【课件-高等数学】_第3章 一元函数的微分练习题
高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用
存在且相等.
现在，我们可回答函数 y | x | 在 x 0 处不可导的原因: f0 f0
27
四、左、右导数
第三章 一元函数微分学及其应用
例10
已知
f
x
sin
x
x
x0
x 0 ，求 f0, f0 及 f 0 .
9
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
定义
设函数 y f x 在 x0 的某个邻域内有定义，当 x 在 x0 处增量为 x （ x0 x 在该邻域内）时，相应地， 函数有增量 y f x0 x f x0 .
如果
lim y lim f x0 x f x0 lim f (x) f (x0)
例6 求 f x x2 的导数.
解 x2 lim x+x2 x lim x 2x 2x
x0
x
x0
一般地，当 x 0 ， y x 有定义时，
x lim x x x x1
x0
x
当 x 0 时, y x 有定义时也有上式成立.
例如，取 1 ，则有 2
x
8
一、 割线与切线
练习
第三章 一元函数微分学及其应用
1.求单位圆 x2 y2 1上过点 (1, 0) 的切线方程. 2. 求抛物线 y x2 上过点 (1,1) 和 (2, 4) 的割线方程. 3.求抛物线 y x2 上过点 (1,1) 的切线方程.
4.求函数 y ex 在点 x 1处的切线斜率.
30
五、切线与法线方程
第三章 一元函数微分学及其应用
例11
求曲线
y1 x
高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用
x x0
x0
x
xx0
x x0
存在，则称该极限为 y f x 在点 x0 处的导数，记为
dy
df (x)
f x0 ， y xx0 ， dx xx0 或
dx xx0
10
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
这时也称函数 y f x 在点 x0 处可导.
如果该极限不存在，称函数 y f x 在点 x0处不可导 .
例1 求函数 y ln x 在点 x e 处的切线斜率.
解
k lim f (x) f (x0 ) = lim ln x ln e
x x0
x x0
xe x e
ln x = lim e
xe x e
lim
ln 1
xe e
xe
xe
所以
xe lim e 1
xe x e e
第三章 一元函数微分学及其应用
y
此刻切线的斜率即为 k lim y y0 lim f (x) f (x0 )
x x xx0
0
x x0
x x0
y f x
N Δy T
从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过
程中， 需要用到极限
lim f (x) f (x0 )
x x0
x x0
M C
α
Δx
O
x0
xx
7
二、导数的定义
故 y x2
在 x=0处导数为零，即
dy dx
x x0
0.
O
x
图 3-7
12
二、导数的定义
第三章 一元函数微分学及其应用
例3 求函数 y | x |,在点 x 0 处（见图2-8）的导数.
一元函数微分学练习题
第一部分、一元函数微分学习题集1一、选择题1.下列命题正确的是（ ）0(A)()lim ().x x f x x f x →=∞若在的任意空心邻域内无界，则0(B)lim (),().x x f x f x x →=∞若则在的任意空心邻域内无界(C)lim (),lim ().x x x x f x f x →→=∞若不存在则1(D)lim (),lim.()x x x x f x f x →→=∞若=0则 2.{}n x 关于数列下列命题正确的个数是（ ）{}(1)lim .n n n x A x →∞⇒若=存在有界(2)lim lim .n n k n n x A k x A +→∞→∞=⇔=存在对任意确定正整数有221(3)lim lim lim .n n n n n n x A x x A -→∞→∞→∞=⇔==存在1(4)lim lim1.n n n n nx x A x +→∞→∞=⇒=存在(A)1 (B)2 (C)3 (D)43. 下列命题正确的是( )00,0()()lim (),lim ()x x x x x x f x g x f x A g x B A B δδ→→∃><-<>==>(A)若当时， 且均存在，则0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<>(B)若，则，当时 00lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→≥∃><-<≥(C)若，则，当时0lim ()lim ()00()()x x x x f x g x x x f x g x δδ→→>∃><-<>(D)若，则，当时4 ()()()cos 1sin ,02x x x x x x πααα-=<→设,当时( )x (A)比高阶的无穷小 x (B)比低阶的无穷小 x (C)与同阶但不等价的无穷小 x (D)与是等价的无穷小5. 已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与k cx 是等价无穷小，则( )(A) 1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ）1,4k c == （D ）3,4k c ==- 6.20()sin ()ln(1)x f x x ax g x x bx →=-=-当时，与是等价无 a 穷小,则=( )b=( )1111(A)1,(B)1,(C)1,(D)1,6666a b a b a b a b ==-===-=-=-=-7.设()(1231,1,1a x a a =-=+=.当0x +→时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( ) （A ）123,,a a a （B ）231,,a a a （C ）213,,a a a （D ）321,,a a a8.(](](),lim (),(),x f x b f x A f x b →-∞-∞=-∞设在上连续,则存在是在上有界的（ ） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件 9.[]11()tan (),( ) ()xxe e xf x x x e e ππ+=-=-设在上的第一类间断点是0 1 22ππ(A) (B)(C)- (D)10. 1()( )(1)ln xx f x x x x-=+函数的可去间断点的个数为0 1 2(A) (B)(C) (D)311.()20sin ()lim 1,( ) x tt t f x x →⎛⎫+-∞+∞ ⎪⎝⎭函数=在内(A)连续 (B)有可去间断点(C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点12.曲线y= 1ln(1)x e x++, 渐近线的条数为 ( )A.0B.1C.2D.313. 已知()f x 在0x =附近有定义，且()00f =，则f(x)在0x =处可导的充要条件为 ( )（A ）()22limx f x x →存在. （B ）()1lim xx f ex→-存在.(C) ()201cos limx f x x →-存在. (D)()02()lim x f x f x x→-存在.14. 已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导15. 已知函数()2321cos ,0()arcsin ,0x x f x xg x x x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩，其中g (x )是有界函数，则f (x )在x =0处（ ） （A ）极限不存在 （B ）极限存在但不连续 （C ）连续但不可导 （D ）可导16.[]0(),(0)1y f x f δδδ∃>=-=若使得在上有定义,且满足20ln(12)2()lim 0()x x xf x x →-+=，则 ''(A)()0 (B)()0(C)()0(0)0 (D)()0(0)1f x x f x x f x x f f x x f ======在处不连续在处连续但不可导在处可导，且在处可导，且17.'1cos ,0()()00, 0x x f x f x x x x αβαβ⎧>⎪==⎨⎪≤⎩设，(>0,>0),若在处连续，则( )(A) 1 (B)0 1 (C) 2 (D)0 2 αβαβαβαβ-><-≤-><-≤18.()2()cos ln 1lim 1?n y f x xy y x f n →∞⎡⎤⎛⎫=+-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦设是由所确定,则n （ ）(A) 2 (B) 1 (C) 1 (D) 2--19.()()''0,()0 , f x f x +∞>设函数在上具有二阶导数，且 令(),1,2,3,,n u f n n ==则下列结论正确的是( ).{}{}{}{}12121212(A), (B),(C), (D),n n n n u u u u u u u u u u u u >><<若则必收敛若则必发散若则必收敛若则必发散20.()()()2'2arctan limx f x x f x xfx ξξ→==设，若则=( )211(A)1 (B) (C) (D)32321.21,y ax b y x a b x=+=设直线同时与曲线及y=相切，则为( )(A)4, 4 (B)3, 4(C)4, 3 (D)3, 3a b a b a b a b =-=-=-=-=-=-=-=-22.()()()0,()0,()gf xg x g x g x a x ''<=设函数具有二阶导数，且若是()()0f g x x 的极值，则在取极大值的一个充分条件是( )(A) ()0f a '< (B)()0f a '> (C)()0f a ''< (D)0)(>''a f 23.