圆锥曲线的最值-定值-范围等经典考题型附答案-作业
中学数学圆锥曲线定值定点练习题(含答案)
解析几何之定值、定点问题解析几何中定值定点问题是高考命题中常见的一个考点，也是解析几何中的一个难点，在求解过程中往往会涉及大量的运算，圆锥曲线中的定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.难度较大.定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点、一个值，就是要求的定点、定值.化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的包成立、数式变换等寻找不受参数影响的量现就常见的题型做总结如下：一、常考题型及方法总结1、常考题型(1)斜率(倾斜角)为定值(2)角度为定值(3)面积为定值(4)数量积为定值(5)线段长度为定值(6)直线方程定式(7)斜率乘积为定值(8)数量关系为定值(9)定点问题2、处理圆锥曲线中定值问题的方法(1)从特，殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.3、处理圆锥曲线中定点问题的方法(1)探索直线过定点时，可设出「直线方程为y kx m,然后利用条件建立k, m等量关系进行消元，借助丁直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.二、例题精讲(一)斜率为定值例1、已知椭圆C:2 x 2 a所以Ca2 a12b 2，解得 2ab 28匕』 … x 2所以椭圆C 的方程为—2 8 因为/ PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以PA 与AQ 所在的直线关于直线 x= 2对称. 设直线PA 的斜率为k,则直线AQ 的斜率为一 k.所以直线PA 的方程为y —1 = k(x- 2), 直线AQ 的方程为 v — 1 = 一 k(x - 2). y 设点 P(x 1，y 〔),Q(x 2, y ?),由 x 2 8 k(x 2 匕1 2 2) 得(1 4k 2)x 2 (16k 2 8k)x 16k 2 16k 因为点A(2,1)在椭圆C 上，所以x= 2是方程①的一个根，贝U 2x 1 一 2 -16k 16k 4 ---------- 2 --- ,所以1 4kX 1.2 -8k 8k同理X 2 -2 - - 8k 8k 2 14k 2 所以X 1 X 2 16k2,X 1 4k 2 X 2 -216k 41 4k 2又 V 1 V 2 k(X 1 X 2 4) 8k1 4k 2所以直线PQ 的斜率 V 1 k PQ X 1 X 2 y 2 】，所以直线PQ 的斜率为定值，该值为 2 方法二 设直线PQ 的方程为y= kx+ b, 点 P(X 〔, y 1), Q(X 2, y 2)则 y 1 kx 1 b, y 2 kx 2 b ,所以 k PA Y1 x 1 2 1 二，k QA y 2 1 x 2 2 ' 因为/ PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，所以PA 与AQ 所在的直线关于直线 x= 2对称, 所以k P A y 1X 2 2 化简得 XM X 2y 〔 (X 1 X 2) 2(y 1 y 2) 4 0 所以 2kx 1x 2 (b 2k)(x 1 X 2) 4bkx 由x2 2 y_ 8 2 2k 代入①，得义 若b 1 2k , 变式题b 得(1 4k 2 )x 2 8kbx 4b 2 8 1 0②则x 1 x 2 8kb 2，x 〔X 21 4k 4b2 1 4k 2 (4b 2 8) 8kb(b 1 2k) --- ----- 2- 4b 1 4k 4 0整理得(2k 1)(b 2k 1)0所以k 1 , —或b122k可得方程①的一个根为 2,不符合题意.所以直线 PQ 的斜率为定值, 、，… 1 该值为 一2求证：PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，直线 证明：因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补 所以k pA k pB所以所以y i y 22y 0y i y 。
专题：圆锥曲线中的最值、范围、定点和定值问题(二合一版)
专题：圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值问题题型一：定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决.例1、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（1）求椭圆C 的方程；（2）设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围；（3）在（2）的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．解析：（1）2214x y +=；（2）0k <<或0k <<（3）(1,0)例2、在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． （1）求轨迹C 的方程；（2）当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．解析：（1）2214x y +=；（2）k 与b 的关系是：65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点例3、已知椭圆C 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，短轴长为 （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是椭圆的左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标．解析: （1）22143x y +=（2）直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7题型二：定值问题在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索. 例1、已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A 、B 两点，)1,3(-=+与共线.（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),(R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解析：（1）36=e （2）122=+μλ例2、已知，椭圆C 过点A 3(1,)2，两个焦点为（－1，0），（1，0）.（1）求椭圆C 的方程；（2）E,F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值.解析：（1）22143x y += （2）12例3、已知椭圆的中心在原点，焦点F 在y 轴的非负半轴上，点F 到短轴端点的距离是4，椭圆上的点到焦点F 距离的最大值是6.（1）求椭圆的标准方程和离心率e ；（2）若F '为焦点F 关于直线32y =的对称点，动点M 满足MF e MF ||='||，问是否存在一个定点A ，使M 到点A 的距离为定值？若存在，求出点A 的坐标及此定值；若不存在，请说明理由.解析：（1）椭圆的标准方程为2211612y x +=. 离心率21.42e ==（2）存在一个定点7(0,)3A ，使M 到A 点的距离为定值，其定值为2.3题型三：最值、范围问题例1、设椭圆E ：x a y ba b 222210+=>>（）的左、右焦点分别为F F 12、，如果椭圆上存在点M ，使∠=︒F PF 1290（1）求离心率e 的取值范围;（2）当离心率取最小值是，点N （0,3）到椭圆上的点的最远距离为 ①求椭圆E 的方程;②设斜率为(0)k k ≠的直线与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，Q 为AB 的中点，问A 、B 两点能否关于过点(0,3P -、Q 的直线对称. 解析：（1）1e ∈） 解法1：利用椭圆自身的范围求解 解法2：利用根的判别式求解 解法3：利用三角函数有界性求解 解法4：利用焦半径公式求解 解法5：利用基本不等式求解 解法6：利用平面几何知识求解解法7：利用椭圆中的焦点三角形求解 解法8：利用椭圆中的焦点三角形面积公式（2）①2213216x y +=②((0,22-⋃例2、设椭圆：x a y ba b 222210+=>>（）的左顶点为A 、上顶点为D ，点P 是线段AD 上任一点，左、右焦点分别为F F 12、，且12PF PF 的最大值为1，最小值为115- （1）求椭圆方程;（2）设椭圆右顶点为B ，点S 是椭圆上位于x 轴上方的一点，直线AS 、BS 与直线34:15l x =分别交于M 、N 两点，求|MN|的最小值.解析：（1）2214x y +=（2）1615例3、已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0），O 为坐标原点，P 、Q 为椭圆上两动点，且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b+=+（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b a b +（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.专题：椭圆中的最值、范围、定点、定值问题题型一：定点问题解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题试题及答案
例7．
7．已知点A(−2,0)，B(2,0)，动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为− .记M的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G.
（i）证明： 是直角三角形；
最值问题不仅解答题中分量较大，而且客观题中也时常出现．
一、常用方法
解决圆锥曲线中的最值问题，常见的方法有：
（1）函数法：一般需要找出所求几量的函数解析式，要注意自变量的取值范围．求函数的最值时，一般会用到配方法、均值不等式或者函数单调性．
（2）方程法：根据题目中的等量关系建立方程，根据方程的解的条件得出目标量的不等关系，再求出目标量的最值．
题型三、与向量有关的最值问题
例6．
6．如图，已知椭圆C1： ＋ ＝1(a>b>0)的右焦点为F，上顶点为A，P为椭圆C1上任一点，MN是圆C2：x2＋(y－3)2＝1的一条直径，在y轴上截距为3－ 的直线l与AF平行且与圆C2相切．
(1)求椭圆C1的离心率；
(2)若椭圆C1的短轴长为8，求 · 的最大值．
题型二、与角度有关的最值问题
例5．
5．在平面直角坐标系 中，椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）如图，动直线 ： 交椭圆 于 两点， 是椭圆 上一点，直线 的斜率为 ，且 ， 是线段 延长线上一点，且 ， 的半径为 ， 是 的两条切线，切点分别为 .求 的最大值，并求取得最大值时直线 的斜率.
专题23 圆锥曲线中的最值、范围问题 微点1 圆锥曲线中的最值问题
专题23圆锥曲线中的最值、范围问题
圆锥曲线的最值 定值 范围等经典考题型附答案 作业
圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例1、已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例2、求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．方法3：参数法（函数法）①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值例3、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．方法4：基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例4、求椭圆x23＋y2＝1内接矩形ABCD面积的最大值．二、圆锥曲线的范围问题方法1：曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．例1、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线中ac的取值范围是________．方法2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零① 联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．例2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．三、圆锥曲线的定值、定点问题 方法1：特殊到一般法根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题① 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．例1、已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ，若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值．方法2：引进参数法定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).①引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点例2、如图所示，曲线C1：x29＋y28＝1，曲线C2：y2＝4x，过曲线C1的右焦点F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C1，C2依次交于B，C，D，E四点．若G为CD的中点、H为BE的中点，证明|BE|·|GF2||CD|·|HF2|为定值．课堂知识运用训练1．设P是曲线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到x ＝－1直线的距离之和的最小值为( )．A. 2B. 3C. 5D.62．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆ac的范围为( )． A.55＜a c ＜35 B ．0＜a c＜25 C.25＜a c ＜35 D.35＜ac ＜55 3．设F 是椭圆x 27＋y 26＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为________．4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一定点P (x 0，y 0)(y 0＞0)作两直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则y 1＋y 2y 0的值为________．5．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，过F 点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，当△PFO 的面积最大时，求直线l 的方程．6．已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′在轴上所截得的弦．(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．答案解析圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例1、已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．解析 如图所示，根据双曲线定义|PF |－|PF ′|＝4， 即|PF |－4＝|PF ′|.又|PA |＋|PF ′|≥|AF ′|＝5， 将|PF |－4＝|PF ′|代入，得|PA |＋|PF |－4≥5， 即|PA |＋|PF |≥9，等号当且仅当A ，P ，F ′三点共线， 即P 为图中的点P 0时成立，故|PF |＋|PA |的最小值为9.故填9. 方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例2、求椭圆x 22＋y 2＝1上的点到直线y ＝x ＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．解 设椭圆的切线方程为y ＝x ＋b ， 代入椭圆方程，得3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0. 由Δ＝(4b )2－4×3×(2b 2－2)＝0，得b ＝± 3. 当b ＝3时，直线y ＝x ＋3与y ＝x ＋23的距离d 1＝62，将b ＝3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝－233，此时y ＝33， 即椭圆上的点⎝⎛⎭⎪⎫－233，33到直线y ＝x ＋23的距离最小，最小值是62；当b ＝－3时，直线y ＝x －3到直线y ＝x ＋23的距离d 2＝362，将b ＝－3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝233，此时y ＝－33，即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫233，－33到直线y ＝x ＋23的距离最大，最大值是362. 方法3：参数法（函数法）② 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值例3、在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为________．解析 因为椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φy ＝sin φ，(φ为参数)．故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π. 因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，S 取最大值2.故填2.方法4：基本不等式法 ①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例4、求椭圆x 23＋y 2＝1内接矩形ABCD 面积的最大值．二、圆锥曲线的范围问题 方法1：曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．例1、已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线中ac的取值范围是________． 解析 根据双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 2|＝r ， 则|PF 1|＝4r ，故3r ＝2a ，即r ＝2a 3，|PF 2|＝2a3.根据双曲线的几何性质，|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a ，即c a ≤53，即e ≤53.又e＞1，故双曲线的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.方法2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零② 联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．例2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知条件，知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程，得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①由直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，得Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0， 解得k ＜－22或k ＞22，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 由方程①，知x 1＋x 2＝－42k1＋2k 2.②又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋22＝221＋2k2.③由A(2，0)，B(0,1)，得AB→＝(－2，1)．所以OP→＋OQ→与AB→共线等价于x1＋x2＝－2(y1＋y2)，将②③代入，解得k＝22.由(1)知k＜－22或k＞22，故不存在符合题意的常数k.三、圆锥曲线的定值、定点问题方法1：特殊到一般法根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题②根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．例1、已知双曲线C：x2－y22＝1，过圆O：x2＋y2＝2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，证明：∠AOB的大小为定值．证明当切线的斜率不存在时，切线方程为x＝± 2.当x＝2时，代入双曲线方程，得y＝±2，即A(2，2)，B(2，－2)，此时∠AOB＝90°，同理，当x＝－2时，∠AOB＝90°.当切线的斜率存在时，设切线方程为y＝kx＋b，则|b|1＋k2＝2，即b2＝2(1＋k2)．由直线方程和双曲线方程消掉y，得(2－k2)x2－2kbx－(b2＋2)＝0，由直线l与双曲线交于A，B两点．故2－k2≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则x1＋x2＝2kb2－k2，x1x2＝－b2＋22－k2，y 1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝－k 2b 2－2k 22－k 2＋2k 2b 22－k 2＋2b 2－k 2b 22－k 2＝2b 2－2k 22－k 2，故x 1x 2＋y 1y 2＝－b 2－22－k 2＋2b 2－2k 22－k 2＝b 2－21＋k 22－k 2，由于b 2＝2(1＋k 2)，故x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，∠AOB ＝90°.综上可知，若l 交双曲线于A ，B 两点，则∠AOB 的大小为定值90°. 方法2：引进参数法定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值).②引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点【例2】►如图所示，曲线C 1：x 29＋y 28＝1，曲线C 2：y 2＝4x ，过曲线C 1的右焦点F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1，C 2依次交于B ，C ，D ，E 四点．若G 为CD 的中点、H 为BE 的中点，证明|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|为定值．证明 由题意，知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 直线y ＝k (x －1)，代入x 29＋y 28＝1，得8⎝ ⎛⎭⎪⎫y k ＋12＋9y 2－72＝0，即(8＋9k 2)y 2＋16ky －64k 2＝0，则y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k 28＋9k 2.同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， 则y 3＋y 4＝4k，y 3y 4＝－4，所以|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|＝|y 1－y 2||y 3－y 4|·12|y 3＋y 4|12|y 1＋y 2|＝y 1－y 22y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3－y 42＝y 1＋y 22－4y 1y 2y 1＋y 22·y 3＋y 42y 3＋y 42－4y 3y 4＝－16k 28＋9k 22＋4×64k 28＋9k 2－16k 28＋9k 22·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16＝3为定值．课堂知识运用训练1．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到x ＝－1直线的距离之和的最小值为( )．A. 2B. 3C. 5D.6解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)， 准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离； 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小；显然，连AF 交曲线于P 点．故最小值为22＋1，即为 5.答案 C2．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c为椭圆的半焦距，则椭圆ac的范围为( )． A.55＜a c ＜35 B ．0＜a c＜25 C.25＜a c ＜35 D.35＜ac ＜55 解析 此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b )一个在圆外、一个在圆内即：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2b 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b2＋c b ＜b 2＋c ⇒⎩⎨⎧a －c2＞14a 2－c 2a 2－c 2＜2c⇒55＜e ＜35.答案 A 3．设F 是椭圆x 27＋y 26＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为________．解析 若公差d ＞0，则|FP 1|最小，|FP 1|＝7－1； 数列中的最大项为7＋1，并设为第n 项，则7＋1＝7－1＋(n －1)d ⇒n ＝2d ＋1≥21⇒d ≤110，注意到d ＞0，得0＜d ≤110；若d ＜0，易得－110≤d ＜0. 那么，d 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝⎛⎦⎥⎤0，110. 4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一定点P (x 0，y 0)(y 0＞0)作两直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则y 1＋y 2y 0的值为________．解析 设直线PA 的斜率为k PA ，PB 的斜率为k PB ，由y 21＝2px 1，y 20＝2px 0，得k PA ＝y 1－y 0x 1－x 0＝2p y 1＋y 0，同理k PB ＝2py 2＋y 0， 由于PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 因此2p y 1＋y 0＝－2p y 2＋y 0，即y 1＋y 2＝－2y 0(y 0＞0)，那么y 1＋y 2y 0＝－2. 5．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，过F 点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，当△PFO 的面积最大时，求直线l 的方程．解 求直线方程，由于F (－c,0)为已知，仅需求斜率k ， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22，由于S △PFO ＝12|OF |·|y 0|＝c2|y 0|只需保证|y 0|最大即可，由⎩⎨⎧y ＝k x ＋cb 2x 2＋a 2y 2＝a 2b2⇒(b 2＋a 2k 2)y 2－2b 2cky －b 4k 2＝0，|y 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2ck b 2＋a 2k 2＝b 2c b 2|k |＋a 2|k |≤bc 2a 得：S △PFO ≤bc 24a ，此时b 2|k |＝a 2|k |⇒k ＝±ba ，故直线方程为：y ＝±ba(x ＋c )．6．已知⊙O ′过定点A (0，p )(p ＞0)，圆心O ′在抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上运动，MN 为圆O ′在轴上所截得的弦．(1)当O ′点运动时，|MN |是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，试判断抛物线C 的准线与圆O ′的位置关系，并说明理由．解 (1)设O ′(x 0，y 0)，则x 20＝2py 0(y 0≥0)， 则⊙O ′的半径|O ′A |＝x 20＋y 0－p2，⊙O ′的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－p )2， 令y ＝0，并把x 20＝2py 0，代入得x 2－2x 0x ＋x 20－p 2＝0，解得x 1＝x 0－p ，x 2＝x 0＋p ，所以|MN |＝|x 1－x 2|＝2p ， 这说明|MN |是不变化，其为定值2p . (2)不妨设M (x 0－p,0)，N (x 0＋p,0)．由题2|OA |＝|OM |＋|ON |，得2p ＝|x 0－p |＋|x 0＋p |， 所以－p ≤x 0≤p .O ′到抛物线准线y ＝－p2的距离d ＝y 0＋p 2＝x 20＋p22p，⊙O ′的半径|O ′A |＝x 20＋y 0－p 2＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 202p －p 2＝12px 40＋4p 4. 因为r ＞d ⇔x 40＋4p 4＞()x 20＋p 22⇔x 20＜32p 2，又x 20≤p 2＜32p 2(p ＞0)，所以r ＞d ，即⊙O ′与抛物线的准线总相交．。
