高等数学导数、微分、不定积分公式
微积分基本公式与计算
微积分基本公式与计算微积分是数学中的一个分支，研究的是函数的变化、变化率和积分运算。
微积分的基本公式是指在微积分的基础知识中常用的、基础性的公式和计算方法。
下面将介绍微积分中的基本公式与计算方法。
1.导数公式导数是函数在其中一点上的变化率，描述了函数沿着自变量的变化速率。
常用的导数公式如下：（1）常数函数的导数为0：d(c)/dx = 0，其中c为常数。
（2）幂函数的导数为幂次与系数的乘积：d(x^n)/dx = nx^(n-1)，其中n为实数。
（3）指数函数的导数为函数自身与底数的乘积：d(a^x)/dx = ln(a) * a^x，其中a为底数。
（4）对数函数的导数为导数值与函数自身的倒数的乘积：d(log_a(x))/dx = 1/(x * ln(a))，其中a为对数的底数。
2.求导法则求导法则是指求导数时常用的一些运算规则。
常用求导法则如下：（1）和差法则：d(u ± v)/dx = du/dx ± dv/dx，其中u和v是两个函数。
（2）乘积法则：d(uv)/dx = u * dv/dx + v * du/dx，其中u和v是两个函数。
（3）商法则：d(u/v)/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2 ，其中u和v是两个函数，v≠0。
（4）链式法则：如果函数y = f(u)和u = g(x)有关系，那么y对x 的导数可以表示为：dy/dx = dy/du * du/dx。
3.积分公式积分是导数的逆运算，是计算函数在一个区间上面积的方法。
常用的积分公式如下：（1）不定积分的基本公式：∫f(x)dx = F(x) + C，其中F'(x) = f(x)，C为常数。
（2）定积分的基本公式：∫[a, b]f(x)dx = F(b) - F(a)，其中F'(x) = f(x)。
（3）换元积分法：根据函数的复合结构，选择适当的变量替换，使得被积函数简化，然后再进行积分。
大学数学微积分公式推导
大学数学微积分公式推导微积分是数学的重要分支，运用于各个科学领域和工程学中。
微积分公式的推导过程对于研究和理解微积分的基本概念和方法非常重要。
本文将从基本的微分和积分开始，推导一些常见的微积分公式。
1. 导数公式推导1.1 基本函数的导数1.1.1 常数函数的导数推导常数函数f(x) = C的导数为f'(x) = 0。
1.1.2 幂函数的导数推导幂函数f(x) = x^n的导数为f'(x) = n * x^(n-1)。
1.1.3 指数函数的导数推导指数函数f(x) = a^x的导数为f'(x) = a^x * ln(a)。
1.1.4 对数函数的导数推导对数函数f(x) = ln(x)的导数为f'(x) = 1 / x。
1.2 导数的基本性质1.2.1 和差法则若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
1.2.2 数乘法则若f(x)可导，k是常数，则(k * f(x))' = k * f'(x)。
1.2.3 乘法法则若f(x)和g(x)都可导，则(f(x) * g(x))' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
1.2.4 商法则若f(x)和g(x)都可导且g(x) ≠ 0，则(f(x) / g(x))' = (f'(x) * g(x) -f(x) * g'(x)) / (g(x))^2。
2. 积分公式推导2.1 基本函数的不定积分2.1.1 幂函数的不定积分推导幂函数f(x) = x^n的不定积分为F(x) = (1 / (n + 1)) * x^(n + 1) + C。
2.1.2 正弦函数的不定积分推导正弦函数f(x) = sin(x)的不定积分为F(x) = -cos(x) + C。
高等数学微积分笔记
第一章 函数、极限和连续§ 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数: ⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y)y=f -1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。
㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n, (n 为实数)3.指数函数： y=a x, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§ 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限: A y n n =∞→lim 称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界. 2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：A x f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim ⑵当0x x→时，)(x f 的极限：A x f xx =→)(lim 0左极限：A x f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件： 定理：A x f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim㈡无穷大量和无穷小量 1．无穷大量：+∞=)(limx f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。
高等数学笔记(含数一内容)
隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构 齐+齐=齐 齐 + 非齐 = 非齐 非齐 + 非齐 = 齐 （拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则 有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0） 若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1） （二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）； 性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。 连续函数的运算
积分、微分公式
