第八章强度设计

对于复杂应力状态下构件进行强度 计算的步骤
1、从构件危险点处取单元体，求出
1, 2 , 3
2、选用合适的强度理论，计算相当应力
3、将相当应力与许用应力进行比较，得校核 结果
几种常用的强度 设计准则
例 题4
已知 ： 铸铁构件上 危险点的应力 状态。铸铁拉 伸许用应力
[] =30MPa。 试校核该点的强度。
要求分别不超过材料的 许用拉应力 和 许用压应力 。
σ t max [σ t]
σ cmax σ c
例3：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa， 许用压应力[σc ]=60MPa, Ｉz=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
9 kN
第八章 强度设计
第1节 轴向拉伸和压缩时的强度计算
1 安全系数和许用应力 将构件的工作应力限制在极限应力的范围内还是不够的， 因为：
（1）主观设定的条件与客观实际之间还存在差距。 （2）构件需有必要的强度储备。 将材料的破坏应力打一个折扣，即除以一个大于1的系数n 后，作为构件应力所不允许超过的数值。称为许用应力。 以 [] 表示，这个系数n称为安全系数。
,
u
u
E
b
E
• 由此导出失效条件的应力表达式为：
( )
1
2
3
b
[ ] b
n
• 第二强度条件： 1 ( 2 3 ) [ ]
煤、石料等材料在轴向压缩试验时，如端部 无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生断裂， 这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第 二强度理论的结果相近。
max
N max A
2.5 103 142 106
162MPa < [ ]
4
满足强度条件。
第2节 圆轴扭转时的强度条件
扭转失效与扭转极限应力
轴的强度条件： max
T Wp
[ ]
轴的合理截面
例2：在强度相同的条件下，用d/D=0.5的空心 圆轴取代实心圆轴，可节省材料的0百.8分比为多少?
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
2.5 kN
10.5 kN
M( kN m) 2.5
C截面： t
2.5 88 Iz
28.8 MPa
4
c
2.5 52 Iz
17.0 MPa
B截面： t
4 52 Iz
27.3MPa
c
4 88 Iz
46.1MPa
注：强度校核（选截面、荷载）
结论：强度是安全的。
例题5一薄壁圆筒容器承受最大压强为 p , 圆筒部分的内直径为
D ，厚度为 t , 且 tD 。试计算圆筒部分内壁的强度。 y
t
p
z
D
包围内壁任一点，沿直径方向 取一单元体，单元体的侧面为 横截面，上，下面为含直径的 纵向截面，前面为内表面。
包含直径的纵向截面 横截面
内表面
横截面上的应力
根椐强度条件，可解决工程中常见的下列三类问题。
可对梁按正应力进行强度校核 选择梁的截面 确定梁的许可荷载
M max
W
W
M max
Mmax W
对于铸铁等 脆性材料 制成的梁，由于材料的
t
c
且梁横截面的 中性轴 一般也不是对称轴，所以梁的
σ σ t max
c max
（两者有时并不发生在同一横截面上）
假想地，用一垂直于轴线的平面将圆筒分成两部分，取右边为研
究对象。n— n面为横截面 。
右图为研究对象的剖面图，其上的外力为压强 p，合力 P 。横截 面上只有正应力
n
n
σ'
pP
n
研究对象
nn
P π D2 .p 4
'
P
πD2
4
p
A
Dt
pD 4t
( 因为 t «D , 所以 A Dt )
包含直径的纵向截面上的应力
用第三和第四强度理论校核圆筒内壁的强度
r3
1
3
pD 2t
r4
1 2
1 2 2 2 32 3 12
pD
2.3t
第5节 连接件的强度计算
剪切的概念和实例
构件的受力特点是：构件两侧作用有 垂直于轴线的横向外力，外力作用线
相距很近。
变形特点：以两力P之间的横截面为分 界面，构件的两部分沿该面发生相对
材料的破坏是有规律的。人们总结了材料破坏的规律， 逐渐形成了这样的认识：材料的破坏是由某一种因素所 引起的，无论其处于何种应力状态，当导致它们破坏的 这一共同因素达到某一极限值时，材料就会发生破坏。 因此，可以通过简单拉伸的试验来确定这个因素的极限 值，从而建立复杂应力状态下的强度条件。
