2013年全国初中数学联合竞赛试题及答案

2013年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

第一试

一、选择题（本题满分42分，每小题7分）

1.计算=（B ）

（A 1 （B ）1 （C （D ）2

2.满足等式()

22

21m m m ---=的所有实数m 的和为（A ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6

3.已知AB 是圆O 的直径，C 为圆O 上一点，15CAB ∠=o

，ABC ∠的平分线交圆O 于点D ，

若CD =

AB=（A ）

（A ）2 （B

（C ）（D ）3

4.不定方程2

3725170x xy x y +---=的全部正整数角（x,y ）的组数为（B ）

（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

5矩形ABCD 的边长AD=3，AB=2，E 为AB 的中点，F 在线段BC 上，且BF ：FC=1：2， AF 分别与DE ，DB 交于点M ，N ，则MN=（C ）

（A （B （C （D 6.设n 为正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数等于合个数，则称n 为“好数”，那么，

所有“好数”之和为（B ） （A ）33 （B ）34 （C ）2013 （D ）2014 二、填空题（本题满分28分，每小题7分）

1.已知实数,,x y z 满足4,129,x y z xy y +=+=+-则23x y z ++= 4

2.将一个正方体的表面都染成红色，再切割成3

(2)n n >个相同的小正方体，若只有一面是

红色的小正方体数目与任何面都不是红色的小正方体的数目相同，则n= 8

3.在ABC V 中，60,75,10A C AB ∠=∠==o o

，D ，E ，F 分别在AB ，BC ，CA 上，则DEF

V

4.如果实数,,x y z 满足()2

2

2

8x y z xy yz zx ++-++=，用A 表示,,x y y z z x ---的

最大值，则A 的最大值为

第二试（A ）

一、（本题满分20分）已知实数,,,a b c d 满足()2

2

2

2

2

23236,a c b d ad bc +=+=-=求

()()2

222a

b c d ++的值。

解：设2222

,m a b n c d =+=+，则2

2

2

2

23223312.m n a b c d +=+++=

因为()()22

23232424m n m n mn mn +=-+≥，即2

1224mn ≥，所以

6mn ≤ ………………○1 又因为()()22

2

222222222mn a b c

d a c b d a d b c =++=+++ ………………○

2 由○1，○2可得 6.mn =即()()22

2

26a b c

d ++=

注：符合条件的实数,,,a b c d 存在且不唯一，623

2,1,,a b c d =

==

=-就是一组。 二、（本题满分25分）已知点C 在以AB 为直径的圆O 上，过点B 、C 作圆O 的切线，交于点P ，连AC ，若92OP AC =

，求PB

AC

的值。 解：连OC ，因为PC ，PB 为圆O 的切线，所以∠POC=∠POB 。

又因为OA=OC ，所以∠OCA=∠OAC 。

又因为∠COB=∠OCA+∠OAC ，所以2∠POB=2∠OAC ，所以∠POB=∠OAC ，所以OP ∥AC 。

又∠POB=∠OAC ，所以BAC POB V :V ，所以AC AB

OB OP

=。 又9

2OP AC =

，AB=2r ，OB=r （r 为圆O 的半径），代入可求得 OP=3r,AC=2

3

r.

在Rt POB V 中，由勾股定理可求得2

2

22PB OP OB r =-=。 所以

223223

PB r

AC r ==。

三、（本题满分25分）已知t 是一元二次方程2

10x x +-=的一个根，若正整数,,a b m 使得等式()()31at m bt m m ++=成立，求ab 的值。

解：因为t 是一元二次方程2

10x x +-=的一个根，显然t 是无理数，且2

1t t =-。 等式()()31at m bt m m ++=即()2

2

31abt m a b t m m +++=，

即()()2

131ab t m a b t m m -+++=，即()()

2

310.m a b ab t ab m m +-++-=⎡⎤⎣⎦

因为,,a b m 是正整数，t 是无理数，所以()2

0,310,

m a b ab ab m m ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩于是可得231,31.a b m ab m m +=-⎧⎨=-⎩ 因此，,a b 是关于x 的一元二次方程()2

2

31310x m x m m +-+-=的两个整数根，该方程

的判别式()(

)()()2

2

31431313150.m m m

m m ∆=---=--≥

又因为,a b 是正整数，所以310a b m +=->，从而可得31

0.5

m <≤

又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有6m =符合要求。 把6m =代入可得2

31150.ab m m =-=

第二试（B ）

一、 （本题满分20分）已知21t =-，若正整数,,a b m 使得等式()()17at m bt m m

++=成立，求ab 的值。 解：因为21t =

-，所以232 2.t =-

等式()()17at m bt m m ++=即()2

2

17,abt m a b t m m +++= 即()()

(

)

23222117ab m a b m m -++-+=，

整理得()()2223170m a b ab ab m a b m m ⎡⎤+-⋅+-++-=⎡⎤⎣⎦⎣⎦

于是可得()2

217,

17.

a b m ab m m ⎧+=-⎪⎨

=-⎪⎩ 因此，,a b 是关于x 的一元二次方程222(17)170x m x m m +-+-=……○1的两个整数根，

方程○1的判别式()(

)()()2

2

4174174171720.m m m

m m ∆=---=--≥

又因为,,a b m 是正整数，所以()2170a b m +=->，从而可得17

02

m <≤ 又因为判别式∆是一个完全平方数，验证可知，只有8m =符合要求，

把8m =代入得2

1772ab m m =-=。

二、（本题满分25分）在ABC ∆中，AB>AC ，O 、I 分别是ABC ∆的外心和内心，且满足AB-AC=2OI 。求证：