第三章导数与微分第二节求导法则及基本求导公式1．导数的四则运算若均为可导函数，则，，.2．复合函数求导法则设函数在某一点有导数，而函数在对应点有导数，则复合函数在该点也有导数，并且它等于导数的乘积，即3.反函数求导法则设函数在某一区间单调、连续，又在该区间内一点处导数存在且不为零，则反函数在对应点处存在导数，且有1．隐函数求导法则设函数在点的某一邻域内具有连续偏导数，，且，则存在着唯一一个函数，它在点的某一邻域内单值连续，恒能满足方程=0，即并且满足条件，在该领域内具有连续导数2．基本求导公式（1），；（2），；（3），；（4），；，；（5），；，；（6）,;（7），；（8），；（9），；（10），；（11），；（12），；（13），；（14），；（15），.第五章积分第一节不定积分1．定义已知定义在某一区间上的一个函数，如果有这样的函数，使得在已知区间上的任何一点都有或，具有这样性质的函数，称为函数的原函数.函数的所有原函数的全体叫做函数的不定积分，记作叫做被积函数，称为积分变量.2．不定积分的性质（1）；（2）；（3）（C为常数，）.3．常用不定积分表（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）；（11）；；（12）；（13）；（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；4．基本积分方法（1）第一换元法若有中间变量，使，而关于变量具有原函数，则. （2）第二换元法直接引入自变量代换。
且可导，，则。
（3）分部积分法设函数具有连续导数，则.。
微分积分公式大全总汇
微分积分公式大全总汇一、微分公式1.导数的定义：若函数f（x）在点x0处可导，那么导数f’（x）在点x0处的定义是f’（x0）=lim（h→0）[f（x0+h）-f（x0）]/h可以用导数定义计算一些特殊函数的导数。
2.基本导数法则：（1）常数导数法则：d（c）/dx=0，其中c为常数。
（2）幂函数导数法则：d（x^n）/dx=nx^(n-1)，其中n为实数。
（3）指数函数导数法则：d(e^x)/dx=e^x。
（4）对数函数导数法则：d(lnx)/dx=1/x。
3.四则运算法则：（1）和差法则：[f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x)，[f(x)-g(x)]’=f’(x)-g’(x)。
（2）乘积法则：[f(x)g(x)]’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x)。
（3）商法则：[f(x)/g(x)]’=[f’(x)g(x)-f(x)g’(x)]/g(x)^2 4.链式法则：如果想对复合函数y=f[g(x)]求导数，可以使用链式法则来计算。
dy/dx=dy/du * du/dx，其中u=g(x)。
5.高阶导数：若函数f(x)的n阶导数f^(n)(x)存在，则(f^(n)(x))’=f^(n+1)(x)。
高阶导数可以用来描述曲线的曲率和弯曲程度。
二、积分公式1.不定积分的定义：若函数F’（x）=f（x），那么F（x）称为函数f（x）的一个原函数，记作F（x）=∫f（x）dx。
在求不定积分时，需要注意加上积分常数C。
2.基本积分法则：（1）幂函数积分法则：∫x^n dx=x^(n+1)/(n+1)+C，其中n≠-1（2）指数函数积分法则：∫e^x dx=e^x+C。
（3）对数函数积分法则：∫1/x dx=ln，x，+C。
（4）三角函数积分法则：∫sinx dx=-cosx+C，∫cosx dx=sinx+C。
3.分部积分法：若u=u（x），v=v（x）是可导函数，那么（uv）’=u’v+uv’对上述等式两边进行不定积分，可以得到分部积分公式：∫u d(v)=uv - ∫v d(u)4.替换积分法（换元积分法）：设u=g(x)是可导的，可逆函数，如果f(g(x))g’(x)能积出表达式，也就是∫f(g(x))g’(x)dx能由∫f(u)du表示，那么可进行替换积分，即∫f(g(x))g’(x)dx=∫f(u)d u。
导数微分不定积分公式
一、导数的概念及其计算1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值xy∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。
即f （x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim →∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果xy∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；（2）求平均变化率xy ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；（3）取极限，得导数f’(x 0)=xyx ∆∆→∆0lim 。
2．导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0）） 处的切线的斜率。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0=f /（x 0）（x －x 0）。
3．常见函数的导出公式．（１）0)(='C （C 为常数） （２）1)(-⋅='n nxn x（３）x x cos )(sin =' （４）x x sin )(cos -='4．两个函数的和、差、积的求导法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： (.)'''v u v u ±=±法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：.)('''uv v u uv +=若C 为常数,则'''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：.)(''Cu Cu =法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：⎪⎭⎫⎝⎛v u ‘=2''v uv v u -（v ≠0）。
考研日历之高等数学的公式大全
高等数学的公式大汇总一元函数的极限与连续包括：一些初等函数公式极限连续公式如下：1、 一些初等函数公式：sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot ()()sh sh ch ch sh ch ch ch sh sh αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαββααβαβαβαβαβαβ±=±±=±±=⋅⋅±=±±=±±=±m m m 和差角公式：sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1sin cos [sin()sin()]21cos sin [sin()sin()]21cos cos [cos()cos()]21sin sin [cos()cos()]2αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式：2222222222sin 22sin cos cos 22cos 112sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1cot 22cot 22212 21sh sh ch ch sh ch ch sh αααααααααααααααααααααα==-=-=-=--===+==-=+倍角公式：22222222sin cos 1;tan 1sec ;cot 1csc ;1sin 2cos 