强度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推 理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出 引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善， 在一定范围与实际相符合的一些假说，通常称为强 度理论。
对图示的单元体,计算 r3 ,r4
30MPa
40MPa
50MPa
70MPa
解：首先求主应力,已知 x=70， y=30，xy=–40 可求得
1 3
70 2
30
2 50 MPa
70
2
30 2
402
94.72
50 20 5
MPa
5.28
r 3 89.44MPa , r 4 77.5MPa
材料破坏的基本形式有两种：断裂和屈服 相应地，强度理论也可分为两类：
一类是关于脆性断裂的强度理论； 另一类是关于塑性屈服的强度理论。 关于脆断的强度理论：
1.最大拉应力理论（第一强度理论）
• 它假定：使材料发生脆断的主要因素是最大拉应力,
无论材料内各点的应力状态如何，只要最大拉应力 σ1 达到材料的极限应力σu，材料即破坏。
关于屈服的强度理论
• 1.最大剪应力理论（第三强度理论）
• 它假定，使材料发生塑性屈服的主要因素是
最大剪应力τmax，无论材料内各点的应力状
态如何，只要最大剪应力τmax达到某一极限
值τu时，材料就会出现明显塑性变形或屈服。
• 屈服破坏条件是：
max
u
1 3 ,
s
max
2 u2
• 用应力表示的屈服破坏条件：
1
3
s
[ ] s
n
• 第三强度条件： 1 3 [ ]
第三强度理论曾被许多塑性材料的试验结 果所证实，且稍偏于安全。这个理论所提供的 计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广 泛的应用。该理论没有考虑中间主应力 σ2的影响，其带来的最大误差不超过 15％，而在大多数情况下远比此为小。
2.形状改变比能理论(第四强度理论)
• 影响材料的脆性和塑性的因素很多，例如：
低温能提高脆性，高温一般能提高塑性； 在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静
载荷作用下保持塑性。
无论是塑性材料或脆性材料： 在三向拉应力接近相等的情况下，都以断
裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论；
在三向压应力接近相等的情况下， 都可以引起塑性变形，所以应该采用第 三或第四强度理论。
用两个横截面 mm , nn 从圆筒部分 取出 单位长的圆筒研究。
m
n
p
m 1
n
由截面法，假想地用 直径平面将取出的单 位长度的圆筒分成两 部分。取下半部分为 研究对象。
包含直径 的纵向平 面
直径平面 研究对象
σ 研究对象上有外力 p , 纵截面上只有正应力 "
右图是其投影图。R 是外力在 y 轴上的投影，N 为纵截面
一、校核杆的强度 已知FN 、A、[σ]，验算构件是否满足强度条件
二、设截面 已知FN、[σ],根据强度条件，求A
三、确定许可载荷 已知A、[σ]，根据强度条件,求FN
例1：一直径d=14mm的圆杆，许用应力 [σ]=170MPa，受轴向拉力P=2.5kN作用，试校核 此杆是否满足强度条件。
解：
解：设实心轴的直径为 d1 ，由
T
T
d13 D3 (1 0.584 )
得： D 1.022 d1 1.192
16 16
A空 A实
D2 (1 0.582 )
4
d12
0.783
0.512
4
§第3节 梁弯曲时的强度校核
My
Iz
由公式知，对某一截面来说，最大正应力在距中性轴最远 的地方；而梁各截面上的弯矩是随截面的位置而变的，对 等截面梁来说，弯矩最大的截面为危险截面。因此，就全 梁而言，最大正应力位于最大弯矩所在截面上距中性轴最 远的地方。其计算式为：
几种常用的强度 设计准则
应用举例
例题 解：首先根据材料
和应力状态确定破坏 形式，选择强度理论。
脆性断裂，最大拉应力 理论
max= 1 [] 其次确定主应力
失效分析与设计准则
几种常用的强度 设计准则
应用举例
其次确定主应力
例 题 一
1＝29.28MPa, 2＝3.72MPa, 3＝0
