流体力学第七章(旋转流体动力学)
403《流体力学》考试大纲
第二章：基本方程约占20%
第三章：相似原理与量纲分析约占10%
第五章：涡旋动力学基础约占12%
第六章：流体波动约占12%
第七章：旋转流体动力学约占10%
第八章：湍流约占6%
第九章：边界层流体力学简介约占5%
（3）其难易度分为易、较易、较难、难四级，在试卷中四种难易度；试题难易度分数比例大致为2：3：4：1。
所要求的能力层次由低到高为：“了解”－“熟悉”－“理解”－“掌握”。
2.参考书目：《流体力学》余志豪苗曼倩蒋全荣杨平章编著气象出版社
3.命题考试的若干规定
（1）本课程的命题考试是根据本大纲规定的考试内容来确定的，根据本大纲规定的各种比例（适当掌握试题的内容、覆盖面、能力层次和难易度）。
（2）各章考题所占分数大致如下：
§3普鲁德曼—泰勒定理
①普鲁德曼—泰勒定理的讨论。（理解）
§4地转流动
1地转流动的概念及其描述方程；（掌握）
2地转流动的概念的应用。（掌握）
第八章湍流
§1湍流概述
1湍流的基本概念、湍流的判据----临界雷诺数；（理解）
2平均化法则。（熟悉）
§2湍流平均运动方程和雷诺应力
1描述湍流运动的基本方法；（熟悉）
2迹线和流线方程求解的方法；（掌握）
3ห้องสมุดไป่ตู้线、流线的差别以及迹线、流线重合的条件（理解）
§4速度分解
①亥姆霍兹速度分解定理的主要内容及其有关计算
§5涡度、散度和形变率
1涡度、散度和形变率的定义，物理含义；（掌握）
2涡度、散度和形变率的计算；（掌握）
3形变张量的概念。（熟悉）
§6速度势函数和流函数
1速度势函数的定义、存在条件；速度势函数表示流体运动的方法；（熟悉）
流体力学第七章不可压缩流体动力学基础
第七章不可压缩流体动力学基础在前面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的观点，求得平均量。
但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。
本章的内容介绍流体运动的基本规律、基本方程、定解条件和解决流体问题的基本方法。
第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。
位移和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。
在直角坐标系中取微小立方体进行研究。
一、平移：如果图（a ）所示的基体各角点的质点速度向量完全相同时，则构成了液体基体的单纯位移，其移动速度为z y x u u u 、、。
基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不变）。
二、线变形：从图（b ）中可以看出，由于沿y 轴的速度分量，B 点和C 点都比A 点和D 点大了dy yu y ∂∂，而yu y ∂∂就代表1=dy 时液体基体运动时，在单位时间内沿y 轴方向的伸长率。
x u x ∂∂，y u y ∂∂，zuz ∂∂ 三、角变形（角变形速度）ddd DCABCDBAdt yu dy dt dy y u d x x ∂∂=⋅∂∂=α dt x udx dt dx x u d yy∂∂=⋅∂∂=β θβθα+=-d d 2βαθd d -=∴ 角变形： ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=+=-=x u y u d d d y x z 212βαθαθ ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=x u z u z x y 21θ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+∂∂=y u z u z y x 21θ 四、旋转（旋转角速度）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=-=y u x u x y z 21θω ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=z u y u y zx 21ω 即， ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂=x u z u z x y 21ωzyxu u u z y x k ji ∂∂∂∂∂∂=21ω 那么，代入欧拉加速度表达式，得：z x x x x x x z y y z z y y y y y y y x z z x x z z z z z z z y x x y y x x y du u u u u u u u dt t xu u u u u u u u dt t y u u uu u u u u dt t z αθθωωαθθωωαθθωω∂∂⎫==++++-⎪∂∂⎪∂∂∂⎪==++++-⎬∂∂⎪⎪∂∂∂==++++-⎪∂∂⎭各项含义： （1） 平移速度（2）线变形运动所引起的速度增量（3）（4）角变形运动所引起的速度增量 （5）（6）微团的旋转运动所产生的速度增量流体微团的运动可分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变形运动之和。