21cos sin tan 2sin 1cos 1cos sin cot2sin 1cos x x x x ch x sh x αααααααααααααα+=+=+=-===-===++===-半角公式： ::ln(2::ln(211::ln21x xx xx x x x e e shx arshx x e e chx archx x shx e e xthx arthx chx e e x-----==++==±+-+===+-双曲正弦；反双曲正弦双曲余弦；反双曲余弦双曲正切；反双曲正切3322()()()a b a b a ab b ±=±+m ，222(1)(21)126n n n n +++++=L22333(1)124n n n ++++=L2、极限➢ 常用极限：1,lim 0n n q q →∞<=;1n a >=;1n =➢ ln(1())limln(1())~()()lim[()()]1/()()0,(),lim[1()]f x f x f xg x f x g x g x f x g x f x ee ++±→→∞±=−−−−−−→若则➢ 两个重要极限100sin sin 1lim 1,lim 0;lim(1)lim(1)x x x x x x x x e x x x x→→∞→∞→==+==+ ➢:常用等价无穷小2111cos ~; ~sin ~arcsin ~arctan 1~;2 1~ln ; ~1;(1)~1; ln(1)~x x a x x x x x x x n a x a e x x ax x x--++++3、连续：定义：000lim 0;lim ()() x x x y f x f x ∆→→∆==00lim ()lim ()()()x x x x f x f x f x f x -+-+→→⇔==极限存在或 导数与微分1、 基本导数公式：00000000()()()()()limlim lim tan x x x x f x x f x f x f x yf x x x x x α∆→∆→→+∆--∆'====∆∆-_0+0()()f x f x -+''⇔=导数存在1220; (); (sin )cos ; (cos )sin ; (tan )sec ; (cot )csc ;(sec )sec tan ; (csc )csc ; ()ln ;();11(log ); (ln ); (arcsin ) (arccos )ln a a x x x x a C x ax x x x x x x x x x x x x x ctgx a a a e e x x x x x a x -''''''======-''''=⋅=-⋅==''''====222211(arctan ); (cot ); ();();1111(); () ())1x arc x shx hx chx shx x x thx arshx archx arthx ch x x ''''==-==++''''====-2、高阶导数：()()()()!()()!; ()ln ()()!n k n k n n x n x n x n x n x x x n a a a e e n k -=⇒==⇒=-()()()1111(1)!1(1)!1!(); (); ()()()n n n n n n n n n n n x x x a x a a x a x +++--===++-- ()()(sin )sin(); (cos )cos();22n n n n kx k kx n kx k kx n ππ=⋅+⋅=⋅+⋅()1()(1)1(1)!1(1)[ln()]()(1)()n n n n n n nn n a x x a x x x-----+=-⇒==-+ 牛顿-莱布尼兹公式：()()()0()(1)(2)()()()()(1)(1)(1)2!!nn k n k k n k n n n n k k n uv C u v n n n n n k u v nu v u v u v uv k -=---=---+'''=++++++∑L L L3、微分：0()()(); =()();y f x x f x dy o x dy f x x f x dx ''∆=+∆-=+∆∆=⇒⇔⇒连续极限存在收敛有界;=⇔⇔⇒可微可导左导右导连续；⇒不连续不可导微分中值定理与微分的应用1、基本定理()()()(),(,)()()(),(,)()()()F()f b f a f b a a b f b f a f a b F b F a F x x ξξξξξ'-=-∈'-=∈'-=拉格朗日中值定理：柯西中值定理：当时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
高等数学知识点总结及公式大全
高等数学知识点总结及公式大全《高等数学知识点总结及公式大全》摘要：本文对高等数学的知识点进行了全面总结，同时提供了常用的公式大全，以帮助读者更好地理解和掌握高等数学的内容。
第一章：函数与极限1. 函数的定义与性质：函数的概念、有界性、奇偶性、周期性等。
2. 极限与连续性：极限的定义、无穷小与无穷大、函数的连续性等。
第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质：导数的定义、可导性、导数运算法则等。
2. 常用函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
3. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的定义、高阶微分的概念。
第三章：积分与数列级数1. 不定积分与定积分：不定积分的定义、基本积分公式、换元积分法等。
2. 定积分的概念与性质：定积分的定义、牛顿-莱布尼茨公式、定积分的应用等。
3. 数列与级数：数列的概念、收敛性、级数的概念、收敛判别法等。
第四章：微分方程1. 一阶微分方程：可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程等。
2. 二阶线性微分方程：齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程等。
第五章：无穷级数1. 数列极限：数列极限的概念、单调有界数列的性质、数列极限的计算等。
2. 函数项级数：函数项级数的概念、收敛性、收敛域等。
附录：公式大全1. 三角函数的基本公式。
2. 求导法则与微分公式。
3. 函数的积分公式。
4. 数列与级数的常用公式。
总结：高等数学是大学数学的重要组成部分，本文通过全面总结了高等数学的主要知识点，为读者提供了常用的公式大全，为学习和应用高等数学提供了便利。
读者可以通过阅读和实践来深入理解和掌握高等数学的相关内容，并在实际问题中灵活运用。
希望本文对读者有所启发和帮助！。
微分积分公式
微分积分公式微分积分学是高等数学的核心内容，也是数学科学的基础。
它主要用来研究函数及其极限、导数、积分等概念，从而理解、解释和应用数学模型的变化。
微分积分的基本公式如下：微分公式：一阶导数：如果函数f(x)在[a,b]上连续可微，那么f'(x)定义为：f'(x)=lim()→0 f(x+h)-f(x)/h。
二阶导数：如果函数f(x)在[a,b]上连续可微，那么f''(x)定义为：f''(x)=lim()→0 f'(x+h)-f'(x)/h。