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法(解析版)
圆锥曲线专题：最值与范围问题的6种常见考法一、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：1、几何法：通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；2、代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．二、最值问题的一般解题步骤三、参数取值范围问题1、利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；2、利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；3、利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；4、利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；5、利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．题型一距离与长度型最值范围问题【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2，点E 在椭圆上．当线段2EF 的中垂线经过1F 时，恰有21cos EF F ∠．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且||2AB =，P 是以AB 为直径的圆上任意一点，O 为坐标原点，求||OP 的最大值．【答案】（1）2212x y +=；（2）max ||OP 【解析】（1）由焦距为2知1c =，连结1EF ，取2EF 的中点N ，线段2EF 的中垂线经过1F 时，1||22EF c ∴==，221212cos ,.1,F N EF F F N F F ∠∴∴-2122,2EF a EF EF a ∴=-∴=+=∴由所以椭圆方程为2212x y +=；（2）①当l 的斜率不存在时，AB 恰为短轴，此时||1OP =；②当l 的斜率存在时，设:l y kx m =+．联立2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得到222(21)4220k x kmx m +++-=，∴△2216880k m =-+>，122421km x x k -+=+，21222221m x x k -=+．21AB x x =-=2==，化简得2222122k m k +=+．又设M 是弦AB 的中点，121222()221my y k x x m k +=++=+∴()2222222241,,||212121km m k M OM k k k m -+⎛⎫= ⎪⎝⎭+⋅++,∴()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++,令2411k t += ，则244||43(1)(3)4t OM t t t t===-++++∴||1OM =- （仅当t =，又||||||||1OP OM MP OM +=+2k =时取等号）．综上：max ||OP =【变式1-1】已知抛物线21:4C y x =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为3．（1）求椭圆2C 的方程；（2）过椭圆2C 的右焦点F 作斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，线段AB 的中点为P ，过点P 做垂直于AB 的直线交x 轴于点D ，试求||||DP AB 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）1(0,)4【解析】（1）抛物线21:4C y x =的焦点F 为(1,0)，由题意可得2221c a b =-=①由1C 与2C 关于x 轴对称，可得1C 与2C 的公共点为2,33⎛± ⎝⎭，可得2248193a b +=②由①②解得2a =，b ，即有椭圆2C 的方程为22143x y+=；（2）设:(1)l y k x =-，0k ≠，代入椭圆方程，可得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834kx x k +=+，212241234k x x k -=+，即有()312122286223434k ky y k x x k k k k -+=+-=-=++，由P 为中点，可得22243()3434k kP k k -++，，又PD 的斜率为1k -，即有222314:3434k k PD y x k k k ⎛⎫--=-- ++⎝⎭，令0y =，可得2234k x k=+，即有22034k D k ⎛⎫⎪+⎝⎭可得2334PD k ==+又AB ==2212(1)34k k +=+，即有DP AB =，由211k +>，可得21011k <<+，即有104<，则有||||DP AB 的取值范围为1(0,)4．【变式1-2】已知曲线C 上任意一点(),P x y2=，（1）求曲线C 的方程；（2）若直线l 与曲线C 在y 轴左､右两侧的交点分别是,Q P ，且0OP OQ ⋅=，求22||OP OQ +的最小值.【答案】（1）2212y x -=；（2）8【解析】（1）设())12,F F ，2=，等价于12122PF PF F F -=<，∴曲线C 为以12,F F 为焦点的双曲线，且实轴长为2，焦距为故曲线C 的方程为：2212y x -=；（2）由题意可得直线OP 的斜率存在且不为0，可设直线OP 的方程为()0y kx k =≠，则直线OQ 的方程为1=-y x k ，由2212y x y kx ⎧-=⎪⎨⎪=⎩，得222222222x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，所以()2222221||2k OP x y k+=+=-，同理可得，()2222212121||1212k k OQ k k⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--，所以()()()22222222211111||||22121k k k OP OQ k k -+-++===++()()22222222112222228||||OQ OP OP OQ OP OQOP OQ OP OQ ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当2OP OQ ==时取等号，所以当2OP OQ ==时，22||OP OQ +取得最小值8.【变式1-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为3π的直线被E 所截得的弦长为16.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 为抛物线上的任意一点，以C 为圆心的圆过点F ，且与直线12y =-相交于,A B两点，求FA FB FC ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）[)3,+∞【解析】（1）由抛物线方程得：0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设过点F 且倾斜角为3π的直线为：2py =+，由222p y x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：220x p --=，由抛物线焦点弦长公式可得：)12122816y y p x x p p ++=++==，解得：2p =，∴抛物线E 的方程为：24x y =.（2）由（1）知：()0,1F ，准线方程为：1y =-；设AFB θ∠=，圆C 的半径为r ，则2ACB θ∠=，FC CA CB r ===，1133sin 2224AFBSFA FB AB AB θ∴=⋅=⋅=，又2sin AB r θ=，3FA FB r ∴⋅=；由抛物线定义可知：11c CF y =+≥，即1r ≥，333FA FB FC r ∴⋅⋅=≥，即FA FB FC ⋅⋅的取值范围为[)3,+∞.题型二面积型最值范围问题20y -=与圆O 相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）椭圆C 的上顶点为B ，EF 是圆O 的一条直径，EF不与坐标轴重合，直线BE 、BF 与椭圆C 的另一个交点分别为P 、Q ，求BPQ 的面积的最大值及此时PQ 所在的直线方程．【答案】（1）2219x y +=；（2）()max278BPQ S=，PQ 所在的直线方程为115y x =±+【解析】20y -=与圆O相切，则1b =，由椭圆的离心率223c e a ==，解得：29a =，椭圆的标准方程：2219x y +=；（2）由题意知直线BP ，BQ 的斜率存在且不为0，BP BQ ⊥，不妨设直线BP 的斜率为(0)k k >，则直线:1BP y kx =+．由22119y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22218911991k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，或01x y =⎧⎨=⎩，所以2221819,9191k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.用1k -代替k ，2229189,9k k Q k k ⎛⎫-+ ⎝+⎪⎭则21891k PB k ==+2189BQ k==+，22222111818162(1)22919(9)(19)BPQ k k k S PB BQ k k k k +=⋅=⋅=++++△342221162()162()99829982k k k k k k k k ++==++++，设1k k μ+=，则21621622764829(2)89BPQ S μμμμ∆==≤+-+．当且仅当649μμ=即183k k μ+==时取等号，所以()max278BPQ S=.即21128(()49k k kk-=+-=，1k k -=直线PQ的斜率222222291911191918181010919PQk k k k k k k k k k k k k ---+-⎛⎫++===-= ⎪⎝⎭--++PQ所在的直线方程：1y =+.【变式2-1】在平面直角坐标系xOy 中，ABC 的周长为12，AB ，AC 边的中点分别为()11,0F -和()21,0F ，点M 为BC 边的中点（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点M 的轨迹为曲线Γ，直线1MF 与曲线Γ的另一个交点为N ，线段2MF 的中点为E ，记11NF O MF E S S S =+△△，求S 的最大值.【答案】（1）()221043x y y +=≠；（2）max 32S =【解析】（1）依题意有：112F F =，且211211262MF MF F F ++=⨯=，∴121242MF MF F F +=>=，故点M 的轨迹C 是以()11,0F -和()21,0F 为焦点，长轴长为4的椭圆，考虑到三个中点不可共线，故点M 不落在x 上，综上，所求轨迹方程：()221043x y y +=≠.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，显然直线1MF 不与x 轴重合，不妨设直线1MF 的方程为：1x ty =-,与椭圆()221043x y y +=≠方程联立整理得：()2234690t y ty +--=，()()22236363414410t t t ∆=++=+>，112634t y y t +=+，1129034y y t =-<+,11111122NF O S F y y O ==△，112122211112222MF E MF F S S F F y y ==⋅=△△,∴()()1112122111Δ22234NF O MF E S S S y y y y t =+=+=-=⋅=+△△令()2344u t u =+≥，则()S u ϕ====∵4u ≥，∴1104u <≤，当114u =，即0=t 时，∴max 32S =,∴当直线MN x ⊥轴时，∴max 32S =.【变式2-2】已知双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，过右焦点F 作斜率为正的直线l ，直线l 交双曲线的右支于P ，Q 两点，分别交两条渐近线于,A B 两点，点,A P 在第一象限，O 为原点．（1）求直线l 斜率的取值范围；（2）设OAP △，OBP ，OPQ △的面积分别是OAP S △，OBP S △，OPQS ，求OPQ OAP OBPS S S ⋅△△△的范围．【答案】（1）()1,+∞；（2）).【解析】（1）因为双曲线()222210x y a a a-=>的右焦点为()2,0F ，故2c =，由222c a a =+得22a =，所以双曲线的方程为，22122x y -=，设直线l 的方程为2x ty =+，联立双曲线方程得，()222222121021420Δ0120t x y t y ty t x ty y y ⎧⎧-≠⎪-=⎪⇒-++=⇒>⇒<⎨⎨=+⎪⎪⋅<⎩⎩，解得01t <<，即直线l 的斜率范围为()11,k t=∈+∞；（2）设()11,P x y ，渐近线方程为y x =±，则P 到两条渐近线的距离1d ，2d 满足，22111212x yd d-⋅==而21221AAxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=⎪⎪-⇒⎨⎨=+⎪⎪=⎪⎪-⎩⎩，OA==21221BBxy x tx ty yt⎧⎧=⎪⎪=-⎪⎪+⇒⎨⎨=+-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，OB==所以12122112221OAP OBPS S OA d OB d d dt⋅=⋅⋅⋅=-△△由()2222214202x y t y tyx ty⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，12OPQ OFP OFQ P QS S S OF y y=+=-△△△所以，OPQOAP OBPSS S=⋅△△△，∵01t<<，∴)2OPQOAP OBPSS S∈⋅△△△.【变式2-3】已知抛物线()2:20E y px p=>的焦点为F，P为E上的一个动点，11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，且PF PQ+的最小值为54.（1）求E的方程；（2）若A点在y轴正半轴上，点B、C为E上的另外两个不同点，B点在第四象限，且AB，OC互相垂直、平分，求四边形AOBC的面积.（人教A版专题）【答案】（1）2y x=；（2）【解析】（1）作出E的准线l，方程为2px=-，作PR l⊥于R，所以PR PF=，即PR PQ+的最小值为54，因为11,2⎛⎫⎪⎝⎭Q与F在E的同一侧，所以当且仅当P，Q，R三点共线时PR PQ+取得最小值，所以5124p+=，解得0.5p=，所以E的方程为2y x=；（2）因为AB，OC互相垂直、平分，所以四边形AOBC是菱形，所以BC x⊥轴，设点()0,2A a，所以2BC a=，由抛物线对称性知()2,B a a-，()2,C a a，由AO OB =，得2a=a =所以菱形AOBC 的边AO =23h a ==，其面积为3S AO h =⋅==题型三坐标与截距型最值范围问题【例3】已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>过点()，渐近线方程为12y x =±，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．【答案】（1）2214x y -=；（2）2【解析】（1）由题设可知2281112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩则C ：2214x y -=．（2）设点M 的横坐标为0M x >当直线l 斜率不存在时，则直线l ：2x =易知点M 到y 轴的距离为2M x =﹔当直线l 斜率存在时，设l ：12y kx m k ⎛⎫=+≠± ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，联立2214x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222418440k x kmx m -+++=，()()222264164110k m k m ∆=--+=，整理得2241k m =+联立2204x y y kx m ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()22241840k x kmx m -++=，则122288841km km k x x k m m+=-=-=--，则12402Mx x kx m +==->，即0km <则222216444Mk x m m==+>，即2M x >∴此时点M 到y 轴的距离大于2；综上所述，点M 到y 轴的最小距离为2．【变式3-1】若直线:l y =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若过点B (0，b )且与x 轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M ，N ，MN 的垂直平分线为m ，求直线m 与y 轴上的截距的取值范围.【答案】（1）2213x y -=；（2）(4,)+∞.【解析】（1）直线323:33l y =-过x 轴上一点(2,0)，由题意可得2c =，即224a b +=，双曲线的渐近线方程为b y x a=±，由两直线平行的条件可得b a =1a b ==，即有双曲线的方程为2213x y -=.（2）设直线1(0)y kx k =+≠，代入2213x y -=，可得22(13)660k x kx ---=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则12122266,1313k x x x x k k +==--，MN 中点为2231,1313kk k ⎛⎫ --⎝⎭，可得MN 的垂直平分线方程为221131313k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪--⎝⎭，令0x =，可得2413y k =-，由223624(13)0k k ∆=+->，解得232k <，又26031k <-，解得231k <，综上可得，2031k <<，即有2413k -的范围是(4,)+∞，可得直线m 与y 轴上的截距的取值范围为(4,)+∞.【变式3-2】已知动圆C 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦长为4，圆心C 的轨迹为曲线Γ.（1）求Γ的方程：（2）过点(1,0)P 的直线l 与F 相交于,M N 两点.设PN MP λ=，若[]2,3λ∈，求l 在y 轴上截距的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）⎡-⎣【解析】（1）设(,)C x y ，圆C 的半径为R ，则()()22222220R x x y =+=-+-整理，得24y x=所以Γ的方程为24y x =.（2）设1122(,),(,)M x y N x y ，又(1,0)P ，由PN MP λ=，得()()22111,1,x y x y λ-=--21211(1)x x y y λλ-=-⎧∴⎨=-⎩①②由②，得12222y y λ=，∵2211224,4y x y x ==∴221x x λ=③联立①､③解得2x λ=，依题意有0λ>(2,N N ∴-或，又(1,0)P ，∴直线l 的方程为())11y x λ-=-，或())11y x λ-=--，当[2,3]k ∈时，l 在y轴上的截距为21λ-或21λ--，21=[2,3]上是递减的，21λ≤≤-，21λ-≤-≤-∴直线l 在y轴上截距的取值范围为⎡--⎣.【变式3-3】已知两个定点A 、B 的坐标分别为()1,0-和()1,0，动点P 满足AP OB PB ⋅=（O 为坐标原点）．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设点(),0C a 为x 轴上一定点，求点C 与轨迹E 上点之间距离的最小值()d a ；(3)过点()0,1F 的直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，线段MN 的垂直平分线与x 轴交于D 点，求D 点横坐标的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩；（3）()3,+∞【解析】（1）设(),P x y ，()1,AP x y =+，()1,0OB =，()1,PB x y =--，()1101AP OB x y x ⋅=+⨯+⨯=+，B P =AP OB PB ⋅=，则1x +，所以2222121x x x x y ++=-++，即24y x =．（2）设轨迹E ：24y x =上任一点为()00,Q x y ，所以2004y x =，所以()()222200004CQ x a y x a x =-+=-+()()20200220x a x a x =--+≥，令()()()220000220g x x a x a x =--+≥，对称轴为：2a -，当20a -<，即2a <时，()0g x 在区间[)0,∞+单调递增，所以00x =时，()0g x 取得最小值，即2min 2CQ a =，所以min CQ a =，当20a -≥，即2a ≥时，()0g x 在区间[)0,2a -单调递减，在区间[)2,a -+∞单调递增，所以02x a =-时，()0g x 取得最小值，即()22min 2244CQ a a a =--+=-，所以minCQ =，所以(),22a a d a a ⎧<⎪=⎨≥⎪⎩（3）当直线l 的斜率不存在时，此时l ：0x =与轨迹E 不会有两个交点，故不满足题意；当直线l 的斜率存在时，设l ：1y kx =+，()11,M x y 、()22,N x y ，代入24y x =，得2+14y y k =⨯，即2440ky y -+=，所以124y y k +=，124y y k =，121212211242y y y y x x k k k k k--+-+=+==-，因为直线l 与轨迹E 在x 轴上方部分交于M 、N 两点，所以0∆>，得16160k ->，即1k <；又M 、N 两点在x 轴上方，所以120y y +>，120y y >，即40k>，所以0k >，又1k <，所以01k <<，所以MN 中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭，即2212,kk k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以垂直平分线为22121y x k k k k ⎛⎫-=--+ ⎝⎭，令0y =，得222111152248x k k k ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，因为01k <<，所以11k >，所以21115248x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在11k >时单调递增，所以22111511522134848k ⎛⎫⎛⎫-+>-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即3x >，所以D 点横坐标的取值范围为：()3,+∞.题型四斜率与倾斜角最值范围问题【例4】设12F F 、分别是椭圆2214x y +=的左、右焦点．（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求125=4PF PF ⋅-，求点P 的坐标；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB ∠为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）⎛ ⎝⎭；（2）2,2⎛⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【解析】（1）由题意知，2,1,a b c ===所以())12,F F ，设(,)(0,0)P m n m n >>，则22125(,),)34PF PF m n m n m n ⋅=-⋅-=+-=-，又2214m n +=，有222214534m n m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+-=-⎪⎩，解得1m n =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以P ；（2）显然0x =不满足题意，设直线l 的方程为2y kx =+，设()()1122,,A x y B x y ，，22221(14)1612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，解得234k >，①1212221612,4141k x x x x k k +=-=++，则212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++，又AOB ∠为锐角，则cos 0AOB ∠>，即0OA OB ⋅>，12120x x y y +>，所以21212121212(1)2()4x x y y y y k x x k x x +==++++2222212(1)1624(4)40414141k k k k k k k +⋅-=-+=>+++，解得204k <<，②由①②，解得322k -<<或322k <<，所以实数k的取值范围为(2,-.