流体的旋转流与涡量流动机制解析
流体的旋转流与涡量流动机制解析流体的旋转流与涡量流动机制一直是流体力学中一个重要的研究方向。
在自然界及工程领域中，流体的旋转流和涡量流动现象经常出现，对于理解和控制流体的运动具有重要意义。
本文将对流体的旋转流和涡量流动机制进行深入分析和解析。
一、流体的旋转流动机制解析流体的旋转流动是流体颗粒在特定条件下围绕某个轴线或中心点进行旋转的流动现象。
旋转流动一般可分为二维旋转流和三维旋转流两种情况。
二维旋转流是指流体颗粒沿着某一平面旋转的流动。
在二维旋转流中，流体颗粒在运动过程中，速度大小和方向均随着位置的不同而变化。
二维旋转流的旋转中心即为流场中的旋转中心，且在旋转中心处速度为零。
二维旋转流常常出现在某些特殊的流动情况下，例如旋转涡、旋转涡流等。
三维旋转流是指流体颗粒沿着三个坐标轴方向旋转的流动。
在三维旋转流中，流体颗粒在运动过程中，速度大小和方向同时随着位置的不同而变化。
三维旋转流中的旋转中心即为流场中的旋转中心，但与二维旋转流不同的是，三维旋转流中旋转中心处的速度不一定为零。
三维旋转流是一种复杂的流动形式，常见于涡流、湍流等情况下。
流体的旋转流动机制主要与流体中的涡量流动密切相关。
涡量流动是指流体颗粒围绕旋转中心形成涡旋的流动现象。
涡量流动是流体动力学中的一个重要概念，可以用涡量和涡旋线表示。
涡量类似于流体颗粒的旋转速度，而涡旋线则是描述流体颗粒围绕旋转中心运动轨迹的曲线。
二、涡量流动机制解析涡量流动是流体力学中的一种特殊的流动形式，其运动方式具有明显的旋转性。
涡量流动的机制主要包括涡度生成、涡度传输和涡度衰减三个过程。
涡度生成是指在流体中产生涡旋的过程。
涡度生成的主要原因是流体颗粒的速度随着位置的变化而发生变化，从而形成流体颗粒的旋转运动。
涡度生成通过流体的非定常性和非线性性机制来实现。
涡度传输是指涡旋沿着流动方向传输的过程。
涡度传输使得涡旋从一个区域传输到另一个区域，从而形成流体中的涡量流动。
流体力学 第七章
u2 dq d( ) 0 2 dp
等熵流动，dq=0
dp
u2 d( ) 0 2
积分形式
dp
u2 d( ) C 2
基本方程建立了速度、温度、压力、密度 的相互关系。即使用于可逆的绝热流动过 程，又适用于不可逆的绝热流动过程。
第三节 一元气体的流动特性
微分形式的可压缩气体总流的连续性方程 沿流管流体的速度、密度和流管的断面面积这 三者之间的相对变化量的代数和必然为0
二 可压缩气体的能量方程
由于气体的密度很小，所以质量力可以忽略不计。 气体是一维定常流动，则欧拉运动微分方程为
du dp u dx dx
积分
2
du 1 dp u 0 dx dx
以上分析表明:亚声速运动的点扰动源，扰动点始终 位于扰动波内，在足够长的时间以后，它的扰动总可 以传播到整个空间。因此亚声速运动的点扰动源的影 响域也是全流畅。 3)超声速运动的点扰动源的影响域 扰动点的运动速度 v大于声速c，设 t=0时刻点扰动位 于o点，在3t时刻 扰动到达半径为 3ct的o3球面上
( p dp) A PA dpA
沿活塞运动方向列动量方程
dpAdt cdtA(du 0)
dp du c
cd du d
dp cd c d
c
dp d (1 ) d
因为活塞速度很小，气体受到的扰动也很微弱， 其状态变化量很小，dρ/ρ可以忽略不计
C0 kRT0 1.4 287T0 20.1 273 20 343m / s
C1 kRT1 1.4 287T1 20.1 273 55 296m / s
第七章不可压缩流体动力学基础
在个方向上都是 相同的可得
yz
zy
vz y
v y z
2
•
x
zx
xz
vx
z
vz x
•
2 y
流体力学
二、法应力和线变形速度的关系
在粘性流体中，由于粘性的影响，流体微团除发生角变形以外，同时也 发生线变形（对不可压缩流体推导的结果如下）。
pxx
p
2
vx x
p yy
p 2
v y y状态
流体力学
二、以应力表示的运动微分方程
第一个下标表示 应力所在平面的 法线方向。
第二个下标 表示应力本 身的方向。
pxx
dy
dz
xz xy
fz
zx
yx
yx
y
fy fx
zx dz
z
dy xz
xypxxxzdxxxypdxxxx
x
dx
yx
dx
流体力学
流体力学
第七节 理想流体的运动微分方程及其积分
一、运动微分方程 当流体为理想流体时，运动黏度
，N-S方程简化为：
fx
1
p x
dvx dt
fy
1
p y
dv y dt
fz
1
p z
dvz dt
流体力学
将加速度的表达式代入
fx
1
p x
v x t
vx
vx x
vy
v x y
vz
vx z
fy
vds
v d s (vxdx vydy vzdz)
速度环量是一代数量，它的正负与速度的方向和线积分 的绕行方向有关。对非定常流动，速度环量是一个瞬时的概 念，应根据同一瞬时曲线上各点的速度计算.