曲线长度：如果函数y=f(x)在[a,b]上连续可微，那么曲线长度L=∫baf(x)dx。
曲面积：如果函数z=f(x,y)在[a,b]×[c,d]范围内连续可微，那么S=∫dcf(x,y)dydx。
泰勒级数：如果函数f(x)在(a,b)上可微，并且函数f(n)(x)在(a,b)上可以定义，那么函数f(x)可以用它的泰勒级数表示：f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)²/2!+f'''(a)(x-a)³/3!+…积分公式：定积分：如果函数y=f(x)在[a,b]范围内可积，那么F=∫baf(x)dx。
不定积分：如果函数y=f(x)在(a,b)范围内可积，那么F=∫bf(x)dx。
幂积分：如果函数y=f(x)在(a,b)范围内可积，那么F=∫baxⁿf(x)dx。
李斯特积分：如果函数z=f(x,y)在[a,b]×[c,d]范围内可积，那么I=∫dca⋅f(x,y)dxdy。
多元积分：如果函数z=f(x1,x2,...xn)在[a1,b1]×[a2,b2]×...×[an,bn]范围内可积，那么I=∫bn an⋅f(x1,x2,...xn)dx1dx2...dxn。
成考高等数学二必背公式
成考高等数学二必背公式一、极限与连续1. 重要极限：- $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$- $\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$- $\lim_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$- $\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$- $\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=0$2. 无穷小量计算：- 当$x$是无穷小量时，$a^x-1\approx x\ln a$，其中$a>0$且$a\neq1$- 当$x$是无穷小量时，$(1+x)^n-1\approx nx$，其中$n$为常数- 当$x$是无穷小量时，$\sqrt[m]{1+x}-1\approx\frac{x}{m}$，其中$m$为常数3. 极限的四则运算：- $\lim_{x\to x_0}(f(x)+g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x)+\lim_{x\to x_0}g(x)$- $\lim_{x\to x_0}(f(x)-g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x)-\lim_{x\to x_0}g(x)$- $\lim_{x\to x_0}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot\lim_{x\to x_0}g(x)$- $\lim_{x\to x_0}(\frac{f(x)}{g(x)})=\frac{\lim_{x\to x_0}f(x)}{\lim_{x\to x_0}g(x)}$（其中$\lim_{x\to x_0}g(x)\neq0$）二、导数与微分1. 基本求导公式：- $(C)'=0$，其中$C$为常数- $(x^n)'=nx^{n-1}$，其中$n$为常数- $(e^x)'=e^x$- $(\ln x)'=\frac{1}{x}$，其中$x>0$- $(\sin x)'=\cos x$- $(\cos x)'=-\sin x$- $(\tan x)'=\sec^2 x$- $(\cot x)'=-\csc^2 x$- $(\sec x)'=\sec x\tan x$- $(\csc x)'=-\csc x\cot x$2. 常用求导法则：- $(u\pm v)'=u'+v'$- $(cu)'=cu'$，其中$c$为常数- $(uv)'=u'v+uv'$- $(\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$，其中$v\neq0$- $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$3. 高阶导数：- 若$f'(x)$存在，则称$f(x)$可导，$f''(x)$为$f(x)$的二阶导数，以此类推- $f^{(n)}(x)$表示$f(x)$的$n$阶导数- $f^{(n)}(x)$可表示为$f^{(n)}(x)=\frac{d^n}{dx^n}f(x)$三、定积分与不定积分1. 基本积分公式：- $\int x^n dx=\frac{1}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$n\neq-1$，$C$为常数- $\int e^x dx=e^x+C$- $\int \frac{1}{x} dx=\ln|x|+C$，其中$x\neq0$，$C$为常数- $\int \sin x dx=-\cos x+C$- $\int \cos x dx=\sin x+C$- $\int \tan x dx=-\ln|\cos x|+C$- $\int \cot x dx=\ln|\sin x|+C$- $\int \sec x dx=\ln|\sec x+\tan x|+C$- $\int \csc x dx=\ln|\csc x-\cot x|+C$2. 基本定积分公式：- $\int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$为$f(x)$的一个原函数3. 常用积分法则：- 第一换元法：设$u=g(x)$可导，则$\int f(g(x))g'(x)dx=\int f(u)du$- 第二换元法（逆函数法）：设$u=f(x)$可导且$f'(x)\neq0$，则$\int f(x)dx=\int f(f^{-1}(u))du$四、级数1. 常见级数：- 等比数列：$S_n=a+ar+ar^2+\ldots+ar^{n-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$，其中$r\neq1$- 幂级数：$S_n=\sum_{k=0}^n a_k=\sum_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$，其中$q\neq1$2. 收敛级数：- 若级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$的部分和数列$S_n$有极限$S$，则称级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛于$S$，记作$\sum_{n=1}^\infty a_n=S$- 若级数$\sum_{n=1}^\infty a_n$收敛，则$\lim_{n\to\infty}a_n=0$3. 常见收敛级数：- 调和级数：$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}$收敛- 几何级数：$\sum_{n=1}^\infty q^n$收敛当且仅当$|q|<1$总结：本文介绍了成考高等数学二中的必背公式。