【变式4-1】已知椭圆:Γ22221(0x y a b a b +=>>）的左焦点为F ，其离心率22e =，过点F垂直于x 轴的直线交椭圆Γ于P ，Q两点，PQ （1）求椭圆Γ的方程；（2）若椭圆的下顶点为B ，过点D （2，0）的直线l 与椭圆Γ相交于两个不同的点M ，N ，直线BM ，BN 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的取值范围．【答案】（1）2212x y +=；（2）()1211,,2222k k ⎛⎫⎛+∈-∞⋃-⋃+∞⎪ ⎝⎭⎝【解析】（1）由题可知2222222c e a bPQ a a b c⎧==⎪⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得11a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆Γ的方程为：2212x y +=.（2）由题可知，直线MN 的斜率存在，则设直线MN 的方程为(2)y k x =-，11(,)M x y ，22(,)N x y .由题可知2212(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得2222(21)8820k x k x k +-+-=22222(8)4(21)(81)8(21)0k k k k ∆=--+-=-->，解得22k ⎛∈- ⎝⎭.由韦达定理可得2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+.由（1）知，点(0,1)B -设椭圆上顶点为A ，(0,1)A ∴，12DA k k ≠=-且12DB k k ≠=，∴()()1212121212211111k x k x y y k k x x x x -+-++++=+=+()()()221221228121212228212k k k x x k k k k x x k -⋅-++=+=+-+()242111212,,221212122k k k k k k ⎛⎫⎛=-==-∈+∞⋃-∞⋃ ⎪ +++⎝⎭⎝∴12k k +的取值范围为()11,,2222⎛⎫⎛-∞⋃-⋃+∞ ⎪ ⎝⎭⎝．【变式4-2】）已知椭圆1C 的方程为22143x y +=，双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点.（1）求双曲线2C 的方程；（2）若直线:2l y kx =+与双曲线2C 恒有两个不同的交点A 和B ，且1OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）(()1,1-【解析】（1）由题,在椭圆1C 中,焦点坐标为()1,0-和()1,0；左右顶点为()2,0-和()2,0,因为双曲线2C 的左、右焦点分别为1C 的左、右顶点，而2C 的左、右顶点分别是1C 的左、右焦点,所以在双曲线2C 中,设双曲线方程为22221x ya b-=,则221,4a c ==,所以2223b c a =-=,所以双曲线2C 的方程为2213y x -=（2）由（1）联立22213y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,消去y ,得()223470k x kx -++=①；消去x ,得()2223121230k y y k -+-+=②设()()1122,,,A x y B x y ,则12,x x 为方程①的两根,12,y y 为方程②的两根；21212227123,33k x x y y k k -+⋅=⋅=--，21212227123133k OA OB x x y y k k -+⋅=⋅+⋅=+>--，得23k >或21k <③,又因为方程①中,()22216384k k k ∆=-4⨯7-=-12+>0,得27k <④,③④联立得k的取值范围(()1,1⋃-⋃【变式4-3】已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2．（1）求C 的方程;（2）已知O 为坐标原点，点P 在C 上，点Q 满足9PQ QF =，求直线OQ 斜率的最大值.【答案】（1）24y x =；（2）最大值为13.【解析】（1）抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由题意，该抛物线焦点到准线的距离为222p p p ⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以该抛物线的方程为24y x =；（2）[方法一]：轨迹方程+基本不等式法设()00,Q x y ，则()00999,9PQ QF x y ==--，所以()00109,10P x y -，由P 在抛物线上可得()()200104109y x =-，即20025910y x +=，据此整理可得点Q 的轨迹方程为229525=-y x ，所以直线OQ 的斜率000220001025925910OQ y y y k y x y ===++，当00y =时，0OQ k =；当00y ≠时，0010925OQ k y y =+，当00y >时，因为0092530y y +≥，此时103OQ k <≤，当且仅当00925y y =，即035y =时，等号成立；当00y <时，0OQ k <；综上，直线OQ 的斜率的最大值为13.[方法二]：【最优解】轨迹方程+数形结合法同方法一得到点Q 的轨迹方程为229525=-y x ．设直线OQ 的方程为y kx =，则当直线OQ 与抛物线229525=-y x 相切时，其斜率k 取到最值．联立2,29,525y kx y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩得22290525k x x -+=，其判别式222940525⎛⎫∆=--⨯= ⎪⎝⎭k ，解得13k =±，所以直线OQ 斜率的最大值为13．题型五向量型最值范围问题【例5】在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:142x y C -=与椭圆222:142x y C +=，A ，B分别为1C 的左､右顶点，点P 在双曲线1C 上，且位于第一象限.（1）直线OP 与椭圆2C 相交于第一象限内的点M ，设直线PA ，PB ，MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，求1234k k k k +++的值；（2）直线AP 与椭圆2C 相交于点N （异于点A ），求AP AN ⋅的取值范围.【答案】（1）0；（2）()16,+∞【解析】（1）方法1：设直线():0OP y kx k =>，联立22142y kxx y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，消y ，得()22124k x -=，所以20120k k >⎧⎨->⎩，解得202k <<，设()()1111,0,0P x y x y >>，则11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以P ⎛⎫.联立22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y ，得()22124k x +=，设()()2222,0,0M x y x y >>，则22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以M ⎛⎫.因为()2,0A -，()2,0B ，所以211111221112821124224412k y y x y k k k x x x k k-+=+===-+---，222223422222821124224412ky y x y k k k x x x k k ++=+==--+--+，所以1234110k k k k k k ⎛⎫+++=+-= ⎪⎝⎭.方法2设()()1111,0,0P x y x y >>，()()2222,0,0M x y x y >>，因为()2,0A -，()2,0B ，所以11111221112224y y x yk k x x x +=+=-+-，22223422222224y y x yk k x x x +=+=-+-.因为点P 在双曲线1C 上，所以2211142x y -=，所以221142x y -=，所以1121x k k y +=.因为点Q 在椭圆线2C 上，所以2222142x y +=，所以222242x y -=-，所以2342x k k y +=-.因为O ，P ，M 三点共线，所以1212y y x x =，所以121234120x x k k k k y y +++=-=.（2）设直线AP 的方程为2y kx k =+，联立22224y kx k x y =+⎧⎨-=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k -+++=，解得12x =-，2224212k x k +=-，所以点P 的坐标为222424,1212k k k k ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭，因为点P 位于第一象限，所以222420124012k k k k ⎧+>⎪⎪-⎨⎪>⎪-⎩，解得202k <<，联立22224y kx k x y =+⎧⎨+=⎩，消y ，得()()22222184210k x k x k +++-=，解得32x =-，2422412kx k -=+，所以点N 的坐标为222244,1212k k k k ⎛⎫- ++⎝⎭，所以()22222224161422444221212121214k k k k kAP AN AP AN k k k k k +⎛⎫⎛⎫+-⋅=⋅=--+⋅= ⎪⎪-+-+-⎝⎭⎝⎭，设21t k =+，则312t <<，所以22161616314(1)48384t tAP AN t t t t t ⋅===---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.因为函数3()4f x x x=+在区间31,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以当312t <<时，3748t t <+<，所以30841t t ⎛⎫<-+< ⎪⎝⎭，所以1616384t t >⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，即16AP AN ⋅>，故AP AN ⋅的取值范围为()16,+∞.【变式5-1】已知O为坐标原点，椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为3，且经过点P．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与椭圆C交于A，B两点，直线OA的斜率为1k，直线OB的斜率为2k，且1213k k=-，求OA OB⋅的取值范围．【答案】（1）22193x y+=；（2）[3,0)(0,3]-.【解析】（1）由题意，223611caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，又222a b c=+，解得3,a b==所以椭圆C为22193x y+=.（2）设()()1122,,,A x yB x y，若直线l的斜率存在，设l为y kx t=+，联立22193y kx tx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y得：()222136390+++-=k x ktx t，22Δ390k t=+->，则12221226133913ktx xktx xk-⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又12k k=121213y yx x=-，故121213=-y y x x且120x x≠，即2390-≠t，则23≠t，又1122,y kx t y kx t=+=+，所以()()()222222222121212221212122691133939313-+++++-+==+=+==---+k t tkx t kx t kt x x ty y t kkk ktx x x x x x tk，整理得222933=+≥t k，则232≥t且Δ0>恒成立．221212121212222122393333133313--⎛⎫⋅=+=-==⋅=⋅=-⎪+⎝⎭t tOA OB x x y y x x x x x xk t t，又232≥t，且23≠t，故2331[3,0)(0,3)⎛⎫-∈-⎪⎝⎭t.当直线l的斜率不存在时，2121,x x y y==-，又12k k=212113-=-yx，又2211193x y+=，解得2192x=则222111233⋅=-==OA OB x y x．综上，OA OB ⋅的取值范围为[3,0)(0,3]-．【变式5-2】已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，的离心率为2，F 为双曲线的右焦点，直线l 过F 与双曲线的右支交于P Q ，两点，且当l 垂直于x 轴时，6PQ =；（1）求双曲线的方程；（2）过点F 且垂直于l 的直线'l 与双曲线交于M N ，两点，求MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围．【答案】（1）2213y x -=；（2）(],12-∞-【解析】（1）依题意，2c a =，当l 垂直于x 轴时，226b PQ a==，即23b a =，即223c a a -=，解得1a =，b =2213y x -=；（2）设:2PQ l x my =+，联立双曲线方程2213y x -=，得：()22311290m y my -++=，当0m =时，()()()()2,3,2,3,0,1,0,1P Q M N --，12MP NQ MQ NP ⋅+⋅=-，当0m ≠时，设()()()()11223344,,,,,,,P x y Q x y M x y N x y ，因为直线PQ 与双曲线右支相交，因此1229031y y m =<-，即m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，同理可得234293m y y m =-，依题意()()MP NQ MF FP NF FQ MF NF FP FQ =+⋅+=⋅+⋅⋅，同理可得，()()MQ NP MF FQ NF FP MF NF FP FQ =+⋅+⋅=⋅+⋅，而()212342111FP FQ MF NF m y y y y m ⎛⎫⋅+⋅=+++ ⎪⎝⎭，代入122931y y m =-，234293m y y m =-，()()()()()()222242224222919118163633133103133m m m m m FP FQ MF NF m m m m m m ++-+++⋅+⋅=+==----+--，分离参数得，2429663103m FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=---+，因为3333m ⎛⎫⎛∈⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，当210,3m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，由22110,3m m ⎛⎫+∈+∞ ⎪⎝⎭，()22966,61310FP FQ MF NF m m ⋅+⋅=-∈-∞-⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以()()2,12MP NQ MQ N FP FQ MF NF P ⋅=⋅+⋅∈∞-⋅-+，综上可知，MP NQ MQ NP ⋅⋅+的取值范围为(],12-∞-.【变式5-3】已知抛物线()2:20E x py p =>的焦点为F ，直线4x =分别与x 轴交于点P ，与抛物线E 交于点Q ，且54QF PQ =.（1）求抛物线E 的方程；（2）如图，设点,,A B C 都在抛物线E 上，若ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，求AB AC ⋅uu u r uuu r的最小值.【答案】（1）24x y =；（2）32【解析】（1）设点()04,Q y ，由已知000216524py p y y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，则8102p p p +=，即24p =.因为0p >，则2p =，所以抛物线E 的方程是24x y =.（2）设点()222312123123,,,,,444x x x A x B x C x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，直线AB 的斜率为()0k k >，因为AB BC ⊥，则直线BC 的斜率为1k-.因为AB BC =，则1223x x x x -=-，得()2312x x k x x -=-，①因为22121212444x x x x k x x -+==-，则124x x k +=，即124x k x =-，②因为223223231444x x x x k x x -+-==-，则234x x k +=-，即324x x k =--③将②③代入①，得()2242420x k k x k+--=，即()()322212120k k x k kk-+---=，则()()32211k xk k -=+，所以()()()()22222122··cos 451421AB AC AB AC AB x x k k x k ︒===-+=-+()()()()()2332222411614111k k k k k k k k ⎡⎤-+⎢⎥=-+=++⎢⎥⎣⎦因为212k k +≥，则()22214k k +≥，又()22112k k++≥，则()()3222121k k k +≥+，从而()()3222121kk k +≥+当且仅当1k =时取等号，所以AB AC 的最小值为32.题型六参数型最值范围问题【例6】已知点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆222:1(1)xC y a a+=>上，直线,OM ON 的斜率之积是13-，且22212x x a +=.（1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()0,2Q 的直线与椭圆C 交于点,A B ，且(1)QB t QA t =>，求t 的取值范围.【答案】（1）2213x y +=；（2）(]1,3【解析】（1）椭圆方程改写为:2222x a y a +=，点()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上，有222211a y a x =-，222222a y a x =-，两式相乘，得：()()()222222222241142122122a a a y y a x a x x x x x --==-++，由22212x x a +=，得222212241a y y x x =，由直线,OM ON 的斜率之积是13-，得121213y y x x =-，即222212129y y x x =，∴49a =，23a =，椭圆C 的方程为：2213x y +=.（2）过点()0,2Q 的直线若斜率不存在，则有()0,1A ，()0,1B -，此时3t =；当过点()0,2Q 的直线斜率存在，设直线方程为2y kx =+，由22213y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()22131290k x kx +++=，直线与椭圆C 交于点,A B 两点，∴()2221249(13)36360k k k ∆=-⨯⨯+=->，得21k >设()()1122,,,A x y B x y ''''，(1)QB t QA t =>，21x x t '='由韦达定理12122121212(1)13913k x x t x k x x tx k ''''-⎧+==+⎪⎪+⎨⎪⋅+'='=⎪⎩，消去1x '，得()229131441t k t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，由21k >，2101k<<，∴()2311641t t <<+，由1t >，解得13t <<，综上，有13t <≤，∴t 的取值范围为(]1,3【变式6-1】已知A 、B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，O 为坐标原点，=6AB ，点2,3⎛⎫⎪⎝⎭5在椭圆C 上．过点()0,3P -，且与坐标轴不垂直的直线交椭圆C 于M 、N 两个不同的点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点B 落在以线段MN 为直径的圆的外部，求直线的斜率k 的取值范围；（3）当直线的倾斜角θ为锐角时，设直线AM 、AN 分别交y 轴于点S 、T ，记PS PO λ=，PT PO μ=，求λμ+的取值范围．【答案】（1）22195x y +=；（2）227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）因为=6AB ，所以=3a ；又点2,3⎛⎫ ⎪⎝⎭5在图像C 上即()22252319b⎛⎫⎪⎝⎭+=，所以b 所以椭圆C 的方程为22195x y +=；（2）由（1）可得()3,0B ，设直线3l y kx =-：，设11(,)M x y 、22(,)N x y ，由22=-3=195y kx x y ⎧⎪⎨+⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>解得23k >或23k <-①∵点()3,0B 在以线段MN 为直径的圆的外部，则0BM BN ⋅>，又12212254+=5+936=5+9k x x k x x k ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩②211221212(3,)(3,)(1)3(1)()180BM BN x y x y k x x k x x ⋅=--=+-+++>，解得1k <或72k >由①②得227,,1,332k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈-∞-⋃⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）设直线3l y kx =-：，又直线的倾斜角θ为锐角，由（2）可知23k >，记11(,)M x y 、22(,)N x y ，所以直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，直线AN 的方程是：()2233y y x x =++.令=0x ，解得113+3y y x =，所以点S 坐标为1130,+3y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭；同理点T 为2230,+3y x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以1130,3+3y PS x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，2230,3+3y PT x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()0,3PO =.由PS PO λ=，PT PO μ=，可得：11333+3y x λ+=，22333+3y x μ+=，所以1212233y yx x λμ+=++++，由（2）得1225495k x x k +=+，1223695x k x =+，所以()()()1212121212122311333338229kx x k x x kx kx x x x x x x λμ--++-+-+=++=+++++()222254231189595254936369595k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪++⎝⎭=+⎛⎫++ ⎪++⎝⎭21012921k k k +=-⨯+++()()2110291k k +=-⨯++101291k =-⨯++，因为23k >，所以5131,0315k k +><<+，10142,2913k ⎛⎫-⨯+∈ ⎪+⎝⎭，故λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【变式6-2】设A ，B 为双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，的左、右顶点，直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形．（1）求双曲线C 的离心率；（2）已知4AB =，若直线AM ，AN 分别交直线1x =于P ，Q 两点，若()0D t ，为x 轴上一动点，当直线l 的倾斜角变化时，若PDQ ∠为锐角，求t 的取值范围．【答案】（1）2；（2）{2t t <-或}4t >【解析】（1）由双曲线C ：22221x y a b-=()00a b >>，可得：右焦点(),0F c ，将x c =代入2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>中，2by a=±，当直线l 垂直于x 轴时，AMN 为等腰直角三角形，此时AF FM =，即2b ac a+=，整理得：220a ac b +-=，因为222b c a =-，所以2220a ac c +-=，方程两边同除以2a 得：220e e +-=，解得：2e =或1-（舍去），所以双曲线C 的离心率为2；（2）因为24AB a ==，所以2a =，因为2c e a ==，解得4c =，故22212b c a =-=，所以双曲线的方程为221412x y -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：()4y k x =-，与双曲线联立得：()22223816120kxk x k -+--=，设()()1122,,,M x y N x y ，则212283k x x k +=-，212216123k x x k +=-，则()()()221212121244416y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦222221612321633k k k k k ⎛⎫+=-+ ⎪--⎝⎭22363k k -=-，因为直线l 过右焦点F 且与双曲线C 的右支交于,M N 两点，所以22121222816124,433k k x x x x k k ++=>=>--，解得：23k >，直线()11:22y AM y x x =++，则1131,2y P x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可求得：2231,2y Q x ⎛⎫⎪+⎝⎭，所以11,213y D x P t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，22,213y D x Q t ⎪+⎛⎫=- ⎝⎭，因为PDQ ∠为锐角，所以()()12221192202D y y x Q t x P D t ⋅=+-+>++，即()1122122109224y y x x x t x t +-+++>+，所以22222221203693161216433k k k k t k t k -⨯-++--+++>-所以21290t t +-->即()219t ->，解得2t <-或4t >；当直线l 的斜率不存在时，将4x =代入双曲线可得6y =±，此时不妨设()()4,6,4,6M N -，此时直线:2AM y x =+，点P 坐标为()1,3，同理可得：()1,3Q -，所以()1,3DP t =-，()1,3DQ t =--，因为PDQ ∠为锐角，所以2280DP DQ t t ⋅=-->，解得2t <-或4t >；综上所述，t 的取值范围{2t t <-或}4t >【变式6-3】22122:1y x C a b-=上的动点P 到两焦点的距离之和的最小值为22:2(0)C x py p =>的焦点与双曲线1C 的上顶点重合．（1）求抛物线2C 的方程；（2）过直线:(l y a a =为负常数）上任意一点M 向抛物线2C 引两条切线，切点分别为AB ，坐标原点O 恒在以AB 为直径的圆内，求实数a 的取值范围．【答案】（1）24x y =；（2）40a -<<.【解析】（1）由已知：双曲线焦距为，则长轴长为2，故双曲线的上顶点为(0,1)，即为抛物线焦点.∴抛物线2C 的方程为24x y =；（2）设(,)M m a ，2111(,)4A x x ，2221(,)4B x x ，故直线MA 的方程为211111()42y x x x x -=-，即21142y x x x =-，所以21142a x m x =-，同理可得：22242a x m x =-，∴1x ，2x 是方程242a xm x =-的两个不同的根，则124x x a =，2212121()416OA OB x x x x a a ∴⋅=+=+，由O 恒在以AB 为直径的圆内，240a a ∴+<，即40a -<<．。