流体力学第7章黏性流体动力学
影响层流向湍流过渡的因素包括流体的物理性质（如黏度、密度等）、流动通道的几何形 状、流动速度以及外部扰动等。这些因素共同作用，决定了层流向湍流过渡的条件和过程 。
04
管道内黏性流体流动规律 探讨
管道内充分发展层流流动规律
速度分布
在管道截面上，黏性流体的速度分布呈现抛物线形，最大速度出 现在管道中心，沿径向逐渐减小至管壁处为零。
生成。漩涡会不断从流体中吸收能量并逐渐扩大，对物体产生阻力和升
力作用。
03
尾迹形成
随着漩涡的脱落和扩散，流体会在物体后方形成一个尾迹区。尾迹中的
流动速度较低，压力较高，对物体的阻力和升力产生影响。
黏性流体绕运动物体流动现象描述
边界层变化
当黏性流体绕过运动物体时，由于相对速度的变化，物体表面的边界层会发生变化。在顺流方向，边界层厚度逐渐增 加；在逆流方向，边界层厚度逐渐减小。
05
黏性流体绕物体流动现象 研究
黏性流体绕静止物体流动现象描述
01
流动分离
当黏性流体绕过静止物体时，由于黏性作用，流体会在物体表面形成一
层附面层。随着流体向下游流动，附面层厚度逐渐增加，流动速度逐渐
减小，直至流动分离发生。
02
漩涡生成
在流动分离后，流体会在物体后方形成一个低压区，导致流体中的漩涡
流量与压力降关系
层流流动时，管道内流量与压力降成正比，符合泊肃叶定律。
ห้องสมุดไป่ตู้流动稳定性
层流流动相对稳定，不易受到扰动影响。
管道内充分发展湍流流动规律
速度分布
湍流流动时，速度分布在管道截面上呈现不规则变化，存在涡旋和 脉动。
流量与压力降关系
湍流流动时，管道内流量与压力降的关系不再符合泊肃叶定律，而 是呈现更为复杂的非线性关系。
《工程流体力学》第七章 粘性流体动力学
2.附面层位移厚度d*: 设物面P点附面层厚度d ，在垂直于纸面方向取单位宽度，
则该处通过附面层的质量流量：
通过同一面积理想流体流量：
ro, Vo —— 附面层外边界处理想
流体的密度和速度
以d*高度作一条线平行于物面，
使两块阴影处面积相同：
即在流量相等条件下将理想流体流动区从物面向外移动了
流体绕物体流动，整个流场分为三个区域：
1)附面层： 流速：由壁面上零值急剧增加到自由来流速度同数量级值 沿物面法线方向：速度梯度很大
即使流体粘性系数小：粘性应力仍可达到一定数值
由于速度梯度很大： 使得通过附面层物体 涡旋强度很大，流体 是有旋的
2)尾迹流： 附面层内流体：离开物体流入下游，在物体后形成尾迹流
各物理量都是统计平均值， \ 瞬时物理量＝平均物理量＋脉动物理量， 对整个方程进行时间平均的运算。
一、常用时均运算关系式：
时均运算规律：
推论：脉动量对空间坐标各阶导数的时均值=0。
二、连续方程：对二维流动，瞬态运动连续方程 进行时均运算：
\ 可压缩紊流运动连续方程：
进行时均运算： 上两式相减：
\ 附加法向应力
法向应力： l： 比例系数，与体积变化率有关
三个法向应力平均值的负值：为粘性流体在该点压强
最后得表面应力与变形率之间的关系：
第二节 粘性流体运动的基本方程
一、连续方程：
粘性流体运动：服从质量守恒定律 连续方程：不涉及力的作用 仍能得出与理想流体相同形式的方程
二、运动微分方程： 粘性流体中：微元六面体 微元六面体中心：c
三、雷诺方程： 二维不可压缩粘性流，不考虑质量力，N-S为：
对上式进行时均运算：
西北工大875流体力学讲义7-第七章 粘性流体动力学基础
西北工大875流体力学讲义 第七章 粘性流体动力学基础第一节 粘性流体运动的基本方程采用流体力学微元体平衡分析方法可以推导出粘性流体运动的基本方程组，该方法可参考本书的第二章和第三章。
本节将直接由两大守恒定律（质量守恒定律和动量守恒定律）来建立控制流体运动的基本方程组。
首先需要给出空间某点物理量的随体时间导数表达式、雷诺输运方程以及本构关系。
一、随体导数描述流体运动规律有拉格朗日和欧拉两种基本方法。