基本求导积分公式
基本求导积分公式求导积分是微积分中最基本的概念之一，它们可以帮助我们理解函数的性质和计算函数在特定区间的变化。
在本文中，我将为您介绍一些基本的求导和积分公式，并详细解释它们的推导和应用。
一、求导公式1.常数函数求导公式如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。
因为常数函数没有变化率，所以它的导数永远为零。
2.幂函数求导公式如果 f(x)=x^n，其中 n 是实数，则有 f'(x) = nx^(n-1)。
这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到，也可以通过使用指数函数的导数公式来得到。
3.指数函数求导公式如果 f(x)=a^x，其中 a 是正数且a ≠ 1，那么 f'(x) = a^x * ln(a)。
这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到。
4.对数函数求导公式如果 f(x)=log_a(x)，其中 a 是正数且a ≠ 1，那么 f'(x) =1/(x * ln(a))。
这个公式可以通过对函数 f(x) 进行直接求导来得到。
5.三角函数求导公式(1) sin(x) 的导数是 cos(x)；(2) cos(x) 的导数是 -sin(x)；(3) tan(x) 的导数是 sec^2(x)，其中 sec(x) 是 secant 函数，其定义为 sec(x) = 1/cos(x)；(4) cot(x) 的导数是 -csc^2(x)，其中 csc(x) 是 cosecant 函数，其定义为 csc(x) = 1/sin(x)；(5) sec(x) 的导数是 sec(x) * tan(x)；(6) csc(x) 的导数是 -csc(x) * cot(x)。
6.反三角函数求导公式(1) arcsin(x) 的导数是1/√(1-x^2)；(2) arccos(x) 的导数是 -1/√(1-x^2)；(3) arctan(x) 的导数是 1/(1+x^2)；(4) arccot(x) 的导数是 -1/(1+x^2)；(5) arcsec(x) 的导数是 1/(，x，* √(x^2-1))；(6) arccsc(x) 的导数是 -1/(，x，* √(x^2-1))。
导数 微分 不定积分的基本公式
1221.()0(()()ln (01)4.)16.)(01)ln 1.ln )8.(sin )cos 9.(cos )sin 10.(tan )11.(cot )csc 12.()tan 13.(csc )csc co xxxxa c c x xa a x a a e ex a a x ax xx x x x x set x x x setx setx x x x αααα-'='='=>≠'='=>≠'='='=-'='=-'='=-是常数）2.是实数）3.(、((log 、7(222t 114.(arcsin )(11)115.(arc )(11)116.(arctan )1117.(arc )1(),()18.()19.()20.()21.(),()(()x x x cosx x x x cotx xu u x v v x u v u v uv u v uv u u v uv v v vy f u u x y f x ϕϕ'=-<<-'=-<<'=+-'=+=='''±=±'''=+''-'=≠===设可导，(0)均可导，则复合函数)x uxy y u '''=g 可导且122()0(3.ln (01)4.15.log (01)ln 16.ln 7.sin c os 8.c os sin 9.ta n se c10.c ot c sc 11.se c se c ta n 12.c sc c sc c ot 13.a x x xxa d c c d xx d xd a aa d xa a d ee d xd x d xa a x a d x d xxd x x d x d x x d x d x x d xd x x d xd x x x d x d x x x d x d ααα-===>≠==>≠===-==-==-1.是常数）2.、、222rc sin (11)14.a rc (11)15.a rc ta n 116.a rc c ot 1(),()17.()18.()19.()(0)20.()()(())d x x x d x d c o sx x d x d x x d xd x xu u x v v x d u v d u d v d u v v d u u d v u v d u u d vd v v vy f u u x y f x d y f ϕϕ=-<<-=-<<=+-=+==±=±=+-=≠=='==设可微若可微,可微,则复合函数可微，且()u d u三 不定积分公式1.02.(1)113.ln 4.(0,1)ln 5.6.sin cos 7.cos sin 8.tan ln cos 9.cot lnsin 10.sec ln sec tan 11.csc ln csc cot 12.sec xxxxdx c xx dx c dx x cxaa dx c a a ae dx e c x x c xdx x c xdx x cxdx x cxdx x x c xdx x x c αααα==+≠-+=+=+>≠=+=-+=+=-+=+=++=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰222222tan 13.csc cot 114.arctan (0)115.ln(0)216.arcsin (0)xdx x c xdx x c dx x c a a x a adx a x ca a xaa x dx x ca a=+=-+=+>++=+>--=+>⎰⎰⎰⎰⎰22217.ln18.arcsin2219.ln(2220.ln22dxx ca xcax ax cax c=++=++=+++=-++⎰⎰⎰⎰。
高等数学第五章微积分基本公式
F(x) = ∫a f (t)dt + ∫b f (t)
练习题答案
一、1、0； 2、
； 3、
；
4、 ； 5、(1) ； (2)0,0；
7、
8、 ；
9、1.
二、1、
；
2、
3、
三、 1、 ； 2、 ； 3、
； ； 4、 . ； 4、4.
四、1、0；
2、 .
六、 , 0.
七、
.
⎧0 , x < 0
⎪⎪1
e d π
∫dx ⎜ ∫ I1
=， cos −π
mxa⋅ cos
nxdx
,
⎝ π
sin m x ⋅ sin nxdx
（1）、 当 （2）、 当 6、设 （1）、 当 （2）、 当 7、
8、
时， =__ , =_____ ， 时， =___ , =_____ .
时， =____ , 时， =_____ .
前述变速直线运动的路程问题表明： 定积分的值等于被积函数的一个原函数 在时间区间上的增量，这个事实启发我 们去考察一般的情况，得到肯定的回答。 这就是微积分基本公式。
定理 3（微积分基本公式）
如果 是连续函数 的一个原函数，则
在区间 上 .
