大学电磁场课后答案

ρ = ∇ ⋅ D = −ε 0∇ ⋅ E
由球坐标系中散度展开式 ∂Aφ 1 ∂ 2 1 ∂ (sin θ Aθ ) + 1 ∇⋅ A= 2 r Ar + r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ r ∂r
(
)
得
ρ = ∇⋅ D =ε∇⋅ E =ε
5εE0 r 2 1 ∂ 2 r Er = 2 r ∂r a3
所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。
b b
c
ρ0
a
＝
ρ0
c
a
b −ρ 0
＋
c
a
题 2-16 图
解 由高斯定律，可求得大、小圆柱中的正、负电荷在空间任意一点 P 产生的电场（分别用 r , r' 表 示场点到大、小圆柱轴线的距离矢量） 。 在 r > b 区域中，
E1 =
点 P 处总的电场为
ρl =
∂E (a) 1 ln(b a) − 1 =− 2 =0 ∂a a ln 2 (b a)
异点处可能有点电荷，而在 E 的突变面上，可能有面分布的自由电荷。
2-13 一个半径为 a 的导体球，要使得它在空气中带点且不放电，试求它所能带点最大电荷量级表面电
位各是多少？已知空气的击穿场强为 3 × 10 6 V/m。 a2 答案 qmax = × 10 −3 C， ϕ max = 3a × 10 6 V 3
2-17 圆柱形电容器外导体内半径为 b ，内导体半径为 a 。当外加电压 U 固定时，在 b 一定的条件下， 求使电容器中的最大电场强度取极小值 Emin 的内导体半径 a 的值和这个 Emin 的值。 分析 由于圆柱形电容器内的场强与半径成反比， 所以内导体表面上的电场强度最大。 内导体半径 a 的值不同时，电容器中的最大电场强度的值也不同。当内导体半径 a 取某一个值时，最大电场强度会 出现极小值。 解 设内导体单位长度带电荷为 ρ l ，利用高斯定律求得圆柱形电容器中的电场强度为
0
∫
r
∫
r − α 2q
0
4πξ
e −α ξ 4πξ 2 d ξ =q (1 + α r )e −α r − q
故 r = 0 处的点电荷 q0 为 说明 在给定 E 或 ϕ 分布时可应用 ρ = ε ∇ ⋅ E 或 ρ = −ε ∇ 2ϕ 求电荷分布。但应注意：在 E 或 ϕ 的奇
q0 = Q − Q′ = q
− (− ) = σ 2 2 D = σ 2 因此求得 0 ，用矢量式表示时为
⎧ σ ez z>0 ⎪ D0 = ⎨ 2 σ ⎪ ( −e z ) z < 0 ⎩2
σ
σ
4πε 0 r 及电荷分布。 分析 r = 0 处是 ϕ (r ) 的奇异点，在该点应有一个点电荷。在 r ≠ 0 处，可由 ρ = −ε 0∇ 2ϕ 求得电荷体 密度，而位于 r = 0 处的点电荷，则可应用高斯定律求得。 解 (1)电场强度为 ∂ϕ q −α r ⎛ 1 α ⎞ E = −∇ϕ = − er = e ⎜ 2 + ⎟e r ∂r r⎠ 4πε 0 ⎝r (2) 在 r ≠ 0 处，电荷体密度由球坐标系中散度展开式求得为 1 ∂ 2 − α 2 q −α r r Er = e ρ = ∇⋅ D =ε∇⋅ E =ε 2 4πr r ∂r 为了确定 r = 0 处的点电荷，作一个半径为 r 的球面 S 。由高斯定律可得到球面 S 内的总电荷 Q 为
2-4 半径为 a 的圆面上均匀带电， 电荷面密度为 σ ， 试求： (1)轴线上离圆心为 z 处的场强， (2)在保持 σ 不变的情况下，当 a → 0 和 a → ∞ 时结果如何？(3)在保持总电荷不变的情况下，当 a → 0 和 a → ∞ 时 结果如何?