拉格朗日法着眼于确定的流体质点，观察它的位置随时间的变化规律。
欧拉法着眼于从空间坐标去研究流体流动，它的描述对象是流场。
随体导数的物理意义是：将流体质点物理量q 的拉格朗日变化率以欧拉导数的形式表示出来。
随体时间导数的数学表达式为：()q V tqdt dq ∇⋅+= ∂∂(7-1)式中右边第一项代表由时间的变化所引起的变化率，也就是由于场的时间不定性所造成的变化率，叫做当地导数。
第二项代表假定时间不变时，流体质点在流场中的位置变化所引起的变化率。
这是由于场的不均匀性造成的，叫做迁移导数。
二、雷诺输运方程雷诺输运方程描述了积分形式的拉格朗日法和欧拉法的时间导数的变换关系。
设封闭系统在t 时刻占有体积()t Ω，如图7-1所示。
其中关于物理量q 的总量的随体时间导数有图7-1 封闭系统输运示意图()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+Ω=ΩΩΩt S t t dS n V q d t qd q dt d ∂∂ (7-2)其中()t S 为封闭体积的曲面，n为曲面的法向向量。
上式表明：封闭系统中，某物理量总和的随体导数等于该瞬间与该系统重合的控制域中该物理量总和的当地时间导数（非定常效应）和通过控制面流出的该物理量的流量（对流效应）之和，此即为流体的雷诺输运方程。
用广义的高斯公式将面积分转换成体积分，上式也可以写成()()()Ω∂∂ΩΩΩd V q tqd q dt d t t ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇+=(7-3)三、连续方程连续性方程反映了流体在运动过程中必须满足质量守恒定律。
流体力学流体动力学和流量的计算
流体力学流体动力学和流量的计算流体力学是研究流体运动规律的学科，其中流体动力学是其中的一个重要分支。
流体动力学主要关注流体的运动行为以及与力学相关的现象，涉及到流体的流速、压力、密度等参数的计算和分析。
流量是流体动力学中的一个重要概念，代表单位时间内通过某个截面的流体量。
本文将介绍流体力学中流体动力学和流量的计算方法。
一、流体动力学基本理论流体动力学研究流体中质点的运动规律，通过分析流体的连续性、动量守恒和能量守恒等基本方程，可以描述流体的运动状态。
其中，连续性方程是基于质量守恒原理得到的，它表明流体在任何一点的流速都相同。
动量守恒方程描述了流体流动中的力学行为，能量守恒方程则考虑了热力学因素对流体运动的影响。
二、流体动力学的计算方法在实际应用中，为了计算流体在各种复杂情况下的运动行为，需要借助数值模拟和实验测试等手段。
其中，常用的计算方法包括有限差分法、有限元法和计算流体力学（CFD）等。
1. 有限差分法有限差分法是一种常见的数值模拟方法，通过离散化流体连续性、动量守恒和能量守恒方程，将偏微分方程转化为代数方程组，再求解该方程组得到流体的数值解。
有限差分法主要适用于简单的流动情况，其计算结果与真实情况之间存在一定的误差。
2. 有限元法有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值计算方法，通过将流体领域划分为有限个小区域，利用数学插值和积分等技术对偏微分方程进行离散化处理，进而求解流体的运动状态。
有限元法能够适应较为复杂的流动情况，但计算精度相对较低。
3. 计算流体力学（CFD）计算流体力学是一种基于数值模拟的流体动力学计算方法，它通过离散化流体领域、建立相应的数学模型，并利用计算机进行求解，得到流体的运动状态。
CFD方法适用于各种复杂的流动情况，能够提供较为精确的计算结果，但计算量较大。
三、流量的计算流量是流体动力学中一个重要的物理量，用来描述单位时间内通过流体的体积。
根据连续性方程，流体在截面上的流速和截面积相关联，因此流量可以通过流速和截面积的乘积来计算。