证
已知 是 的一个原函数，
∵ 又
也是
的一个原函x数,
Φ ( x ) = ∫ f ∴ F( x) − Φ( x) = C x ∈[a,b]
_____ . _____ .
9、
________ .
二、求导数： 1、 设函数
由方程
定，求 ；
2、 设
,求 ；
3、 4、设
；
，求
高中极限导数积分知识总结
csc′x=-cscxcotx
cos′x=-sinxsec′x=secxtanxtan′x=sec2x
cot′x=-csc2x
arcsin′x=
arctan′x=
arccos′x=-
arccot′x=-
③高阶导数：
1.微分导数定义：
①导数定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在点x0取得该变量△x(x≠0)时，相应地函数y=f(x)也有改变量，△y=f(x0+△x)-f(x0)。如果 存在，则称函数y=f(x)在点x0可导，并称这个极限值为函数y=f(x)在点x0的导数。其几何意义是x0点的斜率。
②微分定义：设函数y=f(x)在区间I上有定义，x0,x0+△x∈I，如果函数的改变量△y=f(x0+△x)-f(x0)可表示为△y=A△x+0(△x)，其中A是不依赖△x常数，而0(△x)是比△x高阶无穷小，则称函数y=f(x)在点x0可微：dy=Adx。其几何意义是△y线性部分。
③可导与连续性：如果函数y=f(x)在点x0可导，则函数在该点x0连续。一个函数在点x0连续却不一定可导。
2.计算方法原则：
①四则运算：
[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x)
[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
y=f(u)，u=g(x)→y′=f′(u)·g′(x)
②常用导数：
C′=0
(xa)′=axa-1
(ax)′=axlna
(ex)′=ex
(logax)′=
(lnx)′=
大一高数知识点总结归纳
大一高数知识点总结归纳【大一高数知识点总结归纳】高等数学是大学阶段十分重要的一门基础学科，它涉及到许多重要的数学理论和方法。
在大一的学习过程中，我们接触到了许多高数的知识点，这些知识点对我们今后的学习和发展都具有重要的作用。
本文将对大一高数的知识进行总结归纳，以帮助我们更好地理解和掌握这些知识。
一、极限与连续1. 极限的概念与性质：极限的定义、左极限与右极限、无穷大与无穷小、极限运算的性质。
2. 连续函数与间断点：连续函数的定义、间断点的分类、间断点的性质。
3. 中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理。
二、导数与微分1. 导数的概念与性质：导数的定义、导数的几何意义、导数的运算法则。
2. 基本初等函数的导数：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数。
3. 高阶导数与高阶微分：高阶导数的定义、高阶导数的计算、高阶微分的定义与计算。
4. 隐函数与参数方程求导：隐函数的导数与高阶导数、参数方程的导数与高阶导数。
三、积分与不定积分1. 不定积分的概念与性质：不定积分的定义、不定积分的运算法则。
2. 基本初等函数的不定积分：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的不定积分。
3. 定积分与定积分的计算：定积分的概念与性质、定积分的计算方法、变限积分。
4. 牛顿-莱布尼茨公式：微积分基本定理与牛顿-莱布尼茨公式。
四、微分方程与应用1. 微分方程的基本概念：微分方程的定义、常微分方程与偏微分方程。
2. 一阶常微分方程：可分离变量方程、一阶线性常微分方程。
3. 二阶常系数齐次线性微分方程：特征方程的求解、通解的求法。
4. 应用问题与数学模型：生物学、物理学、经济学等领域中的应用问题。
五、级数与幂级数1. 数列与级数：数列的极限、级数的定义与收敛性。
2. 常数项级数：等比级数与调和级数的性质与求和。
3. 幂级数与函数展开：幂级数的收敛半径、函数的幂级数展开。
4. 泰勒级数与麦克劳林级数：泰勒级数与麦克劳林级数的定义与求导。
《高数》必背公式之不定积分(完整版)
《高数》必背公式之不定积分（完整版）高等数学中的不定积分是一种数学运算，它是求解导数的逆运算，也称为反导函数。
在学习高等数学的过程中，我们需要掌握一些常用的不定积分公式，以便能够更好地解决各种数学问题。
下面是一些常见的不定积分公式的完整版，共计超过1200字。
1.基本积分公式(1) ∫k dx = kx + C （k为常数，C为任意常数）(2) ∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C （n不等于-1，C为任意常数）(3) ∫e^x dx = e^x + C(4) ∫a^x dx = (a^x)/(lna) + C （a为常数且a不等于1）(5) ∫sinx dx = -cosx + C(6) ∫cosx dx = sinx + C(7) ∫sec^2x dx = tanx + C(8) ∫csc^2x dx = -cotx + C(9) ∫secx tanx dx = secx + C(10) ∫cscx cotx dx = -cscx + C(11) ∫1/(x^2+1) dx = arctanx + C2.分部积分法分部积分法是求解不定积分的一种常用方法，可以通过将一个积分式子拆分成两部分来求解。
∫u dv = uv - ∫v du其中，u和v是函数，∫u dv和∫v du分别表示u和v的不定积分。
3.三角函数的积分公式(1) ∫sin(ax) dx = -1/a cos(ax) + C(2) ∫cos(ax) dx = 1/a sin(ax) + C(3) ∫tan(ax) dx = -ln，cos(ax)，/a + C （a不等于0）(4) ∫cot(ax) dx = ln，sin(ax)，/a + C （a不等于0）(5) ∫sec(ax) dx = (1/a) ln，sec(ax) + tan(ax)， + C(6) ∫csc(ax) dx = (1/a) ln，csc(ax) - cot(ax)， + C4.指数函数和对数函数的积分公式(1) ∫e^ax dx = (1/a) e^ax + C （a不等于0）(2) ∫ln(ax) dx = x(ln(ax) - 1) + C5.三角函数与指数函数的积分公式(1) ∫e^x sin(x) dx = (1/2) e^x (sinx - cosx) + C(2) ∫e^x cos(x) dx = (1/2) e^x (sinx + cosx) + C(3) ∫e^ax sin(bx) dx = (a e^ax sin(bx) - b e^axcos(bx))/(a^2 + b^2) + C(4) ∫e^ax cos(bx) dx = (a e^ax cos(bx) + b e^axsin(bx))/(a^2 + b^2) + C以上只是一部分常用的不定积分公式，还有许多其他的公式可以根据需要进行学习。
