1.1直角坐标系平面上的伸缩变换

1．1 直角坐标系，平面上的伸缩变换

1．1.1 直角坐标系 1．1.2 平面上的伸缩变换

基础达标

1．把函数y ＝sin 2x 的图象变成y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3的图象的变换是 ( )

A ．向左平移π

6 B ．向右平移π

6 C ．向左平移π

3 D ．向右平移π

3

答案：A

解析：由函数y ＝sin 2x 的图象得到y ＝sin ⎝ ⎛

⎭⎪⎫2x ＋π3的图象所作的变换为

⎩⎪⎨

⎪⎧

X ＝x －π6，

Y ＝y ，

故是向左平移π

6个单位．

2．已知▱ABCD 中三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－1,2)、(3,0)、(5,1)，则 点D 的坐标是

( )

A ．(9，－1)

B ．(－3,1)

C ．(1,3)

D ．(2,2)

答案：C

解析：由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出D 点坐标．设D (x ，y )，

则⎩⎨

⎧

k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，

即⎩⎪⎨⎪⎧

2－0－1－3＝y －1x －5，2－y －1－x ＝0－13－5.

∴⎩⎨⎧

x ＝1，

y ＝3.

，故D (1,3)． 3．在同一坐标系中，将曲线y ＝3sin 2x 变为曲线Y ＝sin X 的伸缩变换是( )

A.⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝2X y ＝13

Y

B.⎩

⎪⎨⎪

⎧

X ＝2x Y ＝13y

C.⎩⎨⎧

x ＝2X

y ＝3Y D.⎩⎨⎧

X ＝2x Y ＝3y

答案：B

解析：设⎩⎨⎧

X ＝ax Y ＝by 代入第二个方程Y ＝sin X 得by ＝sin ax ，即y ＝1

b sin ax ，

比较系数可得⎩⎪⎨⎪⎧

b ＝13

，

a ＝2.

4．在△ABC 中，已知B (－2,0)，C (2,0)，△ABC 的周长为10，则A 点的轨迹 方程为____________________________． 答案：x 29＋y 2

5＝1 (y ≠0) 解析：∵△ABC 的周长为10， ∴|AB |＋|AC |＋|BC |＝10. 其中|BC |＝4， 即有|AB |＋|AC |＝6>4.

∴A 点轨迹为椭圆除去长轴两顶两点， 且2a ＝6,2c ＝4. ∴a ＝3，c ＝2，b 2＝5.

∴A 点的轨迹方程为x 29＋y 2

5＝1 (y ≠0)．

5．在平面直角坐标系中，方程x 2＋y 2＝1所对应的图形经过伸缩变换 ⎩⎨⎧

X ＝2x ，Y ＝3y

后的图形所对应的方程是____________． 答案：X 24＋Y 2

9＝1

解析：代入公式可得X 24＋Y 2

9＝1.

6．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换

⎩⎪⎨⎪⎧

x ′＝12x ，y ′＝13y

后的图形．

(1)5x ＋2y ＝0；(2)x 2＋y 2＝1.

解：根据变换公式，分清新旧坐标代入即可．

(1)由伸缩变换⎩⎪⎨

⎪⎧

x ′＝1

2x ，y ′＝13y .

得到⎩⎨⎧

x ＝2x ′，

y ＝3y ′.将其代入5x ＋2y ＝0，得到经过伸缩变换后的图形的方程是

5x ′＋3y ′＝0.经过伸缩变换后，直线仍然是直线．

(2)将⎩⎨⎧

x ′＝2x ′，y ′＝3′y .代入x 2＋y 2＝1，得到经过伸缩变换后的图形的方程是

x ′214＋y ′

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＝1.经过伸缩变换后，圆变成了椭圆． 综合提高

7．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧

X ＝5x ，Y ＝3y 后，曲线C 变为曲线

X 2＋4Y 2＝1，则曲线C 的方程为 ( )

A ．25x 2＋36y 2＝1

B ．9x 2＋100y 2＝1

C ．10x ＋24y ＝1 D.225x 2＋8

9y 2＝1

答案：A

解析：将⎩⎨⎧

X ＝5x ，

Y ＝3y 代入X 2＋4Y 2＝1，得25x 2＋36y 2＝1，为所求曲线C 的方

程．

8．已知点A (－1,3)，B (3,1)，点C 在坐标轴上，∠ACB ＝90°，则满足条件的 点C 的个数是( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

答案：C

解析：若C 点在x 轴上可设点C (x,0)，由∠ACB ＝90°，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2， ∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(x ＋1)2＋32＋(x －3)2＋1，解得x 1＝0，x 2＝2. ∴C 点为(0,0)，(2,0)．

若点C 在y 轴上可设点C 为(0，y )，由∠ACB ＝90°，得|AB |2＝|AC |2＋|BC |2. ∴有(－1－3)2＋(3－1)2＝(0＋1)2＋(3－y )2＋(0－3)2＋(y －1)2， 解之得y 1＝0或y 2＝4.故C 点的坐标为(0,0)，(0,4)． ∴这样的点C 有(0,0)，(2,0)，(0,4)共3个点．

9．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧

X ＝3x ，Y ＝y 后，曲线C 变为曲线

X 2＋9Y 2＝9，则曲线C 的方程是__________． 答案：x 2＋y 2＝1

10．已知三角形的三个顶点为A (2，－1,4)，B (3,2，－6)，C (－5,0,2)，则过A 点的中线长为________． 答案：7

11．已知▱ABCD ，求证：|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．

解：法一：(坐标法) 以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ， 则A (0,0)，设B (a,0)，C (b ，c )，

则AC 的中点E (b 2，c

2)，由对称性知D (b －a ，c )， 所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2， |AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2， |AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )， |AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ， ∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．

法二：(向量法) 在▱ABCD 中，AC

→＝AB →＋AD →， 两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD

→，