设函数0()y f x x =在的某邻域内具有二阶导数，且0''0()lim 0x x f x A x x →=<-，则（ ） ()()0000(A)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凹的，当时是凸的()()0000(B)0,(),()x x x y f x x x x y f x δδδ∃>∈-=∈+=当时是凸的，当时是凹的()00(C)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凹的()00(D)0,()x x x y f x δδδ∃>∈-+=当时是凸的 24. 设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其导函数的图形如图所示，则 ( ) （A ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有2个拐点 （B ）函数()f x 有2个极值点，曲线()y f x =有3个拐点 （C ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有1个拐点 （D ）函数()f x 有3个极值点，曲线()y f x =有2个拐点25.''22()()(1,1)2()f x y f x x y f x =+=设 不变号，且曲线在点上的曲率圆为,则函数在区间(1,2)内( ).(A), (B),(C), (D),有极值点无零点无极值点有零点有极值点有零点无极值点无零点26.设函数()(1,2)i f x i =具有二阶连续导数，且''0()0(1,2)i f x i <=，若两条曲线()(1,2)i y f x i ==在点00(,)x y 处具有公切线()y g x =，且在该点处曲线1()y f x =的曲率大于曲率2()y f x =的曲率，则在0x 的某个邻域内，有 （ ）（数一、二做）12(A)()()()f x f x g x ≤≤ 21(B)()()()f x f x g x ≤≤ 12(C)()()()f x g x f x ≤≤ 21(D)()()()f x g x f x ≤≤ 27.设商品的需求函数为()215()150082Q p p p p =--<<其中Q ， p 分别为需求量和价格，ε为商品需求弹性，若1ε<，则p 的取值范围 （ ）（数三做）(A)03p << (B)58p << (C)35p << (D)05p <<二、填空题 1. 212lim tan1x xx x →∞-=+ . 2. 0ln(1sin )lim cos 1x x x x →+-= .3.cos 0x x →= .4. tan sin 0limx xx e e →=- .5.limx →∞= .6.(lim sin x →∞-= .7.设0()ln 1lim 3x f x x x x→⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，则20()lim x f x x →= .8. []()21cos ()()lim 1(0) 1()xx xf x f x f ef x →-==-已知函数连续且，则 . 9. 已知函数()f x满足x →=02，则lim ()____x f x →=0.10.20()()x x kx x αβ→==当时，与 k 是等价无穷小则= .11.3231lim (sin cos )2x x x x x x x →∞+++=+求 .12.20ln cos lim _________.x xx →=13. 30arctan sin lim x x x x →-⎛⎫=⎪⎝⎭求 .14.()11lim _________nn n n -→∞+⎛⎫= ⎪⎝⎭.15.101+2lim 2xxx →⎛⎫= ⎪⎝⎭求 . 16.10ln(1)lim 2xx x x →+⎛⎫-= ⎪⎝⎭.17.20lim x x →-= .18.21lim tan 4n n n π→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭.19.21000lim xx e x--→= .20.()2224cos limx x e x x xe ex-→-= .21.若2260sin 3()lim 0x x x f x x→+=，则403()lim →+=x f x x . 22.()21,()=, .2, x x cf x c x c x ⎧+≤⎪-∞+∞=⎨>⎪⎩设函数在内连续则23. x =0是1()1arctanf x x x=-的 间断点.24. x =1是221()lim 1n nn x f x x →∞-=+的 间断点. 25. 曲线()322arctan 11x y x x=+++的斜渐近线方程为 . 26. 曲线1y x =-+的水平渐近线方程为 ，垂直渐近线方程为 ，斜渐近线方程为 .27.1()(()) .21,1x edyx f x y f f x dx x x =⎧≥===⎨-<⎩设，,则28.'()y f x f =设是以3为周期的周期函数，且(7)=1,则(1)(13tanh)lim.h f h f h→+--=29.'f 设(1)=1,则0(1)(12sin )lim .2sin x f x f x x x→+--+=30. ()2()1,0lim . 2n n y f x y x x nf n →∞⎛⎫==-=⎪+⎝⎭曲线和在点处有切线,则31.111cos '1(0)1(0)3lim . nn n f f f n -→∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭设，,则32. 2cos cos .41sin x t t t y tπ⎧=+=⎨=+⎩曲线上对应于点的法线斜率为33.()21ln(1),()2arctan x t t y f x y t ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩设为参数则在任意点处的曲率22 ,() .()d yK dx==数一、二做数三做34.曲线arctan y x=在(1,0)点的切线方程为 .35. 曲线tan()4y x y e π++=在点(0,0)处的切线方程为 .36.()12 ln 0(0)13n x y x n y x -===+函数在处的阶导数 . 37.()2()sin cos (0).n f x x x x f=设 ,则 =38.()23 ()3+ 0, f x x Ax x A A -=>设为正常书，则至少取时f(x)20.≥有39. 若曲线y x ax bx =+++3214有拐点(1,3),则b=_____________.40. 已知一个长方形的长l 以2cm/s 的速率增加，宽w 以3cm/s 的速率增加，则当l=12cm,w=5cm 时，它的对角线增加的速率为_________. （数学一、二做） 41.已知动点P 在曲线3x y =上运动，记坐标原点与点P 间的距离为l 。
高等数学微积分第三章一元函数导数与微分
法线方程为:
1 y y0 f ( x0 ) ( x x0 ).
定义 2（单侧导数，左右导数）
f( x0 )
lim
x0
y x
lim x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
(令
x
x0
x)
lim
x x0
f (x) f (x0 ) x x0
存在,
则称
f (x) 在
x0
处
右 左
可导,
x 0
x
注意:
f ( x0 )
f ( x)
，但
x x0
f ( x0 )
f ( x0 ) .
二. 函数不可导的情况
函数 f ( x) 在 x0 不可导，有以下三种情况：
1. 若 f ( x) 在 x0 不连续， 则 f ( x) 在 x0 不可导.
2. 由定理1，知
( 定理 2 )
( i ) 若 f( x0 ) 与 f( x0 ) 都存在但值不相等，
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1.切线问题 割线的极限位置——切线位置
1. 给 x 一增量 x，求 y f ( x x) f ( x)；
2. 计算 y f ( x x) f ( x)；
x
x
3. 计算极限 :
lim y lim f ( x x) f ( x)（存在） f ( x)
一元函数微分学练习题2011(1)
六 、 设 f ( x) 在 [0,4] 上 二 阶 可 导 ， 且 f (0) 0, f (1) 1, f (4) 2 ，证明存在一点
(0,4) ，使得 f ( ) 1 .
3
七、设 y f (x) 在 (1,1) 内具有二阶连续导数，且
f "(x) 0 ，试证：
① 对 于 (1,1) 内 的 任 一 x 0 ， 存 在 唯 一 的
（D） n![ f (x)]2n 。
二、设 f x x2sin2x ，求 f n 0 n 3。
求函数 f (x) x 2 ln(1 x) 在 x 0点处的 100 阶导数值。
三、（1）求曲线
x
y
et sin 2t et cost
在
(0,1)
处的法线方程．
（2）已知 f (x) 是周期为 5 的连续函数，它在 x 0 的某邻域内满足关
（ 3） 设 函 数 f (x) 在 x 0 处 连 续 ， 下 列 命 题 错 误 的 是 ：
（ A） 若 lim f ( x) 存 在 ， 则 f (0) 0 x0 x
（ B） 若 lim f (x ) f ( x) 存 在 ， 则 f (0) 0 .
x 0
x
（ C） 若 lim f ( x) 存 在 ， 则 f (0) 0 x 0 x
2 arctanx ln 1 x
（2）已知极限 lim x0
1 x C 0， xn
试确定常数 n 和 C 的值。
五、设 f (x) 在 [1,1] 上具有连续的三阶导数，且 f (1) 0, f (1) 1, f (0) 0 ，试证:在区间 (1,1) 内
至少存在一点 , 使得 f ( ) 3.