成人高考专升本《高等数学二》公式大全
第一章节公式1、数列极限的四则运算法则 如果,lim ,lim B y A x n n n n ==∞→∞→那么推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况。
例如，若{}na ，{}nb ，{}nc 有极限，则：n n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim特别地，如果C 是常数，那么CA a C a C n n n n n ==∞→∞→∞→lim .lim ).(lim2、函数极限的四算运则 如果,)(lim ,)(lim B x g A x f ==那么推论设)(lim ),(lim ),......(lim ),(lim ),(lim 321x f x f x f x f x f n 都存在，k 为常数，n 为正整数，则有：3、无穷小量的比较：第二章节公式1.导数的定义：函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是＝，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0即f ′(x 0)＝.2．导数的几何意义函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线的斜率k ，即k ＝＝f ′(x 0)．3．导函数(导数)当x 变化时，f ′(x )便是x 的一个函数，我们称它为f (x )的导函数(简称导数)，y ＝f (x )的导函数有时也记作y ′，即f ′(x )＝y ′＝.4．几种常见函数的导数(1)c ′＝0(c 为常数)，(2)(x n )′＝nx n －1(n ∈Z )，(3)(a x )′＝a x lna(a ＞0,a ≠1),(e x )′＝e x(4)(ln x )′＝，(log a x )′＝log a e=ax ln 1(a ＞0,a ≠1) (5)(sin x )′＝cos x ，(6)(cos x )′＝－sin x(7)x x 2cos 1)'(tan =,(8)xx 2sin 1)'(cot -= (9))11(11)'(arcsin 2<<--=x xx ,(10))11(11)'(arccos 2<<---=x xx(11)211)'(arctan x x +=,(12)211)'cot (x x arc +-= 5．函数的和、差、积、商的导数(u ±v )′＝u ′±v ′，(uv )′＝u ′v ＋uv ′′＝，(ku )′＝cu ′(k 为常数)．(uvw )′＝u ′vw ＋uv ′w +uvw ′微分公式：（1）为常数）c o c d ()(=为任意实数））（a dx ax x d a a ()(21-=(7)dx x x d 2cos 1)(tan =,(8)dx xx d 2sin 1)(cot -= (9)dx xx 211)'(arcsin -=,(10)dx xx 211)'(arccos --=(11)dx x x d 211)(arctan +=,(12)dx xx arc d 211)cot (+-= 6．微分的四算运则d(u ±v )＝d u ±d v ，d(uv )＝vdu ＋udv)0()(2≠-=v vudvvdu v u d d(ku )＝k du (k 为常数)． 洛必达法则：在一定条件下通过分子分母分别求导，再求极限来确定未定式的值的方法。
高等数学导数、微分、不定积分公式
高等数学导数、微分、不定积分公式一、基本导数公式：'k1. kx2. x n'nx n 13. a x 'a x ln a4. e x'xe5. log a x'1 x ln a'16. ln x x'cos x7. sin x8. cosx'sin x'9. tan x sec2 x'csc2 x 10. cot11. secx 'secx tan x12. cscx'csc x cot x'113. arcsin x1x2'1 14. arccosx1 x2'115. arctan x1x2'1 16. arc cot1x2二、基本微分公式：1.d kx k2.d x n nx n 1dx3.d a x a x ln adx4.d e x e x dx5.d ln x1dxx6.d1dxlog a xx ln a7.d sin x cosxdx8.d cosx sin xdx9.d tan x sec2 xdx10.d cot x csc2 xdx11.d secx secx tan xdx12.d cscx cscxcot xdx13.d arcsinx1dxx2114.d arccosx1dx1x215.d1dxarctanxx21116.d arc cot x2 dxx1- 1 -高等数学导数、微分、不定积分公式三、不定积分基本公式：1.kdxkxc2.x ndxx n 1cn 13. e x dxe xc4.a x dxax1 cln a5.1dxln | x |cx6. sin xdxcosxc7.cos xdxsin xc8. tan xdxln | cosx | c9.cot xdxln |sin x |c10. cscxdxln |cscxcot x | c11. secxdxln |secxtan x |c12.1dxcsc 2xdxcot xcsin 2x13.1dx2tan xc2sec xdxcos x114.1 x 2dxarctanxc15.1dxarcsin xc1x216.secx tan xdxsecxc17.cscx cot xdxcscxc18.dx 1arctan xcx 2a2aa19.dx 1ln |xa |cx 2a22axa20.dxarcsin xca 2x 2a21.dxln | xx 2a 2|cx2a222.dxln | xx2a2|cx 2a 2xdx12cx12xx 2dx2ln 1 xc21x 2dx1x 3c12 dxarctan xc3112 dx1xcxx- 2 -高等数学导数、微分、不定积分公式四、特殊的三角函数值：030°45°60°90°sin x01231222cosx13210 222tan x0313无3cot x无31303五、三角函数的和差化积公式：sin sin2sin cos22sin sin2cos.sin22 cos cos2cos.cos22 cos cos2sin.sin22六、三角函数的积化和差公式：sin cos 1sin sin 2cos sin 1sin sin 2cos cos 1cos cos 2sin sin 1cos cos 2幂的公式 :sin 21cos2a2cos21cos 22七、万能公式：令 tanxt则 x=2arctantd x2 d t2 1 t 2x x2sinxcosx2 tanx2t222 sin2sin cos2 2 x 2 x 2 x 1 t 22sin12cos tan222x2x2xt2cosxcos2sin21tan212x2x2x1t2sin1cos22tan22tanx2ttan x2x 112t2tan2八、平方关系：sin2cos211 tan2sec21 cot2csc2九、导数关系：tan .cot1sin .csc1cos .sec1十、商的关系：sin seccostancsccsc cscsincotsec- 3 -。
