平面解析几何初步

这部分内容的学习要求学生会根据条件选择直线方程的某 一种形式，求出直线的方程，并能根据直线的方程画出直线， 研究直线的性质（倾斜角、截距、斜率）。
（5）如何认识“能用解方程组的方法求两直 线的交点坐标”
这里要求学生理解直线上的点的坐标满足该直 线方程，从而可以用解方程组的方法求两直线的 交点坐标，并解决一些与直线交点有关的问题。
有了直线的方程，对直线之间位置关 系的研究就可以转化为对它们方程的研究。 即可用解方程组求交点的方法研究两直线的 位置关系，这是解析几何的特点。但是，一 定要注意避免单纯的恒等变形，要引导学生 在“几何要素导向下”求解方程组，强调解 析几何的基本思想。
（6）如何认识“探究并掌握两点间的距离公 式、点到直线的距离公式，会求两条平行直 线间的距离 ”
对于直线的斜截式方程，在教学过程中， 可以与一次函数进行比较，并注意分析方程中 的参数与的几何意义。
例如：当取任意实数时，方程y=kx+2表示的直线都经 过点（0，2），它们是一组共点直线；当取任意实数 时，方程y=2x+b表示的直线彼此平行，它们是一组平 行直线。这里渗透了直线系的思想，但不要扩大范围， 点到为止即可。
3．课程标准要求的具体化和深广度分析 （1）如何认识“在平面直角坐标系中，结合 具体图形，探索确定直线位置的几何要素”
首先，让学生通过观察具体的直线，了解一点一 方向或两个点可以完全确定一条直线，即确定直线位 置的几何要素是一点和一方向或两个点。其次，让学 生了解，可以用倾斜角来刻画直线的方向（在学习了 平面向量之后，还可以用向量来刻画直线的方向）， 对不垂直于x轴的直线，也可以用斜率来刻画直线的 方向。
这道题目给的条件比较自然，学生通过这道题可 以加深对于圆的几何要素的理解，即三点可以确 定一个圆。
（8）如何认识“能根据给定直线、圆的方程， 判断直线与圆、圆与圆的位置关系” 判断直线与圆、圆与圆的位置关系也要突出 几何要素，把握好以下几点： ①圆心到直线的距离是刻画圆与直线的位置关系的 几何要素。通过比较圆心到直线的距离和与圆半径 之间的大小关系可以判断直线和圆的位置关系； ②两圆的圆心距是刻画两圆位置关系的几何要素。 通过圆心距和半径之间的大小关系可以判断圆与圆 的位置关系；
直线的倾斜角和直线的斜率一样，都是刻 画直线倾斜程度的量，但直线的倾斜角侧重于 用几何直观来刻画直线的方向，而直线的斜率 则侧重于用数量来刻画直线的方向。任何直线 都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率。例如， o 当直线的倾斜角α=90 时，斜率不存在，但是 倾斜角存在。
（3）如何认识 “能根据斜率判定两条直线平行或，它直观地描述且表现了 直线对x轴正方向的倾斜程度，而倾斜程度刻画了 直线在直角坐标系中的方向； ⑤平面直角坐标系中每一条直线都有一个确定的倾 斜程度，且倾斜程度相同的直线，其倾斜角相等； 倾斜程度不同的直线，其倾斜角不相等；
直线的斜率是用代数方法刻画直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的，它的意义是当沿x轴正 方向运动一个单位时，直线上的点上升的高度。 直线的斜率可以用变化率来刻画，也可以用倾斜 角的正切值来刻画，斜率是一个数值。 理解斜率需要注意以下几点：
①通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性， 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的 位置。 ②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平 行）顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离 公式。
“标准”中对“解析几何初步”的要求只是 阶段性要求，在选修1、2中，还将进一步学习圆 锥曲线与方程的内容。因此，对本部分内容的教 学要把握好“度”，特别是对于解析几何思想的 理解不能一步到位。
在利用方程来来判断圆与圆的位置关系时，也要注重体会在“几 何要素引导”下用代数方法研究几何图形位置关系的思想，不必 讨论多个圆的位置关系。 例如，不讨论一般的阿波罗尼斯问题（求一圆与已知三圆相切 的问题）。
（9）如何认识在“平面解析几何初步”的学习 过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想” 这里只要求通过用代数方程刻画直线、圆 等具体几何图形，并通过研究他们的方程来研 究直线、圆的性质以及他们之间的位置关系， 来体会用代数方法处理几何问题的思想。渗透 直线与圆上的点的坐标与其方程解的关系的思 想，但不要求讨论一般曲线与方程的关系。
一方面，要掌握用斜率判定两条直线平行 和垂直的方法，感受用代数方法研究几何图形 性质的思想；另一方面，也要从几何上认识为 什么斜率的关系能够反映直线的平行或垂直。
（4）如何“根据确定直线位置的几何要素，探 索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点 式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系” 确定直线位置的几何要素是一点和一个方向或两个 点。方向可以用斜率来刻画，因此，给定一点和斜率可 以确定直线，这就是点斜式。两点可以确定一条直线， 这就是两点式。两点决定了直线的方向，因此，两点式 本质上与点斜式是一致的。斜截式方程则是点斜式方程 的一种特殊情形，而直线方程的一般式是对几种方程形 式的概括。这里，不应该刻意让学生去区分和记忆这几 种方程的形式。而是要让学生掌握在直角坐标系中如何 确定直线的几何要素（一个定点坐标和直线的斜率）， 如何根据几何要素确定直线的方程。