解：(1)如图所示，在圆环上任取一半径为 r 、厚度为 d r 的圆环，它所带的电荷量为 d q = σ 2π r d r 。由 例题 2-5(1)的结果可知该回环在轴线上 P 点处的场强为 dq rdr zdq σz = dE = R 3 3 2ε 0 2 2 2 2 2 2 (r + z ) 4πε 0 (r + z ) z 则整个均匀带电圆面在轴线上 P 点出产生的场强为 o σ z a rdr σ z Ez = (1 − ) = a 3 2 2ε 0 0 2 2ε 0 a + z2 2 2 (r + z ) (2)若 σ 不变，当 a → 0 时，则
(
)
2-9 已知在半径为 a 的球体区域内外，电场强度矢量表达式为 ⎧ Ar r2 (1 − 2 )e r r < a ⎪ ⎪ 3ε a E =⎨ 2 Ba ⎪ r>a e 2 r ⎪ ⎩ε 0r
其中 A, B 均为常数。求此区域的电荷分布。 答案
ρ = A(1 −
5r 2 ), r < a ， 3a 2
σ=
ε 0 bU 0
ρ0
∫
∫
2-16 电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，体密度为 ρ = ρ 0 C/m2 , 两圆柱面半径分别为 a 和 b ，轴线 相距为 c (c < b − a) ，如例 2.6 图所示。求空间各部分的电场。 分析 由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为 a 的小圆 柱面内看作同时具有体密度分别为 ± ρ 0 的两种电荷分布， 这样在半径为 b 的整个圆柱体内具有体密度为 ρ 0 的均匀电荷分布， 而在半径为 a 的整个圆柱体内则具有体密度为 − ρ 0 的均匀电荷分布， 如例 3.6 图 (b)
E (r ) =
2πε 0 r
ρl
由内外导体间的电压
U = Edr =
a
∫
b
∫ 2πε r d r = 2πε
a 0
b
ρl
ρl
ln
0
b a
得到
2πε 0U ln(b a ) 由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式 U E (r ) = r ln(b a ) 在圆柱形电容器中， r = a 处的电场强度最大 U E (a) = a ln(b a) 令 E (a) 对 a 的导数为零，即
∫
∫
得到
(b 2 + ab − 2a 2 ) a(b − a) 6a 故两导体球壳间的电位分布为 b b σ a2 ρ a3 σ a 2 (b − r ) ρ 0 b 2 − r 2 a 3 (b − r ) ϕ (r ) = E (r ) d r = [ 2 + 0 (r − 2 )] d r = + − ] [ r r ε r 3ε 0 ε 0br br 3ε 0 2 r 0 说明 此题的要点在于导体的表面上有未知的感应电荷分布，用高斯定律求电场时，必须注意考虑 感应电荷产生的电场。 −
2-12 在无限大真空中，已知电位 ϕ =
q
e −α r （式中 r 为球坐标系中半径坐标） ，求对应的电场强度
(
)
Q = ε 0 E ⋅ d S = ε 0 E ( r ) 4π r 2 = q (1 + α r )e −α r
S
∫
该球面 S 内的体分布电荷的总电荷量 Q′ 为
Q′ =
∫
V
ρ d V = ρ (ξ ) d ξ =
2-14 空气中有一内外半径分别为 a 和 b 的带电介质球壳，介质的介电常数为 ε ，介质内有电荷密度为 A ρ = 2 的电荷分布，其中系数 A 为常数。求总电荷及空间电场强度、电位的分布。若 b → a ，结果如 r 何？ A(r − a) A(b − a) E1 = er ， E 2 = er 答案 q = 4π A(b − a) 2 εr ε 0r 2 2-15 在半径分别为 a 和 b 的两个同心导体球壳间有均匀的电荷分布，其电荷体密度 ρ = ρ 0 C/m2。已知
σ = B, r = a

2-11 计算均匀电荷面密度为 σ 的无限大平面的电场。 解： 根据高斯定律有
∫ D ⋅ d S = D ΔSe
S 0
z
⋅ e z + D0 ΔS (−e z ) ⋅ (−e z ) = 2 D0 ΔS = σΔS
注意侧面上 D0 的通量为零。 由边界条件可知 D0 | z =0+ − D0 | z =0− =
∫
Ez =
当 a → ∞ ，则
σ (1 − 1) = 0 2ε 0
Ez =
σ σ (1 − 0) = 2ε 0 2ε 0
q 4πε 0 z 2
(3)若保持 q = π a 2σ 不变，当 a → 0 时，此带电圆面可视为一点电荷。则 E z =
当 a → ∞ 时， σ → 0 ，则 E z = 0 。
习题二 2-3 已知真空中静电场的电位 ϕ ( x) = 解：
U x V，求电场强度的分布及电荷体密度 ρ 。 ε0 d ∂ϕ 2x U E = −∇ϕ = − e x = −( + )e x V/m ∂x ε0 d ∂E 2 ρ = ∇ ⋅ D = −ε 0 ∇ ⋅ E = −ε 0 x = −ε 0 ( ) = −2 C/m2 ε0 ∂x + x2
2-5 已知某空间电场强度 E = ( y z − 2 x)e x + x ze y + x ye z ，问：(1)该电场可能是静态电场吗？(2)如果是
静电场，求与之对应的电位的分布。 答案 （1）是 （2） ϕ = x 2 − xyz
2-7 在半径为 a 的无限长带电长直圆柱中分布有电荷 ρ = ρ 0 e −α r ，其中 ρ 0 、 α 均为常数。求圆柱内、 外的电场强度。 ρ 1 ρ 1 1 1 答案 E i = 0 ( − re −α r − e −α r )e r E o = 0 ( − ae −α r − e −α r )er ε 0 ra a ε 0 ra a a a 2-8 已知电场强度 E = 解：因为 E0 r 3 e r , (0 ≤ r < a, E0为常数) ，求体电荷密度 ρ (r ) ，其中介电常数为 ε 。 a3