流体力学第七章(旋转流体动力学)
万有引力（地心引力）与惯性离心力 合成重力项，于是：
F
2 R
g
dV 1 2 g p V 2 V dt
旋转流体力学运动方程
13
地转偏向力的讨论：
①引进了旋转坐标系之后或者说考虑了地球的旋转效 应之后，出现了地转偏向力（或称柯氏力）。地转偏 向力与流速相垂直，且它只改变流速的方向，并不改 变流速矢量的大小；沿着流向观测，对于地球流体运 动而言，地转偏向力使流体向右偏转（北半球）。
重力为有势力
方程变为： 2k V 1 G ( ' , p ' ) z R0 Fr
31
1 z ' ' 2k V G ( , p ) Fr R0
梯度取旋度为零
对上式取旋度 (k V ) 0
U L V 1 1 g 2 (V )V p 2 L g L2 V 2k V U L UT t L
RO
1/Fr
Ek
1 1 L V 1 2 R0 (V )V p g Ek V 2k V Fr UT t R0
实际应用中：
大尺度运动（L大），流速缓慢（U小）， RO 1，旋转效应重要，采 用旋转流体运动方程； 中小尺度运动，流速快， RO 1，可以不考虑地球的旋转效应，采用 一般的流体运动方程。
22
2.埃克曼数
特征粘性力 U / L2 Ek 特征偏向力 U L2
反映了旋转流体中粘性的相对重要性
1 g 重力项： Fr
流体力学7动量方程及其应用及动量矩方程
FRx p1A1 cos1 p2 A2 sin2 qV (v1 cos1) (v2 sin2 )
F
d ( mv)
dt
fx
1
p x
[
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
]
dvx dt
fy
1
p y
[
2vy x 2
2vy y 2
2vy z 2
]
dvபைடு நூலகம் dt
fz
1
p z
[
2vz x 2
2vz y 2
2vz z 2
]
dvz dt
作用在质点系上的总外力就不必通过分布压强的积分，而是通过求质点系动量变 化率的办法计算出来，开辟了求解流体动力学问题的新途径。
，流量为
q
的流体对弯管的作用力
v
FRx，FRy
假定管道在水平平面内或者重力可以不加考虑，动量修正系数为1
取1-1、2-2断面及弯管内表面为流管控制体，作用在流体质点系的总外力包括
弯管对控制体内流体的作用力 FRx和 FRy , 过流断面上外界流体对控制体内流体的作用力P1A1, P2 A2
Fx qv (v2x v1x ) Fy qv (v2 y v1y ) Fz qv (v2z v1z )
p1A1 sin1 p2 A2 sin cos2 FRy qV v2 cos2 v1 sin1
p1A1 cos1 p2 A2 sin2 FRx qV v2 sin2 v1 cos1
p1A1 sin1 p2 A2 sin cos2 FRy qV v2 cos2 v1 sin1
本次课主要内容 动量方程式及其应用
一、动量方程能解决运动流体中的什么问题
《流体力学》第七章不可压缩流体动力学基础
例7-6
第六节
纳维—斯托克斯方程
不可压缩粘性流体的运动微分方 程 2u x 2u x 2u x du x 1 p X ( 2 ) 2 2 x x y z dt
uy uy uy du y 1 p Y ( ) 2 2 2 y x y z dt
u d s ux dx u y dy uz dz
s s
规定积分沿s逆时针方向绕行为 s 的正方向
斯托克斯定理
沿任意封闭曲线s的速度环量等于通过 以该曲线为边界的曲面A的涡通量。
s J A
汤姆逊定理 在理想流体的涡量场中，如果质量力具有 单值的势函数，那么，沿由流体质点所组 成的封闭曲线的速度环量不随时间而变。
圆柱坐标系的纳维—斯托克斯方程:
Fr .F . Fz.r. .z.ur .u .u z
例7-7:利用N-S方程求圆管层流运动流速分布.
