2020年4月全国自考高等数学基础试题及答案解析

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全国2018年4月自考高等数学基础试题

课程代码：00417

一、单项选择题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.对于非零向量b a ,，下列诸等式中不成立的是（ ） A.)(b a b a -+=-

B.·a a =

C.→→→→=a b b a ··

D.→→→→⨯=⨯a b b a

2.下列平面中平行于oy 轴的是（ ）

A.y =0

B.x-z =1

C.x +y =1

D.3x -2y +z =0

3.点P 0⎪⎭⎫

⎝⎛-31,21

,1与球面x 2

+y 2+z 2-2x -y +2z =0的位置关系是（ ）

A.P 0在球面上

B.P 0在球面外

C.P 0在球面内但不是球心

D.P 0恰为球面的球心

4.下列函数中以π为最小周期的是（ ）

A.f (x )=21

sin(2x +1) B.f (x )=2sin x +1

C.f (x )= cos(x +2)

D.f (x )=tan(2x +1)

5.下列函数中，当x →0时是无穷小量的是（ ）

A.f (x )=x x

sin B.f (x )=x 1

C.f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥002x x x x

D.f (x )=x 1

x)(1+

6.设曲线y =ax 2+bx -2在点（-1，3）处与直线y =4x +7相切，则a,b 的取值为（

）

A.a =1, b =6

B.a =-1, b =-6

C.a =9, b =14

D.a =-9, b =-14

7.下列曲线中有水平渐近线的是（ ）

A.y =arctan x

B.y =ln x

2 C.22

+=x x y D.y =cos x

8.下列极限中，不能用洛比塔法则求的是（ ） A.x

x x x cos lim +→∞ B.x e x x +∞→lim C.x e x x 1lim 0-→ D. x

x x arctan lim 0→ 9.设C 为任意常数，且F ′(x )=f (x )，则下列等式成立的有（ ）

A.⎰+='C x f dx x F )()(

B.⎰+=C x F dx x f )()(

C.⎰+='C x F dx x f )()(

D.⎰

+'=C x F dx x F )()( 10.曲线x 2=4-y 与x 轴所围图形的面积为（ ）

A.⎰-202dx )x 4(2

B.⎰-202dx )x 4(

C.⎰-20dy y 4

D.2⎰-2

0dy y 4

11.设A 是三阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=（ ）

A.4

B.-4

C.16

D.-16

12.已知线性方程组Ax=b 的两个解x 1和x 2，且x 1≠x 2 .则下列线性组合一定是Ax =O 解的是（ ）

A. x 1+x 2

B. x 1-x 2

C.2x 1-x 2

D.2x 1+x 2

二、填空题（本大题共8小题，每空2分，共16分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

13.设点A （2,-1,3）关于yoz 平面的对称点为B （-2，y ,3）.则y =___________.

14.过点P 0（-1，3，5）且与平面π：3x +2y -5z -7=0垂直的直线方程为___________.

15.设f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧=+≠0201cos x k x x x 在x =0处连续，则k =___________.

16.极限=--→x x x 11lim

0___________. 17.

⎰π=20dx x sin ___________.

3 18.设⎰=ϕx

0t tdt cos e )x (, 则)0(ϕ'=___________.

19.设n 阶行列式|a ij |中每一行的诸元素之和等于零，则该行列式|a ij |=___________.

20.已知矩阵A =⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+321211

111a ，则当a =___________时，秩r (A )=2. 三、计算题（一）（本大题共4小题，每小题4分，共16分）

21．求过点p 1(-1,2,-1)与p 2(1,3,2)的直线方程

22．y =)1arcsin(22x x x -+-, 求y ′

23．计算不定积分⎰

+dx x x 12

24．已知矩阵X =⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--121011322 . 试证明X 是可逆的, 并求X -1 .

四、计算题（二）（本大题共4小题，每小题7分，共28分）

25．一平面过点P 1（2，1，3）及P 2（1，4，1）且与y 轴平行，求此平面方程.

26．确定函数y =ln(1+x 2)在（0,+∞）内的凸性与拐点.

27．计算定积分⎰π4

02

dx x sin .

28．求解线性方程组 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-++-=-++-=-+-=-+-23

65711233434243214321

4314321x x x x x x x x x x x x x x x 五、综合题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

29．设f (x )=(x 3-1)g (x )，其中g (x )在x =1处连续，证明：f (x )在x =1处可导，并求f ′(1).

30．设曲线方程为y =e -x (x >0)，在此曲线上求一点（x 0,0x e -），使得过该点的切线与两个坐标轴所围平面图形的面积最大，并求出此最大面积.