高中数学圆锥曲线与最值及取值范围问题(附经典例题与解析)
圆锥曲线与最值问题【知识点分析】方法一、圆锥曲线的的定义转化法借助圆锥曲线定义将最值问题等价转化为易求、易解、易推理证明的问题来处理．（1）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （3）抛物线：到定点与定直线距离相等。
【相似题练习】1．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 是圆C ：x 2+y 2+2x ﹣8y +13＝0上任意一点，记抛物线上任意一点到直线x ＝﹣2的距离为d ，则|PQ |+d 的最小值为（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 1．已知双曲线C ：的右焦点为F ，P 是双曲线C 的左支上一点，M （0，2），则△PFM 周长最小值为 ．【知识点分析】 方法二、函数法二次函数2y ax bx c =++顶点坐标为24b ac b ⎛⎫-- ⎪，1．已知F 1，F 2为椭圆C ：+＝1的左、右焦点，点E 是椭圆C 上的动点，1•2的最大值、最小值分别为（ ） A ．9，7 B ．8，7 C ．9，8 D ．17，8【知识点分析】方法三、利用最短路径【问题1】“将军饮马”作法图形原理在直线l 上求一点P ，使P A +PB 值最小．作B 关于l 的对称点B ＇连A B ＇，与l 交点即为P ．两点之间线段最短． P A +PB 最小值为A B ＇．【问题2】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使△PMN 的周长最小．分别作点P 关于两直线的对称点P ＇和P ＇＇，连P ＇P ＇＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． PM +MN +PN 的最小值为 线段P ＇P ＇＇的长．【问题3】 作法图形原理在直线1l 、2l 上分别求点M 、N ，使四边形PQMN 的周长最小．分别作点Q 、P 关于直线1l 、2l 的对称点Q ＇和P ＇连Q ＇P ＇，与两直线交点即为M ，N ．两点之间线段最短． 四边形PQMN 周长的最小值为线段P ＇P ＇＇的长．【问题4】 作法图形原理作点P 关于1l 的对称点P ＇，作P ＇B ⊥2l 于B ，交l 于A ．点到直线，垂线段最短． P A +AB 的最小值为线段P ＇B 的长．l B A lPB'AB l 1l 2Pl 1l 2NMP''P'P l 1l 2N MP'Q'Q P l 1l 2P Q l 1A P'Pl 1l 2P小．【问题5】 作法图形原理A 为1l 上一定点，B 为2l 上一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．作点A 关于2l 的对称点A ＇，作点B 关于1l 的对称点B ＇，连A ＇B ＇交2l 于M ，交1l 于N ．两点之间线段最短． AM +MN +NB 的最小值为线段A ＇B ＇的长．【相似题练习】1．已知双曲线x 2﹣y 2＝1的右焦点为F ，右顶点A ，P 为渐近线上一点，则|PA |+|PF |的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．【知识点分析】方法四、利用圆的性质【相似题练习】1．已知椭圆，圆A ：x 2+y 2﹣3x ﹣y +2＝0，P ，Q 分別为椭圆C 和圆A 上的点，F （﹣2，0），则|PQ |+|PF |的最小值为（ ） A ． B ． C ． D ．l 2l 1ABNMl 2l 1M N A'B'AB【知识点分析】 方法五、切线法【相似题练习】1．如图，设椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的左右焦点为F 1，F 2，上顶点为A ，点B ，F 2关于F 1对称，且AB⊥AF 2（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）已知P 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，若△AF 1F 2的面积为，求点P 到直线l ：x ﹣y ﹣3＝0距离的最大值．【知识点分析】 方法六、参数法1．圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数θθθ⎩⎨⎧+=+=r b y r a x .2. 椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的参数方程可表示为)(.sin ,cos 为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x .3． 抛物线px y 22=的参数方程可表示为)(.2,22为参数t pt y px x ⎩⎨⎧==.【相似题练习】已知点A （2，1），点B 为椭圆+y 2＝1上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【知识点分析】方法七、基本不等式1、均值不等式定理： 若0a >，0b >，则2a b ab +≥，2、常用的基本不等式：①()222,a b ab a b R +≥∈；②()22,2a b ab a b R +≤∈；③()20,02a b ab a b +⎛⎫≤>> ⎪⎝⎭；④()222,22a b a b a b R ++⎛⎫≥∈ ⎪⎝⎭．【相似题练习】1．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点A 、B 在抛物线上，且∠AFB ＝，弦AB 的中点M 在准线l 上的射影为M ′，则的最大值为 ．方法七、利用三角形的三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
圆锥曲线经典题型总结(含答案)
圆锥曲线整理1．圆锥曲线的定义：(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)；(2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d .圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
%（2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：2222b x a y -＝1（0,0a b >>）。
（3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。
注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。
2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：椭圆：由x2,y 2分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
(完整版)圆锥曲线经典题目(含答案)
圆锥曲线经典题型一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．27．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=110．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．一．选择题（共10小题）1．直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，则此双曲线离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞） C．（1，+∞）D．（1，）∪（，+∞）【解答】解：∵直线y=x﹣1与双曲线x2﹣=1（b＞0）有两个不同的交点，∴1＞b＞0或b＞1．∴e==＞1且e≠．故选：D．2．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的左、右两个焦点，若＜0，则y0的取值范围是（）A．B．C． D．【解答】解：由题意，=（﹣﹣x0，﹣y0）•（﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，所以﹣＜y0＜．故选：A．3．设F1，F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得，其中O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为（）A．B． C．D．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=3|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=2|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴10a2=4c2，∴e=故选C．4．过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F作直线y=﹣x的垂线，垂足为A，交双曲线左支于B点，若=2，则该双曲线的离心率为（）A．B．2 C．D．【解答】解：设F（c，0），则直线AB的方程为y=（x﹣c）代入双曲线渐近线方程y=﹣x得A（，﹣），由=2，可得B（﹣，﹣），把B点坐标代入双曲线方程﹣=1，即=1，整理可得c=a，即离心率e==．故选：C．5．若双曲线=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x﹣2）2+y2=2相交，则此双曲线的离心率的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，2） C．（1，）D．（，+∞）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x﹣2）2+y2=2相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即∴b2＜a2，∴c2=a2+b2＜2a2，∴e=＜∵e＞1∴1＜e＜故选C．6．已知双曲线C：的右焦点为F，以F为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M，且MF与双曲线的实轴垂直，则双曲线C的离心率为（）A．B．C．D．2【解答】解：设F（c，0），渐近线方程为y=x，可得F到渐近线的距离为=b，即有圆F的半径为b，令x=c，可得y=±b=±，由题意可得=b，即a=b，c==a，即离心率e==，故选C．7．设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）上的一点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，已知PF1⊥PF2，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的一条渐近线方程是（）A．B．C．y=2x D．y=4x【解答】解：由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，又|PF1|=2|PF2|，得|PF2|=2a，|PF1|=4a；在RT△PF1F2中，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2，∴4c2=16a2+4a2，即c2=5a2，则b2=4a2．即b=2a，双曲线=1一条渐近线方程：y=2x；故选：C．8．已知双曲线的渐近线与圆x2+（y﹣2）2=1相交，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．（，+∞） B．（1，）C．（2．+∞）D．（1，2）【解答】解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆x2+（y﹣2）2=1相交∴圆心到渐近线的距离小于半径，即＜1∴3a2＜b2，∴c2=a2+b2＞4a2，∴e=＞2故选：C．9．如果双曲线经过点P（2，），且它的一条渐近线方程为y=x，那么该双曲线的方程是（）A．x2﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：由双曲线的一条渐近线方程为y=x，可设双曲线的方程为x2﹣y2=λ（λ≠0），代入点P（2，），可得λ=4﹣2=2，可得双曲线的方程为x2﹣y2=2，即为﹣=1．故选：B．10．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是（1，3），则△APF的面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由双曲线C：x2﹣=1的右焦点F（2，0），PF与x轴垂直，设（2，y），y＞0，则y=3，则P（2，3），∴AP⊥PF，则丨AP丨=1，丨PF丨=3，∴△APF的面积S=×丨AP丨×丨PF丨=，同理当y＜0时，则△APF的面积S=，故选D．二．填空题（共2小题）11．过双曲线的左焦点F1作一条l交双曲线左支于P、Q两点，若|PQ|=8，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是20．【解答】解：∵|PF1|+|QF1|=|PQ|=8∵双曲线x2﹣=1的通径为==8∵PQ=8∴PQ是双曲线的通径∴PQ⊥F1F2，且PF1=QF1=PQ=4∵由题意，|PF2|﹣|PF1|=2，|QF2|﹣|QF1|=2∴|PF2|+|QF2|=|PF1|+|QF1|+4=4+4+4=12∴△PF2Q的周长=|PF2|+|QF2|+|PQ|=12+8=20，故答案为20．12．设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使，O为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为．【解答】解：取PF2的中点A，则∵，∴2•=0，∴，∵OA是△PF1F2的中位线，∴PF1⊥PF2，OA=PF1．由双曲线的定义得|PF1|﹣|PF2|=2a，∵|PF1|=|PF2|，∴|PF2|=，|PF1|=．△PF1F2中，由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴（）2+（）2=4c2，∴e=．故答案为：．三．解答题（共4小题）13．已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣=1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求•的值．【解答】解：（1）设F2，M的坐标分别为，因为点M在双曲线C上，所以，即，所以，在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，，所以…（3分）由双曲线的定义可知：故双曲线C的方程为：…（6分）（2）由条件可知：两条渐近线分别为…（8分）设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，则点Q到两条渐近线的距离分别为，…（11分）因为Q（x0，y0）在双曲线C：上，所以，又cosθ=，所以=﹣…（14分）14．已知曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）和曲线C2：+=1有相同的焦点，曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍．（Ⅰ）求曲线C1的方程；（Ⅱ）设点A是曲线C1的右支上一点，F为右焦点，连AF交曲线C1的右支于点B，作BC垂直于定直线l：x=，垂足为C，求证：直线AC恒过x轴上一定点．【解答】（Ⅰ）解：由题知：a2+b2=2，曲线C2的离心率为…（2分）∵曲线C1的离心率是曲线C2的离心率的倍，∴=即a2=b2，…（3分）∴a=b=1，∴曲线C1的方程为x2﹣y2=1；…（4分）（Ⅱ）证明：由直线AB的斜率不能为零知可设直线AB的方程为：x=ny+…（5分）与双曲线方程x2﹣y2=1联立，可得（n2﹣1）y2+2ny+1=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，…（7分）由题可设点C（，y2），由点斜式得直线AC的方程：y﹣y2=（x﹣）…（9分）令y=0，可得x===…（11分）∴直线AC过定点（，0）．…（12分）15．已知双曲线Γ：的离心率e=，双曲线Γ上任意一点到其右焦点的最小距离为﹣1．（Ⅰ）求双曲线Γ的方程；（Ⅱ）过点P（1，1）是否存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点？若直线l存在，请求直线l的方程；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得e==，当P为右顶点时，可得PF取得最小值，即有c﹣a=﹣1，解得a=1，c=，b==，可得双曲线的方程为x2﹣=1；（Ⅱ）过点P（1，1）假设存在直线l，使直线l与双曲线Γ交于R、T两点，且点P是线段RT的中点．设R（x1，y1），T（x2，y2），可得x12﹣=1，x22﹣=1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）=（y1﹣y2）（y1+y2），由中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=2，可得直线l的斜率为k===2，即有直线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即为y=2x﹣1，代入双曲线的方程，可得2x2﹣4x+3=0，由判别式为16﹣4×2×3=﹣8＜0，可得二次方程无实数解．故这样的直线l不存在．16．已知双曲线C：的离心率e=，且b=．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）若P为双曲线C上一点，双曲线C的左右焦点分别为E、F，且•=0，求△PEF的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵C：的离心率e=，且b=，∴=，且b=，∴a=1，c=∴双曲线C的方程；（Ⅱ）令|PE|=p，|PF|=q由双曲线定义：|p﹣q|=2a=2平方得：p2﹣2pq+q2=4•=0，∠EPF=90°，由勾股定理得：p2+q2=|EF|2=12所以pq=4即S=|PE|•|PF|=2．。
(完整版)圆锥曲线常见题型及答案
圆锥曲线常见题型归纳一、基础题涉及圆锥曲线的基本概念、几何性质，如求圆锥曲线的标准方程，求准线或渐近线方程，求顶点或焦点坐标，求与有关的值，求与焦半径或长（短）轴或实（虚）轴有关的角和三角形面积。
此类题在考试中最常见，解此类题应注意：（1）熟练掌握圆锥曲线的图形结构，充分利用图形来解题；注意离心率与曲线形状的关系； （2）如未指明焦点位置，应考虑焦点在x 轴和y 轴的两种（或四种）情况；（3）注意2,2,a a a ，2,2,b b b ，2,2,c c c ，2,,2p p p 的区别及其几何背景、出现位置的不同，椭圆中222b a c -=，双曲线中222b a c +=，离心率a c e =，准线方程a x 2±=；例题：（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 （ ）A ．421=+PF PFB ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____ （答：双曲线的左支）（3）已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2）（4）已知方程12322=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22---）； （5）双曲线的离心率等于25，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2214x y -=）；（6）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=）二、定义题对圆锥曲线的两个定义的考查，与动点到定点的距离（焦半径）和动点到定直线（准线）的距离有关，有时要用到圆的几何性质。
此类题常用平面几何的方法来解决，需要对圆锥曲线的（两个）定义有深入、细致、全面的理解和掌握。
常考问题16 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题
知识与方法
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审题与答题
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热点一 圆锥曲线的弦长问题 【例 1】 如图，F1，F2 分别是椭圆 C：
ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点， A 是椭圆 C 的顶点，B 是直线 AF2 与椭圆 C 的另一个交点，∠F1AF2＝60°. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)已知△AF1B 的面积为 40 3，求 a，b 的值．
知识与方法
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审题与答题
由 S△AF1B＝12|AF1||AB| sin∠F1AB＝12a·156c·23＝253a2＝40 3，解 得 a＝10，b＝5 3. 法二 设|AB|＝t. 因为|AF2|＝a，所以|BF2|＝t－a. 由椭圆定义|BF1|＋|BF2|＝2a，可知|BF1|＝3a－t. 再由余弦定理(3a－t)2＝a2＋t2－2atcos 60°， 可得 t＝85a.由 S△AF1B＝12a·85a·23＝253a2＝40 3， 知 a＝10，b＝5 3.
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审题与答题
由题意可设直线 CD 方程为 y＝x＋m，
所以设 C(x3，y3)，D(x4，y4)， 将 y＝x＋m 代入x62＋y32＝1 得 3x2＋4mx＋2m2－6＝0，则|CD|＝ 2
x3＋x42－4x3x4＝43 9－m2， 又因为 Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3<m<3，
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审题与答题
将 A(x1，y1)，B(x2，y2)代入抛物线 C 的方程，整理得 4m2＋4m－ y20＝0,4n2＋4n－y20＝0，所以 m，n 是方程 4x2＋4x－y20＝0 的两根， 故 m＋n＝－1.所以对任意的直线 l，m＋n 为定值－1.
高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)完整版.doc
专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。
设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。
解得。
∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN 的长为15. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4-【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+， 则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值.【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-， 所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----， 又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+--()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k x k x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x k k x x k +=+-⋅=+， 方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=- ()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=， 所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ；（2）求证： OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =- ()()1122,,,OA x y OB x y ==u u u v u u u v， ∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++u u u v u u u v，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-， ∴OA OB ⋅u u u v u u u v是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的离心率为6,右焦点为(2,0).(1)求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 3【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA ⊥OB 知x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(k x 1+m ) (k x 2+m )=(1+k 2) x 1x 2+k m (x 1+x 2)=0 代入,得4 m 2=3 k 2+3原点到直线AB 的距离231m d k ==+ ， 当AB 的斜率不存在时, 11x y = ,可得, 13x d == 依然成立.所以点O 到直线的距离为定值32. 点睛： 本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x y b a a b-=>>渐近线方程为3y x =， O 为坐标原点，点(3,3M 在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q 为双曲线上不同两点，点O 在以PQ 为直径的圆上，求2211OPOQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y -=；（Ⅱ） 221113OP OQ+=. 【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M 的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ ⊥，可设出直线,OP OQ 的方程，代入双曲线方程求得点,P Q 的坐标可求得221113OPOQ+=。
圆锥曲线之定值定点问题 经典例题+题型归纳+解析
又
y1
−
y2
=
k(x1
+
x2
−
4)
=−
8k 1 + 4k2
，
所以直线
PQ
பைடு நூலகம்的斜率
kPQ
=
y1−y2 x1 − x2
=
1 2
，所以直线
PQ
的斜率为定值
，该值为
21 .
方法二 设直线 PQ 的方程为 y = kx + b，
点
P(x1,y1),Q(x2,y2)
则
y1
=
kx1
+
b,y2
=
kx2
+
b，所以
kPA
二、例题精讲
题型一: 斜率为定值
例1.