（ A） 当 lim f (x) 0 时 ， 必 有 lim f '( x) 0
一元微分
一、一元函数微分法1、重要导数表：1,1(ln )',()',1,x a x x a x ax >⎧=-=⎨-<⎩1[()]'(1)()n n x a x a n x a x a ---=+--，[ln(x +=22221111(arctan )',ln(ln )',2x a x a a x a a a x x a -==++- [ln sec tan ]'sec ,[ln csc cot ]'csc ,[ln csc ]'cot ,[ln sec ]'tan θθθθθθθθθθ+=-=-==()()(1)()11(1)!()!,()ln ,[ln()](),()n m n x n x n n n n n m n mn m n x n n m a a a x a x a x a A x n m++->⎧-⎪===±==⎨±±⎪<⎩)2sin()(sin )(πn ax a ax n n +=，)2cos()(cos )(πn ax a ax n n +=. 2、一元函数微分法：设)(x f y =二阶可导，且'0y ≠，则'()1'x y y =，3''()'''x y y y =-；设(),()x t y t 二阶可导，若()y y x =由(),()x x t y y t ==所确定，则'()'()'()y x y t x t = ，3''()['()'()]()[()()()()]()y x d y t x t dx t y t x t y t x t x t '''''''==-；()0b a d f t dt dx =⎰，()()()[()]'()[()]'()g x h x d f t dt f g x g x f h x h x dx =-⎰； ()()()0[()()][()][()]nn kn k k n k u x v x C u x v x -==⋅∑，注意用麦克劳林展开式求()(0)n f ； 2[()()]()[()]()[()],[()()][()()()()]().d u x v x v x d u x u x d v x d u x v x v x du x u x dv x x =+=-二、多元函数微分法1、多元复合函数的求导法：[(),()]z f u x v x = ，则全导数dz z du z dv dx u dx v dx∂∂=⋅+⋅∂∂，或'()'()'()u v z x u x f v x f =+ [(),(,)]z f u x v x y = ，则'()x u x v z u x f v f =+，y y v z v f =[(,),(,)]z f u x y v x y = ，则x x u x v z u f v f =+，y y u y v z u f v f =+()()()()xx x u x x v x xx u xx v x x uu x uv x x vu x vv xx u xx vz u f v f u f v f u u f v f v u f v f u f v f =+++=+++++222uv vuf f x uu x x uv x vv xx u xx v u f u v f v f u f v f =++++=;222yy y uu y y uv y vv yy u yy v z u f u v f v f u f v f =++++()xy x y uu x y x y uv x y vv xy u xy v yx z u u f u v v u f v v f u f v f z =+++++=.2、隐函数的求导法（两端求导法与公式法）： 公式法1：(,)0F x y =，若0y F ≠，则存在()y y x =，且'()x y y x F F =-公式法2：(,,)0F x y z =，若0z F ≠，则存在(,)z z x y =，且x x z y y z z F F z F F =-=-， 若(,,)0F x y z =确定(,),(,),(,)x x y z y y x z z z x y ===，则1y z x x y z ∙∙=-. 3、多元函数高阶混合偏导数的求导法：若多元函数高阶混合偏导数连续，则其结果与求导次序无关. 4、多元函数的求微法： 若[(,),(,)]z f u x y v x y = 可微，则u v x y dz z du z dv z dx z dy =+=+若(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩确定()()y y x z z x =⎧⎨=⎩，则由00x y z xy z F dx F dy F dz G dx G dy G dz ++=⎧⎨++=⎩计算'(),'()y x z x .三、一（多）元函数性态1、函数的奇偶性：()'()'()()f x f x f x f x ⇒⇒为可导的奇（偶）函数为偶（奇）函数，为奇函数为偶函数;()()()()0()()f x f x x xaaf x f t dt a f t dt f x ⇒=⇒⎰⎰连续连续奇（偶）偶（奇()）,奇（偶）偶（奇）； 若(,)(,)f x y f x y -= ，则(,)f x y 为x I ∈(I 为关于原点对称的区间)上的奇（偶）函数.2、函数的周期性：()(0)()'()'()()f T f f x T f x T f x Tf x T =⇒⇒为周期的导函数为周期的函数，周期为周期为;()0()()()()().Tf t dt f x x x aaf t dt T f x T f x T f t dt T =⎰⇒⇒⎰⎰连续周期为周期为，为周期的连续函数周期为3、函数的单调性（含局部）：'()'()()0()()f x a f a f x a ><⇒在处连续必在处充分小的邻域内单调增减.()()()f x f x 单调区间的分界点可能为驻点,尖点连续但一导不存在,间断点；视条件而定；4、函数的凹凸性（含局部）：''()''()()0()()();f x a f a f x a ><⇒在处连续必在处充分小的邻域内是向上凹凸的()()f x f x 的拐点必为连续的坐标点,其横坐标可能为二导零点,二导不存在点；视条件而定；00000''()0(''()/),''()(,());f x f x f x x x f x ==⇒在两邻的符号相反为拐点00''()0000000''()''()0,'''()0(,());lim 0(,())f x x x x f x f x f x x f x A x f x x x →=≠⇒=≠⇒-在处连续为拐点为拐点;32201()lim ''(1'),()()ds ds K x y y R x s K x α→∆===+=∆弧微分曲率半径. 5、函数的极值性（局部）：()()f x f x 的极值点必含于定义域,其可能为驻点,尖点,间断点；若可导,其极值点必为驻点；00000'()0('()/),'()()(),()();f x f x f x x x f x ==⇒在两邻由正到负由负到正为极大小点为极大小值00'()00000'()'()0,''()()0();lim ()0()f x x x x f x f x f x x A x x x →=<>⇒=<>⇒-在处连续为极大小点为极大小点;000000200()()''()lim ()0()'()0,lim ()0().()n x x x x f x f x f x A x f x A x x x x x →→-=<>⇒==<>⇒--为极大小点;为极大小点设),(y x f z =在其驻点),(00y x 的某邻域内有二阶连续偏导数，则02<-B AC 时无极值；02>-B AC 时有极值，且当0<A 时有极大值，当0>A 时有极小值.6、条件极值：一般有三个方法：一是降元法；二是升元法--拉格朗日乘数法；三是几何法（1）在所给条件0),,(=Φz y x 下, 求目标函数),,(z y x f u =的极值. 引进拉格朗日函数 ),,(),,(),,,(z y x z y x f z y x L Φ+=λλ（2）若所给的限制条件有两个(,,)0x y z Φ=和(,,)0x y z ψ=，求目标函数),,(z y x f u =的极值. 引进拉格朗日函数 (,,,)(,,)(,,)(,,)L x y z f x y z x y z x y z λλμ=+Φ+ψ. 7、多元函数的最大值与最小值（闭区域上的连续函数一定取得最大值和最小值）： （1） 求函数),(y x f 在D 内所有驻点处的函数值； （2） 求),(y x f 在D 的边界上的最大值和最小值； （3） 将前两步得到的所有函数值进行比较，其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值. 注：在证明不等式(,)DA f x y dB σ≤≤⎰⎰的问题时，需将),(y x f 在D 上的最值问题与积分估值定理联合考虑.四、典型例题例1、设[ln(f x +=)]1[ln(2x x f ++''．解：[ln([ln()][ln(f x df x d x x '=+=，则[ln('[ln()]ln(f x df x d x ''=+= 注：[(())]'(())'()(())f u x f u x u x f u x ''=≠．例2、函数)(u f 可导，)(2x f y =当自变量x 在1-=x 处取得增量1.0-=∆x 时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)f '=0.5． 提示：22[()]'2'()dy f x x xf x x =∆=∆．例3、设)(x f y =是由方程组⎩⎨⎧=+-++=01sin 3232y t e t t x y 所确定的隐函数，求202|t d ydx =．解：⎩⎨⎧='+''-+-=''⇒⎩⎨⎧=-'++='0)()()2(sin cos 6)(0)1sin )((cos 26)(2t y t y y t e t e t x t e t y t e t t x y yy y 因e t y t x t y t t t ='='====000)(,6)(,1)(，有 2002)(,6)(e t y t x t t =''=''==而 223()[]()()()()()()()d y t d y y t x t y t x t dt x t dx x t x t ''''''''-==''，故 220(23)4x d y e e dx =-=． 例4、设232+-=x x xy ，求)(n y ．解： ])2(2)1(1[!)1()21(2)11(11)()()(++-++⋅-=-++=n n n n n n x x n x x y ．注：可用麦克劳林展开式求()(0)n y ． 