初中数学教学中反例的构造和应用

浅谈初中数学教学中反例的构造和应用教学理论认为：“概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息。”因此，构造反例是我们辨析错误的有力工具。从数学的发展史看，反例和证明一样占据着重要地位。19世纪中叶，数学界长期认为连续函数除极个别点外总是处处可微的。但1860年，数学家魏尔斯特拉斯却极为精巧地构造出一个可以被称为“数学中的艺术品”的反例：f（x）=■ancos （bnπx），其中b为奇整数，01+■π。此函数f（x）居然在实轴上处处连续，但处处不可微。这个反例推翻了流行了很长时间的谬误。可见反例在数学发展中有多么重要的地位。从初中数学的教学实践看，反例和正例起着同样重要的作用。

反例在数学教学中作为一种辅助手段能起到深化概念、释疑解惑的作用。心理学实验告诉我们：持续不变的同一种信号刺激，容易使人产生厌倦和疲劳；差别大的东西，异常的信号，往往首先引起注意；同样的东西，变换一个角度，变换一种题法，常会给人新鲜感。可见，在数学教学中，若长时间采用正例帮助学生理解数学知识，很难给学生留下的印象。因此，在数学教学中不仅要运用正面的例子加以阐明，也要运用恰当的反例从另一侧面抓住概念或规则的本质，深化对数学知识的理解，增强认知的鲜明性。

那么，下面我就谈谈反例在初中数学教学中的构造和运用。

一、恰当地运用反例，可以去伪存真，释疑解惑

因构造反例在辨析错解中具有直观、明显、说服力强等突出特点，所以举出反例在揭露错误时有特殊的威力。平常的教学实践使我们深深地认识到：构造反例，辨析错解，不但可以发现错解中的漏洞，而且可以从反例中得到修补的启示，进而获得正确的解答途径。

例：求关于x的方程x2-（k-2）x+（k2+3k+5）=0两实根平方和的最大值。

设原方程有两实根x1，x2，由韦达定理得：x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（k-2）2-2（k2+3k+5）=-（k+5）2+19，可知当k=-5，两根平方和有最大值19，初看起来，运算没有错误，而且学生会认为韦达定理运用得非常正确。而事实上学生在应用的时候忽略了韦达定理运用的前提是保证方程有实数根。这时候就可以让学生通过列举反例：当k=-5时，判别δ=-11<0，原方程没有根。

这一反例说明了原解法是错误的，造成失误的原因是忽略了两根必须是实根的条件，因此也就给出了正确的解法应该是δ=[-

（k-2）]2-4（k2+3k+5）=-（k+4）（3k+4）≥0，解得-4≤k≤- 时，原方程有实根。由x12+x22=-（k+5）2+19，可知当k≤-4时，两实根平方和有最大值是18。

通过这样的反例使学生发现了自己错误的解法，而且加强了对韦达定理的认识和理解。

二、巧妙地使用反例可以深化对概念的认识

运用反例也是教学上的一种策略，巧妙地使用反例不但可以加深对知识的理解，还可排除无关特征的干扰，激发求知欲，刺激更深层的探讨。

例如，学生受视觉直观的影响，常会认为：一个梯形的中位线分成的两个小梯形是相似图形。但我们扣紧相似图形的定义：相似的两个图形，对应角相等，对应边成比例。就可以发现学生错误的认识是源于“仅对两个梯形的对应角相等”进行了分析，就下结论说两个梯形是相似的。其实我们可以列举一个很简单的例子，如梯形上底是2，下底是4，则利用中位线计算出ef=3，那么我们发现，很明显对应边不成比例。

这样，就把学生从误入歧途中拉了回来。同时也让学生明白相似图形的判定需要从“对应角、对应边”两方面去考虑，缺一不可，加深了对概念的理解。

三、反例可以判断命题的真假

在数学中要证明一个命题为真命题，必须经过严密的推理；而要否定一个命题，只要举出一个符合命题条件但与命题结论矛盾的例子就可以了。而在初中数学的学习中，尤其是几何学习，经常会遇到一些对命题真假的辨析，如：“对角线相等，且有一个角是直角的四边形必定是矩形。”学生对这个命题经常会误认为是正确的，他们觉得“对角线相等的四边形应该不是等腰梯形就是矩形，而等腰梯形是不可能有一个角是直角的，因此，这个四边形必定是矩

形”。学生没有通过严密推理去论证，就认定这个结论是正确的，其实在思维上是不严谨的。因此，教师可以引导学生构造反例，如图：

满足“∠abc为直角，ac=bd”，但很明显四边形abcd不是矩形。

这样的反例很好地否定了命题，因而这个命题是一个假命题。通过这样的例子也使学生明白了反例构造的重要性。

四、反例具有对学生创造性思维的培养功能

美国哲学家士·拉卡托斯指出：“整个数学理论体系本身就是通过理论不断批判和反驳而生长，通过理论的更新和竞争而取得进展的。”要对错误的理论进行批判和反驳，反例则是强大的武器，然而批判和反驳是一种创造。因此，构造反例的过程就是一种创造过程，在教学中长期训练构造反例的能力，对培养学生的创造性思维能力是大有裨益的。

例如：“两边和其中一边的对角相等的两个三角形全等”这个命题为假命题，要推翻它，就必须构造反例。

构造图形的过程就是动脑、动手、动眼的创造性过程。打破学生对全等三角形的正面认识，激发学生对非全等三角形模型的建构行为，无疑对培养学生的创造性思维有重要的作用。

寻求反例是从命题对应的角度去考虑问题，逆向思维具有求导性、广阔性、严密性等思维特征，当习惯于正向思维时，思维方向的改变能突破固有思维模式，开拓新的探索途径，这正是教学中必

须重视运用反例的主要原因。

总之，反例在数学教学中的应用较为广泛，由于学生空间想象能力不够，受思维定式的影响，反例的应用就更突出，直观、明显、说服力强等突出特点决定了反例在知识解疑中不可替代的作用。教师如果运用得当，就能为学生寻找到从模糊错误的思维中通往豁然开朗的桥梁，这样学习必能起到事半功倍之效。

（作者单位江苏省常州市正衡中学）