系统工程04线性规划之单纯形法

s.t.
5.5 单纯形法
假设从基本可行解 (0,0,10,10,4) 出发，寻找下一步
y x1 4 x2 0 ， 因此下一步可以增加 x2 的值，而 x1 仍维持 0 值，
的基本可行解。因为此时
5.5 单纯形法
考虑约束以及 x1
0 以及 xi 0, i 1,2,3,4,5 x1 0 xi 0, i 1,2,3,4,5
32 11 364 y x3 x5 51 51 51
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(2,0,2,0,18)
18 11 70 y x3 x4 17 17 17 18 1 y x2 x4 2 5 5
5.5 单纯形法
在一般情形下，当目标函数用非基本变量
xi1 , xi 2 ,, xir 表示时，即当 y vi1 xi1 vi 2 xi 2 vir xir w
s.t.
5.5 单纯形法
该问题中所加的变量 x3 , x4 , x5 的系数均为1 所以都是松弛变量，可令剩下的变量 x1 , x 2 的值为 0 ，然后再根据约束方程求出 x3 , x4 , x5 的值分别是 x3 8, x4 16, x5 12
将下列线性规划问题化为标准形式
目标 min f 3x1 x2 4x3 2x4
4 x1 5x 2 x3 10 5x1 2 x2 5x 2 10 2 x2 10 4 x2 4 - 7 x1 4 x2 x5 4
x4 10
x2 2 x2 5 x2 1
x2 1
因此下一步中，选择
x2 1
5.5 单纯形法
s.t.
x2
( 20 86 14 , ,0, ,0) 51 51 3
7 x1 4 x2 4
(0,1,5,8,0)
30 10 ( , ,0,0,14) 17 17
0
(0,0,10,10,4)
(2,0,2,0,18)
5x1 2x2 10 4x1 5x2 10
x1
5.5 单纯形法
y x1 4 x2 0，下一步迭代中可以让 x2
的值增加。
5.5 单纯形法
现在的问题是，到底系数为负的基本变量的值在下 一步迭代中应为多少？以问题（4）为例。
max
f x1 4 x 2 10 4 x1 5x 2 x3 5 x 2 x x4 10 1 2 x5 4 - 7 x1 4 x 2 xi 0, i 1,2,3,4,5
2 x1 3x 2 x3 2 x 4 51 3x 2 x 2 x x 7 1 2 3 4 s.t : 2 x1 4 x 2 3x3 2 x 4 15 x1 , x 2 0, x 4 0, x3无限制
max
f 2 x1 3x 2 8 x1 2 x 2 x3 4 x x4 16 1 4 x2 x5 12 xi 0, i 1,2,3,4,5
作业：
将以下线性规划问题化成标准形式，并用 单纯形法求解。 max
f 40 x1 50 x2
x1 2 x2 30 3 x 2 x 60 1 2 s.t : 2 x2 24 x1 , x2 0
5.5 单纯形法
max f x1 4 x 2 4 x1 5x 2 10 5 x 2 x 10 1 2 - 7 x1 4 x 2 4 x1 0, x 2 0
（3）
s.t.
5.5 单纯形法
引入松弛变量 x3 , x 4 , x5
max
f x1 4 x2 10 4 x1 5x 2 x3 5x 2 x （4） x4 10 1 2 x5 4 -7x1 4x2 xi 0, i 1, 2,3, 4,5
因此，初始基本可行解为
0,0,8,16,12
此方法适合于系数矩阵的线性独立的列 向量容易找到的情况。
5.5 单纯形法
方法二：若原问题所有约束为 约束，即将 原问题转化后的标准问题中加入的只有松弛变 量，而没有剩余变量。可将松弛变量视作基本 变量，而剩下的变量为非基本变量(值为 0 )

max
f 2 x1 3x 2 8 x1 2 x 2 x3 4 x x4 16 1 4 x2 x5 12 xi 0, i 1,2,3,4,5
显然
1 0 0 P 1 P 0 P3 0 4 5 0 0 1
线性独立。
令与这些线性独立向量对应的变量为初始的基变 量，剩下的变量为非基变量（即令其值为 0 ）
5.5 单纯形法
本例中，令 x1 x2 0 ，再根据 约束方程，可以得到：x3 8, x4 16, x5 12
5.5 单纯形法
max y ci xi
i 1 r
(1)
xi x r 1 b1
s.t.
a
i 1
r
1i
a
i 1
r
2i
xi x r 2 b2

(2)
a
i 1
r
mi
xi x r m bm
xi 0, i 1,2,, r , x r j 0,j 1,2, ,m bk 0, k 1,2,, m
可以这样的结论：如果这个式子中的系数
vi1 , vi 2 ,, vir 全部为正时，则目标函数最大值
已经达到。
5.5 单纯形法
y 8x1 x5 4 0 可知：若 x1 ： 正数，则 y 的值会增大。 0 而将 x5 ： 正数， y 的值会减小。
回到上面的例子（4），分析 因此，增加上一次迭代中，系数为负的变量 （非基本变量）的值有利于目标函数的增大。 如果系数为负的变量不止一个，一般可以选择 让系数绝对值较大的变量的值增大。 例如
max
f 2 x1 3x 2
s.t.
8 x1 2 x 2 x3 4 x x4 16 1 4 x2 x5 12 xi 0, i 1,2,3,4,5
5.5 单纯形法
约束方程系数矩阵
1 2 1 0 0 P A 4 0 0 1 0 1 0 4 0 0 1 P2 P5
x1 0 x2 1
x3 5 x4 8 x5 0
x5 4 ， y 的值已经从刚才
至此已经得到新的基本可行解 (0,1,5,8,0) 此时，y 8x1
的 0 增加到 4 ，观察系数，可知下一步可
加大 x1 的值，方法同前述，直到所有系数 均为正。
5.5 单纯形法
初始的基本可行解的求取： 方法一：
s.t.
已知生产两种产品Ⅰ和Ⅱ的利润以及受设备A、B、 C、D的有效台时的限制如下表所示，问如何安排 生产才能使获得的利润最大？
已知生产某种胶囊需要的成分要求为：VA不少于2mg，VB1 不少于3mg，VB2不少于1.2mg，VD不少于2mg。VA，VB1， VB2，VD所需的原料甲或乙以及原料的单位价格如下所示， 比如用原料甲1mg可制成1mgVB1，或者用原料乙1mg可制成 0.3mg的VB1, ，问如何安排生产才能使获得的利润最大？
基本可行解 非基本变量 目标函数
(0,0,10,10,4)
x1 , x 2
y x1 4 x2 0
(0,1,5,8,0)
20 86 14 ( , ,0, ,0) 51 51 3
30 10 ( , ,0,0,14 ) 17 17
x1 , x5
x3 , x5 x3 , x 4
x2 , x4
y 8x1 x5 4
5.5 单纯形法
在(1),(2)中，如果一个可行解的 r m 个坐标 中的 r 个坐标为 0 ，则称这个可行解为基本 可行解；使目标函数达到最优的基本可行解 称为最优的基本可行解。
在基本可行解中，取值为非 0 的变量称作基 本变量，其他变量为非基本变量（ r 个）。
5.5 单纯形法
单纯形法是一个迭代过程，它是从线性规划 问题的一个基本可行解转到另一个基本可行 解，而使目标函数不断增大的过程。 单纯形法必须解决两个问题： 1. 计算了目标函数在某一顶点处的值后，如 何确定下一个顶点，使得目标函数在该顶 点的值会更大些。 2. 如何知道最优解已经求得。