例5、设,siny x eu x-=则2111(2,)(2,)(,)xy yx y x d u u u x dx πππ=⎛⎫=== ⎪⎝⎭2()e π.例6、设)(),(xyg yx xy f z +=, f 具有二阶连续偏导数,g 具有二阶连续导数, 求xy z .解：1221x yz yf f g y x'''=+-， 111122212222223111()()xy x x y z f y xf f f xf f g g y y y y x x '''''''''''''=+--+--- 112212323211x y xyf f f f g g y y x x'''=-+---例7、设函数),(v u F 可微，(,)0F x z z y αβ=确定了(,)z z x y =，其中αβ、为常数，且满足0αβ≠，则x y xz yz βα+=z αβ．提示：运用两端求导法与公式法的过程中，要注意链式法则，本题也可用全微分法． 例8、设),(t x f y =,而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数,若,F f 都具有一阶连续偏导数，试求'()y x .解：方程的两边求微分得0x t xy t dy f dx f dtF dx F dy F dt =+⎧⎪⎨++=⎪⎩，解之得'()y x =x t t x t t y f F f F F f F -+.例9、设函数),(y x f z =在点)1,1(处可微, ,1)1,1(=f (1,1)2,(1,1)3x y f f ==,)),(,()(x x f x f x =ϕ, 求13)(=x x dx d ϕ 解：1)1,1())1,1(,1()1(===f f f ϕ. 322()3()()3()[(,(,))(,(,))(,)]x y d d d x x x x f x f x x f x f x x f x x dx dx dxϕϕϕϕ===+ 23()[(,(,))(,(,))((,)(,))]x y x y x f x f x x f x f x x f x x f x x ϕ=++故13)(=x x dx d ϕ=3(1)[(1,1)(1,1)((1,1)(1,1))]51x y x y f f f f ϕ++=. 例10、设(,)u x y 二阶偏导数连续，且0xx yy u u -=，(, 2)u x x x =，2(, 2)x u x x x =， 求(, 2)xx u x x ，(, 2)xy u x x ，(, 2)yy u x x .解：等式x x x u =)2,(两端对x 求导,得(,2)2(,2)1x y u x x u x x +=，则21(,2)(1)2y u x x x =-这两个等式,对x 求导得(,2)2(,2)2xx xy u x x u x x x +=, (,2)2(,2)yx yy u x x u x x x +=- 由已知条件得,xx yy xy yx u u u u ==, 故解得x u u yy xx 34-==， x u xy 35= . 例11、设(,)ax y z u x y e +=，0xy u =，试确定常数a ，使0xy x y z z z z --+=.解：(),(),[()()]ax y ax y ax y x x y y x x xy y z e u au z e u u z e u au u au +++=+=+=++++ ，由0xy u =，可得(1)01ax y xy x y y z z z z e a u a +--+=-=⇒=.例12、对螺旋线θρe =在)2,(),(2πθρπe =处的切线的直角坐标方程为2πe y x =+．例13、设()f x 连续，在0x 可导，且200()f x x =，()00'2f x x >，则存在0>δ ，使得（C ）（A ）20()f x x -在00()x x δ+，内单增 （B ）20()f x x -在00()x x δ-，内单减（C ）对任意的00()x x x δ∈+，有2()f x x >（D ）对任意的00()x x x δ∈-，有2()f x x > 提示：令2()()F x f x x =-.例14、曲线()234(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----的一个拐点为（C ）（A ）(1,0) （B ）(2,0) （C ）(3,0) （D ）(4,0)例15、设()f x 在0x =某邻域内有二阶连续导数，且"0()lim11cos x xf x x→=-，则（C ） （A ）'(0)0f =，且(0)f 是()f x 的极值（B ）'(0)0f ≠，但(0)f 是()f x 的极值（C ）"(0)0f =，且(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点 （D ）"(0)0f ≠，但(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点例16、设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（A ） （A ）0dy y <<∆（B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<<D ）0dy y <∆<例17、()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()0xf t dt ⎰是（B ）（A ）连续的奇函数 （B ）连续的偶函数（C ）在x =0间断的奇函数（D ）在x =0间断的偶函数提示：令()()(),000,0f x x f x f x +>⎧⎪=⎨+=⎪⎩，()()0000lim lim 0x x x x f t dt f t dt +++→→==⎰⎰ 例18、求证：（1）()0()()()(),f x a T Taf x f x T f x dxf x dx +=+=⎰⎰可积（2）()0()()()()f x nT Tf x f x T f x dxn f x dx =+=⎰⎰可积．提示：（1）令0()()(),a T TaF a f x dx f x dx +=-⎰⎰a R ∈用求导法，这比用换元法方便（2）令0()()()nT T G n f x dx n f x dx =-⎰⎰，用求导法错误，因n Z ∈,用换元法方便111(1)0()()()()()n n n x kT u nT k T T T TkTk k k f x dx f x dx f kT u du f x dx n f x dx ---=++=====+==∑∑∑⎰⎰⎰⎰⎰．例19、设)(u ϕ是连续的正值函数，试证明：⎰--=ccdu u u x x f )()(ϕ在],[c c -上是上凹的.证明：⎰⎰-+-=-cxxcdu u u x du u u x x f )()()()()(ϕϕ⎰⎰⎰⎰---+-=xc xcxcxcdu u u du u x du u u du u x )()()()(ϕϕϕϕ⎰⎰>=''+='-ucxcx x f du u du u x f 0)(2)(,)()()(ϕϕϕ，故，原题得证.例20、数列21{(12)}n n +中的最大项为916．提示：设21()(12),[1,)x f x x x +=∈+∞，令()0f x '=，则在2ln 2x =处()f x 取得最大值，又2223<<，而19(2),(3)216f f ==，故该数列的最大值为第三项：169． 例21、设)(x f 二阶导数连续,且xe xf x x f x --='--''-11)()1(2)()1(， 试问（1）若)1( ≠=a a x 是极值点时,是极小值点还时极大值点？（2）若1=x 是极值点时,是极大值点还是极小值点?提示：（1）将0)(='a f 代入xe xf x x f x --='--''-11)()1(2)()1(，得1()(1)1)(0)af a e a a -''=--≠，则)(x f 在a x =取极小值；（2）由1()2()(1)1)xf x f x e x -'''-=--，知11lim ()2lim ()1x x f x f x →→'''-=则,01)1(>=''f 又0)1(='f ，故1=x 为)(x f 的极小值点. 例22、已知函数),(y x f 在点(0,0)的某个邻域内连续, 且1)(),(lim22200=+-→→y x xyy x f y x , 则(A )A 点(0,0)不是(,)f x y 的极值点.B 点(0,0)是),(y x f 的极大值点.C 点(0,0)是),(y x f 的极小值点.D 无法判断点(0,0)是否为),(y x f 的极值点？提示:由),(y x f 在点(0,0)的连续性及1)(),(lim22200=+-→→y x xyy x f y x ，知0)0,0(=f .且α+=+-1)(),(222y x xy y x f ,其中0lim 00=→→αy x ，则222222)()(),(y x y x xy y x f ++++=α 令x y =, 得22(,)()f x x x o x =+，令x y -=, 得22(,)()f x x x o x -=-+.从而),(y x f 在(0,0)点的邻域内始终可正可负, 又0)0,0(=f , 由极值定义选(A).例23、 2(,)()x z x y e ax b y -=+-满足条件20b a =≥时，(1,0)z -为其极大值. 提示：由必要条件知，2b a =，再由充分条件知0a >，经验证0a =也可以. 例24、已知()f u 具有二阶导数，且(0)1f '=， )(x y y =由11y y xe --=所确定， 设(ln sin )()z f y x g x =-=，判定()g x 在0x =处的极值性.提示：在11y y xe --=中, 令0=x 得(0)1y =，将其两边对x 求导，110y y y e xe y --''--=， 再对x 求导得111210y y y y y e y e y xe y xe y ----'''''''----= 将1,0==y x 代入上面两式得(0)1,(0) 2.y y '''=='()(cos )(ln sin )z x y y x f y x ''=--，222''()(cos )(ln sin )[()sin ](ln sin )z x y y x f y x y y y y x f y x '''''''=--+-+-将(0)1y =，(0)1(0)2y y '''==，，(0)1f '=代入上面两式得0'()0,x z x ==0''()1x z x ==.例25、求由方程010422222=--+-++z y x z y x 确定的函数),(y x f z =的极值.