已知椭圆
C
： xa22
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)
的离心率为
3 2
，且过点
A(2,1)．若
P
，Q
是椭圆
C
上的两个动
点，且使 ∠PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，试判断直线 PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若
不是，请说明理由．
【解析】方法一 ：因为椭圆
由
y = kx +
x2 8
+
y2 2
b =
1
得（1
+
4k2)x2
+
8kbx
+
4b2
−
8
=
0
②则
x1
+
x2
=−
8kb 1 + 4k2
圆锥曲线最值(范围)与定值(定点)解答题
圆锥曲线最值（范围）与定值（定点）解答题1．已知圆22:4O x y +=，点M 是圆O 上任意一点，M 在x 轴上的射影为N ，点P 满足3NP NM =，记点P 的轨迹为E ．(1)求曲线E 的方程；(2)已知()1,0F ，过F 的直线m 与曲线E 交于,A B 两点，过F 且与m 垂直的直线n 与圆O 交于,C D 两点，求AB CD +的取值范围．【解析】(1)设点(),P x y ，由3NP NM =，得M x ⎛ ⎝，由点M 在圆22:4O x y +=上，所以224x +=，整理得22143x y +=，所以曲线E 的方程是22143x y +=(2)当直线m 的斜率为0时，AB 4=，CD =，4AB CD +=+ 当直线m 的斜率不存在时，3AB =，4CD =，7+=AB CD ， 当直线m 的斜率存在且不为0时，设m ：()1y k x =-，则n ：()11y x k=--点O 到直线n 的距离d ，所以CD = 将()1y k x =-代入曲线E 的方程22143x y +=，整理得 ()22224384120kx k x k +-+-=，设()11,A x y ，()22,B x y则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+，则()212212143k AB x k +=-=+，所以()2212143k AB CD k ++=++令)t ，则2122AB CD t t +=+，)2t ∈令()2122f t t t=+，)2t ∈，则()32420f t t '=-<，所以()f t 在)2上单调递减，所以()(7,4f t ∈+，即(7,4AB CD +∈+．综上所述，AB CD +的取值范围是7,4⎡+⎣．2．已知椭圆C 1:2222x y a b+=1(a >b >0)的右顶点与抛物线C 2:y 2=2px (p >0)的焦点重合，椭圆C 1的离心率为12，过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得弦的长度为(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程.(2)过点A (-4，0)的直线l 与椭圆C 1交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点?请判断并证明你的结论.【解析】 (1)设椭圆C 1的半焦距为c .依题意，可得a =2p，则C 2:y 2=4ax ， 代入x =c ，得y 2=4ac ，即y =±， 则有222212ac c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，所以a =2，b所以椭圆C 1的方程为2243x y +=1，抛物线C 2的方程为y 2=8x .(2)依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为x =ty -4，由22-43412x ty x y =⎧⎨+=⎩，得(3t 2+4)y 2-24ty +36=0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则E (x 1，-y 1).由Δ>0，得t <-2或t >2， 且y 1+y 2=22434t t +，y 1y 2=23634t +. 根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为Q (m ，0). 因为kNQ =kEQ ，所以2121---y yx m x m=，(x 1-m )y 2+(x 2-m )y 1=0， 即(ty 1-4-m )y 2+(ty 2-4-m )y 1=0，2ty 1y 2-(m +4)(y 1+y 2)=0， 即2t ·23634t +-(m +4)·22434tt +=0，得(3-m -4)t =(-m -1)t =0， 由t 是大于2或小于-2的任意实数知m =-1，所以直线EN 过定点Q (-1，0). 当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程为y =0，也经过点Q (-1，0)， 所以当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 恒过一定点Q (-1，0).3．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2FP 为椭圆C 上一动点，12F PF △(1)求椭圆C 的方程；(2)过右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】 (1)设椭圆C 的半焦距为c c a =到直线12F F 的距离最大，则有()12max122F PF Sc b bc =⋅⋅=，于是得bc =222a b c =+，联立解得2,1,a b c === 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=.(2)由(1)知，点)2F ，当直线斜率存在时，不妨设:(l y k x =，()11,A x y ，()22,B x y ，由22(44y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得，2222(14)1240k x x k +-+-=，12x x +=212212414k x x k -=+， 假定在x 轴上存在定点Q 满足条件，设点(,0)Q t ，则221212121212()())((QA QB x t x t y y x x t x x t k x x ⋅=--+=-+++22221212(1)))(3k x x t x x t k =+-++++222222124(1)314)k k t t k k -=+⋅-++++=，当24t -=，即t =213464QA QB t ⋅=-=-，当直线l 斜率不存在时，直线l ：x =C 交于点A ，B ，由对称性不妨令11),)22A B -，当点Q 坐标为时，3131,,8282QA QB ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11132264QA QB ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在定点Q ，使得QA QB ⋅为定值1364-.4．已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（Ⅱ）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记点A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值，求出此定值；否则，请说明理由．【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，则12c a =，则224a c =，22223b a c c =-=， 所以椭圆C 的方程为：2222143x y c c+=，将椭圆C 的方程与直线l 的方程联立得：222430x x c -+-=, 所以244(43)0c ∆=-⨯-=，解得：21c =， 所以24a =，23b =，故椭圆C 的方程为22143x y +=， 此时将21c =代入222430x x c -+-=得：2210x x -+=， 所以1x =，此时32y =。
2023届高考数学复习：精选好题专项(圆锥曲线)练习 (附答案)
2023届高考数学复习：精选好题专项(圆锥曲线)练习题组一、 圆锥曲线中的直线问题1‐1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M 为椭圆上位于x 轴上方的一点，，且的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程.1‐2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考） 已知直线1l：22y x =+与椭圆E ：22142x y +=相切于点M ，与直线2l：2y x t =+相交于点 N （异于点M ）．（1）求点M 的坐标；（2）直线2l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：ANM MNB ∽△△．2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 120MF MF ⋅=12MF F △2F 2AMB π∠=1-3、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A,B ，过点P 0,3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M,N 两点,直线BM 与AN 交于点G . （1）设AN,BN 的斜率分别为k ,k ,求k ∙k 的值; （2）求证：点G 在定直线上.1-4、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知双曲线22:12x C y -=上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ 的面积.题组二、 圆锥曲线中的最值问题2‐1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．()2:20C x py p ->AB OP 22‐4、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题3‐1、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，C 的右焦点F 与点M （0，2）的连线与C 的一条渐近线垂直．（1）求双曲线C 的标准方程：（2）经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ，①若O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围：②若点D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点 【3‐2、（江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.()2:20C x py p ->E ()222210x y a b a b +=>>2E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC=P BC OP ON 1k 2k 12k k3‐3、（江苏连云港2023届高三上学期期中考试） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值．题组四、 圆锥曲线中的探索性问题4-1、（湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷）（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，M 是C 上一点，2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为42. (1)求椭圆C 的离心率．(2)设)1,0(D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于B A .两点，过点D 作线段AB 的垂线，垂足为Q ，判断在y 轴上是否存在定点R ，使得||RQ 的长度为定值？并证明你的结论．4‐2、（南京市2023届高三年级学情调研） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．4‐3、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）设点P 为圆上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M 满足（点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为，直线NA 的斜率为，直线NB 的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22:4C x y +=2MQ =(4,0)T 31,2⎛⎫⎪⎝⎭1k 2k 12k k +参考答案题组一、 圆锥曲线中的直线问题1‐1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M 为椭圆上位于x 轴上方的一点，，且的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程.【答案解析】【要点分析】（1）依题意可得，根据椭圆的定义、三角形面积公式及勾股定理求出，即可求出，从而得解；（2）首先求出的坐标，分直线的斜率为与不为两种情况讨论，当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，推出，解得，进而可得答案．【小问1详解】解：因为，所以，即，所以，所以又，，，所以，即，所以，所以，所以椭圆方程为.【小问2详解】解：由（1）知，，所以，即， 当直线的斜率为时，此时，不合题意，2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 120MF MF ⋅=12MF F △2F 2AMB π∠=122F MF π∠=2a 2b M l 00l 0l x my =+11(,)A x y 22(,)B x y l 12y y +12y y MA MB⊥1212(0x x y y +-=m 120MF MF ⋅= 12MF MF ⊥ 122F MF π∠=1212122MF F MF MF S ⋅==△124MF MF ⋅=122MF MF a +=122F F c ==2221212MF MF F F +=()2121228MF MF MF MF +-=⋅24248a -⨯=24a =2222b a c =-=22142x y +=124MF MF ⋅=124MF MF +=122MF MF ==(M l 090AMB ∠≠︒当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，， 因为， 所以，所以，所以，所以， 所以， 解得或，当时，直线过点，不符合题意， 所以直线的方程为．1‐2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考） 已知直线1l：22y x =+与椭圆E ：22142x y +=相切于点M ，与直线2l：2y x t =+相交于点 N （异于点M ）．（1）求点M 的坐标；（2）直线2l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：ANM MNB ∽△△． 【答案解析】【要点分析】（1）通过解方程组进行求解即可；（2）将直线2l 方程与椭圆方程联立，结合椭圆弦长公式、相似三角形判定定理进行运算证明即可. 【小问1详解】l 0l x my =+11(,)A x y 22(,)B xy 22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩22(2)20m y ++-=1222y y m+=-+12222y y m -=+90AMB ∠=︒MA MB⊥1212(0x x y y +-=21212(1)1)()40m y y m y y ++-++=2222(1)4(1)4022m m m m m -+--+=++2230m m --=1m =-3m =1m =-l Ml 30x y --=解：222224y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，消y得：220x -+=，解得：x =，故)M ；【小问2详解】联立222y x y x t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解之得：,122t N t ⎫-+⎪⎪⎝⎭联立22224y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消y得：2220x t +-=， 由题可得：2Δ820t =->，∴12x x +=，2122x x t =-．12NA t ⎫=-⎪⎪⎭，22NB t ⎫=--⎪⎪⎭，()()212122223222332,2224NA NB x x t x x t t t t t ⎫⎫=--++⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎫⎫=--+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭2NM t ⎫=--=⎪⎪⎭， 2NM NA NB =，∴AN MNNM NB =，又ANB MNB ∠=∠，∴ANM MNB ∽△△ 1-3、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A,B ，过点P 0,3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M,N 两点,直线BM 与AN 交于点G . （1）设AN,BN 的斜率分别为k ,k ,求k ∙k 的值; （2）求证：点G 在定直线上. ．(本小题满分12分) 解：设),(),,(2211y x N y x M2222222221422x y x y x y k k -=-⋅+=⋅....................2分 2222154x y +=又22224(15x y =⋅-所以所以54451(4222221-=--=⋅x x k k .....................4分（2）设3:+=kx y PM 224520x y +=联立 得到02530)54(22=+++kx x k1223045kx x k -+=+所以2215425k x x +=⋅ 0)1(400)54(100900222>-=+-=∆k k k .....................6分直线:MB 2211-+=x x y y 直线:NA 2222+-=x x y y联立得:1212)2()2(22x y y x y y -+=-+.....................8分2121(2)(2)2524y y y y x x +++=-⋅-法一：525)(5452121212-=+++⋅-=x x x x k x x k..............10分解得34=y所以点G 在定直线34=y 上 .....................12分法二：由韦达定理得k x x x x 562121-=+2112221121(5)5221x kx kx x x y y kx x kx x x +++==-++所以5)(655)(65121221-=++-++-x x x x x x .........10分解得34=y所以点G 在定直线34=y 上 .....................12分1-4、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知双曲线22:12x C y -=上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ 的面积.解：(1)由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则联立直线与双曲线得：222(21)4220k x kmx m -+++=，0> ，故122421km x x k +=--，21222221m x x k +=-，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----， 化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--=，故2222(22)4(12)()4(1)02121k m kmm k m k k ++-----=--， 即(1)(21)0k m k ++-=，而直线l 不过A 点， 故l 的斜率 1.k =-(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan PAQ ∠=tan 22PAQ ∠=，由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α==，即1112y x -=-联立1112y x -=-221112x y -=得1103x -=，153y =，同理，2103x +=，253y --=， 故12203x x +=，12689x x =而1|||2|AP x =-，2|||2|AQ x =-，由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=，故12121||||sin |2()4|29PAQ S AP AQ PAQ x x x x =∠=-++= 题组二、 圆锥曲线中的最值问题2‐1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．．答案解析：（1）当在轴上时，即，设过点的切线方程为，与联立得，由直线和抛物线相切可得，，，∴，，（3分）由，解得， ∴抛物线的方程为．（5分） （2），∴，设，，则， 即，同理可得，（8分） 又为直线上的动点，设， 则，，由两点确定一条直线可得的方程为，()2:20C x py p ->P y ()0,1P -P 1y kx =-22x py =2220x pkx p -+=22Δ480p k p =-=2A B x x p =A B y y =)A()B OA OB ⊥(110+⨯=12p =C 2x y =2x y =2y x '=()11,A x y ()22,B x y ()1112y y x x x -=-112x x y y =+222x x y y =+P 1y x =-(),1P t t -1121x t t y =-+2221x t t y =-+AB 21xt t y =-+2AB =OP1c =1EF 2212x y +=1OP =y kx m=+2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222214220kx kmx m +++-=2216880k m ∆=-+>122421kmx x k -+=+21222221m x x k -=+∵，化简得．又设M 是弦AB 的中点，∴，， ∴，令， 则，∴（仅当时取等），又∵（仅当时取等号）． 综上，.2‐3、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，且12||3||.PF PF =(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆222x y a +=相交于C ，D 两点，求2||||AB CD ⋅的取值范围.解：(1)因为P 在椭圆上，所以12||||2PF PF a +=， 又因为12||3||PF PF =，所以2||2a PF =，13||2aPF =， 因为212PF F F ⊥，所以2222121||||||PF F F PF +=，又12||2F F =，所以22a =，2221b a c =-=，所以椭圆的标准方程为：22 1.2x y +=(2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2221AB k ==+2222122k m k +=+222,2121kmm M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭()222224121k OM m k +=⋅+()()()22222222241214122212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++2411k t +=≥()()24443134t OMt t t t==≤=-++++1OM ≤=-t=1OP OM MP OM ≤+=+≤214k -=max OP =联立直线l 与椭圆E 的方程：221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得22(2)210m y my ++-=， 12222m y y m -+=+，12212y y m-=+，所以弦长2122)||||2m AB y y m+=-=+， 设圆222x y +=的圆心O 到直线l的距离为d =，所以||CD ==，所以2222222212)2)3||||41222m m m AB CD m m m m+++⋅=⋅⋅==-++++ 因为233022m <+…，2132222m ∴-<+…，2||||AB CD ∴⋅<，所以2||||AB CD ⋅的取值范围2‐4、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．答案解析：（1）当在轴上时，即，设过点的切线方程为，与联立得，由直线和抛物线相切可得，，，∴，，（3分）由，解得， ∴抛物线的方程为．（5分）（2），∴，()2:20C x py p ->P y ()0,1P -P 1y kx =-22x py =2220x pkx p -+=22Δ480p k p =-=2A B x x p =A B y y =)A()B OA OB ⊥(110+⨯=12p =C 2x y =2x y =2y x '=设，，则， 即，同理可得，（8分） 又为直线上的动点，设， 则，，由两点确定一条直线可得的方程为， 即，（10分） ∴直线恒过定点， ∴点到直线距离的最大值为．（12分）题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题3‐1、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，C 的右焦点F 与点M （0，2）的连线与C 的一条渐近线垂直．（1）求双曲线C 的标准方程：（2）经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ，①若O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围：②若点D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点【答案解析】（1）由已知得22222()1c e a ba c c a b⎧==⎪⎪⎪⋅-=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得3a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即22:139x y C -=；（2）由题意设()()1122:2,,,,AB l y kx A x y B x y =+()11,A x y ()22,B x y ()1112y y x x x -=-112x x y y =+222x x y y =+P 1y x =-(),1P t t -1121x t t y =-+2221x t t y =-+AB 21xt t y =-+()()2110t x y ---=AB 1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭OAB 2OM ==则()12122222222121222124233341301312913933k y kx y y x x k k k x kx x y kx x y y k k ⎧⎧⎧=++=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⇒---=⇒⇒⎨⎨⎨---=⎪⎪⎪==⎪⎪⎪--⎩⎩⎩由题意得2120030k x x ∆>⎧⇒<<⎨<⎩①221212222131299128193333k k OA OB x x y y k k k -+-+⋅=+===+<---- ； ②由对称性得直线AD 过定点在y 轴上，设定点(0,)T t ，则有A ，T ，D 三点共线， 即1221122121211212AT DT y t y t x y x yk k x y x t x y x t t x x x x ---+=⇒=⇒+=+⇒=+()()21121212122222x kx x kx kx x t x x x x +++⇒==+++代入韦达定理得92t =-，即直线AD 过定点90,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．3‐2、（江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案解析】【要点分析】（1）根据条件列出关于a,b 的方程，求得a,b 的值，即得答案; （2）设直线方程，，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示P点坐标，结合，可得N 点坐标，从而可证明结论. 【小问1详解】E ()222210x y a b a b +=>>2E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC=P BC OP ON 1k 2k 12k k (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y MB NBMC NC=由椭圆：的离心率为，短轴长为2，可知 ，则 ，故的方程为；【小问2详解】证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，设，联立，可得，， 则， 所以，又，所以， 解得， 从而 ， 故，即为定值.3‐3、（江苏连云港2023届高三上学期期中考试） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E ()222210x y a b a b +=>>2,222c b a==22231,44b a a -=∴=E 2214x y +=l l (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y 2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2222(41)326440k x k x k +++-=22116(112)0,012k k ∆=->∴<<2212122232644,4141k k x x x x k k --+==++220002222164164,,(,414114)4(41k k k kx y x P k k k k k --==∴++++=+MB NB MC NC=31122344x x x x x x -+=+-2222121233212264432424()41411,3328841k k x x x x k k x y k k x x k --⨯+⨯++++===-=-++++(1,3)N k -03120313(3)44y y k k k x x k ⋅=⋅=-⨯-=12k k31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值． 【答案解析】【要点分析】（1）将椭圆上两点代入方程，得到方程组，求解，可得到a 、b ；（2）设出直线AB 方程y ＝k （x －1），得到D 点坐标()4,3k ，联立直线AB 与椭圆方程，得到A ，B 两点坐标之间的关系，根据坐标，分别表示出1k ，2k ，3k ，化简代入即可得到定值. 【小问1详解】将点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程()222210x y a b a b +=>>， 得222233141914a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=．【小问2详解】由题意直线AB 的斜率一定存在，由（1）知，c =1，则椭圆的右焦点坐标为()1,0， 设直线AB 方程为：y ＝k （x －1），D 坐标为()4,3k ．所以23312412k k k -==--， 设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线AB 方程与椭圆方程联立得()22223484120kxk x k +-+-=．()()()()22222844341214410k k k k ∆=--+-=+>恒成立，由韦达定理知2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，且()111y k x =-，()221y k x =-， 则()()121213121233331122221111y y k x k x k k x x x x ------+=+=+----()12121223221x x k x x x x +-=-⋅-++2222228233424128213434k k k k k k k-+=-⋅--+++21k =-．故13221212k k k k k +-==-（定值）． 题组四、 圆锥曲线中的探索性问题4-1、（湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷）（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，M 是C 上一点，2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为42. (1)求椭圆C 的离心率．(2)设)1,0(D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于B A .两点，过点D 作线段AB 的垂线，垂足为Q ，判断在y 轴上是否存在定点R ，使得||RQ 的长度为定值？并证明你的结论．【答案解析】(1)由题意知，点M 在第一象限．M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，M ∴的横坐标为c ，当c x =时，a b y 2=，即.,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c M …………………（2分） 又直线MN 的斜率为42，所以4222tan 2221===∠acb c a b F MF ， 即22222c a ac b -==，即02222=-+a ac c ，………………………………（4分）则01222=-+e e ，解得22=e 或2-=e （舍去）， 即.22=e …………………………………（5分）(2)已知)1,0(D 是椭圆的上顶点，则1=b ，椭圆的方程为1222=+y x ，………（6分）设直线AB 的方程为m kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，由⎩⎨⎧=++=2222y x m kx y 可得)*(0)1(24)21(222=-+++m kmx x k ， 所以221214kkm x x +-=+，222121)1(2k m x x +-=， 又)1,(11-=y x DA )1,(.22-=y x DB ， ………………………………（8分）)1)(1()1)(1(21212121-+-++=--+=⋅m kx m kx x x y y x x DB DA221212)1())(1()1(-++-++=m x x m k x x k021)1)(21()(4)1)(1(2)1(214).1(21)1(2).1(222222222222=+-++--+-=-++--++-+=k m k m m k k m m k km m k k m k ， 化简整理有01232=--m m ，得31-=m 或.1=m 当1=m 时，直线AB 经过点D ，不满足题意； ………………………………（10分） 当31-=m 时满足方程(*)中0>∆，故直线AB 经过y 轴上定点.31,0⎪⎭⎫ ⎝⎛-G 又Q 为过点D 作线段AB 的垂线的垂足，故Q 在以DG 为直径的圆上，取DG 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0R ，则||RQ 为定值，且=||RQ .32||21=DG …………………………（12分）4‐2、（南京市2023届高三年级学情调研） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．【答案解析】【要点分析】（1）结合中点坐标公式表示出点A 的坐标带入抛物线的方程即可求出结果； （2）设出直线的方程与抛物线联立，进而结合根与系数的关系得到TA TB ⋅的表达式，从而可得4040m ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，因此解方程组即可求出结果.【小问1详解】 因为(),0,0,22p F P ⎛⎫⎪⎝⎭，且点A 恰好为线段PF 中点，所以,14p A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为A 在抛物线上，所以2124p p =⋅，即22p =，解得P =【小问2详解】设(),T m n ，可知直线l 斜率存在；设l ：2y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程得：22y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，所以220y k -+=，所以1212,y y y y k k+==， 又：()()()1212)(TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--()()22121244y m y m y n y n ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝()()222222*********y y m y y m n y y n -++-++=2222484m m n k k k k k ⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭22244m m n k k+-+++=-，令4040m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解之得：4m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即)4T ，此时2218TA TB m n ⋅=+=4‐3、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）设点P 为圆上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M 满足（点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为，直线NA 的斜率为，直线NB 的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22:4C x y +=2MQ =(4,0)T 31,2⎛⎫⎪⎝⎭1k 2k 12k k +答案解析：（1）设点P 为，动点M 为，则Q 点为求得：又即点M 的轨迹方程为：4分（2）设直线AB 方程为：则消x 得 或设A 点，B 点则求得： 8分()00,x y (,)x y ()0,0x ()()00,,0,MQ x x y PQ y =--=-())0022,0,MQ x x y y =∴--=-002x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩2222004443x y x y +=∴+= 221(0)43x y y +=≠4x my =+224143x my x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()223424360m y my +++=()22(24)436340m m =-⨯+> △2m ∴>2m <-()11,x y ()22,x y 1212222436,3434m y y y y m m +=-⋅=++()121232my y y y =-+()()1212121221212123332392223339my y m y y y y k k my my m y y m y y ⎛⎫+-+--- ⎪⎝⎭∴+=+=+++++()()()1212123923392m y y m y y m y y -+-=-++++()()1212392392m y y m y y -+-=++1=-。
2025高考数学圆锥曲线中的最值、范围问题课件练习题
训练1
例2
训练2
返回目录
突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
方法技巧
圆锥曲线中最值(范围)问题的求解方法
几何法
若题目的条件和结论明显能体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来
解决.