用代数方法研究直线与圆时，首先应强调确 定直线与圆的几何要素，根据几何要素，用代数 方法刻画直线与圆，推导出直线与圆的方程。对 于直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，也要 突出几何要素。例如，对于两圆的位置关系，首先， 把确定圆的几何要素（圆心、半径）与确定圆的位置 关系的几何要素（圆心距）用代数表示出来，再用代 数关系的几何意义（两圆的圆心距与两圆半径的数量 关系表示的几何意义）来判断圆与圆的位置关系。也 就是说，我们强调用“几何”来引导代数的恒等变换 的计算。其次是在学习中，我们提倡画图，不希望把 解析几何变成纯粹的形式推导，例如：通过解两圆的 方程构成的方程组来判断两圆的位置关系。
第三，坐标系是数形结合的载体之一。在坐 标系中，平面上的点与数对可以建立一一对应关 系，从而可以用方程来表示几何图形，通过方程 来研究几何图形的性质。在本部分内容中，还介 绍了空间直角坐标系。对于空间直角坐标系，只 要求学生会用空间直角坐标系来刻画点的位置， 并通过表示特殊长方体的顶点的坐标，探索并得 出空间两点间的距离公式。这里不要求讨论空间 图形的方程。
（10）如何认识“通过具体情景，感受建立空间 直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会 用空间直角坐标系刻画点的位置”；“通过表示 特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的 坐标，探索并得出空间两点间的距离公式”。
首先，要通过具体情境，比如确定办公室在大厦中的位置、 调节灯在房间的位置等，来感受空间点的定位需要通过三个量 （类似长方体中的长、宽、高）来确定，与平面直角坐标系类 比，可以建立空间直角坐标系。在空间直角坐标系中，认识坐 标平面上点的坐标的特点，并会用坐标来刻画点的位置。 对空间任意一点A ，确定其坐标的一般方法：过A作Z轴的 平行线交平面XOY于B，过B分别作X、Y轴的平行线，分别交Y,X 轴于C、D，则由OD、OC、BA的长度和方向便可求得点A的坐标。 反过来，给定点的坐标，用类似的方法可以在直角坐标系中画 出点A。
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式， 会求两条平行直线间的距离。
（2）圆与方程
①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中， 探索并掌握圆的标准方程与一般方程； ②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与 圆的位置关系； ③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
（3）在平面解析几何初步的学习过程中， 体会用代数方法处理几何问题的思想。 （4）空间直角坐标系
③利用直线和圆的方程求出直线与圆的交点坐标、圆与圆 的交点坐标来判断他们的位置关系，是用代数方法解决几 何问题的基本方法，也是解析几何的特点。但是，要注意 在用代数方法研究几何问题时，一定要回到原来的几何问 题上去，例如，画出几何图形，从几何上认清问题的代数 解表示的意义，而不要变成纯形式的代数运算。
对此，要把握好三点：
① 先从特殊情形入手：以数轴上两点间的距离公 式为出发点，探究出平面上两点间的距离公式；
② 掌握求点到直线的距离公式的基本思想和算法： 首先，确定过该点且垂直于已知直线的直线方程 （由于这两条直线相互垂直，这条直线的斜率可由 已知直线的斜率得到，从而，可以用点斜式给出直线方程）。 其次，求这两条直线的交点。最后，求该交点到已知点的距离。这 个距离就是已知点到直线的距离。 点到直线的距离公式可以用解方程组求出交点，再利用两点间的距 离公式来推导出来，也可以放到必修数学4中用向量的方法来推导。 这种推导过程有助于学生进一步体会用代数方程研究几何问题的方 法和数形结合的思想，渗透对立统一的观点。
本部分内容的知识结构是：
2．课程标准的要求 （1）直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定 直线位置的几何要素； ②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画 直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直； ④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程 的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式 与一次函数的关系； ⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；
③ 把求两平行线间的距离的问题转化为求直线上一点到另一条 与之平行的直线的距离。
（7）如何认识“回顾确定圆的几何要素， 在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准 方程与一般方程”
三点确定圆的几何要素可以转化为圆心和 半径。圆心到三点的距离相等，因此，圆心是三 点确定的两条线段的垂直平分线的交点，这样就 可以确定圆心了，确定了圆心，半径是很容易确 定的。
平面解析几何初步
罗展华
2006年8月
一、知识要求及变化
1．整体定位
“标准”中对“平面解析几何初步”这部分内容 的整体定位如下： 解析几何用代数方法研究图形的几何性质， 体现了数形结合的重要数学思想。在本模块中， 学生将在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数 方程，运用代数方法研究它们的几何性质及其相 互位置关系，并了解空间直角坐标系。体会数形 结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题 的能力。