[解一] ⎩⎨⎧='-+'+='--'+0422204222y y x x z z z y z z z x )(a由函数极值的必要条件知0,0='='y x z z ,将其代入)(a 得驻点)1,1(-P .又 z z A Pxx-=''=21 ，0=''=P xy z B ，zz C P yy -=''=21因为 2210(2)AC B z -=>- )2(≠z ，故)1,1(-=f z 为极值. 将1,1-==y x 代入方程010422222=--+-++z y x z y x ,得6,221=-=z z 将21-=z 代入)(b 中可知0A >，故2)1,1(-=-=f z 为极小值. 将61=z 代入)(b 中可知0A <，故6)1,1(=-=f z 为极大值. [解二] 配方法. 22)1()1(162+---±=-y x z显然,6=z 为极大值, 2-=z 为极小值.例26、已知函数(,)z f x y = 的全微分ydy xdx dz 22-=，并且(1,1)2f =．求(,)f x y 在椭圆域}14),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值. 解:2222()dz xdx ydy d x y C =-=-+，则22(,)z f x y x y C ==-+，再由(1,1)2f =，得 C=2, 故 .2),(22+-=y x y x f令20,20x y f x f y ===-=得可能极值点为(0,0)，且(0,0)2f =再考虑其在边界曲线1422=+y x 上的情形：令22(,)(,)(1)4y L x y f x y x λ=++-， 由2212(1)0,20,1024x y y L x L y x λλ=+==-+=+-=() 得可能极值点为(0,2)±，(1,0)± ，而,2)2,0(-=±f 3)0,1(=±f ， 可见(,)z f x y =在区域D 内的最大值为3，最小值为-2.推广：求证：2214y x σ+≤≤≤⎰⎰.例27.求曲线1:0z C y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2230:0x y C z +-=⎧⎨=⎩之间的距离.解：任取1(s C ∈，2(32,,0)t t C -∈，则222(23)D d s t t s ==+-++由2(23)10,4(23)20s t D s t D s t t =+-+==+-+=，得唯一驻点1(,1)2P ，从几何意义知d 客观存在，故所求距离为1(,1)22d =．注：（1）d =3．从几何意义上知，(,,)P x y z 到12(1,2,0),(3,1,2)P P --的距离之和最小为123PP =．（2）函数(,)f u v =． 提示：该题可转化为在椭圆4422=+y x 上求一点，使其到直线0632=-+y x 的距离最短，作椭圆切线平行于已知直线求解，或以椭圆方程为条件，其上点到直线的距离平方为目标函数，用拉格朗日乘数法完成．例28.求函数xyz f = 在条件0,1222=++=++z y x z y x 下的极值.解 令)()1(222z y x z y x xyz L +++-+++=μλ有 02=++=μλx yz L x ， 02=++=μλy xz L y ，02=++=μλz xy L z 得 z z y y x x μλμλμλ+=+=+222222，又0,1222=++=++z y x z y x得z x =， 解得驻点)61,62,61(1-P ，)61,62,61(2--P 。
一元函数微分学练习题
一元函数微分学练习题微分学是微积分的一个重要分支，主要研究函数的变化率以及函数在一点的近似线性逼近问题。
在微分学中，一元函数的微分是其中的重要概念之一。
微分的计算可以通过求导数实现，通过求导函数可以获得原函数在某点的切线斜率，进而可以对函数进行更精确的近似。
接下来，我们将给出一些一元函数微分学的练习题，以帮助读者更好地理解和掌握微分学的基本概念和计算方法。
1. 求函数f(x) = x^2在x = 2处的导数。
解析：求导数的方法是对函数进行求导。
对于f(x) = x^2，可以使用求导法则d/dx[x^n] = n*x^(n-1)，其中n是常数。
根据该法则，可以求得f'(x) = 2*x。
因此，当x = 2时，f'(2) = 2*2 = 4。
2. 求函数g(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x的导数。
解析：对于函数g(x)，可以对每一项分别求导数，然后求和得到g'(x)。
根据求导法则，可以得到g'(x) = 9x^2 - 4x + 5。
3. 求函数h(x) = e^x在x = 0处的导数。
解析：函数h(x) = e^x是指数函数，其导数与自身相等。
因此，可以得到h'(x) = e^x。
当x = 0时，h'(0) = e^0 = 1。
4. 求函数k(x) = ln(x)在x = 1处的导数。
解析：函数k(x) = ln(x)是自然对数函数，其导数可以通过求导法则d/dx[ln(x)] = 1/x得到。
因此，k'(x) = 1/x。
当x = 1时，k'(1) =1/1 = 1。
5. 求函数m(x) = sin(x)在x = π/2处的导数。
解析：函数m(x) = sin(x)是正弦函数，其导数可以通过求导法则d/dx[sin(x)] = cos(x)得到。
因此，m'(x) = cos(x)。
当x = π/2时，m'(π/2) = cos(π/2) = 0。
专升本高等数学第三章一元函数微积分练习题
第三章 一元函数积分学1、计算下列不定积分 （1）⎰-942x dx （2）⎰++dx x x 5212（3）⎰+-245xx dx（4）⎰+dx x 922（5）dx xe x⎰-+)12(2（6）dx xx 2)2cos 2(sin ⎰-（7）dx x x x ⎰-)tan (sec sec （8）dx x x x⎰-sin cos 2cos2、计算下列不定积分 （1）⎰+-dx xx x )1)(12(（2）dx x ⎰-)32cos(π（3）dx x ⎰-32)12(（4）dx x x ⎰2cos（5）dx x ⎰-232（6）xdx e x cos 2⎰（7）⎰dx x x 2arcsin （8）⎰+22)9(x dx（9）⎰x dx 3sin（10）xdx e x 3sin 2⎰-（11）⎰xdx x 5sin 3sin3、计算下列不定积分 （1）dx x x ⎰++3131（2）dx xx⎰+31（3）dx xx⎰-241（4）dx x x ⎰-229（5）dx x x ⎰+222)1( （6）⎰+dx xx )1(1104、计算下列不定积分 （1）xdx x cos 2⎰（2）⎰dx e x x 32（3）⎰+dx x x )1ln(4（4）xdx x arccos 2⎰（5）dx xxx ⎰-+11ln（6）⎰xdx arc cot（7）dx x x ⎰++)1ln(2（8）dx xx x ⎰-21arcsin5、求下列极限 （1）341limx dt t xx ⎰++∞→（2）2)1ln(limx dt t xx ⎰+→6、计算下列定积分 （1）dx x x⎰--+213（2）dx x x ⎰-+1123)3(（3）dx x x ⎰+5231（4）dx xx ⎰-+210211（5）⎰+101xe dx（6）dx x x⎰-743（7）⎰+21ln 1e xx dx（8）dx x )2(cos 02⎰π7、计算下列定积分（1）dx xxe⎰+1ln 1（2）dx e x ⎰-2ln 01（3）dx xx⎰++311 （4）dx ee xx⎰+2ln 021 （5）dx xx ⎰-2121（6）dx x ⎰-1248、计算下列定积分 （1）dx x⎰+12)1ln(（2）dx x ⎰31arctan（3）dx ex ⎰-12112（4）xdx x2cos 2⎰-ππ9、求下列图形的面积 （1）曲线xxe y e y -==,与直线1=x 所围成的图形（2）曲线x y 22=与022=-+x y 所围成的图形（3）曲线x y -=1与x 轴、y 轴所围成的图形10、设曲线21x y -=，x 轴与y 轴在第一象限所围成的图形被曲线2ax y =分为面积相等的两部分，其中0>a 为常数，试确定a 的值.11、求下列各组曲线所围成的图形分别绕x 轴和y 轴旋转，所得的旋转体体积 （1）1,12+=+=x y x y（2）e x y x y ===,0,ln（3）1,0,3===x y x y12、在曲线)0(2≥=x x y 上某一点处作一切线，使之与曲线及x 轴所围图形的面积为121， 试求：（1）切点A 的坐标； （2）过切点A 的切线方程（3）由上述所围成平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体体积13、已知曲线三角形由抛物线x y 22=及直线1,0==y x 所围成，求 （1）曲边三角形的面积；（2）该曲边三角形绕0=y 旋转成所旋转体的体积14、求由曲线xe y -=与直线0,1,0===y x x 所围成的平面图形绕y 轴旋转一周而成的旋转体的体积.习题答案1、（1）C x x +-+942ln 212；（2）C x ++21arctan21；（3）C x x x ++-+-)452ln(2 （4）C x x x x +++++)922ln(42992222；（5）C x e x++arcsin 2；（6）C x x ++cos ；（7）C x x +-sec tan ；（8）C x x +-cos sin 2、 （1）C x x x x +--+21232234（2）C x +-)32sin(21π（3）C x +-35)12(103（4）C x +2sin 21（5）C x x x x +-+--233ln 3323222 （6）C x x e x++)cos 2(sin 512（7）C x xx x +-+-22442arcsin )12( （8）C x x x +++3arctan 541)9(182 （9）C x x x x +-+-cot csc ln 21sin 2cos 2 （10）C x x e x++--)3cos 33sin 2(132 （11）C x x ++-2sin 418sin 161 3、 （1）C x x +++32)13)(2(51；（2）C x x x x +-+-61216567arctan 625676（3）C xx +--242ln21； （4）C xx x x +---+99ln 22（5）C x xx ++⋅-2121arctan 21 （6）C x x ++10101ln101 4、 （1）C x x x x ++-cos 2sin )2(2（2）C e xe e x xx x ++-33322729231 （3）C x x x x ++-+2242arctan )1ln(21 （4）C x x x x +-+-222192arccos 3（5）C xx x x x x +-+-+-+11ln 2111ln 212 （6）C x x xarc +++21ln cot （7）C x x x x ++-++1)1ln(22（8）C x x x ++--arcsin 12 5、 （1）31；（2）21 6、 （1）12ln 3-； （2）2；（3）)26ln 25(21- （4）1236+-π（5）)1ln(2ln 1e +-+ （6）332 （7）)13(2- （8）2π 7、 （1）23 ；（2）22π-；（3）35；（4）42arctan π-；（5）33π-；（6）233+π8、 （1）2ln 22+-π（2）3165-+π（3）1（4）π9、 （1）21-+-e e （2）49（3）32 10、3=a 11、（1）6,157ππ==y x V V ；（2）)1(2),2(2+=-=e V e V y x ππ；（3）ππ52,7==y x V V 12、（1）)1,1(A ；（2）12-=x y ；（3）30π=x V13、（1）61；（2）4π； 14、)21(21--e π。