若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立目标函数，再
代数法 求这个函数的最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、基本不
第八章
平面解析几何
突破2 圆锥曲线中的最值、范围问题
目录
Contents
01
练习 练透好题 精准分层
突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
命题点1 最值问题
例1 [2023全国卷甲]已知直线 x －2 y ＋1＝0与抛物线 C ： y 2＝2 px ( p ＞0)交于 A ， B
两点，｜ AB ｜＝4 15 .
.
例1
训练1
例2
训练2
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突破2
圆锥曲线中的最值、范围问题
又 · ＝( x 3 －1， y 3 )·( x 4 －1， y 4 )＝ x 3 x 4 －( x 3 ＋ x 4 )＋1＋ y 3 y 4 ＝0，
所以
2
2
－
4−2
2
＋1＋
4
＝0，化简得 m 2 ＋ k 2 ＋6 km ＝4.
(2)若动点 P 与双曲线 C 的两个焦点 F 1， F 2的距离之和为定值(大于｜ F 1 F 2｜)，且
cos
1
∠ F 1 PF 2的最小值为－ ，求动点 P 的轨迹方程.
9
[解析]
2
2
由椭圆定义得 P 点轨迹为椭圆，可设其轨迹方程为 2 ＋ 2 ＝1( a ＞ b ＞0)，
圆锥曲线中的最值(范围)问题-(通用版)(解析版)
专题4 圆锥曲线中的最值（范围）问题解析几何中的最值（范围）问题，主要是结合直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系的进行命题，要求证明、探索、计算线段长度（距离）或图形面积或参数等有关最值问题.从高考命题看，此类问题以主观题形式考查，多步设问，逐步深入考查分析问题解决问题的能力.圆锥曲线中的最值（范围）问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法（在选填题部分已重点讲解），即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、均值不等式方法等进行求解.而解答题部分主要使用代数法。
题型1 线段（距离）类的最值（范围）问题1．（2021·四川成都市·高三三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的长轴长为，其离心率为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若A ，B 是椭圆C 上两点，且2AB =，求线段AB 中点M 到原点O 的最大距离．【答案】（1）2212x y +=；（21． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质求出,,a b c 可得椭圆的标准方程；（2）当直线AB 斜率不存在时，0OM =；当直线AB 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，联立直线与椭圆，根据弦长公式得到2222122k m k +=+，得到||OM 关于k 的函数关系式，再换元后根据基本不等式可求出结果.【详解】（1）由已知，2a =，所以a =又离心率为c a =，即a =，故1c =，进而1b =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，当直线AB 斜率不存在时，由题意可得AB 就是短轴，中点与原点重合，0OM =， 当直线AB 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()222214220k x kmx m +++-=， ()()()22222216421228210k m k m k m ∆=-⨯+-=+->，122421km x x k ∴+=-+，21222221m x x k -=+， 所以212122242()222121k m my y k x x m m k k +=++=-+=++， 222,2121km m M k k -⎛⎫∴ ⎪++⎝⎭，()()2222241||21k m OM k +∴=+，由2||221AB k ===+，化简得2222122k m k +=+， ()()()222222222412141||22212221k k k OM k k k k +++∴=⋅=++++， 令2411k t +=≥，则244||43(1)(3)4t OM t t t t==≤=-++++，当且仅当t =时取等号，||1OM ∴≤，max ||1OM ∴=，当且仅当214k =时取等号．即AB 中点M 到原点O1． 【点睛】利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2．（2021·浙江高三期末）如图，已知抛物线21:C x y =在点A 处的切线l 与椭圆222:12x C y 相交，过点A 作l 的垂线交抛物线1C 于另一点B ，直线OB （O 为直角坐标原点）与l 相交于点D ，记()11,A x y 、()22,B x y ，且1>0x ．（1）求12x x -的最小值；（2）求DO DB的取值范围．【答案】（1）2；（2）40,17⎛⎫⎪⎝⎭． 【分析】（1）利用导数求出抛物线1C 在点A 处的切线方程，将切线方程与椭圆方程联立，由0∆>求出21x 的取值范围，求出直线AB 的方程，并将直线AB 的方程与抛物线1C 的方程联立，由韦达定理得出12112x x x +=-，再利用基本不等式可求得12x x -的最小值；（2）记点O 、B 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，求出1d 、2d ，可得出12DO d DBd =，结合21x 的取值范围可求得DO DB的取值范围. 【详解】（1）对函数2yx 求导得2y x '=，所以抛物线1C 在点A 处的切线方程为()1112y y x x x -=-，即2112y x x x =-，联立21122212y x x x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()2234111188220x x x x x +-+-=， 所以()()62411164418220x x x∆=-+->，解得2104x <<，所以直线AB 的方程为2111122y x x x =-++， 联立21121122y x x x x y⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得23111220x x x x x +--=，所以12112x x x +=-，所以12111222x x x x -=+≥=，当且仅当112x =时取等号，所以12x x -的最小值为2； （2）记点O 、B 到直线l 的距离分别为1d 、2d ，所以21d =，211211214124x x x x d ⎫+=+=⎪⎭， 所以()4112222121441414DOd x DB d x x ===⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为2104x <<，所以2114x +>， 所以222440,1714DODBx ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以DO DB 的取值范围为40,17⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．3．（2021·全国高三专题练习（理））设O 为坐标原点，M 是x 轴上一点，过点M 的直线交抛物线C ：24y x =于点A ，B ，且4OA OB ⋅=-．（1）求点M 的坐标；（2）求232BM AM-的最大值．【答案】（1）()2,0；（2）2．【分析】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0M m ，由4OA OB ⋅=-得到128y y =-，设直线:AB x ty m =+与抛物线方程联立，由根与系数的关系得到2m =，即可得到点M 的坐标；（2）由题意及弦长公式得到AM ，BM ，利用根与系数的关系得到221114AMBM+=，进而得232BM AM-的表达式，然后构造函数，利用函数的单调性求函数的最大值，即可得到232BM AM-的最大值．【详解】（1）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，(),0M m ， 则222212121212,,44416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得128y y =-，设直线:AB x ty m =+，联立方程，得2,4,x ty m y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty m --=， 由根与系数的关系知，1248m y y -==-，所以2m =，故点M 的坐标为()2,0．（2）由（1）知，124y y t +=，128y y =-．易知1AM y =，2M B =， 所以()()22222212111111t y t y AM BM+=+++()()222122222121616141641y y t t y y t ++===++， 则222321132||3284BM BM BM AM BM BM ⎛⎫-= -⎪-=-- ⎪⎝⎭． 令()2328u f u u =--，2u >，则()3641f u u='-，所以()f u 在()2,4上单调递增，在()4,+∞上单调递减， 所以()()min 42f u f ==，即232BM AM-的最大值是2，当且仅当4BM =时取等号．【点睛】圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多样，但主要有两种方法：一是几何方法，即利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数式表示为某个（些）参数的函数，然后利用函数、不等式的知识等进行求解．4．（2021·山西临汾市·高三二模（理））已知点()21Q ，在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，且点Q 到C的两焦点的距离之和为（1）求C 的方程；（2）设圆228:5O x y +=上任意一点P 处的切线l 交C 于点M ，N ，求OM ON ⋅的最小值．【答案】（1）22182x y +=；（2）165． 【分析】（1）由椭圆定义得a ，把已知点的坐标代入方程求得b ，从而得椭圆方程； （2）设直线方程为y kx b =+，1122(,),(,)M x y N x y ，由直线与圆相切得22588b k =+， 直线方程与椭圆方程联立，消元后应用韦达定理代入求得0OM ON ⋅=，得2MON π∠=，斜率不存在时求得,M N 点坐标后也得此结论，然后设(cos ,sin )M OM OM θθ，cos(),sin 22N ON ON ππθθ⎛⎫±±⎪⎝⎭，代入椭圆方程，然后计算2288OM ON ⋅得最大值，从而可得OM ON ⋅的最小值．【详解】（1）由题意2a =，a =(2,1)Q 在椭圆上，所以24118b+=，b = 椭圆方程为22182x y +=．（2）当直线MN斜率不存在时，直线方程为x =把x =y =M，N ， 0OM ON ⋅=，所以2MON π∠=，同理x =2MON π∠=；当直线MN 斜率存在时，设直线方程为y kx b =+，1122(,),(,)M x y N x y ，=225880b k --=，(*) 由22182y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(41)8480k x kbx b +++-=，则12221228414841kb x x k b x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 22121212121212()()(1)()OM ON x x y y x x kx b kx b k x x kb x x b ⋅=+=+++=++++22222222488588(1)414141b kb b k k kb b k k k ---⎛⎫=+⨯+⨯-+= ⎪+++⎝⎭, 由(*)得0OM ON ⋅=，所以2MON π∠=，综上，2MON π∠=，设xOM θ∠=，则2xON πθ∠=±，(cos ,sin )M OM OM θθ，cos(),sin 22N ON ON ππθθ⎛⎫±±⎪⎝⎭，因为,M N 在椭圆22182x y +=上，所以2222cos sin 182OM OM θθ+=，2228cos 4sin OMθθ=+，同理2228sin 4cos ONθθ=+，2222222288(cos 4sin )(sin 4cos )(13sin )(13cos )OMONθθθθθθ⋅=++=++222299139sin cos 4(2sin cos )4sin 244θθθθθ=++=+=+，2sin 2[0,1]θ∈，所以sin 21θ=时，2288OMON⋅取得最大值254，所以OM ON165=． 【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交，考查直线相切．解题关键是首先利用设而不求的思想方法结合韦达定理求得2MON π∠=，然后设点的坐标(cos ,sin )M OM OM θθ，cos(),sin 22N ON ON ππθθ⎛⎫±±⎪⎝⎭，易得出OM ON ⋅的最小值．题型2面积类的最值（范围）问题1、（2021江西南昌高三模拟）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，焦距为4，直线1l ：by x c=与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 面积的取值范围．【解析】（1）由椭圆焦距为4，设()12,0F -，()22,0F ，连结1EF ，设12EF F α∠=， 则b tan c α=，又222a b c =+，得,b csin cos a aαα==， ∴ ()121229012|+|90F F c sin a c e b c a EF EF b c a sin sin a aαα======++-+，解得222a bc c b c =+⇒==，28a =，所以椭圆方程为22184x y +=；（2）设直线2l 方程：+y x m =-，()11,C x y 、()22,D x y ，由22184+x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2234280x mx m -+-=，所以1221243283x x m m x x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由（1）知直线1l ：y x =，代入椭圆得,A B ⎛ ⎝，得3AB =，由直线2l 与线段AB 相交于点P，得m ⎛∈ ⎝ ，12CD x =-===而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥，∴ 12ACBD S AB CD =⨯=，由m ⎛∈ ⎝，得232,03m ⎛⎤-∈- ⎥⎝⎦3232,93⎛⎤ ⎥⎝⎦， ∴四边形ACBD 面积的取值范围3232,93⎛⎤⎥⎝⎦．2．（2021·浙江高三模拟）已知：抛物线21:2C y x =，曲线()222:104x C y x +=<，过2C 上一点P 作1C 的两条切线，切点分别为A ．（1）若()2,0P -，求两条切线的方程；（2）求PAB △面积的取值范围．【答案】（1）()122y x =±+；（2）(]1,8. 【分析】（1）设所求切线的方程为()2y k x =+，将该直线的方程与抛物线的方程联立，由0∆=可求出k 的值，即可求得所求的两条切线的方程；（2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()P m n ,，写出抛物线22y x =在点A 、B 处的切线方程，将点P 的坐标代入两切线方程，可求得直线AB 的方程，将直线AB 的方程与抛物线1C 的方程联立，列出韦达定理，利用三角形的面积公式可得出PAB △面积关于m 的表达式，利用函数思想可求得PAB △面积的取值范围. 【详解】（1）显然切线斜率存在，设切线方程为()2y k x =+，由()222y k x y x ⎧=+⎨=⎩，得2240-+=ky y k ，由204160k k ≠⎧⎨∆=-=⎩，得12k =±， 因此，两条切线的方程为()122y x =±+； （2）设()11,A x y 、()22,B x y 、()P m n ,，先证明出抛物线22y x =在其上一点()00,x y 处的切线方程为00y y x x =+.证明：联立0022y y x x y x=+⎧⎨=⎩，消去x 可得200220y y y x -+=，即220020y y y y -+=，即()200y y -=，解得0y y =，所以，直线00y y x x =+与抛物线22y x =相切于点()00,x y .所以，切线PA 的方程为11yy x x =+，可得11ny m x =+，切线PB 的方程为22yy x x =+，可得22ny m x =+，AB ∴的方程为ny m x =+，P 到AB的距离d =．由22ny m x y x=+⎧⎨=⎩，得2220y ny m -+=， 由韦达定理可得122y y n +=，122y y m =，()P m n ,为曲线2C 上一点，则2214m n +=，所以，2214m n =-且20m -≤<，AB ==220n m ->，()332222121224PABm SAB d n m m ⎛⎫=⋅==-=-- ⎪⎝⎭，20m -≤<，()(]22121451,444m m m --+=-++∈，则(]322121,84PABm S m ⎛⎫--∈⎪⎝⎭= .因此，PAB △面积的取值范围为(]1,8．【点睛】利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆； （3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.3．（2021·浙江高三其他模拟）如图，已知椭圆2214x y +=的左、右顶点分别为A ，B ，()2,2P ，线段OP（O 为坐标原点）交椭圆于点C ，D 在线段OC 上（不包括端点），连接AD 并延长，交椭圆于另一点E ，连接PE 并延长，交椭圆于另一点F ，连接BF ，DF ．记1S ，2S 分别为BCD △和BDF 的面积．（1）求OC 的值；（2）求12S S ⋅的最大值．【答案】（1；（2）25．【分析】（1）先根据点P 的坐标得到直线OP 的方程，并将其与椭圆的方程联立，求出点C 的坐标，再利用两点间的距离公式求OC 的值即可；（2）设出直线PF 的方程，将其与椭圆方程联立，结合根与系数的关系得到AF BD k k =，进而可得BCD △和BDF 的面积的表达式，最后利用基本不等式求最值即可． 【详解】解：（1）因为()2,2P ，所以直线OP 的方程为y x =，将直线OP 的方程与椭圆的方程联立，可得221,4x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又由题意得点C位于第一象限，所以C．因此5OC ==． （2）由题意易知直线PF 的斜率一定存在且大于1，故设直线PF 的方程为()22y k x -=-（1k >），即22y kx k =+-，联立方程，得221,422,x y y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩化简得()()()2221416144830k x k k x k k ++-+-+=，由0∆>得()()()22216141444830k k k k k --+⨯-+>⎡⎤⎣⎦，即830k ->，得38k >，故1k >． 设()11,E x y ，()22,F x y ，则()()1222122161,144483.14k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⎨-+⎪=⎪+⎩易知()2,0A -，连接AF ，所以直线AE 的斜率112AE y k x =+，直线AF 的斜率222AF y k x =+，所以12122211AE AF x x k k y y +++=+()()()()()()1221122222222222x kx k x kx k kx k kx k ++-+++-=+-+- ()()()()12122212122242222(22)kx x x x k k x x k k x x k +++-=+-++-()()()()()()()()()222222284831622422144483822222214k k k k k k k k k k k k k k k -++-+-+=-++--+-+81648kk-=-2=．①因为点D 在直线y x =上，所以D D x y =，又()2,0B ， 所以直线AD 的斜率2D AD D y k x =+，直线BD 的斜率2DBD D y k x =-，所以22112D D AD BD D D x x k k y y +-+=+=．② 又11AE AD k k =，③ 则由①②③可得11AF BDk k =，即AF BD k k =．设(),D m m（0m <<），则2122BDFBDAS S SBAm m ===⋅=． 又C，所以CD m m ⎫==-=-⎪⎭又点B 到直线CD 的距离d ==所以11122BDCS SCD d m m ⎫==⋅=-=-⎪⎭． 因此2122225S S m m ⎡⎤⎫⋅=-≤=⎪⎭⎢⎥⎣⎦，当且仅当m m =-，即5m =时等号成立，所以12S S ⋅的最大值是25． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．4．（2021·全国高三其他模拟）已知1A ，2A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点，B 为椭圆C 的上顶点，点2A 到直线1A B，椭圆C 过点⎝．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线l 过点1A ，且与x 轴垂直，P ，Q 为直线l 上关于x 轴对称的两点，直线2A P 与椭圆C 相交于异于2A 的点D ，直线DQ 与x 轴的交点为E ，当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时，求直线2A P 的方程．【答案】（1）22143x y +=；（2）360x -=或360x -=． 【分析】（1）由点到直线的距离得一个,a b 的关系式，已知点的坐标代入又得一个关系式，，两者联立解得,a b ，得椭圆方程；（2）设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，依次求得P 点，Q 点，D 点，E 点坐标，然后计算面积之差222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△，再结合基本不等式求得最大值．由此可得直线方程．【详解】（1）由题意知2(,0)A a ，1(,0)A a -，(0,)B b ，则直线1A B 的方程为by x b a=+， 即0bx ay ab -+=，所以点2A 到直线1A B的距离d ==2234b a =．① 又椭圆C过点3⎛ ⎝，所以224213a b +=．② 联立①②，解得24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）由（1）知2(2,0)A ，直线l 的方程为2x =-．由题意知直线2A P 的斜率存在且不为0， 设直线2A P 的方程为2(0)x my m =+≠，联立2,2,x x my =-⎧⎨=+⎩解得2,4,x y m =-⎧⎪⎨=-⎪⎩即42,P m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，42,Q m ⎛⎫- ⎪⎝⎭．联立222(0),1,43x my m x y =+≠⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234120m y my ++=，解得0y =或21234m y m -=+． 由点D 异于点2A 可得2226812,3434m m D m m ⎛⎫-+- ⎪++⎝⎭， 所以直线DQ 的方程为222124684(2)203434m m x y m m m m ⎛⎫--+⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 令0y =，得226432E m x m -+=+，所以22222641223232m m A E m m -+=-=++， 所以2PA Q △与PEQ 的面积之差为222PA Q PEQ PA E S S S -=△△△． （利用点的对称关系，将面积差问题转化为求2PA E S △）因为2222112448||48222232323||||PA Em m S m m m m m -=⨯⋅⋅==≤+++△当且仅当m =时取等号．（在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑"等技巧）故当2PA Q △与PEQ 的面积之差取得最大值时，直线2A P的方程为360x +-=或360x -=． 【点睛】本题考查求椭圆方程，考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方法：设直线2AP 方程为2(0)x my m =+≠，直线与直线相交得交点坐标，直线与椭圆相交得交点坐标，然后求得三角形面积（之差），再结合基本不等式求得最大值，得出结论． 题型3斜率类的最值（范围）问题1．（2021·成都市高三模拟）设椭圆22213x y a +=（a >）的右焦点为F ，右顶点为A ．已知113e OF OA FA +=，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率．（1）求椭圆的方程；（2）设过点A 的直线l 与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ．若BF HF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线l 的斜率的取值范围． 【解析】（1）设(),0F c ，由113eOF OA FA+=，即()113c c a a a c +=-，2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=．（2）设直线l 的斜率为k （0k ≠），则直线l 的方程为()2y k x =-．设()11,B x y ，()22,M x y ，()30,H y ．在△MAO 中，MOA MAO MA MO ∠≤∠⇔≤，即()222222222x y x y -+≤+，化简得21x ≥． 由方程组()221432x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，整理得()2222431616120k x k x k +-+-=．于是2128643k x k -=+， 从而121243ky k =-+．