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一、基本导数公式：
()()()()()()()()()()()()(
)(
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'1
'
'
'
'
'
'
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2
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2
1.2.3.ln 4.1
5.log ln 1
6.ln
7.sin cos
8.cos sin
9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 1
13.arcsin 114.arccos 115.arctan 11n n x x
x x
a kx k
x
nx a a a e e
x x a x x
x x x x x x
x
x x x x x x x x x x -=====
=
==-==-==-=
=-
=
+()'
2
16.a cot 1rc x =-
+
二、基本微分公式：
()()()()()()()()()()()()(
)()1221.2.3.ln 4.1
5.ln 1
6.log ln
7.sin cos
8.cos sin
9.tan sec 10.cot csc 11.sec sec tan 12.csc csc cot 1
13.arcsin 14.arccos n n x x x x a d kx k
d x nx dx d a a adx d
e e dx d x dx
x d x dx
x a
d x xdx d x xdx d x xdx d x xdx d x x xdx d x x xdx d x dx
d x -========-==-==-=
()()2
2
1
1
15.arctan 11
16.cot 1dx
d x dx x
d arc x dx x
=-=+=-+
三、不定积分基本公式：
11.2.1
3.1
4.ln 1
5.ln ||
6.sin cos
7.cos sin
8.tan ln |cos |
9.cot ln |sin |10.csc ln |csc cot |11.sec ln |sec tan |n n x x x
x
kdx kx c
x
x dx c
n e dx e c a dx a c
a
dx x c x
xdx x c xdx x c xdx x c
xdx x c
xdx x x c
xdx x x c
+=+=++=+=+=+=-+=+=-+=+=-+=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
2
2
32121311xdx x c
x dx x c
dx c
x x =+=+=-+⎰⎰⎰
222
22
22
22
1
12.c cot sin 1
13.sec tan cos
114.arctan 11
15.arcsin
16.sec tan
sec 17.csc cot csc 118.arctan 119.ln ||220.dx cs xdx x c
x dx xdx x c x
dx x c x dx x c
x xdx x c x xdx x c
dx x c x a a a dx x a c x a a x a dx ==-+==+=++=+=+=-+=++-=+-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin 21.ln ||22.ln ||x c
a dx
x c
x c =+=++=++⎰⎰⎰
(
)2
21ln 112x dx x c x =+++⎰ 21
arctan 1dx x c x =++⎰
四、特殊的三角函数值：
五、三角函数的和差化积公式：
sin sin 2sin
cos
22
sin sin 2cos .sin
22cos cos 2cos .cos
22cos cos 2sin .sin
22
αβ
αβ
αβαβαβ
αβαβαβαβαβαβ
αβ+-+=⋅+--=+-+=+--=
六、三角函数的积化和差公式：
()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ⋅=++-⎡⎤⎣⎦ ()()1cos sin sin sin 2αβαβαβ⋅=+--⎡⎤⎣⎦ ()()1cos cos cos cos 2αβαβαβ⋅=++-⎡⎤⎣⎦ (
)()1sin sin cos cos 2αβαβαβ⋅=+--⎡⎤⎣⎦ 幂的公式:
21cos 2sin 2
a
α-=
21cos 2cos 2
α
α+=
七、万能公式：
令 tan 2
x t = 则x=2arctant 2
2
1dx dt t =
+ 2
2222sin cos 2tan
2222sin 2sin cos 221sin cos 1tan 222
x x x x x t x x x t α====+++ 2
2222222
cos sin 1tan 1222cos 1cos sin 1tan 222
x x
x
t x x x x t ---=
==+++ 2
22tan
22tan 11tan 2
x t x x t ==-- 八、平方关系：
222
2
22sin cos 11tan sec 1cot csc αβαααα
+=+=+=
九、导数关系：
tan .cot 1sin .csc 1cos .sec 1
αααααα===
十、商的关系：
sin sec tan cos csc αα
ααα==
csc csc cot sin sec αα
ααα
==。