《高等应用数学》课件第3章 一元函数的微分及其应用
y
f
(x)
在点
x0
处可导，并称这个极限为函数
y
f
(x)
在点
x0
处
的导数，记为 y ，即 y lim y lim f (x0 x) f (x0 ) ，
x x0
x xx0 x0
x0
x
也可记作
f
(x0 ) ，
dy dx
x x0
或
df (x) dx
x x0
．
函数 f (x) 在点 x0 处可导有时也说成 f (x) 在点 x0 具有导数或导数存在．
1 x2
（15） (arctan x)
1
1 x2
；
（2） (x ) x1 ( 为实数)；
（4） (ex ) ex ；
（6） (ln x) 1 ； x
（8） (cos x) sin x ；
（10） (cot x) csc2 x ； （12） (csc x) csc xcot x ； （14） (arccos x) 1 ；
02 导数的运算
2.1 基本初等函数的导数公式
（1） (C) 0 ( C 为常数)； （3） (ax ) ax ln a ( a 0 ，且a 1)；
（5）
(loga
x)
1 x ln
a
(
a
0 ，且a
1)；
（7） (sin x) cos x ；
（9） (tan x) sec2 x ； （11） (sec x) sec x tan x ； （13） (arcsin x) 1 ；
x0
x
例 1 求函数 f (x) C ( C 为常数)的导数．
解 f (x) lim f (x x) f (x) lim C C 0 ，即 (C) 0 ．
高等数学课件：专题三 一元函数微分法
,
x
0
，问：a和b为何值时，f (x)
a bx, x 0
在x 0处可导？
例5.设f
(
x)
aex
,
x
0
，若f (x)在x 0处可导，
b ln(1 x), x 0
则a _______,b _________
例6. f (x) (x | sin x |) cosx，则f (x)在x 0是否可导？
三.对数求导法
例14.求 (sin x)x _______
例15.y xtgx，则dy _______
四.隐函数求导 例16.y y(x)由方程x sin y yex 0所确定的隐函数，
2 则y(0) _______
例17.求方程sin y xey 0所确定曲线y y(x)在(0,0)点 的切线和法线方程
f f
(t) ，求
(e3t 1)
yt0及yt0
六.微分，切线方程
dy
f (x)dx, dy x x0
f (x0 )dx
例26.已知y arctgex x 1 ln(e2x 1)，则dy ______
2
x1
例27.y log x e(x 0, x 1)，则微分dy ______
例36. f (x) x2 cos2 x，求f (n) (x)(n 3)
思考：
1.函数f (x) lim ln(en xn ) (x 0),讨论f (x)连续性
n
n
和可导性
2.隐函数y f (x y),其中f二阶可导, f 1，则y ______
3.已知y 3 2x 1，求y(n) _______
例28.当x _______时，y arcsin 的切线与y x2的
一元函数微分学练习题
一元函数微分学练习题一元函数微分学是微积分学中最重要的一个分支，它研究了一元函数的变化率，即函数在某一点处的斜率，以及函数的极大值和极小值等性质。
通过学习一元函数微分学，我们能够更好地理解函数的变化规律，解决各种实际问题。
下面是一些关于一元函数的微分学练习题，希望通过这些练习题的训练，提高大家对一元函数微分学的理解和运用能力。
1. 求函数f(x) = x^2在点x = 2处的导数。
2. 求函数f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 2x - 5的极值点。
3. 已知函数f(x) = e^x，求f'(1)。
4. 求函数f(x) = ln(x)在点x = 3处的导数。
5. 求函数f(x) = sin(x)在点x = π/2处的导数。
6. 求函数f(x) = cos^2(x)在点x = π/4处的导数。
7. 求函数f(x) = e^x * sin(x)在点x = 0处的导数。
8. 求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x的极值点。
9. 求函数f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x的极值点。
10. 求函数f(x) = sqrt(x)在点x = 4处的导数。
以上是一些关于一元函数微分学的练习题，希望大家通过自己的思考和计算，能够熟练掌握一元函数微分学的相关概念和计算方法。
在解答这些问题时，可以利用微分的定义和相关公式，同时也要注意使用函数的基本性质及其图像来推导和解决问题。
在解答题目时，可以采用以下步骤：1. 根据题目中给出的函数形式，求出函数的导数。
2. 使用导数的定义和性质，计算得到题目所要求的导数或导数的值。
3. 对于求函数的极值点，求导后令导数等于零，解得函数极值点的x坐标，再代入函数中求出对应的y坐标。
4. 对于函数的图像和性质，可以根据求导的结果，观察函数的增减性、凸凹性等。
通过不断的练习和掌握一元函数微分学的基本概念和计算方法，我们能够更好地理解函数的变化规律，解决各种实际问题。
一元函数微分微分学练习题
x 4 3 ( A B( x 1)) C ，求常数 A, B, C 。 ( x 1) 2
6．利用 1 x 的 2 阶 Maclaurin 公式，计算 62 的近似值，并估计这一近似的误 差。 1 x2 x3 7．估计 e x 1 x ， | x | 的绝对误差。 4 2 6 8．利用 Taylor 公式计算极限：
一元函数微分学练习题
§1 微分与导数的概念
1．半径为 5cm 的圆面，如果半径增加 0.1cm，试用求微分的方法计算圆面积会 增加多少？如果半径再增加 0.1cm，圆面积会比原来增加多少？ 2．求微分 dy ： （1） y ln( x 1) ； （2） y sin x 。 3．设函数 f 在 x a 处可导，且 f (a) 0 ，计算下列极限
d2y ： dx 2 （2） y ln( x y) ； （4） x y e xy 0 。
x t 2 2t , 5．求曲线 在 (1, 2) 处的切线方程。 3 y t 3t dy x 2t t , 6．求由参数方程 所确定的函数 y f ( x) 在 t 0 时的导数 。 2 dx y 5t 4t t
（10） lim
（13） lim
x ln( x 2e x ) ln( x e x )
1 x
2
x
x （14） lim x arcsin x 2 1 x2
（16） lim
h0
；
(1 x) e ； x 1 （17） lim 2 cot 2 x ； x0 x
n n
5．设 f ( x) 2 ，试计算 f (1) ， f (1) ，由此说明 f 在点 x 1 处的可导性。 6．求曲线 y e x 上的点 1, e 处的切线方程和法线方程。
一元函数微分学练习题（答案）
一元函数微分学练习题答案一、计算下列极限：1．9325235lim 222-=-+=-+→x x x2．01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim--→)11(lim)11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 211011111l i m-=+--=+--=→x x4．0111111lim )1)(1()1(lim 112lim 121221=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21)23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x xx x x x x x 6．x t x tx t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ))((lim )(lim00220-=--=--+-=--→→→ 7．00010013111lim 13lim 4232242=+-+=+-+=+-+∞→∞→xx x x x x x x x x 8．943)3(2)13()31()12(lim )13()31()12(lim1082108210108822=-⋅=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 2211)211(1lim )21...41211(lim =-=--=++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．212lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+→→→→x x x x x x x x x x x x x x11．01sin lim 20=→xx x （无穷小的性质）12．0arctan 1lim arctan lim ==∞→∞→x x xx x x （无穷小的性质）13．51231121lim3)3sin(lim )2)(3()3sin(lim 6)3sin(lim33323=+⋅=+⋅--=+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x x 14．