控制系统的信号流图

2.5 控制系统的信号流图
信号流图和结构图一样，都可用以表示系统结构和各变量之间的数学关系，只是形式不
同。

由于信号流图符号简单，便于绘制，因而在信号、系统和控制等相关学科领域中被广泛采用。

2.5.1 信号流图
图2-27(a)、(b)分别是同一个系统的结构图和对应的信号流图。

图2-27 控制系统的结构图和信号流图
信号流图中的基本图形符号有三种：节点、支路和支路增益。

节点代表系统中的一个变量（信号），用符号“o ”表示；支路是连接两个节点的有向线段，用符号“”表示，箭头表示信号传递的方向；增益表示支路上的信号传递关系，标在支路旁边，相当于结构图中环节的传递函数。

→关于信号流图，有如下术语：
⑴ 源节点 只有输出支路的节点，相当于输入信号。

如图2-27(b)中的R 、节点。

N ⑵ 阱节点 只有输入支路的节点，对应系统的输出信号。

如图2-27(b)中的C 节点。

⑶ 混合节点 既有输入支路又有输出支路的节点，相当于结构图中的比较点或引出点。

如图2-27(b)中的E 、P 、节点。

Q ⑷ 前向通路 从源节点开始到阱节点终止，顺着信号流动的方向，且与其它节点相交不多于一次的通路。

如图2-27(b)中的、。

REPQC NPQC ⑸ 回路 从同一节点出发，顺着信号流动的方向回到该节点，且与其它节点相交不多于一次的闭合通路。

如图2-27(b)中的EPQE 。

⑹ 回路增益 回路中各支路增益的乘积。

⑺ 前向通路增益 前向通路中各支路增益的乘积。

⑻ 不接触回路 信号流图中没有公共节点的回路。

2.5.2 梅逊增益公式
利用梅逊（Mason ）增益公式不进行结构变换就可以直接写出系统的传递函数。

梅逊增益公式的一般形式为
()s Φ
1
1()n
k k k s P =Φ=ΔΔ∑ (2-57)
式中，称为特征式，其计算公式为
ΔL +−+−=Δ∑∑∑f e d c b a L L L L L L 1 (2-58)
式中，
—所有不同回路的回路增益之和；
∑a L c b
L L ∑—所有两两互不接触回路的回路增益乘积之和； f
e
d
L L L ∑—所有三个互不接触回路的回路增益乘积之和；
n —系统前向通路的条数；
k P —从源节点到阱节点之间第条前向通路的总增益；
k k Δ—第k 条前向通路的余子式，即把特征式Δ中与第k 条前向通路接触的回路所在项
除去后余下的部分。

下面举例说明应用梅逊增益公式求取系统的传递函数。

例2-12 系统信号流图如图2-28所示，求传递函数
)
()
(s R s C。

图2-28系统的信号流图
解 系统有三个回路：
131L G H =−2L G G G G H 21234=−3162L G G H =−
其中，和两回路互不接触，故特征式为
1L 3L
)()(132321L L L L L +++−=Δ
3112342162136121G H G G G G H G G H G G G H H =++++
系统有三条前向通路，其增益分别为：
43211G G G G P = 216P G G = 354P G G G =3
其中，前向通路与回路不接触，所以前向通路的余子式分别为
2P 1L 1H 11Δ=
2131()1L G Δ=−=+
31Δ=
由梅逊增益公式（2-57）可得系统的传递函数
11223312341631345
311234216213612
()1
()()()(1)1C s s P P P R s G G G G G G G H G G G G H G G G G H G G H G G G H H Φ=
=Δ+Δ+ΔΔ
+++=
++++
例2-13 已知系统结构图如图2-29所示，试求传递函数
)()(s R s C 和()
()
C s N s 。

图2-29 系统结构图
解 系统有4个回路：
11122323123434
L G H L G G H L G G G H L H H =−==−=−3
有2组互不接触回路：和，和，写出系统特征式
1L 2L 2L 4L 1123212333412312232341G H G G H G G G H H H G G G H H G G H H H Δ=+−++−−
当()R s 作用时，有2条前向通路，即
1123124
22311p G G G p H G G 2
=Δ==Δ=−Η
根据梅逊增益公式可写出闭环传递函数
1122
1234232112321233341231223234
()()()(11p p C s s R s GG G H G G H G H G G H GG G H H H GG G H H G G H H H Δ+ΔΦ=
=Δ
+−=
+−+−−）＋
当作用时，有1条前向通路，即
()N s 13111N N p G G =Δ=+1Η
可写出系统在干扰作用下的闭环传递函数
11
311112321233341231223234
()()()(11N N N p C s s N s G G H G H G G H GG G H H H GG G H H G G H H H ΔΦ=
=Δ
+=
+−+−−）＋ 系统的特征式只与回路有关，它反映系统自身的特性。

同一个系统，输入、输出信号选择不
同，相应传递函数的分子就不同，但其特征式一定是相同的。