对数函数应用举例

例1. 求下列函数的定义域：
1 (1)y
log2 x
解： lxog20x 0lxog20xl og21
x 1


x

0
∴函数的定义域是（ 0,1) (1 ,)
1 (2)ylog7 13x
解： 1 0 1 3x
13x0
x
1 3
∴函数的定义域是（ , 1 )
M (2)loagNloag Mloag N
（商的对数等于对数的差）
(3)loaM gnnloaM g （n次方的对数等于对数的n倍）
（四）常用对数与自然对数：
1.常用对数：log10N,简记作lgN 2.自然对数：logeN,简记作lnN
（五）换底公式：
loga
b

logc logc
b a
（4）在R上是减函数 （5）当x>0时，0<y<1
当x<0时， y>1
复习 三、对数函数
（一）对数函数的定义：形如 ylo ax g (a0 且 a 1 )的函数叫对数函数 （二）对数函数的图象及性质：
a>1
图
y
0<a<1 y
象
0 (1,0) x
0 (1,0) x
定义域 : ( 0,+∞)
性
(4)0.30.2 > 0.30.5 指数函 y0数 .3x在R上是减, 函数
(5) 0.1 < 3.140.1 幂函 y数 x0.1在0（ ， ＋ ）是减 , 函数
(6)20.3 < 3 0.3
幂函 y数 x0.3在0（ ， ＋ ）是增 , 函数
(7)log0.3 2 < 0 (8)log0.30.2 > 1
0loga1, 1logaa, 1a0,(a0且 a1)
例2.比较下列各值的大小
(1)ln3 < ln 5 对数y 函 lnx在 数 0， （ ＋ ）是,增函
(2)log0.3 < log0.3 e 对数 y函 lo0.3 g数 x在0， （ ＋ ）是,减 (3)1.32 > 1.33 指数函 y数 1.3x在R上是增,函数
3. 解对数不等式时，还要同时解真数部分大于0。
判断下列证明错在哪里？
求证：1>2 证： 1 1
24
即1 （1 ）2 22
两边同取以 1 为底的对数，得
2
？ l
o
g1
2
1 2

l
o
g12(12)2
1
1
log12 22log1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2
1

log 1
2
2
1
12
四、应用题举例 （教材P50例3、例4）


x

0
∴函数的定义域是 (0,0.5]
二、关于比较两个函数值的大小
1.先找出对应的函数模型
(1)若为两个同底的对数值 (2)若为两个同底的指数幂
看做同底的对数函数 看做同底的指数函数
(3)若为两个同指数的指数幂 看做同指数的幂函数
2.再确定对应的函数的增减性
3.最后由单调性的定义比较大小 4.注意学会化数为函数的技能，如：
教材P50例3、
解：由题意得： 500(11.2%x)100 01.01x22
等式两边同取10为底的等式，得：
xl g 1.012l g2
x lg 2 0.301058(年） lg1.012 0.0052
教材P50例4、
解： 由题意得： 0.84x 0.5 等式两边同取10为底的等式，得：
§4.4.2对数函数应用举例
复习 一、对数的概念：
（一）对数的定义：当a0,且a1时， abN loaN gb, （二）对数的性质：1.真数N>0，即0和负数无对数.
2.三个运算式： (1)loag10 (2)loaga1 (3)aloagN N
（三）对数的运算法则：
(1 )lo a (M g) lN o aM g lo aN g（积的对数等于对数的和）
0lo g0.31 1log0.30.3
三、关于解指数或对数不等式
例3.解下列不等式
(1)2x 22(x1) y2x在R上 是 增 函 数
由 2 x 2 2 (x 1 ) x 2 (x 1 ) 解x 得 2
( 2 )lo 0 .3 ( 2 g x 3 ) lo 0 .3 (x g 1 )ylo0.3 gx在 (0,) 上是减
2x 3 x 1


x

1

0
2 x 3 0
小结：
解 得 3 x 2 2
1.解指数（或对数）不等式，就是利用函数的单调性去掉指数（或对数）符号转 化为普通不等式求解；
2. 去掉指数（或对数）符号时要注意不等号的方向，即当为增函数时，去掉函数 符号后不等号不变；当是减函数时，去掉函数符号后不等号反向；
3
(3)y log3 x
解： lxog30x 0
log3 xlog31 x 0
x 1


x

0
∴函数的定义域是 [1,)
(4)y
lo0g.5x1
解：log0.5 x10 x 0
lxo0g.05 x1lo0g.50.5
x 0.5
复习 二、指数函数
（一）指数函数的定义：形如 yax(a0且 a1)的函数叫指数函数 （二）指数函数的性质：
a>1
图
y
0<a<1 y
1
象
0x
（1）定义域： R 性 （2）值域： （0，＋∞）
1
0
x
（3）过点（0，1）即x＝0时y＝1
（4）在R上是增函数 质
（5）当x>0时，y>1
当x<0时，0<y<1
值域 : R
过点(1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0
质 在当(0x,>+∞1时)上，是y>增0函数
在当(x0,>+1∞时)，上y是<0减函数
当0<x<1时，y<0
当0<x<1时，y>0
一、关于求含有对数式的函数的定义域
求函数的定义域应从以下几个方面入手：
（1）函数含有分母时，分母不能为0； （2）函数含有开偶次方运算时，被开方式必须大于 等于0； （3）0的0次幂没有意义； （4）函数含有对数运算时，真数必须大于0，底数 大于0且不等于1.
xlg 0.8 4lg 0.5
x lg 0.5 0.30104(年） lg 0.84 0.0757
复习 一、对数的定义： 当a0,且a1时， abN loaN gb, 二、对数的性质：1.真数N>0，即0和负数无对数.