由（1）知()1,0F ，所以()31,FH y =-，2229412,4343k k BF k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，由BF HF ⊥，得0BF HF ⋅=，所以2322129404343ky k k k -+=++，解得239412k y k-=， 因此直线MH 的方程为219412k y x k k-=-+．由方程组()2194122k y x k k y k x ⎧-=-+⎪⎨⎪=-⎩，消去y ，解得()222209121k x k +=+．于是()222091121k k +≥+，解得k ≤或k ≥， 所以直线l的斜率的取值范围为6,,4⎛⎡⎫-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭．【点评】由MOA MAO ∠≤∠，可得到不等式21x ≥，此时只要用k 去表示2x ，就能得到有关k 的不等式，这也是k 需要满足的唯一一个不等式，解这个不等式就能求出k 的取值范围．2．（2020·上海高三其他模拟）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>长轴的两顶点为A 、B ，左右焦点分别为1F 、2F ，焦距为2c 且2a c =，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在双曲线22:143x y T -=上取点Q （异于顶点），直线OQ 与椭圆C 交于点P ，若直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为1k 、2k 、3k 、4k ．试证明：1234k k k k +++为定值；（3）在椭圆C 外的抛物线K ：24y x =上取一点E ，1EF 、2EF 的斜率分别为1'k 、2'k ，求121''k k 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明过程见详解；（3）5(,0)(0,)24-⋃+∞. 【分析】（1）本小题先建立方程组2222223a cb a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再求出2a =，b =1c =，最后求出椭圆C 的方程即可；（2）本小题先得到112132x k k y +=-，再得到234232x k k y +=，接着判断1122x y x y =，最后得到结论即可； （3）本小题先用233(,)4y E y 表示出432123161''16y k k y -=，（2383y >且32y ≠-），再建立函数1()16t f t t =-求导得到()f t 的取值范围，最后求导121''k k 的取值范围. 【详解】（1）因为过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为3，所以223ba=，所以2222223a c b a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：2a =，b =1c =，所以椭圆C 的方程：22143x y +=； （2）由（1）可知：(2,0)A -、(2,0)B 、1(1,0)F -、2(1,0)F ，设点11(,)P x y ，则2211143x y +=，整理得：2211443y x -=-， 1111111122211111223422423y y x y x y x k k y x x x y +=+===-+---； 设点22(,)P x y ，则2222143x y -=，整理得：2222443y x -=， 2222222342222222223422423y y x y x y xk k y x x x y +=+===+--.又因为OP 与OQ 共线，所以12x x λ=，12y y λ=，所以1122x y x y =， 所以121212341212333()0222x x x x k k k k y y y y +++=-+=-+=，所以1234k k k k +++为定值； （3）设233(,)4y E y ，由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：222383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由E 在椭圆C 外的抛物线K ：24y x =上一点，则2383y >， 则3123'14y k y =+，（2383y >且32y ≠-）；3223'14y k y =-，（2383y >且32y ≠-）， 则23331222433316''161144y y y k k y y y =⋅=--+，（2383y >且32y ≠-）， 则432123161''16y k k y -=，（2383y >且32y ≠-）， 令23y t =，（83t >且4t ≠），设1()16t f t t =-，（83t >且4t ≠），则211'()016f t t =+>，所以1()16t f t t=-在8(,4)3，(4,)+∞上单调递增， 所以()f t 的取值范围：5(,0)(0,)24-⋃+∞，所以121''k k 的取值范围5(,0)(0,)24-⋃+∞. 【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，圆锥曲线相关的定值问题、圆锥曲线相关的参数取值范围问题，是偏难题.3．（2021·广东茂名市·高三月考）已知点N 为圆1C ：()22116x y ++=上一动点，圆心1C 关于y 轴的对称点为2C ，点M ､P 分别是线段1C N ，2C N 上的点，且20MP C N ⋅=，222C N C P =.（1）求点M 的轨迹方程；（2）过点()2,0A -且斜率为()0k k >的直线与点M 的轨迹交于A ，G 两点，点H 在点M 的轨迹上，GA HA ⊥，当2AG AH =2k <<.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析 【分析】（1）由已知可得214MC MC +=，可判断点M 在以12,C C 为交点的椭圆上，即可求出方程；（2）将直线方程代入椭圆，利用弦长公式可求出AG =，同理可得AH =知可得3246380k k k -+-=，利用导数结合零点存在性定理即可证明. 【详解】（1）222C N C P =，P ∴是2C N 的中点，20MP C N ⋅=，2MP C N ∴⊥，∴点M 在2C N 的垂直平分线上，2||MN MC ∴=，121||42MN MC MC MC +=+=>，∴点M 在以12,C C 为交点的椭圆上，且2,1a c ==，则b =M 的轨迹方程为22143x y +=； （2）可得直线AG 的方程为(2)(0)y k x k =+>， 与椭圆方程联立可得()2222341616120kxk x k +++-=，设()11,G x y ，则2121612(2)34k x k -⋅-=+，可得()21223434k x k-=+，则12234AG k =+=+，由题可得，直线AH 的方程为1(2)y x k =-+，故同理可得AH =由2AG AH =可得2223443k k k=++，即3246380k k k -+-=， 设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22()121233(21)0f t t t t '=-+=-≥，则()f t 在()0,∞+单调递增，又260,(2)60f f =<=>，因此()f t 在()0,∞+有唯一零点，且零点k在)22k <<.【点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，解题的关键是利用椭圆定义得出M 的轨迹为椭圆；考查参数范围的证明，解题的关键是利用弦长公式求出弦长，利用已知得出3246380k k k -+-=，再利用导数证明.4．（2021·全国高三月考（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点分别为1F ，2F ，过点1F 的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点(点M 位于x 轴上方)，2MNF ，12MF F △的周长分别为8，6. （1）求椭圆C 的方程；（2）若1||MF m MN =，且2334m ≤<，设直线l 的倾斜角为θ，求sin θ的取值范围. 【答案】（1）22143x y +=；（2）0,3⎛ ⎝⎦. 【分析】（1）根据椭圆的定义可得2MNF ，12MF F △的周长分别为4,22a a c +，结合222a b c =+可得答案.(2)根据题意设出直线l 的方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，由1||MF m MN =，得出11MF F N，得出,M N的纵坐标12,y y 的关系，从而可求出答案.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为c ，因为2MNF ，12MF F △的周长分别为8，6，所以根据椭圆的定义得22248226a a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，解得21a c b ⎧=⎪=⎨⎪=⎩.所以椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）由条件1||MF m MN =，且2334m ≤<，则12MF MF >,所以直线l 的斜率存在. 根据题意，可设直线l 的方程为(1)(0).y k x k =+>.联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()22234690k y ky k +--=，则()2214410k k ∆=+>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则122634k y y k +=+①，2122934k y y k-=+②， 又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF m F N m =∈-.设1mmλ=-，[2,3)λ∈，则11MF F N λ=，所以12y y λ③，把③代入①得()226(1)34k y k λ=-+，()126(1)34ky k λλ-=-+，并结合②可得()2212222236934(1)34k k y y k kλλ--==+-+，则22(1)434kλλ-=+，即214234k λλ+-=+， 因为12λλ+-在[2,3)λ∈上单调递增，所以114223λλ≤+-<，即21442343k ≤<+，且0k >，解得02k <≤，即0tan 2θ<≤，所以0sin 3θ<≤. 故sin θ的取值范围是0,3⎛ ⎝⎦.【点睛】本题考查求椭圆方程和直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是由122634ky y k +=+，2122934k y y k-=+，又1||MF m MN =，且2334m ≤<，则11[2,3)1MF m F N m =∈-，得出关系求解，属于中档题.题型4向量类的最值（范围）问题1．（2021·陕西咸阳市·高三三模（理））已知12B B ､分别是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴两端点，离心率为12，P 是椭圆C 上异于1B ､2B 的任一点，12PB B △的面积最大值为（1）求椭圆C 的标准方程； （2）过椭圆C 右焦点F 的直线l 交椭圆C 于M N ､两点，O 为坐标原点，求OM ON +的取值范围.【答案】（1）22143x y +=；（2）[]0,2. 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求出,a b ，即可得出椭圆方程；（2）先讨论直线l 的斜率为0的情况，可求出0OM ON +=；再讨论直线的斜率不为0的情况，直线l 的方程为:1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，以及向量模的坐标表示，得到(2OM ON +=.【详解】（1）由题意可得：22212ab c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩；所以椭圆C 的方程为221.43x y +=（2）当直线l 的斜率为0时，0OM ON +=，0OM ON +=当直线的斜率不为0时，因为()1,0F ，设直线l 的方程为:1x my =+，与椭圆C 交于()11,M x y ，()22,N x y ， 由221,431,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 得()22:34690m y my ++-=， 所以1221226,349,34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，()()22236363414410m m m ∆=++=+>，又()()12121212,2,OM ON x x y y my my y y +++=+++=， 所以(OM ON my +===令2110,344t m ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦，则()()()222222223433449164313434m m t t t m m t ++++===+++， 因为二次函数243y t t =+在10,4t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上显然单调递增，所以(]2430,1y t t =+∈，因此((]20,2OM ON +=；综上知，[]0,2OM ON +∈.【点睛】求解椭圆中弦长、向量的模长等问题时，一般需要联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，结合弦长公式或两点间距离公式、向量模的坐标表示等，表示出所求的量，再结合基本不等式或利用函数单调性等，即可求解.2．（2021·安徽高三月考（理））已知椭圆()2222:10x y Ca b a b+=>>的左焦点为F，过点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，当直线l x ⊥轴时，AB =tan AOB ∠=（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l l '⊥，直线l '与直线l ､x 轴､y 轴分别交于点M 、P 、Q ，当点M 为线段AB 中点时，求PM PFPO PQ⋅⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）()1,+∞.【分析】（1，2AOB AOF ∠=∠，进而根据几何关系解得1bc ==，a =即可得答案；（2）由题设():1l y k x =+，与椭圆联立方程得2222,2121k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，进而得直线22212:2121kk l y x k k k ⎛⎫'-=-+ ⎪++⎝⎭，所以22,021k P k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，进而根据几何关系得2PM PF PM ⋅=，2PO PQ PO ⋅=，进而将问题转化为求22PM PO的取值范围问题求解即可.【详解】解：（1）由题意可知(),0F c -，直线l x⊥轴时，22b AB a==22tan tan 1tan AOF AOB AOF ∠∠==-∠tanAOF ∠=， ∵0,2AOF π⎛⎫∠∈⎪⎝⎭，∴2tan 2b AF a AOF FO c∠===，解得：1bc ==，a =C 的方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，依题意直线l 斜率一定存在且不为零，设():1l y k x =+，代入椭圆方程得：()2222214220kx k x k +++-=，则2122421k x x k -+=+，()121222221k y y k x x k +=++=+.故2222,2121k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 直线22212:2121kk l y x k k k ⎛⎫'-=-+ ⎪++⎝⎭，令0y =，则22,021k P k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭， ∵PMMF ⊥，OQ PO ⊥，∴2PM PF PM ⋅=，2PO PQ PO ⋅=，∴222222222222222221212111121k k k PMk k k PM PF k k k PO PQ POk k ⎛⎫--⎛⎫-+ ⎪ ⎪+++⋅+⎝⎭⎝⎭====+⋅⎛⎫- ⎪+⎝⎭， ∵()20,k ∈+∞，∴()2111,k +∈+∞,∴ ()1,PM PFPO PQ⋅∈+∞⋅. 【点睛】本题考查椭圆的性质求方程，直线与椭圆的位置关系求范围问题,考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据PMMF ⊥，OQ PO ⊥得2PM PF PM ⋅=，2PO PQ PO ⋅=，进而将问题转化为22PM PO范围的求解.3．（2021·浙江高三其他模拟）如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，离心率为12，长轴长为4，椭圆C 和抛物线()2:20F y px p =>有相同的焦点，直线:0l x y m -+=与椭圆交于M ，N 两点，与抛物线交于P ，Q 两点．（1）求抛物线F 的方程；（2）若点D ，E 满足AD AM AN =+，AE AP AQ =+，求AD AE ⋅的取值范围．【答案】（1）24y x =；（2）144,4877AD AE ⎛⋅∈+⎝⎭． 【分析】（1）根据题意可得2a =，1c =，再根据12p=即可求解. （2）将直线:0l x y m -+=与椭圆方程联立，设()11,M x y ，()22,N x y，利用韦达定理可得864,77m m AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将直线:0l x y m -+=与抛物线方程联立设()33,P x y ，()44,Q x y ，利用韦达定理可得()82,4AE m =-，再由从而可得216963277AD AE m m ⋅=-+，配方即可求解.【详解】（1）因为椭圆C 的离心率为12，长轴长为4，2412a c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，，，所以2a =，1c =，因为椭圆C 和抛物线F 有相同的焦点，所以12p=，即2p =，所以抛物线F 的方程为24y x =． （2）由（1）知椭圆22:143x y C +=，由221430x yx y m ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，，得22784120x mx m ++-=， ()22164474120m m ∆=-⨯⨯->，得27m <，m <<设()11,M x y ，()22,N x y ，则1287mx x +=-，所以()1212627m y y x x m +=++=． 易知()2,0A -，所以()1212864,4,77m m AD AM AN x x y y ⎛⎫=+=+++=-⎪⎝⎭． 由240y x x y m ⎧=⎨-+=⎩，，得()22240x m x m +-+=．()2222440m m ∆=-->，得1m <． 设()33,P x y ，()44,Q x y ，则3442x x m +=-，所以()343424y y x x m +=++=，所以()()34344,82,4AE AP AQ x x y y m =+=+++=-．所以()864,82,477m m AD AE m ⎛⎫⋅=-⋅- ⎪⎝⎭()28616964824327777m m m m m ⎛⎫=-⋅-+⨯=-+ ⎪⎝⎭，1m <<， 易知函数216963277y m m =-+在()m ∈上单调递减，所以144,487AD AE ⎛⋅∈ ⎝⎭． 【点睛】求解圆锥曲线中最值或范围问题的一般方法：一是建立关系，二是求最值或范围，即先由题设条件建立关于所求目标的函数关系式，再对目标函数求最值，如本题中需先将直线方程分别与椭圆、抛物线方程联立，利用根与系数的关系将AD ，AE 用m 表示出来，再结合m 的范围及函数的单调性求AD AE ⋅的取值范围．4．（2021·海南海口市·高三模拟）已知抛物线的顶点是坐标原点O ，焦点F 在x 轴正半轴上，过F 的直线l 与抛物线交于A 、B 两点，且满足3OA OB ⋅=-.（1）求抛物线的方程；（2）在x 轴负半轴上一点(),0M m ，使得AMB ∠是锐角，求m 的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）(),1-∞-.【分析】（1）设抛物线方程()220y px p =>，直线l 的方程2px ty =+，联立方程组结合韦达定理可得12y y 、12x x ，再由平面向量数量积的坐标表示即可得p ，即可得解；（2）由题意结合平面向量数量积的概念可转化条件为0MA MB ⋅>，进而可得22234m m t m-->恒成立，解不等式22304m m m --<即可得解.【详解】（1）设抛物线方程()220y px p =>，直线l 的方程2p x ty =+， 联立消去x 得222p y p ty ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即2220y pty p --=，>0∆， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则122y y pt +=，212y y p =-，所以()22121212122224p p pt p x x ty ty t y y y y ⎛⎫⎛⎫=++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()22222244pt p p t p pt =⋅-+⋅+=，所以22212123344p OA OB x x y y p p ⋅=+=-=-=-，解得2p =或2p =-（舍去）， 故所求抛物线方程为24y x =；（2）因为AMB ∠是锐角，所以0MA MB ⋅>恒成立，即()()12120x m x m y y --+>， 所以()21212120x x m x x m y y -+++>，由（1）得121=x x ，124y y =-，124y y t +=，()2121242x x t y y p t +=++=+，所以()2214240m t m -++->，而0m <，所以22234m m t m-->对于t R ∀∈恒成立，所以22304m m m --<，又0m <，所以2230m m m ⎧-->⎨<⎩，解得1m <-，所以m 的取值范围为(),1-∞-.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用及直线与抛物线的综合应用，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于中档题.题型5坐标类的最值（范围）问题1．（2021·上海静安区·高三二模）已知椭圆2212x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点．（1）求过点F 、O ，并且与抛物线28y x =的准线相切的圆的方程；（2）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 的横坐标的取值范围．【答案】（1）(221924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭或(221924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭；（2）1,0.2⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）求得点()1,0F -，可知圆心M 在直线12x =-上，设点1,2Mt ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据已知条件得出关于实数t 的等式，求出t 的值，即可得出所求圆的方程；（2）设直线AB 的方程为()()10y k x k =+≠，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出线段AB 的垂直平分线方程，可求得点G 的横坐标，利用不等式的基本性质可求得点G 的横坐标的取值范围.【详解】（1）抛物线28y x =的准线为2x =-，椭圆2212x y +=的左焦点为()1,0F -，圆过点F 、O ，∴圆心M 在直线12x =-上．设1,2Mt ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则圆的半径为()13222r ⎛⎫=---= ⎪⎝⎭. 由OM r =32=，解得t =于是，所求圆的方程为(221924x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭或(221924x y ⎛⎫++=⎪⎝⎭； （2）设直线AB 的方程为()()10y k x k =+≠，联立()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()2222124220k x k x k +++-=， 因为直线AB 过椭圆的左焦点F ，所以方程()2222124220kxk x k +++-=有两个不相等的实根．设点()11,A x y 、()22,B x y ，设AB 的中点为()00,N x y ，则2122412k x x k+=-+，202221k x k =-+，()002112k y k x k =+=+．直线AB 的垂直平分线NG 的方程为()001y y x x k-=--， 令0y =，则222002222211212121242G k k k x x ky k k k k =+=-+=-=-+++++. 因为0k ≠，所以10.2G x -<<故点G 的横坐标的取值范围1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】圆锥曲线中的取值范围问题的求解方法（1）函数法：用其他变量作为参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． （2）不等式法：根据题意建立含参数的不等式，通过解不等式求参数的取值范围． （3）判别式法：建立关于某变量的一元二次方程，利用根的判别式求参数的取值范围． （4）数形结合法：研究参数所表示的几何意义，利用数形结合思想求解．2．（2021·新疆高三其他模拟（理））已知抛物线()2204y px p =<<的焦点为F ，点P 在抛物线上，点P的纵坐标为6，且10PF =.（1）求抛物线的标准方程；（2）若A ，B 为抛物线上的两个动点(异于P 点)且AP AB ⊥，求点B 纵坐标的取值范围.【答案】（1）24y x =；（2）2y <-或14y ≥.【分析】（1）根据抛物线的焦半径公式求解即可；（2）先根据抛物线的方程及点P 的纵坐标求得()9,6P ，再根据AP AB ⊥得到()2121261660y y y y ++++=，利用判别式0∆≥，得到22y ≤-或214y ≥，最后验证当22y =-时，12y =-，与题意不符，最后得到点B 的纵坐标y 的取值范围. 【详解】解：（1）设(),6p P x ，则36182P x p p==， 由102p pPF x =+=，得18102p p +=，解得2p =或18，∵04p <<，所以2p =.∴24y x =.（2）由（1）得()9,6P ，设()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可知：直线AP ，AB 的斜率存在， 设为AP k ，AB k ，且1211212221211216699444AP AB y y y y y y k k y y y x x x ----⋅=⨯=⨯----()()1214416y y y =⨯=-++， 整理得()2121261660y y y y ++++=，由题意知0∆≥，即()()222641660y y ∆=+-+≥∴22212280y y --≥即22y ≤-或214y ≥，又当22y =-时，211440y y ++=，∴12y =-，与题意不符，舍去，综上所述，点B 的纵坐标2y 的取值范围为22y <-或214y ≥.【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．3．（2021·上海金山区·高三一模）已知点P 在抛物线2:4C y x =上，过点P 作圆222:(3)M x y r-+=(0r <≤)的两条切线，与抛物线C 分别交于A ､B 两点，切线PA ､PB 与圆M 分别相切于点E ､F .（1）若点P 到圆心M 的距离与它到抛物线C 的准线的距离相等，求点P 的坐标；（2）若点P 的坐标为(1,2)，且r =PE PF ⋅的值；（3）若点P 的坐标为(1,2)，设线段AB 中点的纵坐标t ，求t 的取值范围. 【答案】（1）(2,或(2,-；（2）3；（3）[10,6)--.【分析】（1）设出P 点的坐标，根据已知条件列方程组，解方程组求得P 点坐标. （2）先求得||PE 和||PF ，然后结合向量数量积运算求得PE PF ⋅.（2）设出过P 的圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程，化简写出根与系数关系，联立切线和抛物线的方程，求得,A B 的纵坐标，由此求得线段AB 中点的纵坐标t 的表达式，进而求得t 的取值范围.【详解】（1）设点P 的坐标为(,)x y ，则241y x x ⎧==+，解得2x y =⎧⎪⎨=⎪⎩2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，即点P的坐标为(2,或(2,-；（2）当点P 的坐标为(1,2)，且r =||PM ==，在直角三角形PME中，||PE ==，且30MPE ∠=︒，同理，||PF =30MPF ∠=︒，从而||||co cos 603s PE PF PE PF EPF ∠=⋅⋅︒==；（3）由题意知切线PA ､PB 的斜率均存在且不为零，设切线方程为2(1)y k x -=-，r =，得222(4)840r k k r -++-=，。
