待定系数法分解因式

学科：奥数
教学内容：待定系数法分解因式
经验谈：
待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。

其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。

【内容综述】
将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。

然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。

本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。

同学们要仔细体会解题的技巧。

【要点讲解】
这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。

★★例1 分解因式
思路1 因为
所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。

解法1因为所以可设
比较系数，得
由①、②解得把代入③式也成立。

∴
思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。

解法2 因为所以可设
因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得
令得
解①、②得或
把它们分别代入恒等式检验，得
∴
说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。

若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。

★★例2 分解因式
思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。

解设
由恒等式性质有：
由①、③解得代入②中，②式成立。

∴
说明若设原式
由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式
★★★例3 在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当时，其值为10，求这个二次三项式。

思路1 先设出关于x的二次三项式的表达式，然后利用已知条件求出各项的系数。

可考虑利用恒待式的性质。

解法1 设关于x的二次三项式为把已知条件分别代入，得
解得
故所求的二次三项为
思路2 根据已知时，其值0这一条件可设二次三项式为然后再求出a的值。

解法2 由已知条件知当时，这个二次三项式的值都为0，故可设这个二次三项式为
把代入上式，得
解得
故所求的二次三项式为即
说明要注意利用已知条件，巧设二次三项式的表达式。

★★★★例4 已知多项式的系数都是整数。

若是奇数，证明这个多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。

思路先设这个多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，然后利用已知条件及其他知识推出这种分解是不可能的。

证明：设
（m,n,r都是整数）。

比较系数，得
因为是奇数，则与d都为奇数，那么mr也是奇数，由奇数的性质得出m,r也都是奇数。

在①式中令，得②
由是奇数，得是奇数。

而m为奇数，故是偶数，所以是偶数。

这样②的左边是奇数，右边是偶数。

这是不可能的。

因此，题中的多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。

说明：所要证的命题涉及到“不能”时，常常考虑用反证法来证明。

★★★★例5 已知能被整除，求证：
思路：可用待定系数法来求展开前后系数之间的关系。

证明：设展开，比较系数，得
由①、②，得，
代入③、④得：，
∴
★★★例6若a是自然数，且的值是一个质数，求这个质数。

思路：因为质数只能分解为1和它本身，故可用待定系数法将多项式分解因式，且使得因式中值较小的为1，即可求a的值。

进而解决问题。

解：由待定系数法可解得
由于a是自然数，且是一个质数，
∴
解得
当时，不是质数。

当时，是质数。

∴=11 .
A级
★★★1、分解因式_______.
★★★2、若多项式能被整除，则n=_______.
★★3、二次三项式当时其值为-3，当时其值为2，当时其值为5 ，这个二次三项式是_______.
★★4、m, n是什么数时，多项式能被整除？
B级
★★★5、多项式能分解为两个一次因式的积，则
k=_____.
★★★6、若多项式能被整除，则_______. ★★7、若多项式当 2 时的值均为0，则当x=_____时，多项式的值也是0。

★★★8、求证：不能分解为两个一次因式的积。

参考答案或提示：
1.
提示：设原式
比较两边系数，得
由①、②解得
将代入③式成立。

∴原式
2、-4。

提示：设原式
=
比较系数，得
由①、②解得
代入③得
3、
提示：设二次三项式为
把已知条件代入，得
解得
∴所求二次三项式为
4.
设
比较系数，得
解得
∴当m=-11，n=4已知多项式能被整除。

5.-2
提示：设原式
. 比较系数，得
解得
6.-7
提示：设原式
比较系数，得
解得
∴
7.3.
提示：设原式
比较系数，得
解得c=3.
∴当x=3时，多项式的值也是0.
8.设原式且展开后比较系数，得
⎪⎩
⎪
⎨⎧==-=+1514312mn n m n m
由④、⑤得代入③，再由①、③得将上述入②得
.
而这与③矛盾，即方程组无解。

故命题得证。