max= 1< [] = 30MPa
上的轴力。
N
N
σ ''
O
p
R
y t
Y 0, (2t 1) pD1 0
''
pD 2t
σ"
p
t
内表面的应力
内表面只有压强 p ,且为压应力
σ''' p
内壁的强度校核：此单元 体处于三向应力状态，故 需要强度理论进行强度计 算。
'' 1
' 2
3 0
σ "σ 1
σ'
σ2
σ σ σ''' 3 3
u
n
破坏应力
s 或 b
2 强度条件
对于轴向拉伸和压缩的杆件应满足的条件是：
横截面的工作应力
横截面轴力
FN [ ]
A
许用应力
横截面面积
这是轴向拉伸和压缩时的强度条件。 解决工程实际中有关构件强度的问题：
（1）强度校核
（2）选择截面
A FN
[ ]
（3）确定许用载荷 F N A[ ]
根据上述强度条件，可以进行三种类型的强度计算：
• 在单向拉伸时，极限应力 σu =σb • 失效条件可写为 σ1 =σb
[ ] b
n
• 第一强度强度条件： 1 [ ]
试验证明，这一理论与铸铁、岩石、陶瓷、 玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，这些材 料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大 的横截面上。脆性材料的扭转破 坏,也是沿拉应力最大的斜面发生断裂， 这些都与最大拉应力理论相符，但这个理 论没有考虑其它两个主应力的影响。
• 屈服破坏条件是：
1
2
( 1
2 )2
( 2
3 )2
( 3
1)2
s
• 第四强度条件：
1
2
( 1 2 ) 2 ( 2 3 ) 2 ( 3 1 ) 2
[ ]
这个理论和许多塑性材料的试验结果相符， 用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确 的。
四个强度理论的强度条件可写成统一形式：
弯曲正应力强度条件
σmax
M
max y max Iz
M max
W
σ
1.弯矩最大的截面上
2.离中性轴最远处
3.变截面梁要综合考虑 M 与 Iz
4.脆性材料抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑
t,max t
c,max c
目录
σmax
M
max y max Iz
M max
W
σ
2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）
• 它假定，使材料发生脆断的主要因素是最大伸长线
应变, 无论材料内各点的应变状态如何，只要最大 伸长线应变ε1达到某一极限值 εu，材料即破坏。
• 所以发生脆性断裂的条件是 ε1 =εu • 若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工作，则
1
1 E
1 （ 2 3 ）
r [ ]
r 称为相当应力
r1 1 r2 1 ( 2 3 ) r3 1 3
r4
1 2
( 1 2 ) 2
( 2 3 ) 2
( 3 1 ) 2
• 一般说来，在常温和静载的条件下，脆性材
料多发生脆性断裂，故通常采用第一、第二 强度理论；塑性材料多发生塑性屈服，故应 采用第三、第四强度理论。
u
n
这些极限应力值可直接通过试验测定。 所以说，单向应力状态下的强度条件是 直接与试验进行比较而建立的。
材料破坏（失效）的两种类型（常温、静载荷） 1. 脆性断裂: 无明显的变形下突然断裂。
2. 塑性屈服: 材料出现显著的塑性变 形而丧失其正常的工作能力。
第4节 强度理论
构件由于强度不足将引发两种失效形式
构件受力后，其形状和体积都会发生改变，同时构 件内部也积蓄了一定的变形能。积蓄在构件单位体 积内的变形能（即比能）包括两部分：体积改变比 能和形状改变比能。试验表明，前者对于材料的塑 性屈服没有影响，后者则与材料的塑性屈服有关。
• 它假定，使材料发生塑性屈服的主要因素是
形状改变比能。无论材料内各点的应力状态 如何，只要其形状改变比能达到某一极限值， 材料即会发生屈服。
1） t c：（等截面）只须校核Mmax处 2） t c:（等截面）
a)对中性轴对称截面只须校核Mmax处，使
maxt [ ]t , maxc [ ]c
b)对中性轴不对称截面情况，具体分析， 一般要校核
Mmax（+） 与 Mmax（-）两处。
第4节 强度理论
max
N A
[ ]