近世代数简介教学课件PPT

拉格朗日定理（Lagranges）: 有限群(G，*)的子群(S，*)的阶数一定是群 (G，*)阶数的因子。 若(A, * )，（B, * ）分别是群(G, * )的两个 子群， 则A、B的交集在同样运算下也构成 (G, * )的子群（A∩B，*）。 某一元素 a （称作生成元 a ）的一切乘幂 a0, a1, a2,…的全体组成一个群，称为循环群， 写作G ={ a0, a1, a2, …},其中a0= e是单位元。 若序列a0= e，a1, a2, …中没有两个元素是相 等的，称之为无限循环群。
近世代数简介
群(group): 一个集合，一种运算
满足 G1:封闭性 G2:结合性 G3:单位元存在 G4:逆元存在 交换群 G5:交换性
加群一定是交换群，加群一定含零元素 乘群不一定是交换群，乘群一定不含零元素 包含无数个元素的群称为无限群。 包含有限个元素的群称为有限群，有限群元 素的个数称为该群的阶。 群(G，*)中，集合G的非空子集S在同样的运 算 * 下可构成群 (S ， *) ，称群（ S ， * ）为群 （G，*）的子群（Subgroup）。 (S, *) 为 (G , *) 子群的充要条件是：对于任 何a、b S, 必有a * b－1 S 。充要条件的这 种表述形式，强调了子群元素逆元的存在性 以及子群的封闭性。
例2.3 集合G = {0,1,2 … m-1}在模m加（用符 号表示）运算下构成一个群（G，）。
该加群是m阶有限群，单位元是0。元素0的 逆元是0，1的逆元是m-1, 2的逆元是m-2,…。
例2.4：集合G = {1,2 … q-1}在模q乘（q是素 数）运算下构成一个乘群（G，）。
为什么有限加群对模数m无要求， 而有限乘群要求模数q必须为素数？
如果模为合数，其因子一定能整除 它，不会产生一个余数1（单位元）， 因此逆元不存在。
比如，{1,2,3}mod4 中的2， {1,2,3,4,5,6,7,8} mod9 中的3 如果a的逆元是b，必有关系式 ab = nq+1 这样才会有 （ ab ) mod q =1
四进制乘群不存在？
！！！
若上述序列中有两个相等的元素a i= a j, (ij) ，可推出G 的元素必以n为周期重复，即an = a0=e , 这样的循环群称为有限循环群。 循环群也叫幂群，具有以下性质：循环群是 交换群；循环群的子群仍是循环群；n阶循环 群子群的阶数一定是n的因子。
例 2.1 ：令 R 、 I 、 E 分别是有理数、整数、偶 数 集 合 ， 则 (E,+) 是 (I,+) 的 子 群 ， 则 (I,+) 是 (R,+)的子群，单位元均是0。奇数集合O在加 法运算下构不成群，因不满足封闭性条件
若 a是m的因子，a b= 0 ，而a0，b 0
称a、b为零因子。 有零因子时，乘法消除率不能成立，即 从a b = a c (mod m)不能推得b = c (mod m) ， 因为当 c =0时，前式成立而后式并不成立。带 来的后果是，方程a x = 0无唯一解，因为 x =0和x =b都是解。
本原多项式 Primary Polynomials
对于有限域 GF(q) 上的 m 次既约多项式 P(x) ，若能 被它整除的最简首一多项式(x n -1)的次数n qm –1, 则称该多项式为本原多项式。 本原多项式一定既约； 反之，既约多项式未必本原。
乘法 逆元
1 2 3 4
1 1 1 1
1 2 3 4
1 4 4 1
1 3 2 4
1 4 4 2
4 3 2 1
1 3 2 4
既约多项式 Irreducible Polynomials
对于某数域上的多项式PI（x），若除了常数C以 及CPI（x）外不能被该数域上的任何其它多项式 整除，则称为是该数域上的既约多项式。
可以证明，伽逻华域GF(q) 的 (q-1)个 非零元素在模 q 乘运算下构成一个循环群 （幂群），即所有非零元素可以由一个元 素（该元素称作生成元或本原元）的各 次幂 0、1、2、…q-2 生成。
表2-1 GF(5) 各非零元素的幂、阶及逆元
元素
0
各 次 幂 1 2
3
元素 加法 的阶 逆元
环（Ring)
一个集合，二种运算
加法成“ 群” 乘法不成 “ 群” G1:封闭性 G1:封闭性 G2:结合性 G2:结合性 G3:单位元存在 G3:单位元存在 G4:逆元存在 ？ 分配性 交换环 乘法交换率
由于环并不涉及乘法逆元的是否存 在，因此模m不是素数也能构成有限环。
但这是零因子环，乘法消除律不成立。
有限环（Ring)
一个有限集合，模m加，模m乘
一般m 素数q 可能是零因子环 整环
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子环（ subring ）
理想子环（强收敛性） 主理想（所有元素是一个元 素幂的线性组合）
若集合S是集合R的子集（S R）， 判断(S ,+, ·)是(R ,+, · ) 子环的充要条件是 1． a、 b S， a－ b S。 2． a、 b S， a b S。 上述条件 1强调了子环中加法逆元的存在和封闭 性，条件2强调了乘法封闭性。 理想子环的充要条件是： 若R是交换环，I是R的非空子集，如满足 1 ． a 、 b I， a － b I。 2． a I、r R， a r = r a I， 则I是R的理想子环，简称理想 若理想子环的所有元素可由一个元素 a 的各 次幂或各次幂的线性组合生成，则称该理想子环 主理想子环，简称主理想
域（Field)
一个集合，二种运算
加法成“群” 去零后乘法也成 “群” G1:封闭性 G1:封闭性 G2:结合性 G2:结合性 G3:单位元存在 G3:单位元存在 G4:逆元存在 非零元素逆元存在 分配性 交换环 乘法交换率
有限整数集合F={0,1,2,…,q-1} (q是素 数 ) 在模 q 加、模 q 乘运算下构成一个 q 阶有 限域，又称伽逻华 (Galois) 域，记作 GF(q) 。 当q =2时，就是二元域GF(2)。