解：由于流动轴对称,采用柱坐标系如图，已知：
u z u(r , , z ), u ur 0
1 p u z 1 u z 1 u z u z Fz ( 2 2 2 ) 2 z r r r r z u z u z u u z u z ur uz t r r z
A
A
n
有旋运动的一个重要运动学性 质是：在同一瞬间，通过同一 涡管的各截面的涡通量相等。
A2
A3 A1
A1
n dA n dA
A2
1 A1 2 A2 对于微元涡管，可以近似认为各截 面上各点的涡量为常数，因此： 1 A1 2 A2
由于流体的旋转角速度不可能为无穷大,所 以涡管截面 不可能收缩为零,即涡管不可能在 流体内部开始或终止,而只能在流体中自行封 闭成涡环,或者终止于和开始于边界面。
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dV 1 2 g p V 2k V dt
U2 L
U L
0 2 L2 0 L
L U
g
U 2 L
U
g U
L
2
1
19
旋转流体运动的无量纲方程
L 1 1 V U g 2 (V )V ( p) g 2 V 2k V T t L U U L
重力加速度特征量：
密度特征量：
g
0
17
旋转参考系的自转角速度特征量：
特征压力差可以取两种不同的尺度：
0U 、0 L
2
2 2
考虑到讨论 有效尺度
U / L 1的极限情形，通常选取最大 2 2 作为压力差的尺度。 0 L
18
二、旋转流体运动的无量纲方程
V 1 2 (V )V p g V 2k V t
无量纲方程为：
1 1 L V 1 2 R0 (V )V p g Ek V 2k V Fr UT t R0
为了突出旋转流体的主要特征，下面着重讨论偏向力有重 要作用的流体运动，此时，偏向力项远远大于运动的惯性 项和粘性项。
27
此时，无量纲方程变为：
1 1 1 0 p g 2k V R0 Fr
即：
1 1 1 2k V p Fr g R0
28
1 1 1 2k V p Fr g R0
10
d aVa dV 2 V ( r) dt dt
( r) R ( )
d aVa dV 2 2 V R dt dt
2 R
R
r
11
2V
2k V
14
②地转偏向力的出现，完全是由于旋转参考系下观测 流体运动所产生的旋转效应。当坐标不旋转时，惯性 离心力和偏向力均不出现，运动方程退化为N-S方程 在地球物理流体力学或大气动力学中，流体运动方 程大多数是采用旋转流体运动方程的（除小尺度运动 外）。但必须注意：旋转效应与流体运动的尺度密切 相关。
方程进一步处理：
考虑压力梯度力项（两种情况）： ①假设流体不可压： 1 p 常数 p ( ) ②正压流体：
f ( p)
f ( p)
1 1 p p F ( p) f ( p)
可见：上述两种情况下均可将流体的压力梯度项表示为 某函数的梯度G( ' , p' ) 。
12
万有引力（地心引力）与惯性离心力 合成重力项，于是：
F g
2 R
dV 1 2 g p V 2V dt
旋转流体力学运动方程
13
地转偏向力的讨论：
①引进了旋转坐标系之后或者说考虑了地球的旋转效 应之后，出现了地转偏向力（或称柯氏力）。地转偏 向力与流速相垂直，且它只改变流速的方向，并不改 变流速矢量的大小；沿着流向观测，对于地球流体运 动而言，地转偏向力使流体向右偏转（北半球）。
考虑不可压缩粘性流体的运动方程：
dV 1 2 F p V dt d aVa dV 2 2 V R dt dt dV 1 2 2 F p V 2 V R dt 偏向力 惯性离心力
① ② ①、③＝0 ②＝0 ③
由于是 k 常矢量，
而由不可压性可知， V 0
于是： (k V ) (k )V 0
33
最后有： (k )V 0 V / z 0 通常取 V ui vj wk
26
1 1 L V 1 2 R0 (V )V p g Ek V 2k V Fr UT t R0
假定流体运动满足：强旋转效应 RO 1 或者RO 0（即 Rossby 数很小）；
U L V 1 1 g 2 (V )V p 2 L g L2 V 2k V U L UT t L
RO
1/Fr
Ek
1 1 L V 1 2 R0 (V )V p g Ek V 2k V Fr UT t R0
29
1 1 1 2k V p Fr g R0
1 g 重力项： Fr
考虑 （有势力）
g gg,
