七年级(上)数学培优班--第4讲 因式分解--(配方、拆添项、双十字、主元)---学生版

第四讲

因式分解

（拆添项、配方、双十字、主元）

拆添项

一、拆项与添项：

拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项，如22232a a a =-； 添项：在代数式中填上两个相反项，叫做添项，如221221a a a a +=+-+. 拆项和添项都是代数式的恒等变形.

在对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，创造出提取公因式或运用乘法公式进行因式分解的条件，使原式的某些项之间能够建立起联系，便于采用分组法进行因式分解.

这种通过拆项或添项来进行因式分解的方法，形式多样，技巧性较灵活，因此具有一定的难度，需要同学们通过多做练习来掌握.

【铺垫1】 ★★☆☆☆

分解因式：387x x -+

【例题1】 ★★★☆☆

分解因式：

（1）3

2x x +-

（2）414x x --

（3）42201820172018x x x +++

配方法

二、配方法：

（1）定义：在代数式中，利用添项的方法，将原多项式配上某些需要的缺项，使添项后的多项式的一部分成为一个完全平方式，这种方法叫做配方法．

（2）方法：配方主要是配中项2ab ，或配一个平方项2b （或2a ）．如何配方依赖于对题目特点的观察和分析．

应用配方法进行因式分解时，常将多项式配成平方差公式22A B -的形式，使多项式可分解为

()()A B A B -+的形式．

【铺垫2】 ★☆☆☆☆

分解因式：421x x ++

【例题2】 ★★☆☆☆

分解因式：

（1）444x y + （2）4259x x ++ （3）422423a a b b -+

【例题3】 ★★★☆☆

4322321x x x x ++++

【悬赏题】 ★★★★☆

分解因式：51x x ++

【悬赏题】 ★★★★☆

分解因式：()4

44x y x y +++

双十字相乘

双十字相乘法：

⑴适用范围：双十字相乘法适用于对形如F

Ey

Dx

Cy

Bxy

Ax+

+

+

+

+2

2的二次多项式进行因式分解.

⑵条件：①

2

1

a

a

A=，

2

1

c

c

C=，

2

1

f

f

F=

②B

c

a

c

a=

+

1

2

2

1

，E

f

c

f

c=

+

1

2

2

1

，D

f

a

f

a=

+

1

2

2

1

即：

1

a x

1

c y

1

f

2

a x

2

c y

2

f

则=

+

+

+

+

+F

Ey

Dx

Cy

Bxy

Ax2

2

111222

()()

++++

a x c y f a x c y f

⑶步骤：

①用十字相乘法分解二次三项式()()

22

1122

Ax Bxy Cy a x c y a x c y

++=++，用十字交叉线表示（共两列）；

②用十字相乘法分解二次三项式()()

2

1122

Cy Ey F c y f c y f

++=++，继续用十字交叉线表示，即把常数项F分解成两个因式填在第三列上.

③用十字相乘法分解二次三项式2

Ax Dx F

++，检验是否等于()()

1122

a x f a x f

++，若相等，则双十字相乘法分解因式成功.

(4) 特殊情况：形如432

Ax Bx Cx Dx E

++++一元四次五项式．

即：2

1

a x

1

c x

1

e

2

2

a x

2

c x

2

e

其中，

12

A a a

=，

1221

B a c a c

=+，

1221

D c e c e

=+，

12

E e e

=，特别的，

121221

C c c a e a e

=++．

【铺垫3】★☆☆☆☆

分解因式：222

32543

x xy y yz zx z

+++++.

模块三

【例题4】 ★★☆☆☆

双十字相乘法分解因式： （1）226136x xy y x y ---+-

（2）2221076142712x xy y xz yz z ---+-

【例题5】 ★★☆☆☆

双十字相乘法分解因式： （1）2256x y x y -++- （2）225624x xy y y -++-

【例题6】 ★★★☆☆

双十字相乘法分解因式： （1）4322656x x x x ++++ （2）432273108x x x x +++-