xx x x x x x xx x x x )11)(sin(lim)11)(11()11)(sin(lim11)sin(lim00-+-=-+---+-=---→→→2)011(1)11(lim )sin(lim00-=-+⋅-=-+⋅-=→→x xx x x15．2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x16．mn x x x )(sin )sin(lim 0→（n 、m 为正整数） ⎪⎩⎪⎨⎧<∞=>==→→mn m n mn x x x x mnx m nx , ,1 ,0lim )(sin )sin(lim 00 17．32)2(231lim 2sin 21)1(lim 1cos 1)1(lim 220231203120-=⋅-=--+=--+→→→x xx x x x x x x （等价替换）18．31301)3(lim )3(sin lim 3sin lim2202030=+=+=+=+→→→x x x x x x x x x x x x 19．413)1()(33)11(lim )31(lim )11()31(lim )1()3(lim )13(lim e ee xx x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x ==-+=-+=-+=-+--⋅-∞→⋅∞→∞→∞→∞→ 20．2121)2()21()2(])211(lim [)211(lim )211(lim ---∞→-⋅-∞→∞→=-=-=-e xx x x x x x x x 21．1lim )1ln(lim 00==+→→x xx x x x （等价替换）注：也可用洛必达法则22．535sec 53cos 3lim 5tan 3sin lim2-==→→x x x x x x ππ23．)2(sin cos lim 41)2)(4(sin cos lim )2(sin ln lim2222ππππππ-⋅=--⋅=-→→→x x xx x x x x x x x 812141sin 2)2(cos sin lim412-=-⋅=+-⋅-=→x x x x x ππ 24．nm n m a x nn m m a x a nm nx mx a a x a x ---→→==≠--11lim )0(lim 25．xx x x xx x xx x x x x 2sec 22tan 7tan 7sec 7lim 2tan 2sec 27tan 7sec 7lim 2tan ln 7tan ln lim 2202200⋅==+++→→→ 17cos 2cos lim 2sec 7sec lim 2sec 2277sec 7lim 220220220===⋅=+++→→→xx x x x x x x x x x 26．1cos lim sin cos )1ln(lim cos 1cos )1ln(lim cos sec )1ln(lim22022022020==+=-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x 27．a aa xx x x e xa x a =+=+⋅∞→∞→)1(lim )1(lim28．2111lim 11lim )1112(lim )1112(lim 12122121-=+-=--=-+--=---→→→→x x x x x x x x x x x x二、计算下列函数的导数： 1．531-=x y 2．x x e y x+=13．1004)13(-=x y 4．122-+-=x xe y5．bx e y ax sin =（b a ,为常数） 6．3cos 12e ey x x ++= 7．xxy --+=1111 8．x x x x y 3cot sin )32(252-+-+=9．)1lg()1(22x e x y x -++=- 10．)1ln(2x x y ++= 11．xy 1tan 2= 12． 322)13(+=x y13．4)sin(=++xy e y x （求y '） 14．4)sin(=++xy e y x （求y '）答案：1．2312121)53(23)53()53(21])53[(------='-⋅--='-='x x x x y2．x e x x x x x e x x e y x xx 23121)1()()(12211+-=⋅++-⋅='+'='3．99434994)13(1200)13()13(100-='-⋅-='x x x x y 4．1221222)22()12(-+--+-+-='-+-⋅='x xx xe x x x e y5．)cos sin ()(sin sin )()sin (bx b bx a e bx e bx e bx e y ax ax ax ax +='+'='='6．x x x x x x e x e x e e y -----=+-'='+'+'='sin )2(ln 20)(cos 2ln 2)()()2(cos cos 3cos 7．xxx x x x xxy --=-+---=--+=1211111111 22)1(1)1()1()1(212)1(2x x x x x x x xxx y -+-=-'----='--='8．)3(cot )(sin ])32[(252'-'+'-+='x x x x yx x x x x x x x x x x x x 3csc 3cos sin 2)32)(22(533csc cos sin 2)32()32(52422242++-++=⋅++'-+⋅-+=9．])1[lg(])1[(22'-+'+='-x e x y x10ln )1(2)1(2)1(10ln )1(1))(1()1(222222x x e x xe x x e x e x xx x x --+-='--+'++'+=----10．])1[ln(2'++='x x y2222222211])1(1211[11])1(1[11)1(11x x xx x x x x x x x x +='+⋅++++='++++='++++=11．)1(1sec 2ln 2)1(1sec 2ln 2)1(tan 2ln 2)2(221tan 21tan 1tan1tanxx x x x y x x xx-⋅⋅='='⋅='='12．3122312322)13(4)13()13(32])13[(--+='+⋅+='+='x x x x x y13．4)sin(=++xy e y x解：方程两边同时对x 求导xyxy xy xy xy xy xe y x ye y x y ye y x xe y x y y x y e y y x xy e y x y x ++++-='∴++-=++'='+⋅+'+⋅+='⋅+'+⋅+)cos()cos( ])[cos(])[cos( 0)()1()cos( 0)()()cos(14．（与13同）三、确定下列函数的单调区间： 1．7186223---=x x x y函数在]1,(--∞、),3[+∞内单调递增，在]3,1[-内单调递减。
一元函数微积分基本练习题及答案
一、极限题１、求.)(cos lim 21x x x → ２、6sin )1(lim22xdt e x tx ⎰-→求极限。
3、、)(arctan sin arctan lim 20x x xx x -→ 4、210sin lim x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛→ 5、⎰⎰+∞→xt xt x dte dt e 020222)(lim ６、)1ln(1lim -→+x e x x7、xx x e x cos 1120)1(lim -→+ ８、 xx x x xx ln 1lim 1+--→９、)1ln()2(sin )1)((tanlim2302x x e x x x +-→ 10、10lim()3x x x x x a b c →++ , (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞→xx e x12、)cot 1(lim 220x x x -→ １3、[])1(3sin 1lim 11x e x x ---→１4、()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0021)(3x A x x x f x在0=x 点连续，则A =＿＿_________二、导数题1、.sin 2y x x y ''=，求设2、.),(0y x y y e e xy yx'==+-求确定了隐函数已知方程 ３、.)5()(23的单调区间与极值求函数-=x x x f4、要造一圆柱形油罐,体积为V ，问底半径r 和高ｈ等于多少时，才能使表面积最小，这时底直径与高的比是多少？５、)()2)(1()(n x x x x f ---= ．求)()(x fn6、yxy x = 求dy 7、⎰=x xdt t x F 1sin 12sin )( 求)(x F '8、设⎩⎨⎧≤+>+=0401)(x b ax x e x f x 求b a ,使)(x f 在0=x 点可导。
9、设)(x f 可导且1)1()0(==f f 。
一元函数微分学典型例题
一元函数微分学典型例题1. 有关左右极限题求极限⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+++→x x sin e e lim x x x 41012 ● 根据左右极限求极限，● 极限xx e lim 1→，x x sin lim x 0→，x tan lim x 2π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 10→都不存在， ●A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =⇔==∞→-∞→+∞→● 【 1 】2. 利用两个重要极限公式求1∞型极限xsin x )x (lim 2031+→● 0→)x (ϕ，e ))x (lim()x (=+ϕϕ11●A )x (f lim =0→)x (ϕ，A )x (f )x (e ]))x (lim[(=+ϕϕ11● 【6e 】3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x +→(A)1-(B) ln(C) 1.(D) 1-.● 等价无穷小定义：如果1=αβlim，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）nx x ax a xx x x x x x xx e x x x x x nx x ≈-+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈1111121161111123ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα● 当0→)x (ϕ时，)x (sin ϕ∽)x (ϕ，11-+n)x (ϕ∽n)x (ϕ∽∽● 【 B 】4. 利用单调有界准则求极限设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。