g 1
1 1 z g ( k ) Fr Fr Fr
30
无量纲方程
1 1 1 2k V p Fr g R0
R0 Ek 0 Re 1 L V R0 (V )V UT t R0
1 1 2 p g Ek V 2k V Fr
同时要求： RO L/UT 0 （即要求T很大，1/T 0，即 对应准定常缓慢运动）。 1 1 L V 1 2 R0 (V )V p g Ek V 2k V Fr UT t R0
①流体不可压 或者 ②正压流体
重力为有势力
方程变为： 2k V 1 G( ' , p' ) z R0 Fr
31
1 z ' ' 2k V G( , p ) Fr R0
梯度取旋度为零
对上式取旋度 (k V ) 0
32
(k V ) 0
根据矢量运算法则
(k V ) (V )k (k )V k( ) V ( k) V
1
低压
高压
2
低压
高压
3
本章将主要介绍考虑地球旋转效应下的流体运动 主要内容 第一节 旋转参考系中的流体运动方程 第二节 旋转流体的无量纲方程和 Rossby 数 第三节 普鲁德曼—泰勒定理 第四节 地转流动
4
第一节 旋转参考系中的流体运动方程
惯性坐标系与旋转坐标系中的运动速度之间满足：
绝对速度
第七章
旋转流体动力学
前面讨论的流体运动，是在惯性坐标系下进行的，并没有 考虑地球的旋转效应。 地球自身以一定速度自转，而地球的旋转效应，将会对地 球大气、海洋等流体的运动产生很显著的影响。 假设考虑流体运动的参考系，本身是以一定的角速度绕轴 转动的；那么，这种参考系称为旋转参考系，而相对于旋转参 考系的流体运动则称之为旋转流体运动。大多数的地球物理流 体力学所关心的大量问题均属于旋转流体动力学问题。
d aVa Fi dt i
以下分析得出适用于描述旋转流体的运动方程。
9
d aVa dVa Va dt dt daVa d V r V r dt dt d aVa dV 2 V ( r ) dt dt
Va V Ve
相对速度
牵连速度
牵连速度：
Ve r
5
Va V Ve
引进微分算子：
d a r dr r dt dt
速度---矢径随时间的变化
da d dt dt
① ② ③
①绝对变化项 ②相对变化项 ③牵连变化项
15
第二节 旋转流体的无量纲方程和Rossby数
为了进一步研究旋转流体运动的特征，通常需要对旋转 流体运动方程进行分析和简化。 本节将导出旋转流体运动的无量纲方程，为旋转流体运 动方程的分析和简化提供依据，并介绍旋转流体力学中 常用到的特征Rossby数。
16
一、选取特征尺度（特征值） 首先选取进行尺度分析所需的各物理量的特征尺度： 特征长度尺度： 特征速度尺度： 特征时间尺度： L U T
24
第三节
普鲁德曼－泰勒定理
旋转与非旋转流体动力学的本质差别在于偏向力的作用。
普鲁德曼--泰勒定理：不可压或正压流体，在有势力 作用下的准定常缓慢运动，由于强旋转效应，其速度 将与垂直坐标无关，流动趋于两维化（流动是水平、 二维的）。
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dV 1 2 p g V 2 V 旋转流体运动方程： dt
特征惯性力 U 2 / L UL Re 2 特征粘性力 U/L
Ek R0 Re
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3.旋转流体的弗雷德数
旋转惯性力 (L) 2 / L 2 L Fr 重力 g g
反映了旋转流体中旋转作用和重力作用的相对重要性
一般流体的弗雷德数
特征惯性力 U 2 / L Fr 特征重力 g
实际应用中：
大尺度运动（L大），流速缓慢（U小）， RO 1，旋转效应重要，采 用旋转流体运动方程； 中小尺度运动，流速快， RO 1，可以不考虑地球的旋转效应，采用 一般的流体运动方程。
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2.埃克曼数
特征粘性力 U / L2 Ek 特征偏向力 U L2
反映了旋转流体中粘性的相对重要性
于是有： u / z v / z w / z 0 流体运动不随高度变化。
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u / z v / z w / z 0
进一步考虑下边界平坦时，边界条件为：z 0, w 0