圆锥曲线题型归纳(经典含答案)
椭圆题型总结一、 椭圆的定义和方程问题 （一） 定义：1.命题甲：动点P 到两点A, B 的距离之和 PA+|PB =2a （a >0,常数）;命题乙：P 的轨迹是以 A B 为 焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 （B ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2.已知Fl 、F2是两个定点，且 "F2 =4，若动点P 满足|PF"+|PF2|=4则动点P 的轨迹是（D ） A.椭圆B.圆C.直线D.线段3. 已知F i 、F2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上的一个动点，如果延长* 到 Q,使得 |PQ =|PF 2 ，那么 动点Q的轨迹是（B ）A.椭圆B.圆C.直线D.点 22…一 x y … ，一一 ,一 … 一一 一.....4.椭圆一十二=1上一点M 到焦点F i 的距离为2, N 为MF i 的中点，O 是椭圆的中心，则 ON 的值25 9是 4。
225.选做：F I 是椭圆 —=1的左焦点，P 在椭圆上运动，定点A （ 1, 1）,求| PA | + | PF 1 |的最小值。
9 5解：| PA | | PF 1 |=| PA | 2a - | PF 2 |_ 2a-| AF 2 |=6 - .. 2（二） 标准方程求参数范围221. 试讨论k 的取值范围，使方程 —二 十 _匚=1表示圆，椭圆，双曲线。
（略）5 —k k -32"m 》n >0”是“方程mx 2 +ny 2 =1表示焦点在y 轴上的椭圆”的（c ）A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 3.若方程x 2sina +y 2cosa =1表示焦点在y 轴上的椭圆，0所在的象限是（A ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限5.已知方程x 2+ky 2 =2表示焦点在X 轴上的椭圆，则实数k 的范围是 k>1（三）待定系数法求椭圆的标准方程1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1） 两个焦点的坐标分别为（0, 5）和（0, —5）,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为 26;22匕』=1169 144（2） 长轴是短轴的2倍，且过点（2, — 6）;2222L+L =1 或 土+匕=1 52 13 ' 148 37（3） 已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点4.方程x =J I -3y 2所表示的曲线是椭圆的右半部分日（」6,1）,以-。
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圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例1、已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例2、求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．方法3：参数法（函数法）①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值例3、在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．方法4：基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例4、求椭圆x23＋y2＝1内接矩形ABCD面积的最大值．二、圆锥曲线的范围问题方法1：曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．例1、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线中ac的取值范围是________．方法2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零 ① 联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．例2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．三、圆锥曲线的定值、定点问题 方法1：特殊到一般法根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题 ① 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．例1、已知双曲线C ：x 2－y22＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ，若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值．方法2：引进参数法定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值). ① 引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点例2、如图所示，曲线C 1：x 29＋y 28＝1，曲线C 2：y 2＝4x ，过曲线C 1的右焦点F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1，C 2依次交于B ，C ，D ，E 四点．若G 为CD 的中点、H 为BE 的中点，证明|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|为定值．课堂知识运用训练1．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到x ＝－1直线的距离之和的最小值为( )． A. 2 B. 3 C. 5 D. 62．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆ac的范围为( )．A.55＜ac＜35B．0＜ac＜25 C.25＜ac＜35 D.35＜ac＜553．设F是椭圆x27＋y26＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i(i＝1,2,3，…)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…组成公差为d的等差数列，则d的取值范围为________．4．过抛物线y2＝2px(p＞0)上一定点P(x0，y0)(y0＞0)作两直线分别交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，当P A与PB的斜率存在且倾斜角互补时，则y1＋y2y0的值为________．5．椭圆b2x2＋a2y2＝a2b2(a＞b＞0)的左焦点为F，过F点的直线l交椭圆于A，B 两点，P为线段AB的中点，当△PFO的面积最大时，求直线l的方程．6．已知⊙O′过定点A(0，p)(p＞0)，圆心O′在抛物线C：x2＝2py(p＞0)上运动，MN为圆O′在轴上所截得的弦．(1)当O′点运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，试判断抛物线C的准线与圆O′的位置关系，并说明理由．答案解析圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的最值问题方法1：定义转化法①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．例1、已知点F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|P A|的最小值为________．解析如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，即|PF|－4＝|PF′|.又|P A|＋|PF′|≥|AF′|＝5，将|PF|－4＝|PF′|代入，得|P A|＋|PF|－4≥5，即|P A|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|P A|的最小值为9.故填9.方法2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．例2、求椭圆x22＋y2＝1上的点到直线y＝x＋23的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．解设椭圆的切线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.由Δ＝(4b)2－4×3×(2b2－2)＝0，得b＝±3.当b＝3时，直线y＝x＋3与y＝x＋23的距离d1＝62，将b＝3代入方程3x2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝－233，此时y ＝33，即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，33到直线y ＝x ＋23的距离最小，最小值是62； 当b ＝－3时，直线y ＝x －3到直线y ＝x ＋23的距离d 2＝362，将b ＝－3代入方程3x 2＋4bx ＋2b 2－2＝0，解得x ＝233，此时y ＝－33，即椭圆上的点⎝ ⎛⎭⎪⎫233，－33到直线y ＝x ＋23的距离最大，最大值是362. 方法3：参数法（函数法）② 选取合适的参数表示曲线上点的坐标； ②求解关于这个参数的函数最值例3、在平面直角坐标系xOy 中，点P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，则S ＝x ＋y 的最大值为________．解析 因为椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φy ＝sin φ，(φ为参数)．故可设动点P 的坐标为(3cos φ，sin φ)，其中0≤φ＜2π.因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos φ＋12sin φ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π3，所以，当φ＝π6时，S 取最大值2.故填2. 方法4：基本不等式法 ①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．例4、求椭圆x 23＋y 2＝1内接矩形ABCD 面积的最大值． 二、圆锥曲线的范围问题 方法1：曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．例1、已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线中ac的取值范围是________． 解析 根据双曲线定义|PF 1|－|PF 2|＝2a ，设|PF 2|＝r ， 则|PF 1|＝4r ，故3r ＝2a ，即r ＝2a 3，|PF 2|＝2a3.根据双曲线的几何性质，|PF 2|≥c －a ，即2a 3≥c －a ，即c a ≤53，即e ≤53.又e ＞1， 故双曲线的离心率e 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.故填⎝ ⎛⎦⎥⎤1，53.方法2：判别式法当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零 ② 联立曲线方程，消元后求判别式；②根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性质求解．例2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q . (1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A ，B ，是否存在常数m ，使得向量OP→＋OQ →与AB →共线？如果存在，求m 值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由已知条件，知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程，得x 22＋(kx ＋2)2＝1，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.①由直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q ，得Δ＝8k 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22，即k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－22∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞.(2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．由方程①，知x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2.②又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k 2.③由A (2，0)，B (0,1)，得AB→＝(－2，1)．所以OP →＋OQ →与AB →共线等价于x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， 将②③代入，解得k ＝22.由(1)知k ＜－22或k ＞22， 故不存在符合题意的常数k . 三、圆锥曲线的定值、定点问题 方法1：特殊到一般法根据特殊情况能找到定值(或定点)的问题 ② 根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．例1、已知双曲线C ：x 2－y 22＝1，过圆O ：x 2＋y 2＝2上任意一点作圆的切线l ，若l 交双曲线于A ，B 两点，证明：∠AOB 的大小为定值． 证明 当切线的斜率不存在时，切线方程为x ＝±2. 当x ＝2时，代入双曲线方程，得y ＝±2， 即A (2，2)，B (2，－2)，此时∠AOB ＝90°， 同理，当x ＝－2时，∠AOB ＝90°.当切线的斜率存在时，设切线方程为y ＝kx ＋b ， 则|b |1＋k 2＝2，即b 2＝2(1＋k 2)． 由直线方程和双曲线方程消掉y ， 得(2－k 2)x 2－2kbx －(b 2＋2)＝0， 由直线l 与双曲线交于A ，B 两点． 故2－k 2≠0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝2kb2－k 2，x 1x 2＝－(b 2＋2)2－k 2，y 1y 2＝(kx 1＋b )(kx 2＋b )＝k 2x 1x 2＋kb (x 1＋x 2)＋b 2 ＝－k 2b 2－2k 22－k 2＋2k 2b 22－k 2＋2b 2－k 2b 22－k 2＝2b 2－2k 22－k 2，故x 1x 2＋y 1y 2＝－b 2－22－k 2＋2b 2－2k 22－k 2＝b 2－2(1＋k 2)2－k 2，由于b 2＝2(1＋k 2)，故x 1x 2＋y 1y 2＝0，即OA →·OB →＝0，∠AOB ＝90°.综上可知，若l 交双曲线于A ，B 两点，则∠AOB 的大小为定值90°. 方法2：引进参数法定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点(或值)即是定点(或定值). ② 引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点【例2】►如图所示，曲线C 1：x 29＋y 28＝1，曲线C 2：y 2＝4x ，过曲线C 1的右焦点F 2作一条与x 轴不垂直的直线，分别与曲线C 1，C 2依次交于B ，C ，D ，E 四点．若G 为CD 的中点、H 为BE 的中点，证明|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|为定值．证明 由题意，知F 1(－1,0)，F 2(1,0)， 设B (x 1，y 1)，E (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)， 直线y ＝k (x －1)，代入x 29＋y 28＝1，得8⎝ ⎛⎭⎪⎫y k ＋12＋9y 2－72＝0，即(8＋9k 2)y 2＋16ky －64k 2＝0，则y 1＋y 2＝－16k 8＋9k 2，y 1y 2＝－64k 28＋9k 2.同理，将y ＝k (x －1)代入y 2＝4x ，得ky 2－4y －4k ＝0， 则y 3＋y 4＝4k ，y 3y 4＝－4， 所以|BE |·|GF 2||CD |·|HF 2|＝|y 1－y 2||y 3－y 4|·12|y 3＋y 4|12|y 1＋y 2|＝(y 1－y 2)2(y 1＋y 2)2·(y 3＋y 4)2(y 3－y 4)2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(y 1＋y 2)2·(y 3＋y 4)2(y 3＋y 4)2－4y 3y 4＝(－16k )2(8＋9k 2)2＋4×64k 28＋9k 2(－16k )2(8＋9k 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋16＝3为定值．课堂知识运用训练1．设P 是曲线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到x ＝－1直线的距离之和的最小值为( )． A. 2 B. 3 C. 5 D. 6解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)， 准线是x ＝－1，由抛物线的定义知：点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到焦点F 的距离； 于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小；显然，连AF 交曲线于P 点．故最小值为22＋1，即为 5.答案 C2．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)和圆x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2有四个交点，其中c 为椭圆的半焦距，则椭圆ac的范围为( )． A.55＜a c ＜35 B ．0＜a c＜25 C.25＜a c ＜35 D.35＜a c ＜55解析 此题的本质是椭圆的两个顶点(a,0)与(0，b )一个在圆外、一个在圆内即： ⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2b 2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2＋c 2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b2＋c b ＜b2＋c⇒⎩⎨⎧(a －c )2＞14(a 2－c 2)a 2－c 2＜2c⇒55＜e ＜35.答案 A3．设F 是椭圆x 27＋y 26＝1的右焦点，且椭圆上至少有21个不同的点P i (i ＝1,2,3，…)，使|FP 1|，|FP 2|，|FP 3|，…组成公差为d 的等差数列，则d 的取值范围为________．解析 若公差d ＞0，则|FP 1|最小，|FP 1|＝7－1； 数列中的最大项为7＋1，并设为第n 项， 则7＋1＝7－1＋(n －1)d ⇒n ＝2d ＋1≥21⇒d ≤110，注意到d ＞0，得0＜d ≤110；若d ＜0，易得－110≤d ＜0.那么，d 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－110，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤0，110. 4．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一定点P (x 0，y 0)(y 0＞0)作两直线分别交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则y 1＋y 2y 0的值为________．解析 设直线P A 的斜率为k P A ，PB 的斜率为k PB ，由y 21＝2px 1，y 20＝2px 0，得k P A ＝y 1－y 0x 1－x 0＝2p y 1＋y 0，同理k PB ＝2p y 2＋y 0， 由于P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，因此2p y 1＋y 0＝－2p y 2＋y 0，即y 1＋y 2＝－2y 0(y 0＞0)，那么y 1＋y 2y 0＝－2. 5．椭圆b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，过F 点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，P 为线段AB 的中点，当△PFO 的面积最大时，求直线l 的方程． 解 求直线方程，由于F (－c,0)为已知，仅需求斜率k ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则y 0＝y 1＋y 22，由于S △PFO ＝12|OF |·|y 0|＝c 2|y 0|只需保证|y 0|最大即可，由⎩⎨⎧y ＝k (x ＋c )b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2⇒(b 2＋a 2k 2)y 2－2b 2cky －b 4k 2＝0，|y 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y 1＋y 22＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2ck b 2＋a 2k 2＝b 2c b 2|k |＋a 2|k |≤bc 2a 得：S △PFO ≤bc 24a ，此时b 2|k |＝a 2|k |⇒k ＝±b a ，故直线方程为：y ＝±b a (x ＋c )．6．已知⊙O ′过定点A (0，p )(p ＞0)，圆心O ′在抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)上运动，MN 为圆O ′在轴上所截得的弦．(1)当O ′点运动时，|MN |是否有变化？并证明你的结论；(2)当|OA |是|OM |与|ON |的等差中项时，试判断抛物线C 的准线与圆O ′的位置关系，并说明理由．解 (1)设O ′(x 0，y 0)，则x 20＝2py 0(y 0≥0)，则⊙O ′的半径|O ′A |＝x 20＋(y 0－p )2，⊙O ′的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－p )2，令y ＝0，并把x 20＝2py 0，代入得x 2－2x 0x ＋x 20－p 2＝0，解得x 1＝x 0－p ，x 2＝x 0＋p ，所以|MN |＝|x 1－x 2|＝2p ，这说明|MN |是不变化，其为定值2p .(2)不妨设M (x 0－p,0)，N (x 0＋p,0)．由题2|OA |＝|OM |＋|ON |，得2p ＝|x 0－p |＋|x 0＋p |，所以－p ≤x 0≤p .O ′到抛物线准线y ＝－p 2的距离d ＝y 0＋p 2＝x 20＋p 22p ，⊙O ′的半径|O ′A |＝x 20＋(y 0－p )2＝x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 202p －p 2＝12px 40＋4p 4. 因为r ＞d ⇔x 40＋4p 4＞()x 20＋p 22⇔x 20＜32p 2，又x20≤p2＜32p2(p＞0)，所以r＞d，即⊙O′与抛物线的准线总相交．。