证明：极限n n x lim ∞→存在，计算11nxn n n x x lim ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。
证明数列或函数单调；2。
证明数列或函数是有界；3。
等式取极限求出极限。
● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递增有上界数列必有极限。
一元函数微分学习题
第二部分 一元函数微分学[选择题]容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。
1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=∆，则当0→h 时，必有( )(A) y d 是h 的同价无穷小量.(B) y y d -∆是h 的同阶无穷小量。
(C) y d 是比h 高阶的无穷小量.(D) y y d -∆是比h 高阶的无穷小量.答D2． 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0<x 时，0)(,0)(<''>'x f x f ，则在),0(+∞内有（ ）（A ）0)(,0)(<''>'x f x f 。
（B ）0)(,0)(>''>'x f x f 。
（C ）0)(,0)(<''<'x f x f 。
（D ）0)(,0)(>''<'x f x f 。
答C3．已知)(x f 在],[b a 上可导，则0)(<'x f 是)(x f 在],[b a 上单减的（ ）（A ）必要条件。
(B) 充分条件。
（C ）充要条件。
（D ）既非必要，又非充分条件。
答B4．设n 是曲线x x x y arctan 222-=的渐近线的条数，则=n （ ） (A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4答D5．设函数)(x f 在)1,1(-内有定义，且满足)1,1(,)(2-∈∀≤x x x f ，则0=x 必是 )(x f 的（ ）（A ）间断点。
（B ）连续而不可导的点。
（C ）可导的点，且0)0(='f 。
（D ）可导的点，但0)0(≠'f 。
答C6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ）（A ）f （x ）可导，则f （x ）连续（B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续（C ）f （x ）连续，则f （x ）可导（D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导答A7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ）（A ）0x 点的切向量（B ）0x 点的法向量（C ）0x 点的切线的斜率（D ）0x 点的法线的斜率答C8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ）（A ）0x 点的自向量的增量（B ）0x 点的函数值的增量（C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限（D）没意义答C9．x(，其定义域是0f=)xx，其导数的定义域是（）≥（A）0x≥（B）0≠x（C）0x>（D）0x≤答C10．设函数)f在点(xx不可导，则（）（A）)(xf在点x没有切线（B）)(xf在点x有铅直切线（C）)f在点(xx有水平切线（D）有无切线不一定答D11．设'=''='''>()(),()f x f x f x00, 则( )000(A) x是'f x()的极大值点是f x()的极大值点(B) x是f x()的极小值点(C) x(D) (,())是f x()的拐点x f x00[D]12．（命题I）: 函数f在[a,b]上连续. （命题II）: 函数f在[a,b]上可积. 则命题II是命题I 的（ ）（A ）充分但非必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件（答 B ）13．初等函数在其定义域内（ ）（A ）可积但不一定可微 （B ）可微但导函数不一定连续（C ）任意阶可微 （D ）A, B, C 均不正确 （答 A ）14． 命题I ）: 函数f 在[a,b]上可积. （命题II ）: 函数 |f| 在[a,b]上可积. 则命题I 是命 题II 的 （ ）（A ）充分但非必要条件 （B ）必要但非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件（答 A ）15．设 )(x u e y = 。
《高等数学》PPT课件-第三章一元函数积分学
六、分部积分
问题 解决思路 利用两个函数乘积的求导法则.
分部积分公式
例1 求积分 解（一） 令
显然， 选择不当，积分更难进行. 解（二） 令
练习 求积分 解令
例2 求积分 解
（再次使用分部积分法）
总结 (1)若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函 数为 , 使其降幂一次(假定幂指数是正整数)
有理函数
多项式 + 真分 式
相除
分解
若干最简分式之和
【例】
【难点】将真分 式化为最简分式之和.
真分式积分举例 [例1] 求 [解] 特点：分母可以分解为两个一次因式之积
待定系数法
故
[例2] 求 [解]
于是 原式=
特点：分母含有二次质因式 方法具有一般性
[例3] 求积分
化成含有重因式
[解] 特点：分母中两个因式有公因式
2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后v ′
3. 题目类型 : 分部化简— 降幂法；转换法； 循环法.
【注意】 循环法两次分部选择的 u , v 函数类型 不变 , 解出积分后加 C .
七、有理函数的积分
1.【有理函数】两个多项式的商表示的函数称之(有理分式).
时, 为假分式;
时, 为真分式
和 都是
的原函数，
（ 为任意常数）
（ 为任意常数）
4. 不定积分的定义：
积 分 号
被 积 函 数
被 积 表 达
式
积 分 变 量
任 意 常 数
例1 求 解
例2 求 解
5. 不定积分的几何意义：
一元函数的微分计算
一元函数的微分计算当然可以，这里是根据“一元函数的微分计算”主题设计的2 0道试题，包括选择题和填空题：1. 选择题：1.1 一元函数微分的基本定义是指哪一种？A. 极限的定义B. 导数的定义C. 积分的定义D. 泰勒展开式1.2 函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在点 \( x = 2 \) 处的导数是多少？A. 5B. 8C. 10D. 121.3 函数 \( y = \sqrt{x} + \frac{1}{x} \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \) 是什么？A. \( \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2} \)B. \( \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2} \)C. \( \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x} \)D. \( \frac{1}{2\sqrt{x}} + \frac{1}{x} \)2. 填空题：2.1 设函数 \( f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x \)，求其在点 \( x = 1 \) 处的导数 \( f'(1) \)。
2.2 函数 \( y = e^x \sin x \) 的导数 \( \frac{dy}{dx} \) 是 \_\_\_\_\_\_\_。
2.3 求函数 \( f(x) = \ln(3x + 1) \) 的导数 \( f'(x) \)。
3. 选择题：3.1 函数 \( y = \frac{1}{x^2} \) 在点 \( x = 2 \)处的导数是多少？A. -\(\frac{1}{4}\)B. -\(\frac{1}{2}\)C. -1D. -23.2 函数 \( f(x) = \cos(x^2) \) 的导数 \( f'(x) \) 是什么？A. \( -2x \sin(x^2) \)B. \( -2x \cos(x^2) \)C. \( -\sin(x^2) \)D. \( -2x \sin(2x) \)4. 填空题：4.1 设函数 \( f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1}\)，求其导数 \( f'(x) \)。
高考数学一轮总复习第三章一元函数的导数及其应用阶段集训3课件
14.已知函数 = 2 3 − 2 + ，若存在，使得 在区间[0,1]上的最小值为
= 4， = 1（答案不唯一）
−1，最大值为1，则符合条件的一组，的值为___________________________.
所以 + 的最大值为2,D正确.故选ABD.
11.若直线 = 3 + 是曲线 = 3 > 0 与曲线 = − 2 + − 6 > 0 的公切线，
则(
A. = −2
√
)
B. = −1
C. = 6
D. = 7
√
解：设直线 = 3 + 与曲线 = 3 > 0 相切于点 , 3 ，与曲线
故 的极小值为 1 = 1.故选A.
6.若函数 = ln − + 1在[e, +∞)上单调递增，则实数的取值范围是 (
A. −∞, 2
B.(−∞, 2]
√
C. 2, +∞
)
D.[2, +∞)
解：′ = 1 + ln − .因为 在[e, +∞)上单调递增，所以′ ≥ 0在[e, +∞)上
恒成立.而 ∈ [e, +∞)时，易知′
选B.
min
= ′ e = 2 − ，只需2 − ≥ 0，即 ≤ 2.故
7.过原点的直线与函数 = cos 在[0, π]上的图象切于点 0 , 0 ，则0 tan 0 =
(
A.−2
)
B.−1
√
C. 3
π
4
D.
解：切点为 0 , cos 0 ，′ = −sin ,则′ 0 = −sin 0 ，所以切线方程为