ∆的形状是 三角形.(2)已知ABC ∆中，,54cos =A 且()(),3:2:12::2=+-c b a 试判断三角形的形状.例2. 在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，若B c C b a sin 33cos +=． （1）求角B 的值；（2）若△ABC 的面积,5,35==a S 求b 的值．例3. 如图1-3-4，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？四.反思小结五.巩固训练1. 在ABC ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么△ABC 一定是 三角形.2. 在ABC ∆中,()()C b c B c b A a sin 2sin 2sin 2+++=.(1)求A 的大小；（2）求C B sin sin +的最大值.3. 如图，有两条相交成60角的直线XX ',YY '，交点是O ，甲、乙分别在OX 、OY 上，起初甲离O 点3千米，乙离O 点1千米，后来两人同时用每小时4千米的速度，甲沿XX ' 方向，乙沿Y Y '方向步行，（1）起初两人的距离是多少？（2）用包含t 的式子表示t 小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？X X ' YY ' ∙ B Q P O A∙ ∙ ∙。
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1．已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c
若a c ==75A ∠=，则
b =
( ) A.2 B ．4
＋ C ．4
— D
答案：A
解析：0000000sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos304A ==+=+=
由a c ==,075C ∠=,所以030B ∠=,1sin 2
B =
由正弦定理得1sin 2sin 2
a b B A =⋅==,故选A 题干评注：解三角形
问题评注：一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
可以利用正弦定理和余弦定理等求解。
2．已知△ABC 中，12cot 5
A =-
，则cos A = ( ) A ．1213 B.513 C. 513- D. 1213- 答案：D
解析：先由cotA=125
-
知A 为钝角，cosA<0排 除A 和B ，再由1312cos 1cos sin ,512sin cos cot 22-==+-==A A A A A A 求得和. 题干评注：解三角形
问题评注：一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
可以利用正弦定理和余弦定理等求解。
3．已知ABC ∆中，12cot 5
A =-
， 则cos A = ( ) A. 1213 B .513 C .513- D. 1213- 答案：D
解析：已知ABC ∆中，12cot 5A =-，(,)2
A ππ∴∈
. 12cos 13A ===- 题干评注：解三角形
问题评注：一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
可以利用正弦定理和余弦定理等求解。
4．在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos AC A
的值等于 ， AC 的取值范围为 .
答案：2)3,2(
解析：设,2.A B θθ∠=⇒=由正弦定理得
,1 2.sin 2sin 2cos cos AC BC AC AC θθθθ
=∴=⇒= 由锐角ABC ∆得0290045θθ<<⇒<<，
又01803903060θθ<-<⇒<<，故23045cos 2θθ<<⇒<<，
2cos AC θ∴=∈
题干评注：解三角形
问题评注：一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
可以利用正弦定理和余弦定理等求解。
5．在ABC ∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b
答案：4
解析：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理
有:2222223,22a b c b c a a c ab bc
+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）.
题干评注：解三角形
问题评注：一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
可以利用正弦定理和余弦定理等求解。
6．在锐角三角形中，边a 、b 是方程x 2
－2 3 x+2=0的两根，角A 、B 满足2sin(A+B)－ 3 =0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积.
答案：32
解析：由2sin(A+B)－ 3 =0，得sin(A+B)=32
, ∵△ABC 为锐角三角形 ∴A+B=120°, C=60°, 又∵a 、b 是方程x 2－2 3 x+2=0的两根，∴a+b=2 3 ,
a ·b=2, ∴c 2=a 2+
b 2－2a ·bcosC=(a+b)2－3ab=12－6=6, ∴c= 6 , S △ABC =12 absinC=12 ×2×32 =32
题干评注：解三角形
问题评注：一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
可以利用正弦定理和余弦定理等求解。
7．在△ABC 中，已知边c=10, 又知cosA cosB =b a =43
，求a 、b 及△ABC 的内切圆的半径。
答案：2 解析：由cosA cosB =b a ，sinB sinA =b a ,可得 cosA cosB =sinB sinA
，变形为sinAcosA=sinBcosB ∴sin2A=sin2B, 又∵a ≠b, ∴2A=π－2B, ∴A+B=2
π. ∴△ABC 为直角三角形. 由a 2+b 2=102和b a =43 ，解得a=6, b=8, ∴内切圆的半径为r=a+b-c 2 =6+8-102
=2 题干评注：解三角形
问题评注：一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
可以利用正弦定理和余弦定理等求解。
8．已知a b c ，，为ABC △的三个内角A B C ，，的对边，向量
1)(cos sin )A A =-=，，m n ．若⊥m n ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A B ，的大小分别为( ) A ．ππ63， B ．2ππ36， C ．ππ36， D ．ππ33， 答案：C 解析：3cos sin 0A A -=，
;3A π
∴=2sin cos sin cos sin ,A B B A C ⇒+=
2sin cos sin cos sin()sin sin A B B A A B C C +=+==，
.2C π
=π6
B ∴=.选C. 本题在求角B 时,也可用验证法. 题干评注：解三角形
问题评注：一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
可以利用正弦定理和余弦定理等求解。
9．23sin 702cos 10
-=-( )
A ．12
B ．22
C ．2
D ．32
答案：C
解析：22223sin 703cos 203(2cos 201)22cos 102cos 102cos 10
----===--- 题干评注：解三角形
问题评注：一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
可以利用正弦定理和余弦定理等求解。
10．已知锐角ABC ∆的面积为33，4,3BC CA ==，则角C 的大小为
A. 75°
B. 60°
B. 45° D.30°
答案：B
解析：由正弦定理得113··sin C 3343sin C sin C 222S BC CA =⇒=⨯⨯⨯⇒=，注意到其是锐角三角形，故C=60°，选B
题干评注：解三角形
问题评注：一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。
可以利用正弦定理和余弦定理等求解。